高考必做的百例导数压轴题

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高考必做的百例导数压轴题

‎◇导数专题 目  录 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 (1)‎ 二、交点与根的分布 (23)‎ 三、不等式证明 (31)‎ ‎(一)作差证明不等式 ‎ ‎(二)变形构造函数证明不等式 ‎(三)替换构造不等式证明不等式 四、不等式恒成立求字母范围 (51)‎ ‎(一)恒成立之最值的直接应用 ‎(二)恒成立之分离常数 ‎(三)恒成立之讨论字母范围 五、函数与导数性质的综合运用 (70)‎ 六、导数应用题 (84)‎ 七、导数结合三角函数 (85)‎ 书中常用结论 ‎⑴,变形即为,其几何意义为上的的点与原点连线斜率小于1.‎ ‎⑵‎ ‎⑶‎ ‎⑷.‎ 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1. ‎(切线)设函数.‎ ‎(1)当时,求函数在区间上的最小值;‎ ‎(2)当时,曲线在点处的切线为,与轴交于点求证:.‎ 解:(1)时,,由,解得.‎ ‎ 的变化情况如下表:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎0‎ ‎ ‎ 所以当时,有最小值.‎ ‎(2)证明:曲线在点处的切线斜率 ‎ 曲线在点P处的切线方程为.‎ ‎ 令,得,∴‎ ‎ ∵,∴,即.‎ ‎ 又∵,∴‎ ‎ 所以.‎ 1. ‎(2009天津理20,极值比较讨论)‎ 已知函数其中 ‎⑴当时,求曲线处的切线的斜率;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎⑵当时,求函数的单调区间与极值.‎ 解:本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。‎ ‎⑴‎ ‎⑵ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 以下分两种情况讨论:‎ ‎①>,则<.当变化时,的变化情况如下表:‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎②<,则>,当变化时,的变化情况如下表:‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 1. 已知函数 ‎⑴设两曲线有公共点,且在公共点处的切线相同,若,试建立 关于的函数关系式,并求的最大值;‎ ‎⑵若在(0,4)上为单调函数,求的取值范围。‎ 1. ‎(最值,按区间端点讨论)‎ 已知函数f(x)=lnx-.‎ ‎(1)当a>0时,判断f(x)在定义域上的单调性;‎ ‎(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为,求a的值.‎ 解:(1)由题得f(x)的定义域为(0,+∞),且 f ′(x)=+=.‎ ‎∵a>0,∴f ′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数.‎ ‎(2)由(1)可知:f ′(x)=,‎ ‎①若a≥-1,则x+a≥0,即f ′(x)≥0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为增函数,‎ ‎∴f(x)min=f(1)=-a=,∴a=- (舍去). ‎ ‎②若a≤-e,则x+a≤0,即f ′(x)≤0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为减函数,‎ ‎∴f(x)min=f(e)=1-=,∴a=-(舍去).‎ ‎③若-e0,∴f(x)在(-a,e)上为增函数,‎ ‎∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=⇒a=-.‎ 综上可知:a=-.‎ 2. ‎(最值直接应用)已知函数,其中.‎ ‎(Ⅰ)若是的极值点,求的值;‎ ‎(Ⅱ)求的单调区间;‎ ‎(Ⅲ)若在上的最大值是,求的取值范围.‎ 解:(Ⅰ).‎ 依题意,令,解得 . 经检验,时,符合题意. ‎ ‎(Ⅱ)解:① 当时,.‎ 故的单调增区间是;单调减区间是.‎ ‎② 当时,令,得,或.‎ 当时,与的情况如下:‎ ‎↘‎ ‎↗‎ ‎↘‎ 所以,的单调增区间是;单调减区间是和.‎ 当时,的单调减区间是. ‎ 当时,,与的情况如下:‎ ‎↘‎ ‎↗‎ ‎↘‎ 所以,的单调增区间是;单调减区间是和.‎ ‎③ 当时,的单调增区间是;单调减区间是.‎ 综上,当时,的增区间是,减区间是;‎ 当时,的增区间是,减区间是和;‎ 当时,的减区间是;‎ 当时,的增区间是;减区间是和.‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)知 时,在上单调递增,由,知不合题意.‎ 当时,在的最大值是,‎ 由,知不合题意.‎ 当时,在单调递减,‎ 可得在上的最大值是,符合题意. ‎ 所以,在上的最大值是时,的取值范围是.‎ 1. ‎(2010北京理数18)‎ 已知函数=ln(1+)-+(≥0).‎ ‎(Ⅰ)当=2时,求曲线=在点(1,(1))处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)求的单调区间.‎ 解:(I)当时,,‎ 由于,,‎ 所以曲线在点处的切线方程为 ‎ 即 ‎(II),.‎ 当时,.‎ 所以,在区间上,;在区间上,.‎ ‎ 故得单调递增区间是,单调递减区间是.‎ 当时,由,得,‎ 所以,在区间和上,;在区间上,‎ 故得单调递增区间是和,单调递减区间是.‎ 当时, 故得单调递增区间是.‎ 当时,,得,.‎ 所以没在区间和上,;在区间上,‎ 故得单调递增区间是和,单调递减区间是 1. ‎(2010山东文21,单调性)‎ 已知函数 ‎ ⑴当时,求曲线在点处的切线方程;‎ ‎ ⑵当时,讨论的单调性.