山东省青岛市2020届高三自主检测数学试卷 Word版含解析

山东省青岛市2020届高三自主检测数学试卷 Word版含解析

- 1 - 青岛市 2020年高三自主检测数学试题 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1.若复数 3 2 1 iz i   （i为虚数单位），则复数 z在复平面上对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】 先利用复数的四则运算得到 1z i   ，从而得到复数对应的点，故可得正确的选项. 【详解】    3 2 12 2 1 1 1 1 (1 ) i ii iz i i i i i            ， 复数 z在复平面上对应的点为  1,1 ，该点在第二象限， 故复数 z在复平面上对应的点所在的象限为第二象限， 故选：B. 【点睛】本题考查复数的四则运算以及复数的几何意义，注意复数的除法是分子分母同乘以 分母的共轭复数，本题属于基础题. 2.已知全集U  R，集合  2 0M x R x x    ，集合  cos ,N y R y x x R    ，则  UM N ð （ ） A.  1,0 B.  0,1 C.  , 0 D.  【答案】A 【解析】 【分析】 化简集合M，N，根据集合的交集、补集运算求解即可. 【详解】  2 0 [0,1]M x R x x     ,  cos , [ 1,1]N y R y x x R      , ( ,0) (1, )UM   Uð ,    1,0UM N   ð , - 2 - 故选：A 【点睛】本题主要考查了集合的交集、补集运算，考查了一元二次不等式，余弦函数，属于 容易题. 3.如图是一个 2 2 列联表，则表中 a、b处的值分别为（ ） 1y 2y 总计 1x b 21 e 2x c 25 33 总计 a d 106 A. 96，94 B. 60，52 C. 52，54 D. 50，52 【答案】B 【解析】 【分析】 根据表格中的数据可先求出 d 、 c的值，再结合总数为106可分别求得 a和b的值. 【详解】由表格中的数据可得 33 25 8c    ， 21 25 46d    ， 106 46 60a    ， 60 8 52b    . 故选：B. 【点睛】本题考查列联表的完善，考查计算能力，属于基础题. 4.若直线 2 1 : 3 2 0l a x y   ， 2 : 2 5 0l ax y a   ． : 0p a  ， 1:q l 与 2l 平行，则下列选项 中正确的（ ） A. p是 q的必要非充分条件 B. q是 p的充分非必要条件 C. p是 q的充分非必要条件 D. q是 p的非充分也非必要条件 【答案】C 【解析】 - 3 - 【分析】 根据 1l 与 2l 平行，得到 0a  或 6 5 a   ，再根据集合的关系判断充分性和必要性得解. 【详解】因为 1l 与 2l 平行，所以 2 5 ( 3) 2 0, 0a a a       或 6 5 a   . 经检验，当 0a  或 6 5 a   时，两直线平行. 设 { | 0}A a a  ， { | 0B a a  或 6} 5 a   ， 因为 A B , 所以 p是 q的充分非必要条件. 故选：C. 【点睛】本题主要考查两直线平行的应用，考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些 知识的理解掌握水平. 5.在 ABC 中，如果  cos 2 cos 0B C C   ，那么 ABC 的形状为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角 形 【答案】A 【解析】 【分析】 结合 A B C    以及两角和与差的余弦公式，可将原不等式化简为 2cos cos 0B A  ，即 cos cos 0B A  ，又 A， (0, )B  ，所以 cosB与 cos A一正一负，故而得解. 【详解】解： A B C    ， cos(2 ) cosB C C    cos cos[ ( )]B B C B A      cos[ ( )] cos[ ( )]B A B A       cos[ ( )] cos[ ( )]B A B A       cos( ) cos( )B A B A     cos cos sin sin cos cos sin sinB A B A B A B A     2cos cos 0B A   ， cos cos 0B A  ，即 cosB与cos A异号， - 4 - 又 A， (0, )B  ， cosB 与 cos A一正一负， ABC 为钝角三角形． 故选：A. 【点睛】本题考查三角形形状的判断，涉及到三角形内角和、两角和与差的余弦公式，考查 学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题. 6.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、 龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学 喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学 依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（ ） A. 50种 B. 60种 C. 80种 D. 90种 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，按甲的选择不同分成 2 种情况讨论，求出确定乙，丙的选择方法，即可得每种情 况的选法数目，由分类加法计数原理，即可求出答案. 