中考数学试题分类汇编考点34：图形的对称

中考数学试题分类汇编考点34：图形的对称

中考数学试题分类汇编：考点 34 图形的对称 一．选择题（共 36 小题） 1．（2018•新疆）如图，点 P 是边长为 1 的菱形 ABCD 对角线 AC 上的一个动点， 点 M，N 分别是 AB，BC 边上的中点，则 MP+PN 的最小值是（ ） A． B．1 C． D．2 【分析】先作点 M 关于 AC 的对称点 M′，连接 M′N 交 AC 于 P，此时 MP+NP 有 最小值．然后证明四边形 ABNM′为平行四边形，即可求出 MP+NP=M′N=AB=1． 【解答】解：如图 ， 作点 M 关于 AC 的对称点 M′，连接 M′N 交 AC 于 P，此时 MP+NP 有最小值，最 小值为 M′N 的长． ∵菱形 ABCD 关于 AC 对称，M 是 AB 边上的中点， ∴M′是 AD 的中点， 又∵N 是 BC 边上的中点， ∴AM′∥BN，AM′=BN， ∴四边形 ABNM′是平行四边形， ∴M′N=AB=1， ∴MP+NP=M′N=1，即 MP+NP 的最小值为 1， 故选：B． 2．（2018•资阳）下列图形具有两条对称轴的是（ ） A．等边三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形 【分析】根据轴对称及对称轴的定义，结合所给图形即可作出判断． 【解答】解：A、等边三角形由 3 条对称轴，故本选项错误； B、平行四边形无对称轴，故本选项错误； C、矩形有 2 条对称轴，故本选项正确； D、正方形有 4 条对称轴，故本选项错误； 故选：C． 3．（2018•苏州）下列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称的概念对各选项分析判断利用排除法求解． 【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项正确； C、是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项错误． 故选：B． 4．（2018•湘潭）如图，点 A 的坐标（﹣1，2），点 A 关于 y 轴的对称点的坐 标为（ ） A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（2，﹣1） 【分析】直接利用关于 y 轴对称点的性质分析得出答案． 【解答】解：点 A 的坐标（﹣1，2），点 A 关于 y 轴的对称点的坐标为：（1， 2）． 故选：A． 5．（2018•永州）誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上铭刻着 500 多 方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值，下面四个悬针 篆文文字明显不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可． 【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，故此选项正确； D、是轴对称图形，故此选项错误； 故选：C． 6．（2018•重庆）下列图形中一定是轴对称图形的是（ ） A． 直角三角形 B． 四边形 C． 平行四边形 D． 矩形 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项正确． 故选：D． 7．（2018•广州）如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（ ） A．1 条 B．3 条 C．5 条 D．无数条 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这 个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：五角星的对称轴共有 5 条， 故选：C． 8．（2018•淄博）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【分析】观察四个选项图形，根据轴对称图形的概念即可得出结论． 【解答】解：根据轴对称图形的概念，可知：选项 C 中的图形不是轴对称图形． 故选：C． 9．（2018•河北）图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线 （ ） A．l1 B．l2 C．l3 D．l4 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这 个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：该图形的对称轴是直线 l3， 故选：C． 10．（2018•沈阳）在平面直角坐标系中，点 B 的坐标是（4，﹣1），点 A 与点 B 关于 x 轴对称，则点 A 的坐标是（ ） A．（4，1） B．（﹣1，4） C．（﹣4，﹣1） D．（﹣1，﹣4） 【分析】直接利用关于 x 轴对称点的性质，横坐标不变纵坐标改变符号进而得出 答案． 