‎ 解:⑴‎ ‎⑵因为 ,‎ ‎ 所以 ,,‎ ‎ 令 ‎ 1. ‎(是一道设计巧妙的好题,同时用到e底指、对数,需要构造函数,证存在且唯一时结合零点存在性定理不好想,⑴⑵联系紧密)‎ 已知函数 ‎⑴若函数φ (x) = f (x)-,求函数φ (x)的单调区间;‎ ‎⑵设直线l为函数f (x)的图象上一点A(x0,f (x0))处的切线,证明:在区间(1,+∞)上存在唯一的x0,使得直线l与曲线y=g(x)相切.‎ 解:(Ⅰ) ,.‎ ‎∵且,∴∴函数的单调递增区间为.‎ ‎ (Ⅱ)∵ ,∴,‎ ‎∴ 切线的方程为, 即, ① ‎ 设直线与曲线相切于点,‎ ‎∵,∴,∴,∴.‎ ‎ ∴直线也为, 即, ②‎ ‎ 由①②得 ,∴.‎ ‎ 下证:在区间(1,+)上存在且唯一.‎ 由(Ⅰ)可知,在区间上递增.‎ 又,,‎ 结合零点存在性定理,说明方程必在区间上有唯一的根,这个根就是所求的唯一,故结论成立.‎ 1. ‎(最值应用,转换变量)‎ 设函数.‎ ‎(1)讨论函数在定义域内的单调性;‎ ‎(2)当时,任意,恒成立,求实数的取值范围.‎ 解:⑴.‎ 当时,,增区间为,减区间为,.‎ 当时,,减区间为.‎ 当时,,增区间为,减区间为,.‎ ‎⑵由⑴知,当时,在上单调递减,‎ ‎∴,≤,‎ 即≤.‎ ‎∵恒成立,‎ ‎∴>,即,‎ 又,∴.‎ ‎∵,∴,∴≤.‎ 2. ‎(最值应用)‎ 已知二次函数对都满足且,设函数(,).‎ ‎(Ⅰ)求的表达式;‎ ‎(Ⅱ)若,使成立,求实数的取值范围; ‎ ‎(Ⅲ)设,,求证:对于,恒有. ‎ 解:(Ⅰ)设,于是 所以 ‎ 又,则.所以. …………3分 ‎ ‎(Ⅱ)‎ 当m>0时,由对数函数性质,f(x)的值域为R;…………4分 当m=0时,对,恒成立; …………5分 ‎ 当m<0时,由,列表:‎ x ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 减 极小 增 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以若,恒成立,则实数m的取值范围是. ‎ 故使成立,实数m的取值范围.…………9分 ‎(Ⅲ)因为对,所以在内单调递减.‎ 于是 记,则 所以函数在是单调增函数, ‎ ‎ 所以,故命题成立. …………12分 1. 设是函数的一个极值点.‎ ‎(1)求与的关系式(用表示),并求的单调区间;‎ ‎(2)设,若存在,使得 成立,求的取值范围.‎ 解:(1)∵ ‎ ‎∴ 由题意得:‎ ‎,即,‎ ‎∴且 令得,‎ ‎∵是函数的一个极值点 ‎ ‎∴,即 ‎ 故与的关系式为. ‎ 当时,,由得单增区间为:;‎ 由得单减区间为:和;‎ 当时,,由得单增区间为:;‎ 由得单减区间为:和;‎ ‎(2)由(1)知:当时,,在上单调递增,在上单调递减,,‎ ‎∴在上的值域为. ‎ 易知在上是增函数, ‎ ‎∴在上的值域为. ‎ 由于,‎ 又∵要存在,使得成立,‎ ‎∴必须且只须解得:. ‎ 所以,的取值范围为. ‎ 1. ‎.‎ ‎ (1)若,求函数的极值;‎ ‎ (2)若是函数的一个极值点,试求出关于的关系式(用表示),并确定的单调区间;‎ ‎ (3)在(2)的条件下,设,函数.若存在使得成立,求的取值范围.‎ 解:(1)∵‎ 当时,,则.‎ 令得,∵,∴,解得 ‎∵当时,,‎ 当时,当时 ‎∴当时,函数有极大值,,‎ 当时,函数有极小值,.‎ ‎(2)由(1)知 ‎∵是函数的一个极值点 ∴‎ 即,解得 ‎ 则=‎ 令,得或 ‎∵是极值点,∴,即 .‎ 当即时,由得或 由得 当即时,由得或 由得.‎ 综上可知:‎ 当时,单调递增区间为和,递减区间为 当时,单调递增区间为和,递减区间为。‎ ‎(3)由2)知:当a>0时,在区间(0,1)上的单调递减,‎ 在区间(1,4)上单调递增,‎ ‎ ∴函数在区间上的最小值为 ‎ 又∵,,‎ ‎∴函数在区间[0,4]上的值域是,即]‎ ‎ 又在区间[0,4]上是增函数,‎ ‎ 且它在区间[0,4]上的值域是.‎ ‎ ∵-==,‎ ‎ ∴存在使得成立只须 ‎ -<1..‎ 1. ‎(2010山东,两边分求,最小值与最大值)‎ 已知函数.‎ ‎⑴当时,讨论的单调性;‎ ‎⑵设当时,若对任意,存在,使 ‎,求实数取值范围.‎ 解:本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起,考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题,考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力;考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.‎ ‎(1)直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性;(2)利用导数求出的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出在闭区间[1,2]上的最大值,然后解不等式求参数.‎ ‎⑴,‎ 令 ‎①当时,,当,函数单调递减;当,函数单调递增.‎ ‎②当时,由,即,解得.‎ 当时,恒成立,此时,函数单调递减;‎ 当时,,时,函数单调递减;‎ 时,,函数单调递增;‎ 时,,函数单调递减.‎ 当时,当,函数单调递减;‎ 当,函数单调递增.‎ 综上所述:当时,函数在单调递减,单调递增;‎ 当时,恒成立,此时,函数在单调递减;‎ 当时,函数在递减,递增,递减.‎ ‎⑵当时,在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,所以对任意,‎ 有,‎ 又已知存在,使,所以,,(※)‎ 又 当时,与(※)矛盾;‎ 当时,也与(※)矛盾;‎ 当时,.‎ 综上,实数的取值范围是.‎ 1. 设函数.‎ ‎(Ⅰ)当时,过原点的直线与函数的图象相切于点P,求点P的坐标;‎ ‎(Ⅱ)当时,求函数的单调区间;‎ ‎(Ⅲ)当时,设函数,若对于],[0,1]‎ 使≥成立,求实数b的取值范围.