甘肃省2020届高三第一次高考诊断考试数学（文）试题

甘肃省2020届高三第一次高考诊断考试数学（文）试题

‎2020年甘肃省第一次高考诊断考试 文科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用并集的定义可求得集合.‎ ‎【详解】，，因此，.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查并集的计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2.已知：，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的乘法计算得出复数，再利用共轭复数的定义可求得复数.‎ ‎【详解】，因此，.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查共轭复数的计算，涉及复数乘法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3.某高中三个年级学生人数的比例如图所示，先采用分层抽样的办法从高一、高二、高三共抽取人参加“全面依法治国”知识竞赛，则高二年级应抽取人数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用总人数乘以高二学生所占的比例可求得结果.‎ ‎【详解】由题意可知，高二学生所占的比例为，所以，高二年级应抽取人数为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用扇形统计图计算频数，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎4.已知平面向量，满足，，且，则（ ）‎ A. 3 B. C. D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 先求出，再利用求出，再求.‎ ‎【详解】解：‎ 由，所以 ‎，‎ ‎，，‎ 故选：B ‎【点睛】考查向量的数量积及向量模的运算，是基础题.‎ ‎5.已知双曲线的一个焦点为，则其渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的一个焦点坐标求出的值，进而可得出双曲线的渐近线方程.‎ ‎【详解】由于双曲线的一个焦点为，则，‎ 双曲线的标准方程为，其渐近线方程为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，同时也考查了利用双曲线的焦点坐标求参数，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎6.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式和二倍角公式得出，利用弦化切思想可求得结果.‎ ‎【详解】.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查三角求值，涉及诱导公式、二倍角公式以及弦化切思想的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎7.为了弘扬中国优秀传统文化，某班打算召开中国传统节日主题班会，在春节、清明节、端午节、中秋节、重阳节中随机选取两个节日来学习其文化内涵，其中中秋节被选中的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将春节、清明节、端午节、中秋节、重阳节分别记为、、、、，列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.‎ ‎【详解】将春节、清明节、端午节、中秋节、重阳节分别记为、、、、，‎ 从上述五个节日中任取两个节日，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共种情况，‎ 其中，事件“中秋节被选中”所包含的基本事件有：、、、，共种情况，‎ 因此，所求事件的概率为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎8.已知，，，则、、的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.‎ ‎【详解】对数函数在上为增函数，则；‎ 指数函数在上为增函数，则，即；‎ 对数函数在上为增函数，则.‎ 因此，.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎9.已知抛物线经过点，焦点为，则直线的斜率为（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，再求焦点坐标，最后求的斜率 ‎【详解】解：抛物线经过点 ‎，，‎ ‎，，‎ 故选：A ‎【点睛】考查抛物线的基础知识及斜率的运算公式，基础题.‎ ‎10.侧棱长与底面边长都相等的四棱锥中，若为侧棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出图形，连接、交于点，连接，可得出异面直线与所成的角为，通过解三角形可求得，即可得解.‎ ‎【详解】设四棱锥的棱长为，连接、交于点，连接 ‎，如下图所示：‎ 则点为的中点，又为的中点，，‎ 所以，异面直线与所成的角为，‎ 且，，，‎ ‎，，则.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，一般通过平移直线法找出异面直线所成角，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎11.在中，角、、对边分别为、、，若，，且，则的周长是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知条件求出角的值，利用余弦定理求出、的值，由此可计算出的周长.‎ ‎【详解】，，‎ ‎，，则，，‎ ‎，，由余弦定理得，即，‎ ‎，，因此，周长是.