【详解】解：根据题意，按甲的选择不同分成 2种情况讨论： 若甲选择牛，此时乙的选择有 2种，丙的选择有 10种， 此时有2 10 20  种不同的选法； 若甲选择马或猴，此时甲的选法有 2种，乙的选择有 3种，丙的选择有 10种， 此时有2 3 10 60   种不同的选法； 则一共有 20 60 80  种选法. 故选：C. 【点睛】本题考查分步乘法和分类加法的计数原理的应用，属于基础题. 7.在三棱柱 1 1 1ABC ABC 中，AB BC AC  ，侧棱 1AA 底面 ABC，若该三棱柱的所有顶 点都在同一个球 O的表面上，且球 O的表面积的最小值为 4 ，则该三棱柱的侧面积为（ ） A. 6 3 B. 3 3 C. 3 2 D. 3 【答案】B - 5 - 【解析】 【分析】 设三棱柱的上、下底面中心分别为 1O 、 2O ，则 1 2OO 的中点为O，设球O的半径为 R，则 OA R ，设 AB BC AC  a ， 1AA h ，在 Rt △ 2OO A中，根据勾股定理和基本不等式 求出 2R 的最小值为 3 3 ah，结合已知可得 3ah  ，从而可得侧面积. 【详解】如图：设三棱柱上、下底面中心分别为 1O 、 2O ，则 1 2OO 的中点为O， 设球O的半径为 R，则OA R ，设 AB BC AC  a ， 1AA h ， 则 2 1 2 OO h ， 2 2 3 3 3 2 3 O A AB a   ， 则在 Rt △ 2OO A中， 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 4 3 R OA OO O A h a     1 32 2 3 h a   3 3 ah ， 当且仅当 3 3 h a 时，等号成立， 所以 2 34 4 3 S R ah   球 ，所以 4 3 3 ah  4 ，所以 3ah  ， 所以该三棱柱的侧面积为3 3 3ah  . 故选：B. 【点睛】本题考查了球的表面积公式，基本不等式求最值，考查了求三棱柱的侧面积，属于 - 6 - 基础题. 8.已知函数    26 , 7 5 ( 2), 5 x xf x f x x           ，若函数      1g x f x k x   有 13个零点， 则实数 k的取值范围为（ ） A. 1 1, 8 6       B. 1 1, 8 6     C. 1 1 1 1, , 6 8 8 6            D. 1 1 1 1, , 6 8 8 6              【答案】D 【解析】 【分析】 由题可知，设   | | | 1|h x k x  ，且  h x 恒过定点  1,0 ，转化为函数 ( )y f x 与函数   | | | 1|h x k x  的图象有 13个交点，画出函数 ( )y g x 与函数   | | | 1|h x k x  的图象，利用 数形结合法，即可求出 k的取值范围. 【详解】解：由题可知，函数 ( ) ( ) | ( 1) |g x f x k x   有 13个零点， 令 ( ) 0g x  ，有 ( ) | | | 1|f x k x  ， 设   | | | 1|h x k x  ，可知  h x 恒过定点  1,0 ， 画出函数 ( )f x ，  h x 的图象，如图所示： 则函数 ( )y f x 与函数   | | | 1|h x k x  的图象有 13个交点， 由图象可得：       5 1 7 1 7 1 h h h        ，则 ·(5 1) 1 ·(7 1) 1 · 7 1 1 k k k           ，即 1 1| | 8 6 k  ， 解得： 1( 6 k  ， 1 1) ( 8 8   ， 1) 6 . 故选：D. - 7 - 【点睛】本题考查将函数零点的个数转化为函数图象交点问题，从而求参数的范围，考查转 化思想和数形结合思想，属于中档题. 二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 3分，有选错的得 0 分. 9.将函数 ( ) sin ( 0)f x x   的图象向右平移 12  个单位长度得到函数 ( )y g x 的图象，若 函数 ( )g x 在区间 0, 2      上是单调增函数，则实数可能的取值为（ ） A. 2 3 B. 1 C. 6 5 D. 2 【答案】ABC 【解析】 【分析】 根据图象平移求得函数  y g x 的解析式，再利用函数的单调性列出不等式求得的取值范 围，即可求解. 【详解】由题意，将函数    sin 0f x x   的图象向右平移 12  个单位长度， 得到函数   sin 12 y g x x        的图象， 若函数  g x 在区间 0, 2      上是单调增函数， - 8 - 则满足 12 2 2 12 2              ，解得 60 5   ， 所以实数的可能的取值为 2 6,1, 3 5 . 故选：ABC. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换求函数的解析式，以及三角函数的图象与性质 的综合应用，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 10.