(是自然对数的底,)‎ 解:函数的定义域为, ‎ ‎(Ⅰ)设点,当时,,则,,∴‎ 解得,故点P 的坐标为 ‎(Ⅱ)‎ ‎∵ ∴ ‎ ‎∴当,或时,当时,‎ 故当时,函数的单调递增区间为;‎ 单调递减区间为,‎ ‎(Ⅲ)当时,由(Ⅱ)可知函数在上是减函数,在上为增函数,在上为减函数,且,‎ ‎∵,又,∴,‎ ‎∴,故函数在上的最小值为 若对于,使 ≥成立在上的最小值不大于 在上的最小值(*) ‎ 又,‎ ‎①当时,在上为增函数,与(*)矛盾 ‎②当时,,‎ 由及得,‎ ‎③当时,在上为减函数,‎ ‎,此时 综上,的取值范围是 1. ‎(2010山东,两边分求,最小值与最大值)‎ 已知函数.‎ ‎⑴求在上的最小值;‎ ‎⑵若存在(是常数,=2.71828)使不等式成立,求实数的取值范围;‎ ‎⑶证明对一切都有成立.‎ 解:⑴,‎ ‎⑵由题意知 ‎,‎ 而,故 ‎(Ⅲ) 等价证明 由⑴知 ‎.‎ 1. ‎(最值应用)(用过了)‎ 设函数,且,其中是自然对数的底数.‎ ‎⑴求与的关系;‎ ‎⑵若在其定义域内为单调函数,求的取值范围;‎ ‎⑶设,若在上至少存在一点,使得>成立,求实数的取值范围.‎ 解:(1)由题意得 ‎ 而,所以、的关系为.‎ ‎(2)由(1)知,‎ ‎.令,‎ 要使在其定义域内单调,只需恒成立.‎ ‎①当时,,因为>,所以<0,<0,‎ ‎∴在内是单调递减函数,即适合题意;‎ ‎②当>0时,,∴,‎ 只需,即,‎ ‎∴在内为单调递增函数,故适合题意.‎ ‎③当<0时,,其图像为开口向下的抛物线,对称轴为,只要,即时,在恒成立,故<0适合题意. ‎ 综上所述,的取值范围为.‎ ‎(3)∵在上是减函数,‎ ‎∴时,;时,,即,‎ ‎①当时,由(2)知在上递减<2,不合题意;‎ ‎②当0<<1时,由,‎ 又由(2)知当时,在上是增函数,‎ ‎∴<,不合题意;‎ ‎③当时,由(2)知在上是增函数,<2,又在上是减函数,故只需>,,而,, 即 >2,解得> ,‎ 综上,的取值范围是.‎ 1. ‎(2011湖南文,第2问难,单调性与极值,好题)‎ 设函数 ‎⑴讨论函数的单调性;‎ ‎⑵若有两个极值点,记过点的直线斜率为,问:是否存在,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.‎ 解:⑴的定义域为 令 ‎①当故上单调递增.‎ ‎②当的两根都小于0,在上,,故上单调递增.‎ ‎③当的两根为,‎ 当时, ;当时,;当时,,故分别在上单调递增,在上单调递减.‎ ‎⑵由⑴知,若有两个极值点,则只能是情况③,故.‎ 因为,‎ 所以 又由⑴知,,于是 若存在,使得则.即.‎ 亦即 再由⑴知,函数在上单调递增,而,所以这与式矛盾.故不存在,使得 1. ‎(构造函数,好,较难)‎ 已知函数.‎ ‎⑴求函数的单调增区间;‎ ‎⑵记函数的图象为曲线,设点是曲线上两个不同点,如果曲线上存在点,使得:①;②曲线在点处的切线平行于直线,则称函数存在“中值相依切线”.试问:函数是否存在中值相依切线,请说明理由.‎ 解:(Ⅰ)函数的定义域是. ‎ 由已知得,. ‎ ⅰ 当时, 令,解得;函数在上单调递增 ‎ ⅱ 当时,‎ ‎ ①当时,即时, 令,解得或;‎ 函数在和上单调递增 ‎ ②当时,即时, 显然,函数在上单调递增; ‎ ‎③当时,即时, 令,解得或 函数在和上单调递增.‎ 综上所述:‎ ‎⑴当时,函数在上单调递增 ‎⑵当时,函数在和上单调递增 ‎⑶当时,函数在上单调递增;‎ ‎⑷当时,函数在和上单调递增.‎ ‎(Ⅱ)假设函数存在“中值相依切线”.‎ 设,是曲线上的不同两点,且,‎ 则,.‎ ‎ .‎ 曲线在点处的切线斜率, ‎ 依题意得:.‎ 化简可得 , 即=. ‎ ‎ 设 (),上式化为:,‎ ‎,令,.‎ 因为,显然,所以在上递增,显然有恒成立.‎ 所以在内不存在,使得成立. ‎ 综上所述,假设不成立.所以,函数不存在“中值相依切线”‎ 1. ‎(2011天津理19,综合应用)‎ 已知,函数,.(的图象连续)‎ ‎⑴求的单调区间;‎ ‎⑵若存在属于区间的,且,使,证明:.‎ 解:⑴,.令,则.‎ 当变化时,,的变化情况如下表:‎ 单调递增 极大值 单调递减 所以的单调增区间是,单调减区间是.‎ ‎⑵由及的单调性知.从而在区间上的最小值为.‎ 又由,,则.‎ 所以即 所以.‎ 1. ‎(恒成立,直接利用最值)‎ 已知函数,‎ ‎⑴若是函数的一个极值点,求;‎ ‎⑵讨论函数的单调区间;‎ ‎⑶若对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范围.‎ 解:⑴,‎ 因为是函数的一个极值点,所以,得.‎ 又,所以. ‎ ‎⑵因为的定义域是,‎ ‎.‎ ‎①当时,列表 ‎+‎ ‎-‎ ‎+‎ 增 减 增 在,是增函数;在是减函数.‎ ‎②当时,,在是增函数.‎ ‎③当时,列表 ‎+‎ ‎-‎ ‎+‎ 增 减 增 在,是增函数;在是减函数.‎ ‎⑶‎ 1. ‎(最值与图象特征应用)‎ 设,函数为自然对数的底数).‎ ‎⑴判断的单调性;‎ ‎⑵若上恒成立,求a的取值范围.‎ 解:⑴∵ ‎ 令 ‎①当在R上为减函数.‎ ‎②当 在R上为减函数. ‎ ‎③当时,由得 由得 上为增函数;‎ 上为减函数. ‎ ‎⑵由⑴知 ‎①当上为减函数.‎ ‎②当 在[1,2]上不恒成立,∴a的取值范围是 ‎ 2. ‎(单调性)‎ 已知=ln(x+2)-x2+bx+c ‎⑴若函数在点(1,y)处的切线与直线3x+7y+2=0垂直,且f(-1)=0,求函数在区间[0,3]上的最小值;‎ ‎⑵若在区间[0,m]上单调,求b的取值范围.‎ 解:⑴,依题意令= ,=0,解得b=4,c=5.‎ ‎ ‎ x ‎0‎ ‎(0,)‎ ‎(,3)‎ ‎3‎ y′‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ y ln2+5‎ 极大 ‎8+ln5‎ 因为8+ln5>5+ln2 ∴x=0时在[0,3]上最小值=5+ln2.‎ ‎⑵若在区间[0,m]上单调,有两种可能 ‎ ①令≥0得b≥2x-,在[0,m]上恒成立 ‎ 而y=2x-在[0,m]上单调递增,最大值为2m-,∴b≥2m-.