2020届二轮复习(文)第2部分专题1第1讲　三角函数的图象和性质学案

2020届二轮复习(文)第2部分专题1第1讲　三角函数的图象和性质学案

第 1 讲　三角函数的图象和性质 [做小题——激活思维] 1．已知 tan α＝－3 4 ，且 α 是第二象限角，那么 cos α 等于(　　) A.4 5 　　　　B．－4 5 　　　　C.3 5 　　　　D．－3 5 [答案]　B 2．函数 y＝tan 2x 的定义域是(　　) A.Error! B.Error! C.Error! D.Error! [答案]　D 3．(2019·济宁一模)若 sin x＝3sin(x－π 2)，则 cos x·cos(x＋π 2)＝(　　) A. 3 10 B．－ 3 10 C.3 4 D．－3 4 A　[由 sin x＝3sin(x－π 2)＝－3cos x，解得 tan x＝－3， 所以 cos xcos(x＋π 2)＝－sin xcos x＝－sin xcos x sin2x＋cos2x ＝ －tan x tan2x＋1 ＝ 3 10 ，故选 A.] 4．设函数 f(x)＝cos ωx(ω＞0)，将 y＝f(x)的图象向右平移π 3 个单位长度后， 所得的图象与原图象重合，则 ω 的最小值等于(　　) A.1 3 B．3 C．6 D．9 C　[由题意知π 3 ＝2π ω·k(k∈Z)，解得 ω＝6k，令 k＝1，即得 ωmin＝6.] 5．下列函数中同时具有以下性质的是(　　) ①最小正周期是 π；②图象关于直线 x＝π 3 对称；③在[－π 6，π 3]上是增函数；④ 图象的一个对称中心为( π 12，0). A．y＝sin(x 2 ＋π 6) B．y＝sin(2x＋π 3) C．y＝sin(2x－π 6) D．y＝sin(2x－π 3) [答案]　C [扣要点——查缺补漏] 1．同角三角函数基本关系式与诱导公式 (1)同角三角函数基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，sin α cos α ＝tan α (α ≠ π 2 ＋kπ，k ∈ Z)，如 T1. (2)诱导公式：角 k 2π±α(k∈Z)的三角函数口诀： 奇变偶不变，符号看象限，如 T3. 2．三角函数的图象及变换 (1)五点法作简图：y＝Asin(ωx＋φ)的图象可令 ωx＋φ＝0，π 2 ，π，3π 2 ，2π，求 出 x 的值，描出点作图． (2)图象变换：平移、伸缩、对称，如 T4. 特别提醒：由 y＝Asin ωx 的图象得到 y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移|φ ω | 个单位长度，而不是|φ|个单位长度． 3．三角函数的性质 (1)整体思想研究性质：对于函数 y＝Asin(ωx＋φ)，可令 t＝ωx＋φ，考虑 y＝ Asin t 的性质．如 T2，T5. (2)数形结合思想研究性质． 　三角函数的定义、诱导公式及基本关系(5 年 4 考) [高考解读]　高考对本部分内容的考查多以三角函数的定义、诱导公式、同 角三角函数关系式间的综合利用为主，且常与简单的三角恒等变换相结合. 1．(2018·全国卷Ⅰ)已知角 α 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重 合，终边上有两点 A(1，a)，B(2，b)，且 cos 2α＝2 3 ，则|a－b|＝(　　) A.1 5 　　　　B. 5 5 　　　　C.2 5 5 　　　　D．1 切入点：①终边上两点 A(1，a)，B(2，b)； ②cos 2α＝2 3. 关键点：用 A，B 两点坐标表示 α 的正切值 tan α，然后利用弦化切将 cos 2α ＝2 3 用|a－b|表示出来． B　[由题可知 cos α>0.因为 cos 2α＝2cos2α－1＝2 3 ，所以 cos α＝ 5 6 ，sin α＝ ± 1 6 ，得|tan α|＝ 5 5 .由题意知|tan α|＝a－b 1－2 ，所以|a－b|＝ 5 5 .] 2．(2017·全国卷Ⅲ)已知 sin α－cos α＝4 3 ，则 sin 2α＝(　　) A．－7 9 B．－2 9 C.2 9 D.7 9 切入点：sin α－cos α＝4 3. 关键点：利用平方关系 sin2α＋cos2α＝1 及倍角公式将 sin 2α 用 sin α－cos α 表示出来． A　[∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝(4 3 ) 2 ＝16 9 ，∴sin 2α＝ －7 9. 