【解答】解：∵点 B 的坐标是（4，﹣1），点 A 与点 B 关于 x 轴对称， ∴点 A 的坐标是：（4，1）． 故选：A． 11．（2018•临安区）如图，正方形硬纸片 ABCD 的边长是 4，点 E、F 分别是 AB、 BC 的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部 分的面积是（ ） A．2 B．4 C．8 D．10 【分析】本题考查空间想象能力． 【解答】解：阴影部分由一个等腰直角三角形和一个直角梯形组成， 由第一个图形可知：阴影部分的两部分可构成正方形的四分之一， 正方形的面积=4×4=16， ∴图中阴影部分的面积是 16÷4=4． 故选：B． 12．（2018•邵阳）下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，故此选项正确； C、不是轴对称图形，故此选项错误； D、不是轴对称图形，故此选项错误； 故选：B． 13．（2018•重庆）下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项正确． 故选：D． 14．（2018•台湾）下列选项中的图形有一个为轴对称图形，判断此形为何？ （ ） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分 完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，对称轴为两宽的中点的连线所在的直线，故本选项正确． 故选：D． 15．（2018•桂林）下列图形是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念求解即可． 【解答】解：A、是轴对称图形，本选项正确； B、不是轴对称图形，本选项错误； C、不是轴对称图形，本选项错误； D、不是轴对称图形，本选项错误． 故选：A． 16．（2018•资阳）如图，将矩形 ABCD 的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无 缝隙无重叠的四边形 EFGH，EH=12 厘米，EF=16 厘米，则边 AD 的长是（ ） A．12 厘米 B．16 厘米 C．20 厘米 D．28 厘米 【分析】利用三个角是直角的四边形是矩形易证四边形 EFGH 为矩形，那么由折 叠可得 HF 的长即为边 AD 的长． 【解答】解：∵∠HEM=∠AEH，∠BEF=∠FEM， ∴∠HEF=∠HEM+∠FEM= ×180°=90°， 同理可得：∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°， ∴四边形 EFGH 为矩形， AD=AH+HD=HM+MF=HF， HF= = =20， ∴AD=20 厘米． 故选：C． 17．（2018•天津）如图，将一个三角形纸片 ABC 沿过点 B 的直线折叠，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，折痕为 BD，则下列结论一定正确的是（ ） A．AD=BD B．AE=AC C．ED+EB=DB D．AE+CB=AB 【分析】先根据图形翻折变换的性质得出 BE=BC，根据线段的和差，可得 AE+BE=AB，根据等量代换，可得答案． 【解答】解：∵△BDE 由△BDC 翻折而成， ∴BE=BC． ∵AE+BE=AB， ∴AE+CB=AB， 故 D 正确， 故选：D． 18．（2018•宜昌）如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义逐个判断即可． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 19．（2018•无锡）下列图形中的五边形 ABCDE 都是正五边形，则这些图形中的 轴对称图形有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【分析】直接利用轴对称图形的性质画出对称轴得出答案． 【解答】解：如图所示：直线 l 即为各图形的对称轴． ， 故选：D． 20．（2018•湘西州）下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【解答】解：D 选项的图形是轴对称图形，A，B，C 选项的图形不是轴对称图形． 故选：D． 21．（2018•天门）如图，正方形 ABCD 中，AB=6，G 是 BC 的中点．将△ABG 沿 AG 对折至△AFG，延长 GF 交 DC 于点 E，则 DE 的长是（ ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证 Rt△AFE≌Rt△ADE；在直角 △ECG 中，根据勾股定理即可求出 DE 的长． 【解答】解：∵AB=AD=AF，∠D=∠AFE=90°， 在 Rt△ABG 和 Rt△AFG 中， ∵ ， ∴Rt△AFE≌Rt△ADE， ∴EF=DE， 设 DE=FE=x，则 EC=6﹣x． ∵G 为 BC 中点，BC=6， ∴CG=3， 在 Rt△ECG 中，根据勾股定理，得：（6﹣x）2+9=（x+3）2， 解得 x=2． 