在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国 古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题： “今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为： “有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量 的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺 布？”．已知1匹 4 丈，1丈 10 尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中的第 n天所 织布的尺数为 na ， 2 na nb  ，对于数列 na 、 nb ，下列选项中正确的为（ ） A. 10 58b b B.  nb 是等比数列 C. 1 30 105a b  D. 3 5 7 2 4 6 209 193 a a a a a a      【答案】BD 【解析】 【分析】 由题意可知，数列 na 为等差数列，求出数列 na 的公差，可得出数列 na 的通项公式，利 用等比数列的定义判断出数列 nb 是等比数列，然后利用数列 na 的通项公式即可判断出各 选项的正误. 【详解】由题意可知，数列 na 为等差数列，设数列 na 的公差为 d ， 1 5a  ， 由题意可得 1 30 2930 390 2 da    ，解得 16 29 d  ，  1 16 1291 29n na a n d       ， 2 na nb Q ， 1 11 2 2 2 2 n n n n a a a dn a n b b       （非零常数），则数列 nb 是等比数列，B选项正确； - 9 - 16 805 5 3 29 29 d     ，  5 5 310 5 2 2 2d db b    ， 10 58b b  ，A选项错误； 30 1 29 5 16 21a a d     ， 21 1 30 5 2 105a b    ，C选项错误； 4 1 16 1933 5 3 29 29 a a d      ， 5 1 16 2094 5 4 29 29 a a d      ， 所以， 3 5 7 5 5 2 4 6 4 4 3 209 3 193 a a a a a a a a a a        ，D选项正确. 故选：BD. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的综合问题，解答的关键就是求出数列的通项公式， 考查计算能力，属于中等题. 11.已知曲线   3 22 1 3 f x x x ax    上存在两条斜率为 3的不同切线，且切点的横坐标都大 于零，则实数 a可能的取值（ ） A. 19 6 B. 3 C. 10 3 D. 9 2 【答案】AC 【解析】 【分析】 根据题意，得出 ( )f x 的导数，可令切点的横坐标为m，求得切线的斜率，由题意可得关于m 的方程 22 2 3 0m m a    有两个不等的正根，考虑判别式大于 0，且两根之和大于 0，两根 之积大于 0，计算可得 a的范围，即可得答案. 【详解】解：由题可知， 3 22( ) 1 3 f x x x ax    ， 则 2( ) 2 2f x x x a    ， 可令切点的横坐标为m，且 0m  ， 可得切线斜率 22 2 3k m m a    ， 由题意，可得关于m的方程 22 2 3 0m m a    有两个不等的正根， 且可知 1 2 1 0m m   ， - 10 - 则 1 2 0 0mm     ，即 4 8( 3) 0 3 0 2 a a        ， 解得： 73 2 a  ， a 的取值可能为 19 6 ， 10 3 . 故选：AC. 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，以及根据一元二次方程根的分布求参数范围，考 查转化思想和运算能力. 12.在如图所示的棱长为 1的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，点 P在侧面 1 1BCC B 所在的平面上 运动，则下列命题中正确的为（ ） A. 若点 P总满足 1PA BD ，则动点 P的轨迹是一条直线 B. 若点 P到点 A的距离为 2 ，则动点 P的轨迹是一个周长为2 的圆 C. 若点 P到直线 AB的距离与到点 C的距离之和为 1，则动点 P的轨迹是椭圆 D. 若点 P到直线 AD与直线 1CC 的距离相等，则动点 P的轨迹是双曲线 【答案】ABD 【解析】 【分析】 A.根据 1BD 平面 1ABC，判断点 P的轨迹；B.根据平面与球相交的性质，判断选项；C.由条 件可转化为 1PB PC  ，根据椭圆的定义判断；D.由条件建立坐标系，求点 P的轨迹方程， 判断轨迹是否是双曲线. 【详解】A.在正方体 1AC中， 1,AC BD BB  平面 ABCD， 所以 1 1,BB AC BB BD B  ，所以 AC 平面 1 1BB D D， - 11 - 1BD 平面 1 1BB D D，所以 1AC BD ， 同理 1 1 1,AB BD AB AC A  ，所以 1BD 平面 1ABC， 而点 P在侧面 1 1BCC B 所在的平面上运动，且 1PA BD ， 所以点 P的轨迹就是直线 1BC，故 A正确； B.点 P的轨迹是以 A为球心，半径为 2 的球面与平面 1 1BCC B 的交线， 即点 P的轨迹为小圆，设小圆的半径为 r， 球心 A到平面 1 1BCC B 的距离为 1，则  22 1 1r    ， 所以小圆周长 2 2l r   ，故 B正确； C. 点 P到直线 AB的距离就是点 P到点 B的距离， 即平面 1 1BCC B 内的点 P满足 1PB PC BC   ， 即满足条件的点 P的轨迹就是线段 BC，不是椭圆，故 C不正确； D.