‎ ‎ ②令≤0 得b≤2x-,‎ 而 y=2x-在[0,m]单增,最小为y=-,∴b≤-.‎ 故b≥2m-或b≤-时在[0,m]上单调.‎ 1. ‎(单调性,用到二阶导数的技巧)‎ ‎ 已知函数 ‎ ⑴若,求的极大值;‎ ‎ ⑵若在定义域内单调递减,求满足此条件的实数k的取值范围.‎ 解:⑴定义域为 ‎ ‎ 令 由 由 即上单调递增,在上单调递减 时,F(x)取得极大值 ‎ ‎  ⑵的定义域为(0,+∞),‎ 由G (x)在定义域内单调递减知:在(0,+∞)内恒成立 令,则 由 ‎∵当时为增函数 当时,为减函数 ‎∴当x = e时,H(x)取最大值 故只需恒成立,‎ 又当时,只有一点x = e使得不影响其单调性 ‎ 二、交点与根的分布 1. ‎(2008四川22,交点个数与根的分布)‎ 已知是函数的一个极值点.‎ ‎⑴求;‎ ‎⑵求函数的单调区间;‎ ‎⑶若直线与函数的图像有个交点,求的取值范围.‎ 解:⑴,‎ 是函数的一个极值点.‎ ‎,‎ ‎⑵由⑴, ‎ 令,得,,和随的变化情况如下:‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎0‎ 增 极大值 减 极小值 增 的增区间是,;减区间是(1,3).‎ ‎⑶由②知,在上单调递增,在上单调递增,在上单调递减.‎ ‎∴,.‎ 又时,;时,;‎ 可据此画出函数的草图(图略),由图可知,‎ 当直线与函数的图像有3个交点时,的取值范围为.‎ 2. 已知函数在上是减函数,在上是增函数,函数在 上有三个零点.‎ ‎(1)求的值; ‎ ‎(2)若1是其中一个零点,求的取值范围;‎ ‎(3)若,试问过点(2,5)可作多少条直线与曲线y=g(x)相切?请说明理由.‎ ‎⑶=2x+lnx,设过点(2,5)与曲线g (x)的切线的切点坐标为 ‎∴,即 ‎ ‎∴,令h(x)=,∴==0,∴‎ ‎∴h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,)上单调递增 又,h(2)=ln2-1<0,‎ ‎∴h(x)与x轴有两个交点,∴过点(2,5)可作2条曲线y=g(x)的切线.‎ 1. ‎(交点个数与根的分布)‎ 已知函数 ‎⑴求在区间上的最大值 ‎⑵是否存在实数使得的图像与 的图像有且只有三个不同的交点?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由。‎ 解:⑴‎ 当即时,在上单调递增,‎ 当即时,‎ 当时,在上单调递减,‎ 综上 ‎⑵函数的图像与的图像有且只有三个不同的交点,即函数 的图像与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。‎ 当时,是增函数;‎ 当时,是减函数;‎ 当时,是增函数;‎ 当或时,‎ 当充分接近0时,当充分大时,‎ 要使的图像与轴正半轴有三个不同的交点,必须且只须 ‎  即 ‎∴存在实数,使得函数与的图像有且只有三个不同的交点,的取值范围为 1. ‎(交点个数与根的分布)‎ ‎ 已知函数 ‎ ⑴求f(x)在[0,1]上的极值;‎ ‎⑵若对任意成立,求实数a的取值范围;‎ ‎⑶若关于x的方程在[0,1]上恰有两个不同的实根,求实数b的取值范围.‎ 解:⑴,‎ 令(舍去)‎ ‎ 单调递增;当递减. ‎ 上的极大值.‎ ‎⑵由得 设,,‎ 依题意知上恒成立,‎ ‎,‎ ‎, ‎ 上单增,要使不等式①成立,‎ 当且仅当 ‎ ‎   ⑶由 令,‎ 当上递增;‎ ‎ 上递减,‎ ‎ 而,‎ 恰有两个不同实根等价于 ‎ ‎ 1. ‎(2009宁夏,利用根的分布)‎ 已知函数 ‎⑴如,求的单调区间;‎ ‎⑵若在单调增加,在单调减少,证明:<6. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解:⑴时,,故w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 当当 从而单调减少.‎ ‎⑵‎ 由条件得 从而 因为 所以 将右边展开,与左边比较系数得,故 又由此可得于是 w.w ‎ 2. ‎(2009天津文,利用根的分布讨论)‎ 设函数,其中 ‎⑴当时,求曲线在点处的切线的斜率 ‎⑵求函数的单调区间与极值 ‎⑶已知函数有三个互不相同的零点,且,若对任意的恒成立,求的取值范围.‎ 解:⑴当 所以曲线在点处的切线斜率为1.‎ ‎⑵,令,得到 因为,‎ 当x变化时,的变化情况如下表:‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↓‎ 极小值 ‎↑‎ 极大值 ‎↓‎ 在和内减函数,在内增函数。‎ 函数在处取得极大值,且=‎ 函数在处取得极小值,且=‎ ‎⑶由题设 所以方程=0由两个相异的实根,故,且,解得 因为(难点)‎ 若,而,不合题意;‎ 若则对任意的有 则,又,所以函数在的最小值为0,于是对任意的,恒成立的充要条件是,解得,综上,m的取值范围是 1. ‎(2007全国II理22,转换变量后为根的分布)‎ 已知函数.‎ ‎(1)求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(2)设,如果过点可作曲线的三条切线,证明:.‎ 解:(1).在点处的切线方程为,‎ 即.‎ ‎(2)如果有一条切线过点,则存在,使.‎ 若过点可作曲线的三条切线,‎ 则方程 有三个相异的实数根.‎ 记 ,则.‎ 当变化时,变化情况如下表:‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ 极大值 极小值 如果过可作曲线三条切线,‎ 即有三个相异的实数根,则即 .‎ 1. 已知函数在点处的切线方程为.‎ ‎⑴求函数的解析式;‎ ‎⑵若对于区间上任意两个自变量的值都有,求实数的最小值;‎ ‎⑶若过点可作曲线的三条切线,求实数的取值范围.‎ 解:⑴.…………………………………………………………2分 根据题意,得即解得……………………3分 所以.………………………………………………………………4分 ‎⑵令,即.得.‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎+‎ ‎+‎ 增 极大值 减 极小值 增 ‎2‎ 因为,,‎ 所以当时,,.………………………………6分 则对于区间上任意两个自变量的值,都有 ‎,所以.‎ 所以的最小值为4.……………………………………………………………………8分 ‎⑶因为点不在曲线上,所以可设切点为.‎ 则.‎ 因为,所以切线的斜率为.………………………………9分 则=,………………………………………………………………11分 即.‎ 因为过点可作曲线的三条切线,‎ 所以方程有三个不同的实数解.‎ 所以函数有三个不同的零点.‎ 则.令,则或.‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎+‎ ‎+‎ 增 极大值 减 极小值 增 则 ,即,解得.‎ 1. ‎(2011省模,利用⑴的结论,转化成根的分布分题)‎ 已知,函数(其中)‎ ‎(I)求函数在区间上的最小值;‎ ‎(II)是否存在实数,使曲线在点处的切线与y轴垂直?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。‎ 1. 已知函数,函数是区间[-1,1]上的减函数.‎ ‎ (I)求的最大值;‎ ‎ (II)若上恒成立,求t的取值范围;‎ ‎ (Ⅲ)讨论关于x的方程的根的个数.‎ 解:(I),上单调递减,‎ 在[-1,1]上恒成立,,故的最大值为 ‎(II)由题意 ‎(其中),恒成立,令,‎ 则,恒成立,‎ ‎(Ⅲ)由 ‎ 令 当[来源上为增函数;‎ 当时,为减函数;‎ 当[来源:学*科*网]‎ 而方程无解;‎ 当时,方程有一个根;‎ 当时,方程有两个根.‎ 三、不等式证明 作差证明不等式 2. ‎(2010湖南,最值、作差构造函数)‎ 已知函数.‎ ‎ (1)求函数的单调递减区间; (2)若,求证:≤≤x.‎ 解:(1)函数f (x)的定义域为(-1,+∞),, 由 得:,∴x>0,∴f (x)的单调递减区间为(0,+∞).‎ ‎(2)证明:由(1)得x∈(-1,0)时,, 当x∈(0,+∞)时,,且 ∴x>-1时,f (x)≤f (0),∴≤0,≤x 令,则,‎ ‎∴-1<x<0时,,x>0时,,且 ∴x>-1时,g (x)≥g (0),即≥0 ∴≥,∴x>-1时,≤≤x.‎ 1. ‎(2007湖北20,转换变量,作差构造函数,较容易)‎ 已知定义在正实数集上的函数,,其中.设两曲线,有公共点,且在该点处的切线相同.‎ ‎⑴用表示,并求的最大值;‎ ‎⑵求证:当时,.‎ 解:⑴设与在公共点处的切线相同.‎ ‎,,由题意,.‎ 即由得:,或(舍去).‎ 即有.‎ 令,则.于是 当,即时,;‎ 当,即时,.‎ 故在为增函数,在为减函数,‎ 于是在的最大值为.‎ ‎⑵设,‎ 则.‎ 故在为减函数,在为增函数,‎ 于是函数在上的最小值是.‎ 故当时,有,即当时,.‎ ‎ ‎ 1. ‎(2009全国II理21,字母替换,构造函数)‎ 设函数有两个极值点,且 ‎⑴求的取值范围,并讨论的单调性;‎ ‎⑵证明:.‎ 解: ⑴‎ ‎ 令,其对称轴为。‎ ‎ 由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根,‎ ‎ 其充要条件为,得 ‎ 当时,在内为增函数;‎ ‎ 当时,在内为减函数;‎ ‎ 当时,在内为增函数;‎ ‎ ⑵由⑴知,‎ ‎ 由得,‎ ‎ ‎ ‎ 设,‎ ‎ 则 ‎ 当时,在单调递增;‎ ‎ 当时,,在单调递减。‎ ‎ 所以,‎ ‎ 故. ‎ 变形构造函数证明不等式 1. ‎(变形构造新函数,一次)‎ 已知函数.‎ ‎⑴试讨论在定义域内的单调性;‎ ‎⑵当<-1时,证明:,.求实数的取值范围.‎ 解:⑴函数的定义域为,.‎ 当时,增区间为,减区间为;‎ 当≤≤0时,增区间为;‎ 当时,增区间为,减区间为.‎ ‎⑵当>0时,在区间(0,1)上单调递增,‎ 不妨设,则,‎ ‎∴等价于,即.‎ 构造,则>0.‎ ‎∴在上是增函数,当时,,‎ 即,即.‎ 又当>0时,在区间(0,1)上单调递增,‎ ‎∴.‎ ‎∴,即.‎ 2. ‎(2011辽宁理21,变形构造函数,二次)‎ 已知函数.‎ ‎⑴讨论函数的单调性;‎ ‎⑵设,如果对任意,≥,求的取值范围.‎ 解:⑴的定义域为(0,+∞). .‎ 当时,>0,故在(0,+∞)单调增加;‎ 当时,<0,故在(0,+∞)单调减少;‎ 当-1<<0时,令=0,解得.‎ 则当时,>0;时,<0.‎ 故在单调增加,在单调减少.‎ ‎⑵不妨假设,而<-1,由⑴知在(0,+∞)单调减少,从而 ‎ ,‎ 等价于,…… ①‎ 令,则 ‎①等价于在(0,+∞)单调减少,即.‎ 从而,设并设,‎ ‎∴,∴≤‎ 故a的取值范围为(-∞,-2].‎ 1. ‎(2010辽宁文21,构造变形,二次)‎ 已知函数.‎ ‎⑴讨论函数的单调性; K^S*5U.C#‎ ‎⑵设,证明:对任意,.‎ 解:⑴ f(x)的定义域为(0,+),.‎ 当a≥0时,>0,故f(x)在(0,+)单调增加;‎ 当a≤-1时,<0, 故f(x)在(0,+)单调减少;‎ 当-1<a<0时,令=0,解得x=.当x∈(0, )时, >0;‎ x∈(,+)时,<0, ‎ 故f(x)在(0, )单调增加,在(,+)单调减少.‎ ‎⑵不妨假设x1≥x2.由于a≤-2,故f(x)在(0,+)单调减少.‎ 所以等价于≥4x1-4x2,‎ 即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.‎ 令g(x)=f(x)+4x,则+4=.‎ 设,≤-1,对称轴为,‎ 结合图象知≤≤0,‎ 于是≤=≤0.‎ 从而g(x)在(0,+)单调减少,故g(x1) ≤g(x2),‎ 即 f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2,故对任意x1,x2∈(0,+) ,‎ 1. ‎(辽宁,变形构造,二次)‎ 已知函数f(x)=x2-ax+(a-1),.