则 DE=2． 故选：C． 22．（2018•烟台）对角线长分别为 6 和 8 的菱形 ABCD 如图所示，点 O 为对角 线的交点，过点 O 折叠菱形，使 B，B′两点重合，MN 是折痕．若 B'M=1，则 CN 的长为（ ） A．7 B．6 C．5 D．4 【分析】连接 AC、BD，如图，利用菱形的性质得 OC= AC=3，OD= BD=4，∠ COD=90°，再利用勾股定理计算出 CD=5，接着证明△OBM≌△ODN 得到 DN=BM， 然后根据折叠的性质得 BM=B'M=1，从而有 DN=1，于是计算 CD﹣DN 即可． 【解答】解：连接 AC、BD，如图， ∵点 O 为菱形 ABCD 的对角线的交点， ∴OC= AC=3，OD= BD=4，∠COD=90°， 在 Rt△COD 中，CD= =5， ∵AB∥CD， ∴∠MBO=∠NDO， 在△OBM 和△ODN 中 ， ∴△OBM≌△ODN， ∴DN=BM， ∵过点 O 折叠菱形，使 B，B′两点重合，MN 是折痕， ∴BM=B'M=1， ∴DN=1， ∴CN=CD﹣DN=5﹣1=4． 故选：D． 23．（2018•武汉）如图，在⊙O 中，点 C 在优弧 上，将弧 沿 BC 折叠后刚 好经过 AB 的中点 D．若⊙O 的半径为 ，AB=4，则 BC 的长是（ ） A． B． C． D． 【分析】连接 OD、AC、DC、OB、OC，作 CE⊥AB 于 E，OF⊥CE 于 F，如图，利 用垂径定理得到 OD⊥AB，则 AD=BD= AB=2，于是根据勾股定理可计算出 OD=1， 再利用折叠的性质可判断弧 AC 和弧 CD 所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得 到 = ，所以 AC=DC，利用等腰三角形的性质得 AE=DE=1，接着证明四边形 ODEF 为正方形得到 OF=EF=1，然后计算出 CF 后得到 CE=BE=3，于是得到 BC=3 ． 【解答】解：连接 OD、AC、DC、OB、OC，作 CE⊥AB 于 E，OF⊥CE 于 F，如图， ∵D 为 AB 的中点， ∴OD⊥AB， ∴AD=BD= AB=2， 在 Rt△OBD 中，OD= =1， ∵将弧 沿 BC 折叠后刚好经过 AB 的中点 D． ∴弧 AC 和弧 CD 所在的圆为等圆， ∴ = ， ∴AC=DC， ∴AE=DE=1， 易得四边形 ODEF 为正方形， ∴OF=EF=1， 在 Rt△OCF 中，CF= =2， ∴CE=CF+EF=2+1=3， 而 BE=BD+DE=2+1=3， ∴BC=3 ． 故选：B． 24．（2018•吉林）如图，将△ABC 折叠，使点 A 与 BC 边中点 D 重合，折痕为 MN，若 AB=9，BC=6，则△DNB 的周长为（ ） A．12 B．13 C．14 D．15 【分析】由 D 为 BC 中点知 BD=3，再由折叠性质得 ND=NA，从而根据△DNB 的 周长=ND+NB+BD=NA+NB+BD=AB+BD 可得答案． 【解答】解：∵D 为 BC 的中点，且 BC=6， ∴BD= BC=3， 由折叠性质知 NA=ND， 则△DNB 的周长=ND+NB+BD=NA+NB+BD=AB+BD=3+9=12， 故选：A． 25．（2018•嘉兴）将一张正方形纸片按如图步骤①，②沿虚线对折两次，然后 沿③中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（ ） A． B． C． D． 【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现． 【解答】解：由于得到的图形的中间是正方形，且顶点在原来的正方形的对角线 上， 故选：A． 26．（2018•贵港）如图，在菱形 ABCD 中，AC=6 ，BD=6，E 是 BC 边的中点， P，M 分别是 AC，AB 上的动点，连接 PE，PM，则 PE+PM 的最小值是（ ） A．6 B．3 C．2 D．4.5 【分析】作点 E 关于 AC 的对称点 E′，过点 E′作 E′M⊥AB 于点 M，交 AC 于点 P， 由 PE+PM=PE′+PM=E′M 知点 P、M 即为使 PE+PM 取得最小值的点，利用 S 菱形 ABCD= AC•BD=AB•E′M 求二级可得答案． 【解答】解：如图，作点 E 关于 AC 的对称点 E′，过点 E′作 E′M⊥AB 于点 M，交 AC 于点 P， 则点 P、M 即为使 PE+PM 取得最小值， 其 PE+PM=PE′+PM=E′M， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴点 E′在 CD 上， ∵AC=6 ，BD=6， ∴AB= =3 ， 由 S 菱形 ABCD= AC•BD=AB•E′M 得 ×6 ×6=3 •E′M， 解得：E′M=2 ， 即 PE+PM 的最小值是 2 ， 故选：C． 27．（2018•滨州）如图，∠AOB=60°，点 P 是∠AOB 内的定点且 OP= ，若点 M、N 分别是射线 OA、OB 上异于点 O 的动点，则△PMN 周长的最小值是（ ） A． B． C．6 D．