辽宁省沈阳市2020届高三1月一模考试数学（理）试题

辽宁省沈阳市2020届高三1月一模考试数学（理）试题

‎2020年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）‎ 数学（理科）‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两卷.满分150分，考试时间120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡指定区域.‎ ‎2.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在本试卷上无效.其他试题用黑色水性笔答在答题卡上，写在本试卷上无效.‎ ‎3.考试结束后，考生将答题卡交回.‎ 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解不等式得集合B，再根据交集定义求结果.‎ ‎【详解】‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查一元二次不等式以及交集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎2.命题，，则为（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定直接判断选择.‎ ‎【详解】，，‎ ‎：，‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查全称命题的否定，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎3.已知复数z满足，且，则（ ）‎ A. 2 B. 2i C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据共轭复数概念以及复数乘法列方程，解得结果.‎ ‎【详解】设,则，‎ ‎，且，，且.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查共轭复数概念以及复数乘法，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎4.已知均为单位向量，若夹角为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求数量积，再求模的平方，最后得结果.‎ ‎【详解】‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查向量数量积以及向量的模，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎5.若实数x，y满足不等式组，则的最大值为（ ）‎ A. 4 B. C. -6 D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先作可行域，再根据目标函数所表示直线，结合图象确定最优解，代入得结果.‎ ‎【详解】作可行域如图，则直线过点时取最大值4,‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎6.已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数、对数函数的单调性判断三个数大小.‎ ‎【详解】‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查利用幂函数、对数函数单调性比较大小，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎7.垃圾分类是一种新时尚，沈阳市为推进这项工作的实施，开展了“垃圾分类进小区”的评比活动.现对沈阳市甲、乙两个小区进行评比，从中各随机选出20户家庭进行评比打分，每户成绩满分为100分.评分后得到如下茎叶图.通过茎叶图比较甲、乙两个小区得分的平均值及方差大小（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据茎叶图数据分布，比较最小值与最大值以及中间数值可以确定平均值大小，根据数据分布集中情况确定方差大小，即可选择.‎ ‎【详解】因为甲的最大值比乙小，甲的最小值比乙小，甲的中间数值没乙的中间数值大，所以；‎ 因为甲的数据没有乙的数据集中，所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查根据茎叶图判断平均值与方差大小，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎8.已知a，b为两条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）‎ ‎①若，，则 ②若，，则 ‎③若，，则 ④若，，则 A. ①③ B. ②③ C. ①②③ D. ②③④‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线面位置关系逐一判断，即可选择.‎ ‎【详解】若，，a可以和两个相交平面的交线平行,这样也能保证，； ‎ 若，，则；‎ 若，，则；‎ 若，，则或；‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查线面有关命题判断，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎9.新高考的改革方案开始实施后，某地学生需要从化学，生物，政治，地理四门学科中选课，每名同学都要选择其中的两门课程.已知甲同学选了化学，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课相同，丁与丙也没有相同课程.则以下说法正确的是（）‎ A. 丙没有选化学 B. 丁没有选化学 C. 乙丁可以两门课都相同 D. 这四个人里恰有2个人选化学 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意合理推理，并作出合理的假设，最终得出正确结论．‎ ‎【详解】根据题意可得，∵甲选择了化学，乙与甲没有相同课程，∴乙必定没选化学；‎ 又∵丙与甲有一门课相同，假设丙选择了化学，而丁与丙无相同课程，则丁一定没选化学； ‎ 若丙没选化学，又∵丁与丙无相同课程，则丁必定选择了化学．‎ 综上，必定有甲，丙或甲，丁这两种情况下选择化学，故可判断A，B不正确，D正确．‎ 假设乙丁可以两门课都相同，由上面分析可知，乙丁都没有选择化学，只能从其它三科中选两科．不妨假设选的是生物、政治，则甲选的是化学和地理，而丙和甲共同选择了化学，另一门课丙只能从生物、政治中选一科，这样与“丁与丙也没有相同课程”矛盾，故假设不成立，因此C不正确．‎ ‎【点睛】本题主要考查学生的逻辑推理能力．‎ ‎10.