如图，过 P分别做 PM BC 于点M ， 1PE CC 于点 E， 则PM 平面 ABCD，所以 PM AD ，过M 做MN AD ，连结 PN ， PM MN M  ，所以 AD平面 PMN，所以 PN AD^ ， 如图建立平面直角坐标系，设  ,P x y ， - 12 - PM y ，则 2 21PN y  ，  22 1PE x  ， 即  221 1y x   ，整理为：  2 21 1x y   ， 则动点 P的轨迹是双曲线，故 D正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹问题，截面的形状判断，重点考查空间想象能力，逻 辑推理，计算能力，属于中档题型. 三、填空题：本题共 4个小题，每小题 5分，共 20分. 13.若方程 2 2 1 1 x y m m    表示焦点在 y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为________． 【答案】 1(0, ) 2 【解析】 【分析】 根据题意，由椭圆的标准方程的特点，结合已知条件列出不等式，求解即可得出实数m的取 值范围. 【详解】解：由题可知，方程 2 2 1 1 x y m m    表示焦点在 y轴上的椭圆， 可得1 0m m   ，解得： 10 2 m  ， 所以实数m的取值范围为： 1(0, ) 2 . 故答案为： 1(0, ) 2 . 【点睛】本题考查椭圆的标准方程的特点，是基础知识的考查，属于基础题. - 13 - 14.已知定义在  ,  的偶函数  f x 在 0, 单调递减，   11 2 f    ，若   12 1 2 f x    ，则 x的取值范围________． 【答案】0 1x  【解析】 【分析】 由 题 意 结 合 偶 函 数 的 性 质 可 得     11 1 2 f f    ， 再 由 函 数 的 单 调 性 即 可 得 1 2 1 1   x ，即可得解. 【详解】因为  f x 为偶函数，   11 2 f    ，所以     11 1 2 f f    ， 又  f x 在 0, 单调递减，   12 1 2 f x    ， 所以 1 2 1 1   x ，解得0 1x  . 所以 x的取值范围为0 1x  . 故答案为：0 1x  . 【点睛】本题考查了函数奇偶性与单调性的综合应用，考查了运算求解能力与逻辑推理能力， 属于基础题. 15.若          17 2 16 17 0 1 2 16 172 1 1 1 1x a a x a x a x a x           ，则 （1） 0 1 2 16a a a a     ________； （2） 1 2 3 162 3 16a a a a     ________． 【答案】 (1). 172 1 (2).  1617 1 2  【解析】 【分析】 （1）化简二项式为   7 171 [3 )]2 (1x x   ，利用通项，求得 17 1a   ，再令1 1x  ，求 得 0 1 2 16 1 1 7 7 2a a a a a     ，即可求解； （2）令          2 16 17 0 1 2 16 7 17 1 (21 1 1 1 )a a x a x a x xx ag x            ，求得 - 14 -      161 2 17 162 1 17 1 17 (2 )g a a x a xx x         ，根据  0g 和（1）中 17 1a   ， 即可求解. 【详解】（1）由题意，可化为   7 171 [3 )]2 (1x x   ， 由 17 17 17 17 17 [ (1 )] (1 )T C x x      ，可得 17 1a   ， 令1 1x  ，即 0x  时，可得 0 1 2 16 1 1 7 7 2a a a a a     ， 所以 1 0 1 2 1 7 7 1 1 6 72 2 1a a a a a      . （2）令          2 16 17 0 1 2 16 7 17 1 (21 1 1 1 )a a x a x a x xx ag x            ， 则        15 16 1 2 16 17 1612 1 7 (216 1 1 1 )7g a a x x ax a xx         ， 则   1 2 16 16 172 16 1 770 1 2a a ag a        ， 由（1）可得 1717 17a   ， 所以 16 16 1 2 3 16 12 3 7 2 17 17 ( )1 1 26a a a a           . 【点睛】本题主要考查了二项展开式的应用，以及导数四则运算的应用，其中解答中准确赋 值，以及利用导数的运算合理构造是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属 于中档试题. 16.已知 1e  ， 2e  是平面上不共线的两个向量，向量b  与 1e  ， 2e  共面，若 1 1e   ， 2 2e   ， 1e  与 2e  的夹角为 3  ，且 1 1b e    ， 2 2b e    ，则 b   ________． 【答案】 2 3 3 【解析】 【分析】 设 1 2b xe ye     ，由已知 1 1b e    ， 2 2b e    可得 1x y  ， 4 2x y  ，从而可求出 2 1, 3 3 x y  ，则 2 1 2 2 1 3 3 b e e         ，即可求出模长. 