北大附中高考数学专题复习极限经点答疑二
学科：数学
教学内容：极限经点答疑（二）
例2 用定义证明
规范证法 设,对于任意给定的ε>0，要使,只要就可以了．因此，对于任意给定的ε>0，取,则当|x|>M时，
有时，我们还需要区分x趋于无穷大的符号．如果x从某一时刻起，往后总是取正值而且无限增大．则称x趋于正无穷大，记作x→+∞，此时定义中，|x|>M可改写为x>M，如果x从某一时刻起，往后总取负值且|x|无限增大，则称x趋于负无穷大，记作x→-∞，此时定义中的|x|>M可改写成x<-M．
例3
思路启迪 根据定义，要证即证对于任意给定的ε>0，总存在M>O，使当x>M时，即可．
规范证法 设对任意给定的ε>0，要使
，只要，即就可以了．因此，对于任意给定的1>ε>0，取,则当x>M时，恒成立，所以
当x→∞时，f(x)以A为极限的几何意义是：对于任意给定的正数ε(无论多么小)，在坐标平面上作两平行直线y=A-ε与y=A+ε，两直线之间形成一个带形区域．不论ε多么小，即不论带形区域多么狭窄，总可以找到M>0，当点(x，f(x))的横坐标x进入区间(-∞，-M)U(M，+∞)时，纵坐标f(x)全部落入区间(A-ε,A+ε)内．此时y=f(x)的图形处于带形区域内．ε越小，则带形区域越狭窄，如图2—7所示．
8．什么是函数左极限与右极限?
前面讲了时函数f(x)的极限，在那里x是以任意方式趋于的．但是，有时我们还需要知道x仅从的左侧或仅从的右侧趋于时，f(x)的变化趋势．于是，就要引进左极限与右极限的概念．
例如，函数，图形见图2-8．
容易观察出，当x从0的左侧趋于0时,f(x)趋于1；而当x从0的右侧趋于0时，f(x)趋于0．我们分别称它是x趋于0时的左极限与右极限．
再考察当x趋于0时的极限．由于函数的定义域为[0，+∞)因此只能考察其右极限．对,由于其定义域为(-∞，0]，因此，当x趋于0时，只能考察其左极限．
定义：如果当x从的左侧趋于时，f(x)以A为极限，即对于任意给定的ε>0，总存在一个正数δ，使时，恒成立，则称A为时f(x)的左极限.记作或如果当x从的右侧趋于时，f(x)以A为极限，即对于任意给定的ε>0，总存在—个正数δ，使当时，|f(x)-A|<ε恒成立，则称A为时f(x)的右极限，记作或
根据左、右极限的定义，显然可以得到下列定理．
例1 设
思路启迪 要看当x→0时，f(x)的极限是否存在，就应先求出x→0时f(x)的左、右极限，并看f(x)的左、右极限是否相等．若相等，则极限存在；反之，则极限不存在．
规范解法 当x<0时，；而当x≥0时，．左、右极限都存在，但不相等．所以，由上面的定理可知，不存在．
例2 研究当x→0时，f(x)=|x|的极限．
思路启迪 因为f(x)=|x|，所以应对f(x)分情况讨论，得到f(x)为一个分段函数，再按照例1的方法讨论f(x)的极限．
规范解法 已知，可以证明，，所以，由上面的定理得
9．怎样计算函数的极限?