故选 A.] [教师备选题] 1．(2014·全国卷Ⅰ)若 tan α>0，则(　　) A．sin 2α>0　 B．cos α>0 C．sin α>0 D．cos 2α>0 A　[利用 tan α>0，求出角 α 的象限，再判断． ∵tan α>0，∴α∈(kπ，kπ＋π 2)(k∈Z)是第一、三象限角． ∴sin α，cos α 都可正、可负，排除 B，C. 而 2α∈(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)， 结合正、余弦函数图象可知，A 正确． 取 α＝π 4 ，则 tan α＝1>0，而 cos 2α＝0，故 D 不正确．] 2．(2018·浙江高考)已知角 α 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴 重合，它的终边过点 P(－3 5，－4 5). (1)求 sin(α＋π)的值； (2)若角 β 满足 sin(α＋β)＝ 5 13 ，求 cos β 的值． [解]　(1)由角 α 的终边过点 P(－3 5，－4 5) 得 sin α＝－4 5 ， 所以 sin(α＋π)＝－sin α＝4 5. (2)由角 α 的终边过点 P(－3 5，－4 5)， 得 cos α＝－3 5. 由 sin(α＋β)＝ 5 13 ，得 cos(α＋β)＝±12 13. 由 β＝(α＋β)－α， 得 cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以 cos β＝－56 65 或 cos β＝16 65. 三角函数求值与化简的 3 种方法 (1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin α cos α 化成正弦、余弦； (2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ 进行变形、转化； (3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan π 4. 1．(同角三角函数基本关系式的应用)若 sin α＝－ 5 13 ，且 α 为第四象限角， 则 tan α 的值等于(　　) A.12 5 　　　　B．－12 5 　　　　C. 5 12 　　　　D．－ 5 12 D　[∵sin α＝－ 5 13 ，α 为第四象限角， ∴cos α＝ 1－sin2α＝12 13 ，∴tan α＝sin α cos α ＝－ 5 12.故选 D.] 2．(三角函数的定义与诱导公式的应用)在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 与 角 β 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称．若 sin α＝1 3 ，则 sin β＝ ________. 1 3 　[由角 α 与角 β 的终边关于 y 轴对称，可得 β＝(2k＋1)π－α，k∈Z，∵sin α＝1 3 ，∴sin β＝sin[(2k＋1)π－α]＝sin α＝1 3.] 3．[新题型](同角三角函数基本关系式及其应用)已知 sin α＋2cos α＝0，则 tan α＝________，2sin αcos α－cos2α＝________. －2　－1　[由 sin α＋2cos α＝0 得 tan α＝－2. ∴2sin αcos α－cos2α＝2sin αcos α－cos2α sin2α＋cos2α ＝2tan α－1 tan2α＋1 ＝2 × (－2)－1 (－2)2＋1 ＝－5 5 ＝－1.] 4．(三角函数的意义与简单的三角恒等变换结合)在平面直角坐标系 xOy 中， 点 P(x0，y0)在单位圆 O 上，设∠xOP＝α，且 α∈(π 4，3π 4 ).若 cos(α＋π 4)＝－12 13 ， 则 x0 的值为________． －7 2 26 　[因为点 P(x0，y0)在单位圆 O 上，且∠xOP＝α，所以由三角函数的 定义知 x0＝cos α.因为 α∈(π 4，3π 4 )，所以 α＋π 4 ∈(π 2，π)，又 cos(α＋π 4)＝－12 13 ，所 以 sin(α＋π 4)＝ 5 13 ，所以 x0＝cos α＝cos[(α＋π 4)－π 4]＝cos(α＋π 4)cosπ 4 ＋sin(α＋π 4)sinπ 4 ＝－7 2 26 .] 　三角函数的图象及应用(5 年 3 考) [高考解读]　高考对该部分内容的考查主要有两种方式：(1)考查三角函数图 象变换；(2)由图定式并与三角函数的性质相结合.