【详解】解：设 1 2b xe ye     ，因为 1e  与 2e  的夹角为 3  ， 所以 1 2 1 2 cos 1 3 e e e e         ， - 15 - 则  1 2 2 1 1 1 1 2 1b e e x e ye e xe ye yx               ，   2 2 2 2 11 2 2 4 2b e e yxe e xy x ye e e                ，解得 2 1, 3 3 x y  ， 则 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 4 1 4 4 4 4 2 3 3 3 9 9 9 9 9 9 3 b e e e e e e                     ， 故答案为: 2 3 3 . 【点睛】本题考查了向量的数量积运算，考查了平面向量基本定理，考查了向量模的求解.本 题的难点是用已知 1 2,e e  表示b  . 四、解答题：本题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.如图，在直角梯形 1 2AOO C中， 1 2/ /AO CO ， 1 1 2AO OO ， 1 2 4OO  ， 2 2CO  ， 1 4AO  ， 点 B是线段 1 2OO 的中点，将 1ABO△ ， 2BCO△ 分别沿 AB， BC 向上折起，使 1O ， 2O 重合于点O，得到三棱锥O ABC ．试在三棱锥O ABC 中， （1）证明：平面 AOB 平面 BOC； （2）求直线OC与平面 ABC所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 2 3 . 【解析】 【分析】 （1）根据勾股定理的逆定理，得出 AO OC ，而 AO OB ，根据线面垂直的判定定理证 出 AO 平面 BOC，最后利用面面垂直的判定定理，即可证明平面 AOB 平面 BOC； - 16 - （2）以O为坐标原点，OC为 x轴，OB为 y轴，OA为 z轴，建立空间直角坐标系，根据 空间坐标的运算可得出  2,0,0OC   和平面 ABC的法向量，利用空间向量法求夹角的公式， 即可求出直线OC与平面 ABC所成角的正弦值． 【详解】解：（1）由题知：在直角梯形 1 2AOO C中，  22 2 1 2 1 2 20AC AO CO OO    ， 所以在三棱锥O ABC 中， 2 2 2AC AO OC  ， 所以 AO OC ， 又因为 AO OB ，CO OB O ， 所以 AO 平面 BOC， 又因为 AO 平面 AOB， 所以，平面 AOB 平面 BOC . （2）由（1）知： AO OC ， AO OB ，又 BO OC ， 以O为坐标原点，以 , ,OC OB OA    的方向分别作为 x轴， y轴， z轴的正方向， 建立如图空间直角坐标系O xyz ， 所以  0,0,4A ，  0,2,0B ，  2,0,0C ，  2,0,0OC   ， 设  , ,n x y z  为平面 ABC的法向量，  0,2, 4AB    ，  2, 2,0BC    ， 由 0 0 n AB n BC         ，可得 2 4 0 2 2 0 y z x y      ， 令 2x  得：  2,2,1n  r ， 设直线OC与平面 ABC所成角为，所以 2sin 3C OC O n n          ， 所以直线OC与平面 ABC所成角的正弦值为 2 3 . - 17 - 【点睛】本题考查线面垂直和面面垂直的判定定理，考查利用空间向量法求直线与平面所成 角的正弦值，考查推理证明能力和运算求解能力. 18.已知 na 为等差数列， 1a ， 2a ， 3a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 1a ， 2a ， 3a 中的任何两个数都不在下表的同一列． 第一列 第二列 第三列 第一行 第二行 4 6 9 第三行 12 8 7 请从① 1 2a  ，② 1 1a  ，③ 1 3a  的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列  na 存在；并在此存在的数列 na 中，试解答下列两个问题 （1）求数列 na 的通项公式； （2）设数列 nb 满足   1 21 n n nb a  ，求数列 nb 的前 n项和 nT ． - 18 - 【答案】（1） 3 2na n  ；（2） 2 2 9 3 , 2 , 2 2 9 3 2, 2 1, 2 2 n n n n k k N T n n n k k N                ． 【解析】 【分析】 (1)分别代入① 1 2a  ，② 1 1a  ，③ 1 3a  ，结合已知条件可判断 1 1a  ， 2 4a  ， 3 7a  ， 求出数列的公差，即可求出通项公式. (2)由(1)知    1 21 3 2n nb n   ，当 n为偶数时，结合数列的求和的定义求出 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 4 1n n n nT b b b b a a a a a a              1 2 33 na a a a     ， 由等差数列的求和公式即可求解；当 n为奇数时， 1n n nT T b  即可求解. 