3 【分析】作 P 点分别关于 OA、OB 的对称点 C、D，连接 CD 分别交 OA、OB 于 M、 N，如图，利用轴对称的性质得 MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC= ，∠BOP=∠BOD， ∠AOP=∠AOC，所以∠COD=2∠AOB=120°，利用两点之间线段最短判断此时△ PMN 周长最小，作 OH⊥CD 于 H，则 CH=DH，然后利用含 30 度的直角三角形三 边的关系计算出 CD 即可． 【解答】解：作 P 点分别关于 OA、OB 的对称点 C、D，连接 CD 分别交 OA、OB 于 M、N，如图， 则 MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC= ，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC， ∴ PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC ， ∠ COD= ∠ BOP+ ∠ BOD+ ∠ AOP+ ∠ AOC=2 ∠ AOB=120°， ∴此时△PMN 周长最小， 作 OH⊥CD 于 H，则 CH=DH， ∵∠OCH=30°， ∴OH= OC= ， CH= OH= ， ∴CD=2CH=3． 故选：D． 28．（2018•广西）如图，矩形纸片 ABCD，AB=4，BC=3，点 P 在 BC 边上，将△ CDP 沿 DP 折叠，点 C 落在点 E 处，PE、DE 分别交 AB 于点 O、F，且 OP=OF，则 cos∠ADF 的值为（ ） A． B． C． D． 【分析】根据折叠的性质可得出 DC=DE、CP=EP，由∠EOF=∠BOP、∠B=∠E、OP=OF 可得出△OEF≌△OBP（AAS），根据全等三角形的性质可得出 OE=OB、EF=BP， 设 EF=x，则 BP=x、DF=4﹣x、BF=PC=3﹣x，进而可得出 AF=1+x，在 Rt△DAF 中， 利用勾股定理可求出 x 的值，再利用余弦的定义即可求出 cos∠ADF 的值． 【解答】解：根据折叠，可知：△DCP≌△DEP， ∴DC=DE=4，CP=EP． 在△OEF 和△OBP 中， ， ∴△OEF≌△OBP（AAS）， ∴OE=OB，EF=BP． 设 EF=x，则 BP=x，DF=DE﹣EF=4﹣x， 又∵BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BC﹣BP=3﹣x， ∴AF=AB﹣BF=1+x． 在 Rt△DAF 中，AF2+AD2=DF2，即（1+x）2+32=（4﹣x）2， 解得：x= ， ∴DF=4﹣x= ， ∴cos∠ADF= = ． 故选：C． 29．（2018•新疆）如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=6cm，BC=8cm．现将其沿 AE 对折，使得点 B 落在边 AD 上的点 B1 处，折痕与边 BC 交于点 E，则 CE 的长为（ ） A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm 【分析】根据翻折的性质可得∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，然后求出四边形 ABEB1 是正方形，再根据正方形的性质可得 BE=AB，然后根据 CE=BC﹣BE，代入数据进 行计算即可得解． 【解答】解：∵沿 AE 对折点 B 落在边 AD 上的点 B1 处， ∴∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1， 又∵∠BAD=90°， ∴四边形 ABEB1 是正方形， ∴BE=AB=6cm， ∴CE=BC﹣BE=8﹣6=2cm． 故选：D． 30．（2018•青岛）如图，三角形纸片 ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点 E 为 AB 中 点．沿过点 E 的直线折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕相交于点 F．已知 EF= ， 则 BC 的长是（ ） A． B． C．3 D． 【分析】由折叠的性质可知∠B=∠EAF=45°，所以可求出∠AFB=90°，再直角三角 形的性质可知 EF= AB，所以 AB=AC 的长可求，再利用勾股定理即可求出 BC 的 长． 【解答】解： ∵沿过点 E 的直线折叠，使点 B 与点 A 重合， ∴∠B=∠EAF=45°， ∴∠AFB=90°， ∵点 E 为 AB 中点， ∴EF= AB，EF= ， ∴AB=AC=3， ∵∠BAC=90°， ∴BC= =3 ， 故选：B． 31．（2018•天津）如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别为 AD，BC 的中点，P 为对角线 BD 上的一个动点，则下列线段的长等于 AP+EP 最小值的是（ ） A．AB B．DE C．BD D．