预计 2020 年还会这样考查. 1．(2019·全国卷Ⅱ)若 x1＝π 4 ，x2＝3π 4 是函数 f(x)＝sin ωx(ω＞0)两个相邻的极 值点，则 ω＝(　　) A．2　　　　B.3 2 　　　　C．1　　　　D.1 2 A　[由题意及函数 y＝sin ωx 的图象与性质可知， 1 2T＝3π 4 －π 4 ，∴T＝π，∴2π ω ＝π，∴ω＝2. 故选 A.] 2．(2016·全国卷Ⅰ)将函数 y＝2sin (2x＋π 6)的图象向右平移1 4 个周期后，所得 图象对应的函数为(　　) A．y＝2sin(2x＋π 4) B．y＝2sin(2x＋π 3) C．y＝2sin(2x－π 4) D．y＝2sin(2x－π 3) 切入点：①y＝2sin(2x＋π 6)； ②向右平移1 4 个周期． 关键点：y＝Asin(ωx＋φ)的图象平移规律． D　[先求出函数的周期，再根据函数图象的平移变换规律求出对应的函数解 析式． 函数 y＝2sin (2x＋π 6)的周期为 π，将函数 y＝2sin (2x＋π 6)的图象向右平移1 4 个 周期即π 4 个单位长度，所得图象对应的函数为 y＝2sin[2(x－π 4)＋π 6]＝2sin(2x－π 3)， 故选 D.] 3．(2015·全国卷Ⅰ)函数 f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则 f(x)的单 调递减区间为(　　) A.(kπ－1 4，kπ＋3 4)，k∈Z B.(2kπ－1 4，2kπ＋3 4)，k∈Z C.(k－1 4，k＋3 4)，k∈Z D.(2k－1 4，2k＋3 4)，k∈Z 切入点：图象与 x 轴交于点(1 4，0)，(5 4，0). 关键点：逆用五点作图求解析式． D　[由已知图象可求得 ω 与 φ 的值，然后利用余弦函数的单调区间求解． 由题图知，周期 T＝2(5 4 －1 4)＝2， ∴2π ω ＝2，∴ω＝π. 由 π×1 4 ＋φ＝π 2 ＋2kπ，k∈Z，不妨取 φ＝π 4 ， ∴f(x)＝cos(πx＋π 4). 由 2kπ<πx＋π 4<2kπ＋π，得 2k－1 4 0，|φ| < π 2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： ωx＋φ 0 π 2 π 3π 2 2π x π 3 5π 6 Asin(ωx＋φ) 0 5 －5 0 (1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数 f(x)的解析式； (2)将 y＝f(x)图象上所有点向左平行移动π 6 个单位长度，得到 y＝g(x)图象， 求 y＝g(x)的图象离原点 O 最近的对称中心． [解]　(1)根据表中已知数据，解得 A＝5，ω＝2，φ＝－π 6 ，数据补全如下表： ωx＋φ 0 π 2 π 3π 2 2π x π 12 π 3 7π 12 5π 6 13 12π Asin(ωx＋φ) 0 5 0 －5 0 且函数解析式为 f(x)＝5sin(2x－π 6). (2)由(1)知 f(x)＝5sin(2x－π 6)， 因此，g(x)＝5sin[2(x＋π 6)－π 6]＝5sin(2x＋π 6). 因为 y＝sin x 的对称中心为(kπ，0)，k∈Z， 令 2x＋π 6 ＝kπ，k∈Z，解得 x＝kπ 2 － π 12 ，k∈Z， 即 y＝g(x)图象的对称中心为(kπ 2 － π 12，0)，k∈Z，其中离原点 O 最近的对称 中心为(－ π 12，0). 1．图象变换抓“实质” 图象变换的实质——点的坐标变换．三角函数图象的伸缩、平移变换，可以 利用两个函数图象上的两个特征点之间的对应确定变换的方式，一般选取与 y 轴 最近的最高点或最低点，当然也可以选取在原点右侧的第一个中心点，根据这些 点的坐标即可确定变换的方式、平移的长度与方向等． 2．由“图”定“式”找“对应” 由三角函数的图象求解析式 y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)中参数的值， 关键是把握函数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法” 作图． (1)最值定 A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为 M，最小值为 m，则 M＝A＋B，m＝－A＋B，解得 B＝M＋m 2 ，A＝M－m 2 . (2)T 定 ω：由周期的求解公式 T＝2π ω ，可得 ω＝2π T . (3)点坐标定 φ：一般运用代入法求解 φ 值，在求解过程中，可以代入图象上 的一个已知点(此时 A，ω，B 已知)，也可代入图象与直线 y＝B 的交点(此时要注 意交点在上升区间上还是在下降区间上)．