【详解】解：（1）若选择条件①，当第一行第一列为 1a 时，由题意知，可能的组合有， 1 2 32, 6, 7a a a   不是等差数列， 1 2 32, 9, 8a a a   不是等差数列； 当第一行第二列为 1a 时，由题意知，可能的组合有， 1 2 32, 4, 7a a a   不是等差数列， 1 2 32, 9, 12a a a   不是等差数列；当第一行第三列为 1a 时，由题意知，可能的组合有， 1 2 32, 4, 8a a a   不是等差数列， 1 2 32, 6, 12a a a   不是等差数列， 则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列 na 都不存在， 若选择条件②，则放在第一行第二列，结合条件可知 1 1a  ， 2 4a  ， 3 7a  ， 则公差 2 1 3d a a   ，所以  1 1 3 2na a n d n     ， *n N ， 若选择条件③，当第一行第一列为 1a 时，由题意知，可能的组合有， 1 2 33, 6, 7a a a   不是等差数列， 1 2 33, 9, 8a a a   不是等差数列； 当第一行第二列为 1a 时，由题意知，可能的组合有， 1 2 33, 4, 7a a a   不是等差数列， 1 2 33, 9, 12a a a   不是等差数列；当第一行第三列为 1a 时，由题意知，可能的组合有， 1 2 33, 4, 8a a a   不是等差数列， 1 2 33, 6, 12a a a   不是等差数列， - 19 - 则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列 na 都不存在， 综上可知： 3 2na n  ， *n N . （2）由（1）知，    1 21 3 2n nb n   ，所以当 n为偶数时， 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 4 1n n n nT b b b b a a a a a a                        1 2 1 2 3 4 3 4 4 1n n n na a a a a a a a a a a a               2 1 2 3 1 3 2 9 33 3 2 2 2n n n a a a a n n              ， 当 n为奇数时，      2 2 2 1 9 3 9 31 1 3 2 2 2 2 2 2n n nT T b n n n n n            ， 2 2 9 3 , 2 , 2 2 9 3 2, 2 1, 2 2 n n n n k k N T n n n k k N                【点睛】本题考查了等差数列通项公式的求解，考查了等差数列的求和公式，考查了数列求 和.本题的难点是第二问求和时，分情况讨论. 19.在 ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c， sin sin sin cos cos cos A B C A B C    （1）若 ABC 还同时满足下列四个条件中的三个：① 7a  ，② 10b  ，③ 8c  ，④ ABC 的面积 10 3S  ，请指出这三个条件，并说明理由； （2）若 3a  ，求 ABC 周长 L的取值范围． 【答案】（1）①③④，理由见解析；（2）  6,9 ． 【解析】 【分析】 （1）首先条件变形，利用两角差的正弦公式变形，求得 3 A   ，再判断①②不能同时成立， 最后根据③④判断能同时成立的第三个条件； （2）首先利用正弦定理边角互化，表示 2 3sinb B ， 22 3 sin 3 c B      ，再利用三角 - 20 - 函数恒等变形表示周长 L 6sin 3 6 B        ，最后根据角 B的范围求周长的取值范围. 【详解】解：因为 sin sin sin cos cos cos A B C A B C    所以 sin cos sin cos cos sin cos sinA B A C A B A C   即 sin cos cos sin sin cos cos sinA B A B C A C A   所以    sin sinA B C A   因为 A，B，  0,C  ， 所以 A B C A   ，即 2A B C  ，所以 3 A   （1） ABC 还同时满足条件①③④ 理由如下： 若 ABC 同时满足条件①② 则由正弦定理得 sin 5 3sin 1 7 bB a A    ，这不可能 所以 ABC 不能同时满足条件①②， 所以 ABC 同时满足条件③④ 所以 ABC 的面积 1 1 38 10 3 2 2 sin 2 A bS bc     所以 5b  与②矛盾 所以 ABC 还同时满足条件①③④ （2）在 ABC 中，由正弦定理得： 2 3 sin sin sin b c a B C A    因为 2 3 C B   ，所以 2 3sinb B ， 22 3 sin 3 c B      所以 22 3 s sin 3in 3 a b BL c B             sin co3 1 3 2 s6 2 B B          6sin 3 6 B        - 21 - 因为 20, 3 B      ，所以 5, 6 6 6 B         ， 1sin ,1 6 2 B            所以 ABC 周长 L的取值范围为  6,9 . 【点睛】本题考查三角恒等变形，正余弦定理解三角形，重点考查转化与化归的思想，计算 能力，逻辑推理能力，属于中档题型. 20.