AF 【分析】连接 CP，当点 E，P，C 在同一直线上时，AP+PE 的最小值为 CE 长，依 据△ABF≌△CDE，即可得到 AP+EP 最小值等于线段 AF 的长． 【解答】解：如图，连接 CP， 由 AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，DP=DP，可得△ADP≌△CDP， ∴AP=CP， ∴AP+PE=CP+PE， ∴当点 E，P，C 在同一直线上时，AP+PE 的最小值为 CE 长， 此时，由 AB=CD，∠ABF=∠CDE，BF=DE，可得△ABF≌△CDE， ∴AF=CE， ∴AP+EP 最小值等于线段 AF 的长， 故选：D． 32．（2018•贵港）若点 A（1+m，1﹣n）与点 B（﹣3，2）关于 y 轴对称，则 m+n 的值是（ ） A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．1 【分析】根据关于 y 轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变， 据此求出 m、n 的值，代入计算可得． 【解答】解：∵点 A（1+m，1﹣n）与点 B（﹣3，2）关于 y 轴对称， ∴1+m=3、1﹣n=2， 解得：m=2、n=﹣1， 所以 m+n=2﹣1=1， 故选：D． 33．（2018•湖州）如图，已知在△ABC 中，∠BAC＞90°，点 D 为 BC 的中点， 点 E 在 AC 上，将△CDE 沿 DE 折叠，使得点 C 恰好落在 BA 的延长线上的点 F 处， 连结 AD，则下列结论不一定正确的是（ ） A．AE=EF B．AB=2DE C．△ADF 和△ADE 的面积相等 D．△ADE 和△FDE 的面积相等 【分析】先判断出△BFC 是直角三角形，再利用三角形的外角判断出 A 正确，进 而判断出 AE=CE，得出 DE 是△ABC 的中位线判断出 B 正确，利用等式的性质判 断出 D 正确． 【解答】解：如图，连接 CF， ∵点 D 是 BC 中点， ∴BD=CD， 由折叠知，∠ACB=∠DFE，CD=DF， ∴BD=CD=DF， ∴△BFC 是直角三角形， ∴∠BFC=90°， ∵BD=DF， ∴∠B=∠BFD， ∴∠EAF=∠B+∠ACB=∠BFD+∠DFE=∠AFE， ∴AE=EF，故 A 正确， 由折叠知，EF=CE， ∴AE=CE， ∵BD=CD， ∴DE 是△ABC 的中位线， ∴AB=2DE，故 B 正确， ∵AE=CE， ∴S△ADE=S△CDE， 由折叠知，△CDE≌△△FDE， ∴S△CDE=S△FDE， ∴S△ADE=S△FDE，故 D 正确， 当 AD= AC 时，△ADF 和△ADE 的面积相等 ∴C 选项不一定正确， 故选：C． 34．（2018•枣庄）在平面直角坐标系中，将点 A（﹣1，﹣2）向右平移 3 个单 位长度得到点 B，则点 B 关于 x 轴的对称点 B′的坐标为（ ） A．（﹣3，﹣2） B．（2，2） C．（﹣2，2） D．（2，﹣2） 【分析】首先根据横坐标右移加，左移减可得 B 点坐标，然后再根据关于 x 轴对 称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标符号改变可得答案． 【解答】解：点 A（﹣1，﹣2）向右平移 3 个单位长度得到的 B 的坐标为（﹣1+3， ﹣2），即（2，﹣2）， 则点 B 关于 x 轴的对称点 B′的坐标是（2，2）， 故选：B． 35．（2018•江西）小军同学在网络纸上将某些图形进行平移操作，他发现平移 前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形、如图所示，现在他将正方形 ABCD 从当前位置开始进行一次平移操作，平移后的正方形顶点也在格点上，则 使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有（ ） A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．无数个 【分析】直接利用平移的性质结合轴对称图形的性质得出答案． 【解答】解：如图所示：正方形 ABCD 可以向上、下、向右以及沿 AC 所在直线， 沿 BD 所在直线平移， 所组成的两个正方形组成轴对称图形． 故选：C． 36．（2018•台湾）如图 1 的矩形 ABCD 中，有一点 E 在 AD 上，今以 BE 为折线 将 A 点往右折，如图 2 所示，再作过 A 点且与 CD 垂直的直线，交 CD 于 F 点， 如图 3 所示，若 AB=6 ，BC=13，∠BEA=60°，则图 3 中 AF 的长度为何？（ ） A．2 B．4 C．2 D．4 【分析】作 AH⊥BC 于 H．则四边形 AFCH 是矩形，AF=CH，AH=CF=3 ．在 Rt △ABH 中，解直角三角形即可解决问题； 【解答】解：作 AH⊥BC 于 H．则四边形 AFCH 是矩形，AF=CH，AH=CF=3 ． 在 Rt△AHB 中，∠ABH=30°， ∴BH=AB•cos30°=9， ∴CH=BC﹣BH=13﹣9=4， ∴AF=CH=4， 故选：B． 二．填空题（共 9 小题） 37．