注意在确定 φ 值时，往往以寻找“五 点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”，利用“中 心点”时要注意其所在单调区间的单调性，避免产生增解． 1．(图象变换)为了得到函数 y＝2cos 2x 的图象，可以将函数 y＝cos 2x－ 3 sin 2x 的图象(　　) A．向左平移π 6 个单位长度 B．向右平移π 6 个单位长度 C．向左平移π 3 个单位长度 D．向右平移π 3 个单位长度 B　[因为 y＝cos 2x－ 3sin 2x＝2cos(2x＋π 3)＝2cos[2(x＋π 6)]，所以要得到函 数 y＝2cos 2x 的图象，可以将函数 y＝cos 2x－ 3sin 2x 的图象向右平移π 6 个单位 长度，故选 B.] 2．(由图定式)已知函数 f(x)＝－2cos ωx(ω＞0)的图象向左平移 φ (0＜φ＜π 2) 个单位，所得的部分函数图象如图所示，则 φ 的值为(　　) A.π 6 B.5 6π C. π 12 D. 5 12π C　[由题图知，T＝2(11π 12 －5π 12)＝π， ∴ω＝2π T ＝2，∴f(x)＝－2cos 2x， ∴f(x＋φ)＝－2cos(2x＋2φ)， ∴f(5π 12 ＋φ)＝－2cos(5π 6 ＋2φ)＝2， 故5π 6 ＋2φ＝π＋2kπ(k∈Z)， ∴φ＝ π 12 ＋kπ(k∈Z)． 又 0＜φ＜π 2 ，∴φ＝ π 12.故选 C.] 3．(由图定式与三角函数性质的综合问题)已知 P(1 2，2)是函数 f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A＞0，ω＞0)图象的一个最高点，B，C 是与 P 相邻的两个最低点．若|BC|＝ 6，则 f(x)的图象的对称中心可以是(　　) A．(0,0) B．(1,0) C．(2,0) D．(3,0) C　[由题设知，A＝2，函数 f(x)的最小正周期为 6，所以2π ω ＝6，解得 ω＝π 3 ， 所以 f(x)＝2sin(π 3x＋φ)，将 P (1 2，2)代入，可得 2sin(π 6 ＋φ)＝2，故可取 φ＝π 3 ，所 以 f(x)＝2sin(π 3x＋π 3)，令 π 3x＋π 3 ＝kπ(k∈Z)，可得 x＝3k－1(k∈Z)，结合选项，可 知 C 正确，故选 C.] 4．(图象与解析式)已知 ω＞0，在函数 y＝2sin ωx 与 y＝2cos ωx 的图象的交 点中，距离最短的两个交点的距离为 2 3，则 ω＝________. π 2 　[由Error!消去 y，得 sin ωx－cos ωx＝0，即 2sin(ωx－π 4)＝0，解得 x＝kπ ω ＋ π 4ω ，k∈Z. 取 k＝0,1，可得距离最短的两个交点的坐标为( π 4ω， 2)，(5π 4ω，－ 2)，又两 交点的距离为 2 3，所以 ( π 4ω －5π 4ω) 2 ＋( 2＋ 2)2＝(2 3)2，解得 ω＝π 2.] 　三角函数的性质及应用(5 年 9 考) [高考解读]　高考对该部分的考查多与三角恒等变换相结合，考查三角函数 的周期性、单调性和最值问题，预计 2020 年将会延续上述命题规律. 1．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　) A．f(x)的最小正周期为 π，最大值为 3 B．f(x)的最小正周期为 π，最大值为 4 C．f(x)的最小正周期为 2π，最大值为 3 D．f(x)的最小正周期为 2π，最大值为 4 切入点：对 f(x)＝2cos2x－sin2x＋2 恒等转化． 关键点：将函数解析式转化为 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B 的形式． B　[易知 f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝3×1＋cos 2x 2 ＋1＝3 2cos 2x＋5 2 ， 则 f(x)的最小正周期为 π，最大值为 4.] 2．[一题多解](2018·全国卷Ⅱ)若 f(x)＝cos x－sin x 在[0，a]是减函数，则 a 的最大值是(　　) A.π 4 　　　B.π 2 　　　C.3π 4 　　　D．π 切入点：①f(x)＝cos x－sin x；②减函数． 