某市居民用天然气实行阶梯价格制度，具体见下表： 阶梯 年用气量（立方米） 价格（元/立方米） 第一阶梯 不超过 228的部分 3.25 第二阶梯 超过 228而不超过 348的部分 3.83 第三阶梯 超过 348的部分 4.70 从该市随机抽取 10户（一套住宅为一户）同一年的天然气使用情况，得到统计表如下： 居民用气编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年用气量（立方米） 95 106 112 161 210 227 256 313 325 457 （1）求一户居民年用气费 y（元）关于年用气量 x（立方米）的函数关系式； （2）现要在这 10户家庭中任意抽取 3户，求抽到的年用气量超过 228立方米而不超过 348 立方米的用户数的分布列与数学期望； （3）若以表中抽到的 10户作为样本估计全市居民的年用气情况，现从全市中依次抽取 10户， 其中恰有 k户年用气量不超过 228立方米的概率为  P k ，求  P k 取最大值时的值． 【答案】（1）       3.25 , 0,228 3.83 132.24, 228,348 4.7 435, 348, x x y x x x x          ；（2）分布列见解析，数学期望为 9 10 ；（3） 6． - 22 - 【解析】 【分析】 （1）由表格中的数据结合题意，即可求得一户居民年用气费 y（元）关于年用气量 x（立方米） 的函数关系式； （2）由题意知 10户家庭中年用气量超过 228立方米而不超过 348立方米的用户有 3户，得 到随机变量 可取0,1,2,3，利用超几何分布求得相应的概率，得到随机变量的分布列，进而 求得期望； （3）由   10 10 3 2 5 5 k k kP k C              ，列出不等式组由 10 1 10 1 1 10 10 10 1 10 1 1 10 10 3 2 3 2 5 5 5 5 3 2 3 2 5 5 5 5 k k k k k k k k k k k k C C C C                                                              ，求得 k的值，即可求解. 【详解】（1）由题意，当  0,228x 时， 3.25y x ； 当  228,348x 时， 3.83 132.24y x  ； 当  348,x  时， 4.7 435xy  ， 所以年用气费 y关于年用气量 x的函数关系式为       3.25 , 0,228 3.83 132.24, 228,348 4.7 435, 348, x x y x x x x          . （2）由题知 10户家庭中年用气量超过 228立方米而不超过 348立方米的用户有 3户， 设取到年用气量超过 228立方米而不超过 348立方米的用户数为 ，则 可取0,1,2,3， 则   3 7 3 10 70 24 CP C     ，   2 1 7 3 3 10 211 40 C CP C     ，   1 2 7 3 3 10 72 40 C CP C     ，   3 3 3 10 13 120 CP C     ， 故随机变量 的分布列为：  0 1 2 3 - 23 - P 7 24 21 40 7 40 1 120 所以   7 21 7 1 90 1 2 3 24 40 40 120 10 E           . （3）由题意知     10 10 3 2 0,1, 2,3 ,10 5 5 k k kP k C k               ， 由 10 1 10 1 1 10 10 10 1 10 1 1 10 10 3 2 3 2 5 5 5 5 3 2 3 2 5 5 5 5 k k k k k k k k k k k k C C C C                                                              ，解得 28 33 5 5 k  ， *k N ， 所以当 6k  时，概率  P k 最大，所以 6k  . 【点睛】本题主要考查了分段函数模型的性质及其应用，以及离散型随机变量的分布列与期 望的求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 21.已知函数   lnxf x ae x ，（其中 2.71828e  是自然对数的底数），   2 lng x x x a  ， 0a  ． （1）讨论函数  f x 的单调性； （2）设函数      h x g x f x  ，若   0h x  对任意的  0,1x 恒成立，求实数 a的取值 范围． 【答案】（1）在定义域  0,  上单调递增；（2） 1 , e    ． 【解析】 【分析】 （1）先求得    l 1 ,n 0,x xf x ae x x          ，利用导数可得 1ln 1x x   恒成立，故可得  f x 的单调区间. （2）   0h x  对任意的  0,1x 恒成立等价于   ln nl x x ae ae x x  对任意  0,1x 恒成立，就 - 24 - 1xae  和 1xae  结合   lnH x x x  的单调性分类讨论可得 xae x 对任意  0,1x 恒成立， 参变分离后再次利用导数可求 a的取值范围. 【详解】解：（1）因为 ( ) lnxf x ae x ，所以    l 1 ,n 0,x xf x ae x x          . 令   ln 1k x x x   ，则   2 1xk x x   ， 当  0,1x 时，   0k x  ，函数  k x 单调递减； 当  1,x  时，   0k x  ，函数  k x 单调递增． 