已知双曲线的两条渐近线分别为直线与，若点A，B为直线 上关于原点对称的不同两点，点M为直线上一点，且，则双曲线C的离心率为（ ）‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求渐近线方程，再设坐标，根据斜率公式化简条件，即得离心率.‎ ‎【详解】渐近线方程为，不妨设 则可设 因此 故选：C ‎【点睛】本题考查双曲线渐近线以及离心率，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎11.如果将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则的值为（ ）‎ A. 2 B. C. D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据左右平移不改变最值求得，再根据平移规律列等量关系，最后根据两角差正切公式解得结果.‎ ‎【详解】因为左右平移不改变最值，所以 因为，向右平移个单位得到，‎ 而，‎ 所以，即 从而 故选：A ‎【点睛】本题考查三角函数图象变换以及两角差正切公式，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎12.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数为（ ）‎ A. 20 B. 18 C. 16 D. 14‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解，再作图，结合图象确定交点个数，即得零点个数.‎ ‎【详解】或 根据函数解析式以及偶函数性质作图象，零点个数为,‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查函数零点以及函数综合性质，考查数形结合思想方法以及综合分析求解能力，属中档题.‎ 第II卷（非选择题 共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求做答.‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知椭圆方程为，则其焦距为________.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆方程求,即得焦距.‎ ‎【详解】‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查根据椭圆方程求焦距，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎14.已知等差数列的前n项和为，且，.数列中，，.则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据条件解得等差数列公差与首项，即得；再根据解得通项公式，即得，最后求积得结果.‎ ‎【详解】设等差数列公差为，则由，得，‎ 因为，所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查等差数列通项公式以及由递推关系求通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎15.“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现已日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门app.该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学习”两个学习板块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中，将六大板块依次各完成一次，则“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有________种.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分间隔一个与不间隔分类计数，再根据捆绑法求排列数,最后求和得结果.‎ ‎【详解】若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块相邻，则学习方法有种;‎ 若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间间隔一个答题板块的学习方法有种;‎ 因此共有种.‎ 故答案：‎ ‎【点睛】本题考查排列组合实际问题，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎16.在四面体ABCD中，若，则当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据底面ACD面积为定值，确定四面体ABCD的体积最大时，平面,再确定外接球球心位置，解得球半径，代入球的表面积公式得结果.‎ ‎【详解】因为，所以底面ACD面积为定值，‎ 因此当平面时，四面体ABCD的体积最大.‎ 设外接圆圆心为,则四面体ABCD的外接球的球心满足,且，‎ 因此外接球的半径满足 从而外接球的表面积为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查四面体外接球表面积，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.‎ ‎（1）求A及a；‎ ‎（2）若，求BC边上的高.‎ ‎【答案】（1）,（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据正弦定理化简可得a；根据二倍角正弦公式化简可得A；‎ ‎（2）先根据余弦定理求得，再根据三角形面积公式求BC边上的高.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎；‎ ‎（2）由余弦定理得 ‎,‎ 设BC边上的高为.‎ ‎.‎ 即BC边上的高为 ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎18.如图，已知为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面ABD，点E与点D在平面ABC的同侧，且，.点F为AD中点，连接EF.‎ ‎（1）求证：平面ABC；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取AB中点为O，连接OC、OF，证明四边形OCEF为平行四边形，EF∥OC，然后证明EF∥平面ABC；‎ ‎（2）以O为坐标原点，分别以、、的方向为x、y、z轴正方向，建立空间直角坐标系．不妨令正三角形ABC的边长为2，求出相关的的坐标，求出平面AEC的法向量，平面AED的法向量，利用空间向量的公式求解即可．