宿豫中学2019~2020学年度第二学期寒假调研高一数学试卷

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宿豫中学2019~2020学年度第二学期寒假调研高一数学试卷

1 宿豫中学高一第二学期开学摸底测试 数 学 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是正确的,请在答题卡上用 2B 铅笔把正确答案的字母按要求涂黑. 1. 采用简单随机抽样的方法,从含有 6 个个体的总体中抽取 1 个容量为 2 的样本,则某个个体 被抽到的概率为( ) A. 1 2 B. 1 3 C. 1 5 D. 1 6 2.某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为 600 人、700 人、700 人,为 了解不同年级学生的眼睛近视情况,现用分层抽样的方法抽取了容量为 100 的样本, 则高三年级应抽取的学生人数为( ) A. 25 B. 35 C.30 D.40 3. 过点 1,3 且垂直于直线 2 3 0x y   的直线方程为( ) A. 2 7 0x y   B. 2 1 0x y   C. 2 5 0x y   D. 2 5 0x y   4.在 ΔABC 中,如果 : : 2:3: 4a b c  ,那么 cos B 等于( ) A. 11 16 B. 5 16 C. 11 16  D. 7 11 5.已知圆 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = 的圆心坐标为(-2,3),D,E 分别为( ) A. 4,-6 B. -4,-6 C. -4,6 D. 4,6 6. 圆 2 21 1x y   的圆心到直线 0x y a   的距离为 2 ,则 a 的值为( ) A. 1 或 3 B. 1 或 3 C. 1 或 3 D. 1 或 3 7. 若三角形 ABC 的面积为 )(4 3 222 bca  ,且 C 为钝角, a c 的取值范围是( ) A. ),2[  B. ),2(  C. )2,0( D. ),3[  2 8.若方程 2)(-1 2  xax 有两个不同的实数根,则实数 a 的取值范围为( ) A. )22,22(  B. )22,22(  C. ]1,22(  D. )2-2,1[ 二、多项选择题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分.每小题给出的四个选项 中,有多项符合题目要求.全部选对的 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分. 9.设两直线 2 2 0m x y m     , 0x y  与 x 轴构成三角形,则 m 的可能取值是( ) A.-1 B. 1 C. 2 D. -2 10. 在△ABC 中,下列判断中正确的是________.(填相应命题的序号即可) A. a=7,b=14,A=30°,有两解;B. a=30,b=25,A=150°,有一解; C. a=6,b=9,A=45°,有两解;D. b=9,c=10,B=60°,有两解. 11.在同一直角坐标系中,直线 2y ax a  与圆 2 2 2( )x a y a   的位置不可能是( ) A. B. C. D. 12.下列命题中其中正确的命题是:( ) A.任一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率; B.不经过原点的直线都可以用方程 1x y a b   表示; C.若两直线 2 6 0x y   和 2 1 0x my   平行, 则它们之间的距离为 5 ; D.若直线l : 3y kx  与直线 1l :2 3 6 0x y   的交点位于第一象限,则直线 l 的倾斜角 的取值范围是 ,6 2       . 三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分. 13. 已知一组数据 1,3,2,5,4,那么这组数据的方差为______. 14. 点 (5,2) 到直线 ( )1 (2 1) 5m x m y m     的距离的最大值为________. 15. 在 ABC 中 , 角 CBA ,, 所 对 的 边 分 别 为 cba ,, , 已 知 2,20)cos(sinsinsin  caCCAB , ,则 C ________. 16.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 4: 22  yxO ,直线 )4(:  xkyl . 若圆O 上 3 存在点 P ,使得以点 P 为圆心、1 为半径的圆与直线l 有公共点,则实数 k 的取值范 围是___________. 三、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.请在答题卡指定区区域内作答,解答时应写 出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分)设三角形 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,a=13, 5cos 13B  (1)若 b=24,求sin A 的值; (2)若三角形 ABC 的面积为 30,求 b,c 的值 18. (本小题满分 12 分)在 ABC 中, C 的平分线所在直线 l 的方程为 2y x ,若点  4,2A  ,  3,1B . (1)求点 A 关于直线 l 的对称点 D 的坐标; (2)求 AC 边上的高所在的直线方程. 19.(本小题满分 12 分) 某学校为了解学生的学习、生活等情况,决定召开一次学生座谈会. 此学校各年级人数情况 如下表: 年 级 性 别 高一年级 高二年级 高三年级 男 520 y 400 女 x 610 600 (1) 若按年级用分层抽样的方法抽取 n 个人,其中高二年级 22 人,高三年级 20 人,再从这 n 个人中随机抽取出 1 人,此人为高三年级的概率为 10 33 ,求 x、y 的值. (2) 若按性别用分层抽样的方法在高三年级抽取一个容量为 5 的样本,从这 5 人中任取 2 人, 求至少有 1 人是男生的概率. 20. (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xoy 中,已知点 (0,6)P , 圆 C: 2 2 10 10 0x y x y    (1)求过点 P 且与圆 C 相切于原点的圆的标准方程。 (2)过点 P 的直线 L 与圆 C 依次相交于 A,B 两点, ①若 AO PB ,求直线 L 的方程 ②当三角形 ABC 面积最大时,求直线 L 的方程 21. (本小题满分 12 分)某地有一企业 2007 年建厂并开始投资生产,年份代号为 7,2008 年年份代号为 8,依次类推.经连续统计 9 年的收入情况如下表(经数据分析可用线性回归模型 4 拟合 y 与 x 的关系): 年份代号( x ) 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当年收入( y 千万元) 13 14 18 20 21 22 24 28 29 (1)求 y 关于 x 的线性回归方程 ˆˆ ˆy bx a  ; (2)试预测 2020 年该企业的收入. (参考公式:      1 2 1 ˆ n i i i n i i x x y y b x x         1 2 2 1 n i i i n i i x y nxy x nx        , ˆˆa y bx  ) 22.