‎ ‎(1)讨论函数的单调性;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(2)证明:若,则对任意x,x,xx,有.‎ 解:(1)的定义域为.‎ ‎①若即,则,故在单调增加。‎ ‎②若,而,故,则当时,;‎ 当及时,‎ 故在单调减少,在单调增加。‎ ‎③若,即,同理在单调减少,在单调增加.‎ ‎⑵考虑函数 ‎ 则(另一种处理)‎ 由于10,上存在极值,求实数a的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)如果当时,不等式恒成立,求实数k的取值范围;‎ 解:(Ⅰ)因为, x >0,则, ‎ 当时,;当时,.‎ 所以在(0,1)上单调递增;在上单调递减,‎ 所以函数在处取得极大值. ‎ 因为函数在区间(其中)上存在极值,‎ 所以 解得. ‎ ‎ (Ⅱ)不等式即为 记 所以 ‎ 令,则, ‎ ‎, 在上单调递增, ‎ ‎,从而,‎ 故在上也单调递增, 所以,所以 .‎ 2. ‎(2010湖南,分离常数,构造函数)‎ 已知函数 对任意的恒有.‎ ‎⑴证明:当 ‎⑵若对满足题设条件的任意b、c,不等式恒成立,求M的最小值。‎ 1. ‎(第3问不常见,有特点,由特殊到一般,先猜后证)已知函数 ‎(Ⅰ)求函数f (x)的定义域 ‎(Ⅱ)确定函数f (x)在定义域上的单调性,并证明你的结论.‎ ‎(Ⅲ)若x>0时恒成立,求正整数k的最大值.‎ 解:(1)定义域 ‎(2)单调递减。‎ 当,令,‎ 故在(-1,0)上是减函数,即,‎ 故此时 在(-1,0)和(0,+)上都是减函数 ‎(3)当x>0时,恒成立,令 又k为正整数,∴k的最大值不大于3‎ 下面证明当k=3时,恒成立 当x>0时 恒成立 ‎ 令,则 ‎,,当 ‎∴当取得最小值 当x>0时, 恒成立,因此正整数k的最大值为3‎ 1. ‎(恒成立,分离常数,涉及整数、较难的处理)‎ 已知函数 ‎ (Ⅰ)试判断函数上单调性并证明你的结论;‎ ‎ (Ⅱ)若恒成立,求整数k的最大值;(较难的处理)‎ ‎ (Ⅲ)求证:(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>e2n-3.‎ 解:(I)‎ 上递减. ‎ ‎(II)‎ 则上单调递增,‎ 又 存在唯一实根a,且满足 当 ‎∴‎ 故正整数k的最大值是3 .‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)知 ‎∴‎ 令,则 ‎∴ln(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)]‎ ‎∴(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>e2n-3 ‎ 1. ‎(分离常数,双参,较难)已知函数,.‎ ‎(1)若函数依次在处取到极值.‎ ‎①求的取值范围;②若,求的值.‎ ‎(2)若存在实数,使对任意的,不等式 恒成立.求正整数的最大值.‎ 解:(1)①‎ ‎②‎ ‎.‎ ‎(2)不等式 ,即,即.‎ 转化为存在实数,使对任意,不等式恒成立,即不等式在上恒成立。‎ 即不等式在上恒成立。‎ 设,则。‎ 设,则,因为,有。‎ 故在区间上是减函数。‎ 又 故存在,使得。‎ 当时,有,当时,有。‎ 从而在区间上递增,在区间上递减。‎ 又 所以当时,恒有;当时,恒有;‎ 故使命题成立的正整数的最大值为5.‎ 1. ‎(2008湖南理22,分离常数,复合的超范围)‎ 已知函数 ‎ ‎⑴求函数的单调区间;‎ ‎⑵若不等式对任意的都成立(其中e是自然对数的底数),求a的最大值.(分离常数)‎ 解: ⑴函数的定义域是,‎ 设则 令则 当时, 在(-1,0)上为增函数,‎ 当x>0时,在上为减函数.‎ 所以h(x)在x=0处取得极大值,而h(0)=0,所以,‎ 函数g(x)在上为减函数.‎ 于是当时,当x>0时,‎ 所以,当时,在(-1,0)上为增函数.‎ 当x>0时,在上为减函数.‎ 故函数的单调递增区间为(-1,0),单调递减区间为.‎ ‎⑵不等式等价于不等式 由知,>0,∴上式变形得 设,则则 由⑴结论知,(≤)即 所以于是G(x)在上为减函数.‎ 故函数在上的最小值为 所以a的最大值为 1. ‎(变形,分离常数)‎ 已知函数(a为实常数).‎ ‎(1)若,求证:函数在(1,+∞)上是增函数; ‎ ‎(2)求函数在[1,e]上的最小值及相应的值;‎ ‎(3)若存在,使得成立,求实数a的取值范围.‎ 解:⑴当时,,当,,‎ 故函数在上是增函数.‎ ‎⑵,当,.‎ 若,在上非负(仅当,x=1时,),故函数在上是增函数,此时.‎ 若,当时,;当时,,此时 是减函数;当时,,此时是增函数.‎ 故.‎ 若,在上非正(仅当,x=e时,),故函数 在上是减函数,此时.‎ ‎⑶不等式,可化为.‎ ‎∵, ∴且等号不能同时取,所以,即,‎ 因而()‎ 令(),又,‎ 当时,,,‎ 从而(仅当x=1时取等号),所以在上为增函数,‎ 故的最小值为,所以a的取值范围是.‎ 2. ‎(分离常数,转换变量,有技巧)‎ 设函数.‎ ‎⑴若函数在处与直线相切:‎ ‎①求实数的值;②求函数在上的最大值;‎ ‎⑵当时,若不等式≥对所有的都成立,求实数的取值范围.‎ 解:(1)①。‎ ‎∵函数在处与直线相切解得 .‎ ‎②‎ 当时,令得;令,得,上单调递增,在[1,e]上单调递减,.‎ ‎ (2)当b=0时,若不等式对所有的都成立,则对所有的都成立,‎ 即对所有的都成立,‎ 令为一次函数, .‎ 上单调递增,,‎ 对所有的都成立.‎ ‎..‎ ‎(注:也可令所有的都成立,分类讨论得对所有的都成立,,请根据过程酌情给分)‎ 恒成立之讨论字母范围 1. ‎(2007全国I,利用均值,不常见)‎ 设函数.‎ ‎⑴证明:的导数;‎ ‎⑵若对所有都有,求的取值范围.‎ 解:⑴的导数.由于,故.‎ ‎(当且仅当时,等号成立).‎ ‎⑵令,则,‎ ‎①若,当时,,‎ 故在上为增函数,‎ 所以,时,,即.‎ ‎②若,方程的正根为,‎ 此时,若,则,故在该区间为减函数.‎ 所以,时,,即,与题设相矛盾.‎ 综上,满足条件的的取值范围是.‎ 1. 