关键点：将解析式化为 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式． C　[法一：f(x)＝cos x－sin x＝ 2cosx＋π 4.当 x∈[0，a]时，x＋π 4 ∈π 4 ，a＋π 4 ， 所以结合题意可知，a＋π 4 ≤π，即 a≤3π 4 ，故所求 a 的最大值是3π 4 .故选 C. 法二：f′(x)＝－sin x－cos x＝－ 2sinx＋π 4.于是，由题设得 f′(x)≤0，即 sinx＋π 4 ≥0 在区间[0，a]上恒成立．当 x∈[0，a]时，x＋π 4 ∈π 4 ，a＋π 4 ，所以 a＋π 4 ≤π，即 a≤3π 4 ，故所求 a 的最大值是3π 4 .故选 C.] 3．[一题多解](2017·全国卷Ⅲ)函数 f(x)＝ 1 5sin(x＋π 3)＋cos (x－π 6)的最大值为 (　　) A.6 5 B．1 C.3 5 D.1 5 切入点：f(x)＝1 5sin(x＋π 3)＋cos(x－π 6). 关键点：利用三角恒等变换化简解析式为 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式． A　[法一(辅助角公式法)：∵f(x)＝1 5sin(x＋π 3)＋cos(x－π 6) ＝1 5(1 2sin x＋ 3 2 cos x)＋ 3 2 cos x＋1 2sin x ＝ 1 10sin x＋ 3 10 cos x＋ 3 2 cos x＋1 2sin x ＝3 5sin x＋3 3 5 cos x＝6 5sin(x＋π 3)， ∴当 x＝π 6 ＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值6 5. 故选 A. 法二(角度转换法)：∵(x＋π 3)＋(π 6 －x)＝π 2 ， ∴f(x)＝1 5sin(x＋π 3)＋cos(x－π 6) ＝1 5sin(x＋π 3)＋cos(π 6 －x) ＝1 5sin(x＋π 3)＋sin(x＋π 3) ＝6 5sin(x＋π 3)≤6 5. ∴f(x)max＝6 5. 故选 A.] 4．(2019·全国卷Ⅰ)函数 f(x)＝sin(2x＋3π 2 )－3cos x 的最小值为________． －4　[∵f(x)＝sin(2x＋3π 2 )－3cos x ＝－cos 2x－3cos x ＝－2cos2x－3cos x＋1， 令 t＝cos x，则 t∈[－1,1]， ∴f(x)＝－2t2－3t＋1. 又函数 f(x)图象的对称轴 t＝－3 4 ∈[－1,1]，且图像的开口向下，∴当 t＝1 时， f(x)有最小值－4.] [教师备选题] 1．(2017·天津高考)设函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中 ω>0，|φ|<π.若 f (5π 8 )＝2，f(11π 8 )＝0，且 f(x)的最小正周期大于 2π，则(　　) A．ω＝2 3 ，φ＝ π 12 　 B．ω＝2 3 ，φ＝－11π 12 C．ω＝1 3 ，φ＝－11π 24 D．ω＝1 3 ，φ＝7π 24 A　[∵f(5π 8 )＝2，f(11π 8 )＝0， ∴f(x)的最小正周期为 4(11π 8 －5π 8 )＝3π， ∴ω＝2π 3π ＝2 3 ，∴f(x)＝2sin(2 3x＋φ). ∵f(5π 8 )＝2， ∴2sin(2 3 × 5π 8 ＋φ)＝2， 得 φ＝2kπ＋ π 12 ，k∈Z. 又|φ|<π，∴取 k＝0，得 φ＝ π 12. 故选 A.] 2．(2018·北京高考)已知函数 f(x)＝sin2x＋ 3sin xcos x. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)若 f(x)在区间[－π 3，m]上的最大值为3 2 ，求 m 的最小值． [解]　(1)f(x)＝sin2x＋ 3sin xcos x ＝1 2 －1 2cos 2x＋ 3 2 sin 2x ＝sin(2x－π 6)＋1 2. 所以 f(x)的最小正周期为 T＝2π 2 ＝π. (2)由(1)知 f(x)＝sin(2x－π 6)＋1 2. 由题意知－π 3 ≤x≤m. 所以－5π 6 ≤2x－π 6 ≤2m－π 6. 要使得 f(x)在[－π 3，m]上的最大值为3 2 ， 即 sin (2x－π 6)在[－π 3，m]上的最大值为 1. 所以 2m－π 6 ≥π 2 ，即 m≥π 3. 所以 m 的最小值为π 3. 