【数学】天津市河北区2020届高三总复习质量检测（二）试题

【数学】天津市河北区2020届高三总复习质量检测（二）试题

天津市河北区2020届高三总复习质量检测（二）试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页．‎ 第Ⅰ卷（选择题 共45分）‎ 注意事项：‎ ‎ 1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。‎ ‎2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。‎ ‎3． 本卷共9小题，每小题5分，共45分。‎ 参考公式：‎ 如果事件A，B互斥，那么 P（A∪B）＝P（A）＋P（B）‎ 如果事件A，B相互独立，那么 P（AB）＝P（A）P（B）‎ 球的表面积公式 S＝‎ ‎ 球的体积公式 V＝‎ ‎ 其中R表示球的半径 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎（1）已知全集，集合，，则 ‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（2）命题“”的否定是 ‎ （A） （B）‎ （C） ‎ （D）‎ ‎（3）若复数（为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数的值为 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（4）袋子中有6个大小质地完全相同的球，其中1个红球，2个黄球，3个蓝球，从 中任取3个球，则恰有两种颜色的概率是 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（5）某班同学进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图如下，则图表中的p，a的值分别为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（A），20 （B），40 ‎ ‎（C），60 （D），80 ‎ ‎ ‎ ‎（6）已知双曲线和直线，若过双曲线的左焦点和点的直线与直线平行，则双曲线的离心率为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ （7） 已知抛物线的焦点为，准线为，直线交抛物线于 ‎，两点，过点作准线的垂线，垂足为，若等边的面积为，‎ 则的面积为 ‎（A） （B） ‎ ‎（C）16 （D）‎ ‎（8）已知函数，则 ‎ ‎ （A）的最小正周期为 （B）的图象关于点对称 ‎ ‎ （C）的最大值为 （D）的图象关于直线对称 ‎ （9） 已知函数，若有两个零点，‎ 则下列选项中不正确的是 ‎ ‎ （A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ 河北区2019－2020学年度高三年级总复习质量检测（二）‎ 数 学 第Ⅱ卷 注意事项：‎ ‎ 1． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。‎ ‎2． 用黑色墨水的钢笔或签字笔答在答题纸上。‎ ‎3． 本卷共11小题，共105分。‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 请将答案 写在答题纸上.‎ ‎（10）二项式的展开式中的常数项为 ． ‎ ‎（11）圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的 圆的方程为 ．‎ ‎ ‎ ‎（12）曲线在点处的切线的斜率为 ，在该点处的切线 方程为 ． ‎ ‎（13）已知，且，则的最小值为______________． ‎ ‎（14）在平行四边形中，已知，，，若， ‎ ‎，则 ． ‎ ‎（15）已知函数 若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围是 ． ‎ 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ 得 分 评卷人 ‎（16）（本小题满分14分）‎ 已知的内角的对边分别为，满足 ‎．‎ ‎ （Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，求的值；‎ ‎（Ⅲ）若的面积为，，求的周长．‎ 得 分 评卷人 ‎（17）（本小题满分15分）‎ ‎ 如图，直三棱柱的所有棱长都是2，，分别是，的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面； ‎ ‎ （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎ （Ⅲ）求二面角的余弦值．‎ 得 分 评卷人 ‎（18）（本小题满分15分）‎ ‎ 已知数列的前项和为，且，．‎ ‎ （Ⅰ）证明：数列是等比数列；‎ ‎ （Ⅱ）若，，求数列的前项和．‎ 得 分 评卷人 ‎（19）（本小题满分15分）‎ ‎ 已知椭圆的短轴长为，离心率为．