所以    1 1 0k x k   ，又因为 0a  ， 0xe  ， 所以   0f x  ，  f x 在定义域  0,  上单调递增. （2）由   0h x  得     0g x f x  ，即 2ln lnxae x x x a  ， 所以  ln ln ln x x x aex x ae x a ae    ，即   ln nl x x ae ae x x  对任意  0,1x 恒成立， 设   lnH x x x  ，则   2 1 ln xH x x   所以，当  0,1x 时，   0H x  ，函数  H x 单调递增， 且当  1,x  时，   0H x  ，当  0,1x 时，   0H x  ， 若 1xae x  ，则    0xH ae H x  ， 若0 1xae  ，因为    xH ae H x ，且  H x 在  0,1 上单调递增，所以 xae x ， 综上可知， xae x 对任意  0,1x 恒成立，即 x xa e  对任意  0,1x 恒成立. 设   x xG x e  ，  0,1x ，则   1 0x xG x e    ，所以  G x 在  0,1 单调递增， 所以     11 aG x G e    ，即 a的取值范围为 1 , e    ． 【点睛】本题考查函数的单调性以及含参数的不等式的恒成立，前者利用导数的符号来讨论， - 25 - 后者需等价变形把原不等式转化简单不等式的恒成立，再根据不等式的结构特征构建新函数 来讨论，本题为较难题. 22.已知直线 1l 过坐标原点 O且与圆 2 2 4x y  相交于点 A，B，圆 M过点 A，B且与直线 2 0y   相切． （1）求圆心 M的轨迹 C的方程； （2）若圆心在 x轴正半轴上面积等于2 的圆 W与曲线 C有且仅有 1个公共点． （ⅰ）求出圆 W标准方程； （ⅱ）已知斜率等于 1 的直线 2l ，交曲线 C于 E，F两点，交圆 W于 P，Q两点，求 EF PQ 的 最小值及此时直线 2l 的方程． 【答案】（1） 2 4x y ；（2）（ⅰ）  2 23 2x y   ；（ⅱ） EF PQ 的最小值为 2 6 ，此 时直线 2l 的方程为 2 3 1y x    ． 【解析】 【分析】 （1）设  ,M x y ，由题意结合圆的性质可得 2 2 2MO OA MA  、 2r y MA   ，代 入化简即可得解； （2）（ⅰ）设圆 W与曲线 C的公共点为   2 , 0 4 tT t t       ，圆 W的标准方程    2 2 2 0x a y a    ，由题意可得曲线 C在 T的切线 l与圆 W相切即 l WT ，由直线垂直 的性质及点T 在圆 W上即可得解； （ⅱ）设  1 1,E x y ，  2 2,F x y ，直线 2 :l y x m   ，联立方程组结合弦长公式可得 EF ， 由垂径定理可得 PQ ，确定 m的取值范围后，通过换元、基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意圆 2 2 4x y  的圆心为  0,0 ，半径为 2，直线 1l 过坐标原点 O， 所以坐标原点 O为 AB的中点， 2AO  ， - 26 - 所以MO AO ， 设  ,M x y ，所以 2 2 2MO OA MA  ， 又因为圆 M与直线 2 0y   相切，所以圆 M的半径 2r y MA   ， 所以  22 2 4 2x y y    ，化简得 M的轨迹 C的方程为 2 4x y ； （2）（ⅰ）由（1）知曲线 C为 2 4 xy  ，设   2 4 xf x  ，则   2 xf x  ， 设圆 W与曲线 C的公共点为   2 , 0 4 tT t t       ， 则曲线 C在 T的切线 l的斜率   2 tk f t  ， 由题意，直线 l与圆 W相切于 T点， 设圆 W的标准方程为    2 2 2 0x a y a    ，则圆 W的的圆心为  , 0a ， 则直线 WT的斜率   2 2 4 4WT t tk t a t a     ， 因为 l WT ，所以   2 1 2 4 t t t a     ，即  3 8 0t t a   ， 又因为   22 2 2 4 tt a         ，所以 2 23 2 2 8 4 t t              ，所以 6 44 128 0t t   令 2t  ，则 3 24 128 0    ，所以    3 2 24 8 128 0      即    24 8 32 0      ，所以 4  ， 所以 2t  ， 3a  ， 从而圆 W的标准方程为  2 23 2x y   ； （ⅱ）设  1 1,E x y ，  2 2,F x y ，直线 2 :l y x m   ， 由 2 4 y x m x y      得 2 4 4 0x x m   ，所以 1 2 4x x   ， 1 2 4x x m ， 所以    2 1 2 1 22 4 4 2 1EF x x x x m      ， - 27 - 又因为圆 W的圆心  3,0 到直线 PQ的距离为 3 2 m  ， 所以 2 23 2 2 2 12 10 2 m PQ m m             ， 所以   22 4 2 1 14 6 52 12 10 mEF m PQ m mm m          ， 由于 2l 与曲线 C、圆 W均有两个不同的交点， 16 16 0 3 2 2 m m         ，解得1 5m  ， 令  1 2,6m u   ，则 1m u  ， 则    2 14 4 121 6 1 5 8 EF u PQ u u u u               14 2 6 122 8u u       ， 当且仅当 12u u  ，即 2 3u  ，亦 2 3 1m   时取等号， 当 2 3 1m   时， EF PQ 的最小值为 2 6 ， 此时直线 2l 的方程为 2 3 1y x    . 【点睛】本题考查了动点轨迹的求解与圆的方程的确定，考查了与圆、抛物线相关的公切线、 弦长问题，考查了运算求解能力，属于难题.