(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,圆C 的方程为 2 2( 4) 1x y   ,且圆C 与 x 轴交于 M , N 两点, 设直线l 的方程为  ( 0)y kx k  . (1)当直线l 与圆C 相切时,求直线 l 的方程; (2)已知直线l 与圆C 相交于 A , B 两点. (ⅰ)若 2 17 17AB  ,求实数 k 的取值范围; (ⅱ)直线 AM 与直线 BN 相交于点 P ,直线 AM ,直线 BN ,直线 OP 的斜率分别为 1k , 2k , 3k , 是否存在常数 a ,使得 1 2 3k k ak  恒成立?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由. 参考答案 1. B 2.B 3. B 4.A 5. A 6. C 7. B 8. C 9. AB 10. BD 11.ABD 12. AD 13.2 14. 2 13 15. 6  16 ]7 73,7 73[ 17.解:(1)由 5cos 13B  得 13 12cos1sin 2  BB ……2 分 由正弦定理 B b A a sinsin  ,得 2 1sinsin  b BaA ……5 分 5 (2)由三角形面积公式 Bacs sin2 1 ,得 5c ……7 分 由余弦定理 Baccab cos2222  ,得 12b ……10 分 18. 解:(1)设点 A 关于l 的对称点  ,D m n ,则 2 1 44 2 22 422 2 n mm nn m              .∴  4, 2D  . ……6 分 (2)∵ D 点在直线 BC 上, 1 2 33 4DBk    ∴直线 BC 的方程为 1 3( 3)y x    ,即 3 10 0x y   因为C 在直线 2y x 上 所以 3 10 0 2 2 4 x y x y x y        ,所以  2,4C ; ∴ 1 3ACk  ,即 AC 边上的高所在直线斜率为 3 所以 AC 边上的高所在的直线方程的方程为 1 3( 3)y x    ,即3 10 0x y   …12 分 19. ⑴依题意得: 20 10 33n  ,解得 66n  . ……2 分 所以高一年级被抽取的人数为 662220  24. 所以 20 24 22 1000 520 610x y    ,解得 680x  , 490y  . ……5 分 ⑵若用分层抽样的方法在高三年级抽取一个容量为 5 的样本, 设抽取男生的人数为 m,则 400 5 600 400 m   ,解得 2m  , 所以应抽取男生 2 人,女生 3 人,分别记作 1A 、 2A ; 1B 、 2B 、 3B . ……7 分 方法一:记“从中任取 2 人,至少有 1 人是男生”为事件 A. 从中任取 2 人的所有基本事件共 10 个:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3), (A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3). 其中至少有 1 人为男生的基本事件有 7 个: (A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3). 所以从中从中任取 2 人,至少有 1 人是男生的概率为 7 10 . ……11 分 方法二:记“从中任取 2 人,至少有 1 人是男生”为事件 A,则 A 表示“从中任取 2 人, 全是女生”,全是女生的基本事件有 3 个:(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3). 所以 3 7( ) 1 ( ) 1 10 10P A P A     . 6 答:至少有 1 人是男生的概率 7 10 . ……12 分 21. 【解析】(1)由已知数据得: 11x  , 21y  . ……2 分    9 1 i i i x x y y                   4 8 3 7 2 3 1 1 0 0 1 1 2 3 3 7 4 8                          120 ,…4 分           9 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 3 2 1 0 1 2 3 4 60i i x x                 , ……6 分 120 2ˆ 60b   , 21 2 1 1ˆ 1a      ,  ˆ 2 1y x  .故所求回归方程为: ˆ 2 1y x  . ……8 分 (2) 2020 年的年份代号为 20 ,由(1)知,当 20x  时, 2 20 1 39ˆy     ,……10 分 故预测 2020 年该企业的收入为 39 千万元. ……12 分 22. 解:(1)解:由题意, 0k  ,∴圆心C 到直线 l 的距离 2 4 1 kd k   ,……1 分 ∵直线 l 与圆C 相切,∴ 2 4 1 1 kd k    ,∴ 15 15k  ,∴直线 15: 15l y x .……3 分 (2)解:由题意得: 2 2 170 2 1 17AB d    ,∴ 4 17 117 d  , 由(1)可知: 2 4 1 kd k   ,∴ 2 4 17 4 117 1 k k    ,∴ 1 15 4 15k  . ……6 分 (3)证明:  1: 3AMl y k x  ,与圆C  2 2: 4 1x y   联立,得:      2 2 1 13 1 3 5 0x k x k       , ∴ 3Mx  , 2 1 2 1 3 5 1A kx k   ,∴ 2 1 1 2 2 1 1 3 5 2,1 1 k kA k k       , 7 同理可得: 2 2 2 2 2 2 2 5 3 2,1 1 k kB k k        , ……8 分 ∵ OA OBk k , ∴ 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 3 5 5 3 1 1 k k k k k k k k       ,即  1 2 1 21 3 5 0k k k k   , ∵ 1 2 1k k   , ∴ 2 1 3 5k k  , 设  0 0,P x y , ∴     0 1 0 0 2 0 3 5 y k x y k x      ,∴ 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2 3 5 2 k kx k k k ky k k       , ∴ 1 2 1 2 1 2 1 2 3 5 2,k k k kP k k k k        ,即 1315 ,4 4 kP     , ……10 分 ∴ 1 3 1 3 14 15 5 4 k k k  ,∴ 1 2 1 3 2 25k k k k   , ∴存在常数 2a  ,使得 1 2 32k k k  恒成立. ……12 分
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