‎ ‎ （Ⅰ）求椭圆的方程； ‎ ‎（Ⅱ）设椭圆的左，右焦点分别为，，左，右顶点分别为，，点，为椭圆上位于轴上方的两点，且，记直线，的斜率分别为， ，若，求直线的方程． ‎ 得 分 评卷人 ‎（20）（本小题满分16分）‎ ‎ 已知函数，其中．‎ ‎ （Ⅰ）若为单调递减函数，求的取值范围；‎ ‎ （Ⅱ）若有两个不同的零点，求的取值范围．‎ ‎ ‎ 参考答案 一、 选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．‎ 题号 ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ ‎（5）‎ ‎（6）‎ ‎（7）‎ ‎（8）‎ ‎（9）‎ 答案 B C A D ‎ C ‎ A B D B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎ （10）15； （11），或；‎ ‎ （12），； （13）； （14）； ‎ ‎（15），或．‎ 三、 解答题：本大题共5小题，共75分．‎ ‎（16）（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）∵，‎ 由余弦定理得，． .…….……2分 化简得，． .…….……3分 ‎∴． .…….……4分 又，‎ ‎∴． .…….……5分 ‎（Ⅱ）由已知得，． .…….……6分 ‎ ‎ ∴， ‎ ‎ ． .…….……8分 ‎∴． .…….……10分 ‎ ‎ （Ⅲ）∵，‎ ‎ ∴． .…….……12分 ‎ 由余弦定理得，． ‎ 解得． ‎ ‎∴的周长为． .…….……14分 （17） ‎（本小题满分15分）‎ 证明：（Ⅰ）取的中点，连接．‎ ‎ 由题意，易证，，两两垂直．‎ 以为坐标原点，以，，所 在直线分别为轴，轴，轴建立如 图所示的空间直角坐标系， ‎ 则，，，‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎． .…….……2分 ‎ ‎∵，，‎ ‎∴，． .…….……4分 ‎ 又，‎ ‎∴平面． .…….……5分 ‎ 解：（Ⅱ）由（Ⅰ）可得平面的法向量． .…….……7分 ‎ ．‎ 设直线与平面所成的角为．‎ ‎∵，‎ ‎ ∴直线与平面所成角的正弦值为． .…….……10分 ‎（Ⅲ）设平面的法向量． ‎ ‎ ∵，‎ ‎ ∴ 即 ‎ 不妨取，得． .…….……12分 ‎ 设二面角的平面角为．‎ ‎∵，‎ ‎∴二面角的余弦值为． .…….……15分 （17） ‎（本小题满分15分） ‎ 证明：（Ⅰ）当时，，∴． .…….……1分 ‎ 当时，，‎ ‎ ， .…….……2分 ‎ ‎∴，即． .…….……4分 ‎ 从而，即． .…….……6分 ‎ 又，‎ ‎∴数列是以1为首项，3为公比的等比数列． .…….……7分 解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即． .…….……9分 ‎ ∴． .…….……11分 ‎ ‎ ‎（19）（本小题满分15分）‎ 解：（Ⅰ）由题意可知， ‎ ‎ 又， .…….……3分 解得，，．‎ ‎ ∴椭圆的方程为 ． .…….……5分 ‎  （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，，，．‎ ‎ 设直线的方程为． .…….……6分 ‎ ‎ 记直线与椭圆的另一交点为．‎ ‎ 设，．‎ ‎∵，‎ 由对称性得，． ‎ 由 消去，整理得． .…….……7分 ‎∵，‎ ‎ ∴，． ① .…….……9分 由， ‎ 得，即． ② .…….……11分 ‎ 由①②，解得，． .…….……13分 ‎ ‎ ∵，‎ ‎ ∴． ‎ ‎ ∴． ‎ 解得． .…….……14分 ‎ ‎∴直线的方程为，即． .…….……15分 ‎ ‎（20）（本小题满分16分）‎ 解：（Ⅰ）函数的定义域为． .…….……1分 ‎∵， ‎ ‎∴． .…….……2分 若函数为单调递减函数， ‎ 则． ‎ ‎∴ 对恒成立． .…….……4分 ‎ 设． ‎ 令，‎ 解得． ‎ ‎∴．‎ ‎∵函数在单调递减，在单调递增， ‎ ‎∴函数的最小值为． .…….……6分 ‎∴，即的取值范围是． .…….……7分 ‎（Ⅱ）由已知，． ‎ 设，‎ 则函数有两个不同的零点等价于函数有两个不同的零点． ‎ ‎∵， .…….……8分 ‎ ‎∴（1）当时，‎ 函数在单调递减，在单调递增． ‎ 若函数有两个不同的零点，‎ 则，即．‎ 当时， ‎ 当时，． ‎ 当时，，‎ ‎∵，‎ ‎∴． ‎ ‎∴．‎ ‎∴函数在，上各有一个零点．‎ 故符合题意． .…….……11分 （2） 当时，‎ ‎∵函数在单调递减，‎ ‎∴函数至多有一个零点，不符合题意． .…….……12分 ‎ （3） 当时，‎ ‎∵函数在单调递减，在单调递增，在单调递减，‎ ‎∴函数的极小值为．‎ ‎∴函数至多有一个零点，不符合题意． .…….……14分 ‎ （4） 当时，‎ ‎∵函数在单调递减，在单调递增，在单调递减，‎ ‎∴函数的极小值为．‎ ‎∴函数至多有一个零点，不符合题意． ‎ 综上，的取值范围是． .…….……16分 ‎ 注：其他解法可参照评分标准酌情给分