要计算函数的极限，需知道函数极限的运算法则，它们的证明完全和数列的情形相仿．
函数极限的四则运算法则：
如果那么
．这些法则对于x→∞时的情况仍然成立．由以上法则易得(C是常数)，(n是正整数)．利用这些法则求下面几个函数的极限．
例1 求
思路启迪 由于该极限中的每一项都存在极限，所以可以用极限四则运算法则中和式的极限等于极限的和来计算．
规范解法
点评 若极限式各项中，有一项或几项的极限不存在，就不能直接利用函数极限的四则运算法则来做．
例2 求
思路启迪 与例1类似．
规范解法 因为
点评 由例1,例2可以看出:若f(x)为多项式函数或当时分母极限不为0
的分式函数,根据极限运算法则可以得出
例3 求
思路启迪 将分子分母同除以,使分子分母的极限存在．
规范解法 将分子分母同除以,得
例4 求
思路启迪 将分子有理化,使分子分母极限存在．
例5 已知
求
思路启迪 要求,应先看其左,右极限,比较两极限是否相同,若相同,则极限为其左,右极限值,若不相同,则极限不存在．
10．什么是函数两个重要极限?
证明:首先证明如下图2-9, 是以点Ｏ为心,半径为1的圆弧，过A作圆弧的切线与OB的延长线交于点C．设∠DOB=x(按弧度计算)，则显然，△AOB的面积<扇形AOB的面积<△AOC的面积．即或sinx
0除之，得或.∵，
∴(根据夹挤定理，参看后面知识链接部分第4个问题中的方法1)．
其次，当x<0时，设x=-y,当时，有，则
例1 求
思路启迪 将tanx写成，代回原式，使之出现这个重要极限．
规范解法
例2 求
思路启迪 将kx看成一个新变量t，即令t=kx，则x→0时，t→0．
规范解法
例3 求
思路启迪 先将1-cosx用半角公式化成，就可以利用特殊极限
规范解法
注意：我们在利用时，一定要注意x的趋向形式，x是趋向于0的，若x是趋向于无穷的或者x是趋向于除0以外的其他值，则该极限等式就不一定成立了．
下面大家来看另一重要极限
我们先讨论x→+∞的情形．因[x]≤x<[x]+1,[注：“[ ]”是取整数符号，在y=[x]中，对任意的x∈R，对应的y是不超过x的最大整数．例如:[2.5]=2,[3]=3,[0]=0,[-π]=-4,故，而，但由于，而x→+∞时，[x]取正整数值而趋于+∞，所以从
和
，得到和．由极限性质即得到
．再证，作代换x=-y，则
．但x→-∞时，y-1→+∞，上式右端以e为极限，所以左端也以e为极限．证毕．
例4 求
思路启迪 先把极限式变形,使之变成可以利特殊极限的形式．
规范解法
11．什么是函数的连续性?
现实世界中很多变量的变化是连续不断的，如气温、物体运动的路程，金属丝加热时长度的变化等等，都是连续变化的．这种现象反映在数学上就是函数的连续性，它是微积分的又一重要概念．
下面我们先引入函数改变量的概念与记号．
函数改变量(或称函数增量)．
定义：设变量t从它的初值改变到终值,终值与初值之差称为变量t的改变量，
[注：改变量可以是正的，也可以是负的．]
设有函数y=f(x)，给自变量x一个改变量△x，当自变量x从改变到时，函数y相应的改变量为△y．如图2-10所示，△y为：
对于函数y=f(x)定义域内一点，如果自变量x在点处取得极其微小的改变量△x时，函数y相应的改变量△y也极其微小，且当△x趋于0时，△y也趋于0，则称函数y=f(x)在点处是连续的．如图2-11．而对图2-12来说，在点处不满足这个条件，所以，它在点处不连续．
下面给出函数在一点处连续的定义．
定义：设函数y=f(x)在点的某个邻域内有定义，如果当自变量x在点
处取得改变量△x趋于0时，函数相应的改变量△y也趋于0，即或写作，则称函数f(x)在点处连续．
例1 证明函数
思路启迪 要证
规范证法 当x从处产生一个改变量△x时，函数相应改变量为因为，所以在给定点处连续.