（2018•南京）在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是（﹣1，2），作点 A 关 于 y 轴的对称点，得到点 A'，再将点 A'向下平移 4 个单位，得到点 A″，则点 A″ 的坐标是（ 1 ， ﹣2 ）． 【分析】直接利用关于 y 轴对称点的性质得出点 A'坐标，再利用平移的性质得出 答案． 【解答】解：∵点 A 的坐标是（﹣1，2），作点 A 关于 y 轴的对称点，得到点 A'， ∴A′（1，2）， ∵将点 A'向下平移 4 个单位，得到点 A″， ∴点 A″的坐标是：（1，﹣2）． 故答案为：1，﹣2． 38．（2018•邵阳）如图所示，在等腰△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，将△ABC 中 的∠A 沿 DE 向下翻折，使点 A 落在点 C 处．若 AE= ，则 BC 的长是 ． 【分析】由折叠的性质可知 AE=CE，再证明△BCE 是等腰三角形即可得到 BC=CE， 问题得解． 【解答】解： ∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠B=∠ACB= =72°， ∵将△ABC 中的∠A 沿 DE 向下翻折，使点 A 落在点 C 处， ∴AE=CE，∠A=∠ECA=36°， ∴∠CEB=72°， ∴BC=CE=AE= ， 故答案为： ． 39．（2018•杭州）折叠矩形纸片 ABCD 时，发现可以进行如下操作：①把△ADE 翻折，点 A 落在 DC 边上的点 F 处，折痕为 DE，点 E 在 AB 边上；②把纸片展开 并铺平；③把△CDG 翻折，点 C 落在线段 AE 上的点 H 处，折痕为 DG，点 G 在 BC 边上，若 AB=AD+2，EH=1，则 AD= 3+2 ． 【分析】设 AD=x，则 AB=x+2，利用折叠的性质得 DF=AD，EA=EF，∠DFE=∠A=90°， 则 可 判 断 四 边 形 AEFD 为 正 方 形 ， 所 以 AE=AD=x ， 再 根 据 折 叠 的 性 质 得 DH=DC=x+2，则 AH=AE﹣HE=x﹣1，然后根据勾股定理得到 x2+（x﹣1）2=（x+2） 2，再解方程求出 x 即可． 【解答】解：设 AD=x，则 AB=x+2， ∵把△ADE 翻折，点 A 落在 DC 边上的点 F 处， ∴DF=AD，EA=EF，∠DFE=∠A=90°， ∴四边形 AEFD 为正方形， ∴AE=AD=x， ∵把△CDG 翻折，点 C 落在线段 AE 上的点 H 处，折痕为 DG，点 G 在 BC 边上， ∴DH=DC=x+2， ∵HE=1， ∴AH=AE﹣HE=x﹣1， 在 Rt△ADH 中，∵AD2+AH2=DH2， ∴x2+（x﹣1）2=（x+2）2， 整理得 x2﹣6x﹣3=0，解得 x1=3+2 ，x2=3﹣2 （舍去）， 即 AD 的长为 3+2 ． 故答案为 3+2 ． 40．（2018•自贡）如图，在△ABC 中，AC=BC=2，AB=1，将它沿 AB 翻折得到△ ABD，则四边形 ADBC 的形状是 菱 形，点 P、E、F 分别为线段 AB、AD、DB 的任意点，则 PE+PF 的最小值是 ． 【分析】根据题意证明四边相等即可得出菱形；作出 F 关于 AB 的对称点 M，再 过 M 作 ME⊥AD，交 ABA 于点 P，此时 PE+PF 最小，求出 ME 即可． 【解答】解：∵△ABC 沿 AB 翻折得到△ABD， ∴AC=AD，BC=BD， ∵AC=BC， ∴AC=AD=BC=BD， ∴四边形 ADBC 是菱形， 故答案为菱； 如图 作出 F 关于 AB 的对称点 M，再过 M 作 ME⊥AD，交 ABA 于点 P，此时 PE+PF 最 小，此时 PE+PF=ME， 过点 A 作 AN⊥BC， ∵AD∥BC， ∴ME=AN， 作 CH⊥AB， ∵AC=BC， ∴AH= ， 由勾股定理可得，CH= ， ∵ ， 可得，AN= ， ∴ME=AN= ， ∴PE+PF 最小为 ， 故答案为 ． 41．（2018•成都）如图，在菱形 ABCD 中，tanA= ，M，N 分别在边 AD，BC 上，将四边形 AMNB 沿 MN 翻折，使 AB 的对应线段 EF 经过顶点 D，当 EF⊥AD 时， 的值为 ． 【分析】首先延长 NF 与 DC 交于点 H，进而利用翻折变换的性质得出 NH⊥DC， 再利用边角关系得出 BN，CN 的长进而得出答案． 【解答】解：延长 NF 与 DC 交于点 H， ∵∠ADF=90°， ∴∠A+∠FDH=90°， ∵∠DFN+∠DFH=180°，∠A+∠B=180°，∠B=∠DFN， ∴∠A=∠DFH， ∴∠FDH+∠DFH=90°， ∴NH⊥DC， 设 DM=4k，DE=3k，EM=5k， ∴AD=9k=DC，DF=6k， ∵tanA=tan∠DFH= ， 则 sin∠DFH= ， ∴DH= DF= k， ∴CH=9k﹣ k= k， ∵cosC=cosA= = ， ∴CN= CH=7k， ∴BN=2k， ∴ = ． 42．（2018•乌鲁木齐）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=2 ，AC=2，点 D 是 BC 的中点，点 E 是边 AB 上一动点，沿 DE 所在直线把△BDE 翻折到△B′DE 的 位置，B′D 交 AB 于点 F．