设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)-g(x).‎ ‎(Ⅰ)若x=0是F(x)的极值点,求a的值;‎ ‎(Ⅱ)当 a=1时,设P(x1,f(x1)), Q(x2, g(x 2))(x1>0,x2>0), 且PQ//x轴,求P、Q两点间的最短距离;‎ ‎(Ⅲ):若x≥0时,函数y=F(x)的图象恒在y=F(-x)的图象上方,求实数a的取值范围.‎ 解:(Ⅰ)F(x)= ex+sinx-ax,.‎ 因为x=0是F(x)的极值点,所以. ‎ 又当a=2时,若x<0, ;若 x>0, .‎ ‎∴x=0是F(x)的极小值点, ∴a=2符合题意. ‎ ‎(Ⅱ) ∵a=1, 且PQ//x轴,由f(x1)=g(x2)得:,所以.‎ 令当x>0时恒成立.‎ ‎∴x∈[0,+∞时,h(x)的最小值为h(0)=1.∴|PQ|min=1. ‎ ‎(Ⅲ)令 则.‎ 因为当x≥0时恒成立, ‎ 所以函数S(x)在上单调递增, ‎ ‎∴S(x)≥S(0)=0当x∈[0,+∞时恒成立; ‎ 因此函数在上单调递增, 当x∈[0,+∞时恒成立.‎ 当a≤2时,,在[0,+∞单调递增,即.‎ 故a≤2时F(x)≥F(-x)恒成立. ‎ 2. ‎(用到二阶导数,二次)‎ 设函数.‎ ‎⑴若,求的最小值;‎ ‎⑵若当时,求实数的取值范围.‎ 解:(1)时,,.‎ 当时,;当时,.‎ 所以在上单调减小,在上单调增加 故的最小值为 ‎(2),‎ 当时,,所以在上递增,‎ 而,所以,所以在上递增,‎ 而,于是当时, .‎ 当时,由得 当时,,所以在上递减,‎ 而,于是当时,,所以在上递减,‎ 而,所以当时,.‎ 综上得的取值范围为.‎ 1. ‎(第3问设计很好,2问是单独的,可以拿掉)已知函数,斜率为的直线与相切于点.‎ ‎(Ⅰ)求的单调区间; ‎ ‎(Ⅱ)当实数时,讨论的极值点。‎ ‎(Ⅲ)证明:.‎ 解:(Ⅰ)由题意知:‎ ‎………………………………2分 解得:; 解得:‎ 所以在上单调递增,在上单调递减………………4分 ‎(Ⅱ)=‎ 得:.‎ ‎ 若即,‎ ‎+‎ ‎-‎ ‎+‎ 极大值 极小值 此时的极小值点为,极大值点………………………………7分 ‎ 若即,,则, 在 上单调递增,无极值点.‎ ‎ 若即,,‎ ‎+‎ ‎-‎ ‎+‎ 极大值 极小值 此时的极大值点为,极小值点.‎ 综上述:‎ 当时,的极小值点为,极大值点;‎ 当时,无极值点;‎ 当时,的极大值点为,极小值点.‎ 1. ‎(2011全国I文21,恒成立,一次,提出一部分再处理的技巧)‎ 设函数.‎ ‎⑴若a =,求的单调区间;‎ ‎⑵若当≥0时≥0,求a的取值范围.‎ 解:⑴时,,.‎ 当时;当时,;‎ 当时,.‎ 故在,单调增加,在(-1,0)单调减少.‎ ‎⑵.令,则.‎ ‎①若,则当时,,为减函数,而,‎ 从而当x≥0时≥0,即≥0,符合题意.‎ ‎②若,则当时,,为减函数,而,‎ 从而当时<0,即<0,不合题意.‎ ‎ 综合得的取值范围为 1. ‎(2011全国新理21,恒成立,反比例,提出公因式再处理的技巧,本题的创新之处是将一般的过定点(0,0)变为过定点(1,0),如果第2问范围变为则更间单)‎ 已知函数在点处的切线方程为.‎ ‎⑴求、的值;‎ ‎⑵如果当,且时,,求的取值范围。‎ 解:⑴,‎ 依意意且,即,,解得,.‎ ‎⑵由⑴知,所以.‎ 设,则.‎ ‎(注意h(x)恒过点(1,0),由上面求导的表达式发现讨论点0和1)‎ ‎① 当,由,(变形难想,法二)‎ 当时,.而,故 当时,,可得;‎ 当x(1,+)时,<0,可得>0,‎ 从而当x>0,且x1时,-(+)>0,即>+.‎ 法二:的分子≤<0,∴. ‎ ‎②当0< k <1,由于当x(1,)时,(k-1)(x2 +1)+2x>0,故>0,而 ‎=0,故当x(1,)时,>0,可得<0,不合题意.‎ ‎③当k≥1,此时>0,则x(1,+)时,递增,,∴<0,不合题意.‎ ‎ 综上,k的取值范围为(-,0]‎ 1. ‎(恒成立,讨论,较容易,但说明原理)已知函数.‎ ‎(1)求函数的单调区间和极值;‎ ‎(2)若对上恒成立,求实数的取值范围.‎ 解:(1).‎ 当时,,在上增,无极值;当时,,‎ 在上减,在上增,∴有极小值,无极大值.‎ ‎(2)‎ 当时,在上恒成立,则是单调递增的,‎ 则只需恒成立,所以.‎ 当时,在上减,在上单调递增,所以当时,‎ 这与恒成立矛盾,故不成立.‎ 综上:.‎ 2. ‎(2010新课程理21,恒成立,讨论,二次,用到结论)‎ 设函数.‎ ‎⑴若,求的单调区间;‎ ‎⑵若当时,求的取值范围. ‎ 解:命题意图:本题主要考查利用导数研究函数性质、不等式恒成立问题以及参数取值范围问题,考查分类讨论、转化与划归解题思想及其相应的运算能力.‎ ‎⑴时,,.‎ 当时,;当时,.故在单调减少,在单调增加.‎ ‎⑵①当≤时,,‎ 由⑴结论知≥,则,‎ 故,从而当,即时,,‎ 而,于是当时,,符合题意.‎ ‎②时,由可得.(太难想,法二)‎ ‎,‎ 故当时,,而,于是当时,.‎ 综合得的取值范围为.‎ 法二:设,则,‎ 令,得.‎ 当,,在此区间上是增函数,∴≤,‎ ‎∴在此区间上递增,∴≤,不合题意.‎ 1. ‎(恒成立,2010全国卷2理数,利用⑴结论,较难的变形讨论)‎ 设函数.‎ ‎⑴证明:当时,;‎ ‎⑵设当时,,求a的取值范围.‎ 解:本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式,考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想,考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力.‎ ‎【点评】导数常作为高考的压轴题,对考生的能力要求非常高,它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能,还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题,主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题,利用导数证明不等式等,常伴随对参数的讨论,这也是难点之所在.