函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 的性质及应用的求解思路 第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成 y＝ Asin(ωx＋φ)＋B 的形式； 第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求 y＝Asin(ωx＋φ)＋ B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题. 1．[一题多解](求函数的单调区间)已知函数 f(x)＝ 3sin x－cos x，则 f(x)的 单调递增区间是(　　) A.[2kπ－π 6，2kπ＋π 6](k∈Z) B.[2kπ－π 3，2kπ＋2π 3 ](k∈Z) C.[2kπ－2π 3 ，2kπ＋π 3](k∈Z) D.[2kπ－π 6，2kπ＋5π 6 ](k∈Z) B　[法一：由已知，得 f(x)＝2( 3 2 sin x－1 2cos x)＝2sin(x－π 6)，由 2kπ－π 2 ≤x －π 6 ≤2kπ＋π 2(k∈Z)，得 2kπ－π 3 ≤x≤2kπ＋2π 3 (k∈Z)，所以 f(x)的单调递增区间为 [2kπ－π 3，2kπ＋2π 3 ](k∈Z)，故选 B. 法二：由已知，得 f(x)＝2( 3 2 sin x－1 2cos x)＝－2cos(x＋π 3)，由 2kπ≤x＋π 3 ≤2kπ＋π(k∈Z)，得 2kπ－π 3 ≤x≤2kπ＋2π 3 (k∈Z)，所以 f(x)的单调递增区间为 [2kπ－π 3，2kπ＋2π 3 ](k∈Z)，故选 B.] 2．(已知函数的单调区间求参数)已知函数 f(x)＝sin 2x＋2sin2x－1 在[0，m] 上单调递增，则 m 的最大值是(　　) A.π 4 　　　　B.π 2 　　　　C.3π 8 　　　　 D．π C　[由题意，得 f(x)＝sin 2x－cos 2x＝ 2sin(2x－π 4)，由－π 2 ＋2kπ≤2x－π 4 ≤ π 2 ＋2kπ(k∈Z)，解得－π 8 ＋kπ≤x≤3π 8 ＋kπ(k∈Z)，k＝0 时，－π 8 ≤x≤3π 8 ，即函数 f(x) 在[－π 8，3π 8 ]上单调递增．因为函数 f(x)在[0，m]上单调递增，所以 0＜m≤3π 8 ， 即 m 的最大值为3π 8 ，故选 C.] 3．(求函数的值域或最值)若函数 f(x)＝sin(2x＋φ)(|φ|＜π 2)的图象向左平移π 6 个 单位后关于原点对称，则函数 f(x)在[0，π 2]上的最小值为(　　) A．－ 3 2 B．－1 2 C.1 2 D. 3 2 A　[函数 f(x)＝sin(2x＋φ)向左平移π 6 个单位得 y＝sin[2(x＋π 6)＋φ]＝sin (2x＋π 3 ＋φ)，又其为奇函数，故π 3 ＋φ＝kπ，k∈Z，解得 φ＝kπ－π 3 ，又|φ|＜π 2 ，令 k＝0，得 φ＝－π 3 ，∴f(x)＝sin(2x－π 3). 又∵x∈[0，π 2]， ∴2x－π 3 ∈[－π 3，2 3π]，∴sin(2x－π 3)∈[－ 3 2 ，1]， 当 x＝0 时，f(x)min＝－ 3 2 ，故选 A.] 4．(函数性质的综合问题)将函数 f(x)＝2sin(π 6 ＋2x)－2cos 2x 的图象向左平移 π 6 个单位长度，得到 y＝g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　) A．函数 g(x)的最小正周期为 2π B．函数 g(x)的最小值为－1 C．函数 g(x)的图象关于 x＝π 6 对称 D．函数 g(x)在[2π 3 ，π]上单调递减 C　[函数 f(x)＝2×( 3 2 sin 2x＋1 2cos 2x)－2cos 2x＝ 3sin 2x＋cos 2x－2cos 2x＝ 3sin 2x－cos 2x＝2sin(2x－π 6)，将函数 f(x)的图象向左平移π 6 个单位长度得 y ＝g(x)＝2sin[2(x＋π 6)－π 6]＝2sin (2x＋π 6)的图象，则函数 g(x)的最小正周期 T＝2π 2 ＝π，g(x)的最小值为－2，g(x)的图象的对称轴为 2x＋π 6 ＝π 2 ＋kπ(k∈Z)，即 x＝π 6 ＋ kπ 2 (k∈Z)，当 k＝0 时，x＝π 6 为 g(x)的图象的一条对称轴，令π 2 ＋2kπ≤2x＋π 6 ≤3π 2 ＋ 2kπ(k∈Z)，解得π 6 ＋kπ≤x≤2π 3 ＋kπ(k∈Z)，当 k＝0 时，函数 g(x)在[π 6，2π 3 ]上单 调递减，故选 C.]