在上面的定义中，令，则，那么当时，必有，且,因而可以写为即因此,函数在点处连续,也可以如下定义:
设函数y=f(x)在点的某个邻域内有定义,如果时,函数f(x)的极限存在,而且等于f(x)在点处的函数值,即有,则称函数f(x)在点处连续．
因此,求连续函数在某点的极限,只须求出函数在该点的函数值即可．前面例1已证明在点处连续,故有
例2 证明正弦函数f(x)=sinx在R上连续．
思路启迪 要证f(x)=sinx在R上连续,只需证明对任意的
规范证法 对任意ε>0,解不等式
取δ≤ε,于是，对任意ε>0，总存在δ≤ε(其中δ>0)，当时，有，即正弦函数sinx在连续，因为是R上任意—点，所以正弦函数
sinx在R上是连续函数．同理可知，余弦函数cosx在R上也是连续函数．
12．什么是函数在一个区间上的连续性？
如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点连续，则称函数f(x)在开区间(a，b)上连续；如果函数f(x)在闭区间[a，b]内每一点(非端点)都连续，且函数f(x)在左端点a右连续，在右端点b左连续，则称函数f(x)在闭区间[a，b]上连续．一般地，对任何—个区间I，如果函数f(x)在区间I内的每一点(非端点)都连续，且当区间I含有端点时，函数f(x)在端点处单侧连续(在左端点指的是右连续，在右端点指的是左连续)，则称函数f(x)在区间I上连续．
例如，函数f(x)=sin x在区间(-∞,+∞)内每一点都是连续的，因而可说函数f(x)=sinx在区间(-∞,+∞)上连续．
又如，函数在区间[0，+∞)内的每一点(不包括端点x=0)都是连续的．又在区间的左端点x=0满足，则在x=0点右连续，因此可说函数在区间(0,+∞)上连续．利用连续函数的定义和性质，可以证明，—切基本初等函数在它们的定义域内都是连续的．
计算极限．若已知函数f(x)是初等函数，而a又属于函数f(x)的定义域，则函数f(x)在点a连续，根据连续定义，“”与“f”可交换次序，即，于是，计算连续函数f(x)在点a的极限就变成了计算函数f(x)在点a的函数值f(a)．
例
思路启迪 可以先将极限式的分子，分母分解，这就会出现重复项x-3．由于函数在点3的极限只与3附近点x的函数值变化有关与点3无关，即x≠3或x-3≠0，因此可以消去分子与分母中的公共因式x-3．
规范解法
13．求函数极限有哪些方法?
在某一极限过程中,参加极限四则运算的每一个极限都必须有相同的过程,而且每个极限都必须存在(分母不为零)才能运算．
我们通过下面几道题来总结一下求函数极限的方法．
例1 求
思路启迪 由于f(x)与g(x)是在的某邻域内有定义的初等函数,所以也是在的某邻域内有定义的初等函数．根据初等函数的连续性可求出该极限．
规范解法 由初等函数的连续性，得
例2 求
思路启迪 由于当x→2时,分子、分母的极限都存在，并且分母的极限不为0，所以可以将x→2直接代入分子、分母，根据初等函数的连续性，分别求出分子分母的极限，再求商即可．
规范解法
例3 求
思路启迪 由于将x→-2代入分母，可得分母极限为0，所以此题不能用直接入法．根据观察,可以将分子分母分解因式,都可以分解出极限为0的x+2,约去公因式即可求极限了．
规范解法
例4
思路启迪 因为，所以不能直接用求函数极限差的运算法则,可将函数通分变形后再求极限．
规范解法
例5 求
思路启迪 由于分子,分母的极限都是无穷大,所以分子、分母同除以最高次项，使分子、分母的极限都存在．
规范解法
点评 一般地
例6 求
思路启迪 求函数极限时，若碰到分子，分母中有根号的情形，经常会把分子或分母有理化，使原极限可求．
规范解法
例7 求
思路启迪 分子，分母中分别有，直接求极限不好求，可以采用变量规换的方法，令
规范解法
例8 求
思路启迪 出现
规范解法一
规范解法二
规范解法三