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查三角形周长的计算，涉及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎12.若函数为奇函数（其中为常数），则不等式的整数解的个数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用奇函数的定义求得的值，可得出函数的解析式，并求出该函数的定义域，解不等式，进而可得出该不等式的整数解的个数.‎ ‎【详解】，，‎ 由于函数为奇函数，则，即，‎ ‎，则，解得，‎ ‎，‎ 解不等式，即，解得，‎ 由，可得，解得，‎ 因此，不等式的整数解的个数是.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查对数不等式的求解，同时也考查了利用函数的奇偶性求参数，在求解函数不等式时，不要忽略了函数定义域的求解，考查计算能力，属于中等题.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.曲线在处的切线方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出和的值，利用点斜式可求得所求切线的方程.‎ ‎【详解】，，，，‎ 因此，曲线在处的切线方程为，即.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14.实数，满足约束条件，则的最大值为__________.‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出可行域，根据目标函数截距可求.‎ ‎【详解】解：作出可行域如下：‎ 由得，平移直线，‎ 当经过点时，截距最小，最大 解得 的最大值为10‎ 故答案为：10‎ ‎【点睛】考查可行域画法及目标函数最大值的求法，基础题.‎ ‎15.设、是空间两条不同的直线，、是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：‎ ‎①若，，，则；‎ ‎②若，，，则；‎ ‎③若，，，则；‎ ‎④若，，，，则．‎ 其中正确的是__________（填序号）．‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用空间中直线与直线的位置关系可判断命题①的正误；利用面面垂直的性质定理以及线面平行的判定定理可判断命题②的正误；利用线面垂直的性质可判断命题③的正误；利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理可判断命题④的正误.综合可得出结论.‎ ‎【详解】对于命题①，若，，，则与平行、相交或异面，命题①错误；‎ 对于命题②，设，若，则存在，使得，则，‎ 又，则，，，命题②正确；‎ 对于命题③，，，则，又，则或，命题③错误；‎ 对于命题④，过直线作平面，使得，，，则，‎ ‎，则.‎ ‎，，，，，命题④正确.‎ 因此，正确命题的序号为②④.‎ 故答案为：②④.‎ ‎【点睛】本题考查空间中线面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎16.设函数时，若时，存在零点和极值点，则整数的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由计算出的取值范围，根据题意可得出关于实数的不等式，进而可得出整数的最小值.‎ ‎【详解】当时，，‎ 由于函数在区间上存在零点和极值点，‎ 则，可得，因此，整数的最小值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用正弦型函数的零点与极值点求参数，解答的关键就是求出的取值范围，考查计算能力，属于中等题.‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17.数列满足，是与的等差中项.‎ ‎（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）见解析，（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等差中项的定义得，然后构造新等比数列，写出的通项即可求 ‎（2）根据（1）的结果，分组求和即可 ‎【详解】解：（1）由已知可得，即，可化为，故数列是以为首项，2为公比的等比数列.‎ 即有，所以.‎ ‎（2）由（1）知，数列的通项为：，‎ 故.‎ ‎【点睛】考查等差中项的定义和分组求和的方法；中档题.‎ ‎18.某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了让健身馆会员参与的健身促销活动．‎ ‎（1）为了解会员对促销活动的兴趣程度，现从某周六参加该健身馆健身活动的会员中随机采访男性会员和女性会员各人，他们对于此次健身馆健身促销活动感兴趣的程度如下表所示：‎ 感兴趣 无所谓 合计 男性 女性 合计 根据以上数据能否有的把握认为“对健身促销活动感兴趣”与“性别”有关？‎ ‎（参考公式，其中）‎ ‎（2）在感兴趣的会员中随机抽取人对此次健身促销活动的满意度进行调查，以茎叶图记录了他们对此次健身促销活动满意度的分数（满分分），如图所示，若将此茎叶图中满意度分为“很满意”（分数不低于分）、“满意”（分数不低于平均分且低于分）、“基本满意”（分数低于平均分）三个级别．先从“满意”和“很满意”的会员中随机抽取两人参加回访馈赠活动，求这两人中至少有一人是“很满意”会员的概率．‎ ‎【答案】（1）没有的把握认为“健身促销活动感兴趣”与“性别”有关，理由见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算的观测值，结合临界值表可得出结论；‎ ‎（2）计算出这个数据的平均数，记这人中“满意”的人分别为、、、，“很满意”的人分别记为、，列举出所有的基本事件，并确定事件“这两人中至少有一人是“很满意”会员”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.