若△AB′F 为直角三角形，则 AE 的长为 3 或 ． 【分析】利用三角函数的定义得到∠B=30°，AB=4，再利用折叠的性质得 DB=DC= ，EB′=EB，∠DB′E=∠B=30°，设 AE=x，则 BE=4﹣x，EB′=4﹣x，讨论： 当∠AFB′=90°时，则∴BF= cos30°= ，则 EF= ﹣（4﹣x）=x﹣ ，于是在 Rt△ B′EF 中利用 EB′=2EF 得到 4﹣x=2（x﹣ ），解方程求出 x 得到此时 AE 的长；当 ∠FB′A=90°时，作 EH⊥AB′于 H，连接 AD，如图，证明 Rt△ADB′≌Rt△ADC 得到 AB′=AC=2，再计算出∠EB′H=60°，则 B′H= （4﹣x），EH= （4﹣x），接着利 用勾股定理得到 （4﹣x）2+[ （4﹣x）+2]2=x2，方程求出 x 得到此时 AE 的长． 【解答】解：∵∠C=90°，BC=2 ，AC=2， ∴tanB= = = ， ∴∠B=30°， ∴AB=2AC=4， ∵点 D 是 BC 的中点，沿 DE 所在直线把△BDE 翻折到△B′DE 的位置，B′D 交 AB 于点 F ∴DB=DC= ，EB′=EB，∠DB′E=∠B=30°， 设 AE=x，则 BE=4﹣x，EB′=4﹣x， 当∠AFB′=90°时， 在 Rt△BDF 中，cosB= ， ∴BF= cos30°= ， ∴EF= ﹣（4﹣x）=x﹣ ， 在 Rt△B′EF 中，∵∠EB′F=30°， ∴EB′=2EF， 即 4﹣x=2（x﹣ ），解得 x=3，此时 AE 为 3； 当∠FB′A=90°时，作 EH⊥AB′于 H，连接 AD，如图， ∵DC=DB′，AD=AD， ∴Rt△ADB′≌Rt△ADC， ∴AB′=AC=2， ∵∠AB′E=∠AB′F+∠EB′F=90°+30°=120°， ∴∠EB′H=60°， 在 Rt△EHB′中，B′H= B′E= （4﹣x），EH= B′H= （4﹣x）， 在 Rt△AEH 中，∵EH2+AH2=AE2， ∴ （4﹣x）2+[ （4﹣x）+2]2=x2，解得 x= ，此时 AE 为 ． 综上所述，AE 的长为 3 或 ． 故答案为 3 或 ． 43．（2018•常德）如图，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 B 落在 AD 边上的点 G 处，点 C 落在点 H 处，已知∠DGH=30°，连接 BG，则∠AGB= 75° ． 【分析】由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，从而可证明∠EBG=∠ EGB．，然后再根据∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH，由平行 线的性质可知∠AGB=∠GBC，从而易证∠AGB=∠BGH，据此可得答案． 【解答】解：由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°， ∴∠EBG=∠EGB． ∴∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH． 又∵AD∥BC， ∴∠AGB=∠GBC． ∴∠AGB=∠BGH． ∵∠DGH=30°， ∴∠AGH=150°， ∴∠AGB= ∠AGH=75°， 故答案为：75°． 44．（2018•长春）如图，在▱ ABCD 中，AD=7，AB=2 ，∠B=60°．E 是边 BC 上任意一点，沿 AE 剪开，将△ABE 沿 BC 方向平移到△DCF 的位置，得到四边形 AEFD，则四边形 AEFD 周长的最小值为 20 ． 【分析】当 AE⊥BC 时，四边形 AEFD 的周长最小，利用直角三角形的性质解答 即可． 【解答】解：当 AE⊥BC 时，四边形 AEFD 的周长最小， ∵AE⊥BC，AB=2 ，∠B=60°． ∴AE=3，BE= ， ∵△ABE 沿 BC 方向平移到△DCF 的位置， ∴EF=BC=AD=7， ∴四边形 AEFD 周长的最小值为：14+6=20， 故答案为：20 45．（2018•重庆）如图，把三角形纸片折叠，使点 B、点 C 都与点 A 重合，折 痕分别为 DE，FG，得到∠AGE=30°，若 AE=EG=2 厘米，则△ABC 的边 BC 的长 为 6+4 厘米． 【分析】根据折叠的性质和含 30°的直角三角形的性质解答即可． 【解答】解：∵把三角形纸片折叠，使点 B、点 C 都与点 A 重合，折痕分别为 DE，FG， ∴BE=AE，AG=GC， ∵∠AGE=30°，AE=EG=2 厘米， ∴AG=6， ∴BE=AE=2 ，GC=AG=6， ∴BC=BE+EG+GC=6+4 ， 故答案为：6+4 ， 三．解答题（共 5 小题） 46．（2018•白银）如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑 3 个小正方形所形 成的图案． （1）如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上，那么米粒落在阴影部分的概 率是多少？ （2）现将方格内空白的小正方形（A，B，C，D，E，F）中任取 2 个涂黑，得到 新图案．请用列表或画树状图的方法求新图案是轴对称图形的概率． 【分析】（1）直接利用概率公式计算可得； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到新图案是轴对称图形的结果数，利用 概率公式计算可得． 【解答】解：（1）∵正方形网格被等分成 9 等份，其中阴影部分面积占其中的 3 份， ∴米粒落在阴影部分的概率是 = ； （2）列表如下： A B C D E F A （B，A） （C，A） （D，A） （E，A） （F，A） B （A，B） （C，B） （D，B） （E，B） （F，B） C （A，C） （B，C） （D，C） （E，C） （F，C） D （A，D） （B，D） （C，D） （E，D） （F，D） E （A，E） （B，E） （C，E） （D，E） （F，E） F （A，F） （B，F） （C，F） （D，F） （E，F） 由表可知，共有 30 种等可能结果，其中是轴对称图形的有 10 种， 故新图案是轴对称图形的概率为 = ． 47．（2018•威海）如图，将矩形 ABCD（纸片）折叠，使点 B 与 AD 边上的点 K 重合，EG 为折痕；点 C 与 AD 边上的点 K 重合，FH 为折痕．已知∠1=67.5°，∠ 2=75°，EF= +1，求 BC 的长． 【分析】由题意知∠3=180°﹣2∠1=45°、∠4=180°﹣2∠2=30°、BE=KE、KF=FC， 作 KM⊥BC，设 KM=x，知 EM=x、MF= x，根据 EF 的长求得 x=1，再进一步求 解可得． 【解答】解：由题意，得：∠3=180°﹣2∠1=45°，∠4=180°﹣2∠2=30°，BE=KE、 KF=FC， 如图，过点 K 作 KM⊥BC 于点 M， 设 KM=x，则 EM=x、MF= x， ∴x+ x= +1， 解得：x=1， ∴EK= 、KF=2， ∴BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3+ + ， ∴BC 的长为 3+ + ． 48．（2018•荆门）如图，在 Rt△ABC 中，（M2，N2），∠BAC=30°，E 为 AB 边 的中点，以 BE 为边作等边△BDE，连接 AD，CD． （1）求证：△ADE≌△CDB； （2）若 BC= ，在 AC 边上找一点 H，使得 BH+EH 最小，并求出这个最小值． 【分析】（1）只要证明△DEB 是等边三角形，再根据 SAS 即可证明； （2）如图，作点 E 关于直线 AC 点 E'，连接 BE'交 AC 于点 H．则点 H 即为符合 条件的点． 【解答】（1）证明：在 Rt△ABC 中，∠BAC=30°，E 为 AB 边的中点， ∴BC=EA，∠ABC=60°． ∵△DEB 为等边三角形， ∴DB=DE，∠DEB=∠DBE=60°， ∴∠DEA=120°，∠DBC=120°， ∴∠DEA=∠DBC ∴△ADE≌△CDB． （2）解：如图，作点 E 关于直线 AC 点 E'，连接 BE'交 AC 于点 H． 则点 H 即为符合条件的点． 由作图可知：EH=HE'，AE'=AE，∠E'AC=∠BAC=30°． ∴∠EAE'=60°， ∴△EAE'为等边三角形， ∴ ， ∴∠AE'B=90°， 在 Rt△ABC 中，∠BAC=30°， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴BH+EH 的最小值为 3． 49．（2018•长春）图①、图②均是 8×8 的正方形网格，每个小正方形的顶点称 为格点，线段 OM、ON 的端点均在格点上．在图①、图②给定的网格中以 OM、 ON 为邻边各画一个四边形，使第四个顶点在格点上．要求： （1）所画的两个四边形均是轴对称图形． （2）所画的两个四边形不全等． 【分析】利用轴对称图形性质，以及全等四边形的定义判断即可． 【解答】解：如图所示： 50．（2018•广东）如图，矩形 ABCD 中，AB＞AD，把矩形沿对角线 AC 所在直 线折叠，使点 B 落在点 E 处，AE 交 CD 于点 F，连接 DE． （1）求证：△ADE≌△CED； （2）求证：△DEF 是等腰三角形． 【分析】（1）根据矩形的性质可得出 AD=BC、AB=CD，结合折叠的性质可得出 AD=CE、AE=CD，进而即可证出△ADE≌△CED（SSS）； （2）根据全等三角形的性质可得出∠DEF=∠EDF，利用等边对等角可得出 EF=DF， 由此即可证出△DEF 是等腰三角形． 【解答】证明：（1）∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD=BC，AB=CD． 由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE， ∴AD=CE，AE=CD． 在△ADE 和△CED 中， ， ∴△ADE≌△CED（SSS）． （2）由（1）得△ADE≌△CED， ∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF， ∴EF=DF， ∴△DEF 是等腰三角形．