‎ ‎【详解】（1）证明：取AB中点为O，连接OC、OF，∵O、F分别为AB、AD中点，‎ ‎∴OF∥BD且BD＝2OF，又CE∥BD且BD＝2CE，∴CE∥OF且CE＝OF，∴四边形OCEF为平行四边形，∴EF∥OC，‎ 又OC⊂平面ABC且EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC．‎ ‎（2）∵三角形ABC为等边三角形，O为AB中点，∴OC⊥AB，∵平面ABC⊥平面ABD且平面ABC∩平面ABD＝AB，‎ 又BD⊥AB且BD⊂平面ABD，∴BD⊥平面ABC，又OF∥BD，∴OF⊥平面ABC，‎ 以O为坐标原点，分别以、、的方向为x、y、z轴正方向，建立空间直角坐标系．‎ 不妨令正三角形ABC的边长为2，则O（0，0，0），A（1，0，0），，，D（﹣1，0，2），‎ ‎∴，，设平面AEC的法向量为，则，‎ 不妨令，则，设平面AED的法向量为，同理求得，‎ ‎∴，又∵二面角C﹣AE﹣D为钝二面角，‎ ‎∴所求二面角C﹣AE﹣D的余弦值为．‎ ‎【点睛】本题考查线面平行判定定理、面面垂直性质定理以及利用空间向量求二面角，考查综合分析论证与求解能力，属于中档题.‎ ‎19.已知抛物线的焦点为F，点，点B在抛物线C上，且满足 ‎（O为坐标原点）.‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）过焦点F任作两条相互垂直的直线l与，直线l与抛物线C交于P，Q两点，直线与抛物线C交于M，N两点，的面积记为，的面积记为，求证：为定值.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据条件解得B点坐标，代入抛物线方程解得，即得结果；‎ ‎（2）先设直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式求得与，最后代入化简得结果.‎ ‎【详解】（1）设 因为点B在抛物线C上，‎ ‎（2）由题意得直线l的斜率存在且不为零，设，代入得，所以 因此，同理可得 因此 ‎【点睛】本题考查抛物线方程以及直线与抛物线位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎20.在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼.排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜.在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分.现有甲乙两队进行排球比赛：‎ ‎（1）若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来两队赢得每局比赛的概率均为，求甲队最后赢得整场比赛的概率；‎ ‎（2）若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为，乙发球时甲赢1分的概率为，得分者获得下一个球的发球权.设两队打了个球后甲赢得整场比赛，求x的取值及相应的概率p（x）.‎ ‎【答案】（1）（2）x的取值为2或4, .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先确定甲队最后赢得整场比赛的情况，再分别根据独立事件概率乘法公式求解，最后根据互斥事件概率加法公式得结果；‎ ‎（2）先根据比赛规则确定x的取值，再确定甲赢得整场比赛的情况，最后根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式得结果.‎ ‎【详解】（1）甲队最后赢得整场比赛的情况为第四局赢或第四局输第五局赢，‎ 所以甲队最后赢得整场比赛的概率为，‎ ‎（2）根据比赛规则，x的取值只能为2或4,对应比分为 两队打了2个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲得分，此时概率为；‎ 两队打了4个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲失分，打第三个球乙发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，或打第一个球甲发球甲失分，打第二个球乙发球甲得分，打第三个球甲发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，此时概率为.‎ ‎【点睛】本题考查独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若函数有三个零点，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求导数，再根据二次函数图象分类讨论导函数符号变化规律，进而确定单调性；‎ ‎（2）根据函数单调性确定零点个数，并用零点存在定理加以论证.‎ ‎【详解】（1）‎ 当时，，即在上单调递增；‎ 当时，，即在上单调递增；‎ 当时，时，即在和上单调递增；时，即在上单调递减；‎ 综上：当时， 在上单调递增；‎ 当时， 和上单调递增；在上单调递减；‎ ‎（2）因为单调函数至多一个零点，所以，‎ 因为 所以 因为 而在和上单调递增；在上单调递减；‎ 所以在上有且仅有一个零点，在上有且仅有一个零点（即1），在上有且仅有一个零点，‎ 所以当时，函数有三个零点.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及利用导数研究函数零点，考查综合分析求解能力，属较难题.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡把所选题目对应的标号涂黑.‎ ‎22.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，直线l的参数方程为：（t为参数），直线l与曲线C分别交于M，N两点.‎ ‎（1）写出曲线C和直线l的普通方程；‎ ‎（2）若点，求的值.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据将曲线C极坐标方程化为直角坐标方程，利用消元法化直线l的参数方程为普通方程 ‎（2）先化直线l的参数方程为标准式，再代入曲线C方程，最后根据参数几何意义求解 ‎【详解】（1）‎ ‎（2）‎ 代入得 ‎【点睛】本题考查极坐标方程化直角坐标方程、参数方程化普通方程以及直线参数方程，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集得结果；‎ ‎（2）先化简不等式，再根据绝对值三角不等式性质求最值，即得结果.‎ ‎【详解】（1）‎ 或或 或或 ‎ ‎ 即不等式的解集为.‎ ‎（2）‎ 点睛】本题考查绝对值定义以及绝对值三角不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.‎