‎ ‎【详解】解：（1）由列表可得：‎ ‎．‎ 所以没有的把握认为“健身促销活动感兴趣”与“性别”有关；‎ ‎（2）由茎叶图知，这个数据的平均数为．‎ 依题意这人中“满意”的有人，记为、、、，“很满意”的有人，记为、．‎ 从这人中任取人，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共个基本事件，‎ 记为从“满意”和“很满意”的会员中随机抽取两人至少有一人很满意，则中包含的基本事件有：、、、、、、、、，共个基本事件.‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题考查利用独立性检验的基本思想解决实际问题，同时也考查了古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎19.如图，正方体的棱长为，为棱的中点．‎ ‎（1）画出过点且与直线垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；‎ ‎（2）求点到该平面的距离．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接作出符合条件的截面即可；‎ ‎（2）设点到该平面的距离为，利用等体积法得出，进而求得的值.‎ ‎【详解】（1）截面如下图所示：其中、、、、分别为边、、、、‎ 的中点．‎ ‎（2）设点到该平面的距离为，‎ 则由可知，‎ 所以．‎ 因此，点到该平面的距离为.‎ ‎【点睛】本题考查截面的作法，同时也考查了利用等体积法计算点到平面的距离，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎20.椭圆的右焦点，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点的直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，若，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可知点在椭圆上，利用椭圆的定义可求得值，结合的值可求得的值，进而可求得椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设、，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由得出，结合韦达定理求得的值，再由三角形的面积公式可求得的面积.‎ ‎【详解】（1）依题意有，椭圆的焦点坐标为，且点在椭圆上，‎ 由椭圆的定义可得，‎ 即，，‎ 因此，椭圆的方程为；‎ ‎（2）设、，由，得．‎ 由题意直线的斜率存在，所以设直线的方程为，‎ 代入椭圆方程整理，得，‎ 所以，．‎ 将代入上式可得，，解得．‎ 所以的面积.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积的计算，涉及向量共线问题的求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎21.函数（且）．‎ ‎（1）若，判断函数的单调性；‎ ‎（2）当时，求证：的图象恒在函数的图象的下方．‎ ‎【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的定义域和导数，分别解不等式和可求得函数的增区间和减区间；‎ ‎（2）构造函数，利用导数证明出即可证得结论成立.‎ ‎【详解】（1）当时，函数的定义域为，‎ ‎，‎ 令，可得或；令，可得.‎ 因此，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；‎ ‎（2）令，其中，‎ ‎，‎ 当时，，此时函数单调递增；‎ 当时，，此时函数单调递减.‎ 所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，‎ 即，所以，恒成立，‎ 即当时，的图象恒在函数的图象的下方．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明不等式，考查计算能力与推理能力，属于中等题.‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求取得最大值时直线的直角坐标方程.‎ ‎【答案】（1）曲线，曲线（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）用和消去参数即得的极坐标方程；将两边同时乘以，然后由解得直角坐标方程.‎ ‎（2）过极点的直线的参数方程为，代入到和：中，表示出即可求解.‎ ‎【详解】解：由和，得 ‎，化简得 故：‎ 将两边同时乘以，得 因为，所以 得的直角坐标方程.‎ ‎（2）设直线的极坐标方程 由，得，‎ 由，得 故 当时，取得最大值 此时直线的极坐标方程为：，‎ 其直角坐标方程为：.‎ ‎【点睛】考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互相转化以及应用圆的极坐标方程中的几何意义求距离的的最大值方法；中档题.‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.已知函数，不等式的解集为.‎ ‎（1）求实数，的值；‎ ‎（2）若，，，求证：.‎ ‎【答案】（1），.（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分三种情况讨论即可 ‎（2）将，的值代入，然后利用均值定理即可.‎ ‎【详解】解：（1）不等式可化为.‎ 即有或或.‎ 解得，或或.‎ 所以不等式的解集为，故，.‎ ‎（2）由（1）知，，即，‎ 由，得，，‎ 当且仅当，即，时等号成立.故，即.‎ ‎【点睛】考查绝对值不等式的解法以及用均值定理证明不等式，中档题.‎