‎ 1. 已知函数,且函数是上的增函数。‎ ‎ (1)求的取值范围;‎ ‎ (2)若对任意的,都有(e是自然对数的底),求满足条件的最大整数的值。‎ 解析:(1)设,所以,得到.所以的取值范围为………2分 ‎(2)令,因为是上的增函数,且,所以是上的增函数。…………………………4分 由条件得到(两边取自然对数),猜测最大整数,现在证明对任意恒成立。…………6分 等价于,………………8分 设,‎ 当时,,当时,,‎ 所以对任意的都有,即对任意恒成立,‎ 所以整数的最大值为2.……………………………………………………14分 2. ‎(2008山东卷21)‎ 已知函数其中n∈N*,a为常数.‎ ‎⑴当n=2时,求函数f(x)的极值;‎ ‎⑵当a=1时,证明:对任意的正整数n,当x≥2时,有f(x)≤x-1.‎ 解:⑴由已知得函数f(x)的定义域为{x|x>1},‎ 当n=2时, 所以 ‎①当a>0时,由f(x)=0得>1,<1,‎ 此时=.‎ 当x∈(1,x1)时,<0,f(x)单调递减;‎ 当x∈(x1+∞)时,>0, f(x)单调递增.‎ ‎②当a≤0时,<0恒成立,所以f(x)无极值.‎ 综上所述,n=2时,‎ 当a>0时,f(x)在处取得极小值,极小值为 当a≤0时,f(x)无极值.‎ ‎⑵证法一:因为a=1,所以 ‎ ①当n为偶数时,令 则)=1+>0(x≥2).‎ 所以当x∈[2,+∞]时,g(x)单调递增,‎ 又g(2)=0,因此≥g(2)=0恒成立,‎ ‎ 所以f(x)≤x-1成立.‎ ‎②当n为奇数时,要证≤x-1,由于<0,所以只需证ln(x-1) ≤x-1,‎ ‎ 令h(x)=x-1-ln(x-1),则=1-≥0(x≥2),‎ ‎ 所以,当x∈[2,+∞]时,单调递增,又h(2)=1>0,‎ ‎ 所以当x≥2时,恒有h(x)>0,即ln(x-1)<x-1命题成立.‎ 综上所述,结论成立.‎ 证法二:当a=1时,‎ ‎ 当x≤2,时,对任意的正整数n,恒有≤1,‎ ‎ 故只需证明1+ln(x-1) ≤x-1.‎ ‎ 令 ‎ 则 ‎ 当x≥2时,≥0,故h(x)在上单调递增,‎ ‎ 因此,当x≥2时,h(x)≥h(2)=0,即1+ln(x-1) ≤x-1成立.‎ ‎ 故当x≥2时,有≤x-1.‎ ‎ 即f(x)≤x-1.‎ 五、函数与导数性质的综合运用 1. ‎(综合运用)‎ 已知函数 ‎⑴求函数的单调区间和极值;‎ ‎⑵已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,证明当时,‎ ‎⑶如果,且,证明 解:本小题主要考查导数的应用,利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力.‎ ‎⑴,令=0,得.‎ 当变化时,,的变化情况如下表 ‎()‎ ‎1‎ ‎()‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 极大值 ‎∴在()内是增函数,在()内是减函数;极大值.‎ ‎⑵证明:由题意可知g(x)=f(2-x),∴g(x)=(2-x).‎ 令F(x)=f(x)-g(x)=,则 当时,2x-2>0,从而 ‎,从而在[1,+∞)是增函数。‎ 又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).‎ ‎⑶证明:①若 ‎ ‎②若 ‎∴根据①②得 由⑵可知,>,则=,所以>,‎ 从而>.因为,所以,‎ 又由⑴可知函数在区间(-∞,1)内是增函数,所以>,即>2.‎ 1. ‎(2010天津理数21,综合运用)‎ 已知函数 ‎⑴求函数的单调区间和极值;‎ ‎⑵已知函数对任意满足,证明:当时,‎ ‎⑶如果,且,证明:‎ 解:⑴∵=,∴=.                   (2分)‎ 令=0,解得.‎ ‎2‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎∴在内是增函数,在内是减函数.           (3分)‎ ‎∴当时,取得极大值=.  (4分)‎ ‎⑵证明:‎ ‎,则 ‎=.              (6分)‎ 当时,<0,>3,从而<0,‎ ‎∴>0,在是增函数.                (7分)‎ ‎        (8分)‎ ‎⑶证明:∵在内是增函数,在内是减函数. ‎ ‎∴当,且,、不可能在同一单调区间内.‎ 不妨设,由⑵可知,‎ 又,∴.‎ ‎∵,∴.‎ ‎∵,且在区间内为增函数,‎ ‎∴,即                    (12分)‎ 1. 已知函数 ‎(1) 求函数的单调区间和极值;‎ ‎(2) 若函数对任意满足,求证:当,‎ ‎(3) 若,且,求证:‎ 解:⑴∵=,∴=.           (2分)‎ 令=0,解得.‎ ‎2‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎∴在内是增函数,在内是减函数.           (3分)‎ ‎∴当时,取得极大值=.  (4分)‎ ‎⑵证明:,,‎ ‎∴=.             (6分)‎ 当时,<0,>4,从而<0,‎ ‎∴>0,在是增函数.‎ ‎       (8分)‎ ‎⑶证明:∵在内是增函数,在内是减函数. ‎ ‎∴当,且,、不可能在同一单调区间内.‎ 不妨设,由⑵可知,‎ 又,∴.‎ ‎∵,∴.‎ ‎∵,且在区间内为增函数,‎ ‎∴,即 1. 已知函数,‎ ‎(Ⅰ)若,求的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)对于任意的,比较与的大小,并说明理由.‎ 解:(Ⅰ),,-----1分 ①当时,在上恒成立,的递增区间为;------2分 ②当时,的递增区间为;--------------3分 ‎ ③当时,的递增区间为,递减区间为;--------4分 ‎(Ⅱ)令,‎ ‎,‎ 令,在上恒成立,‎ 当时,成立,在上恒成立,‎ 在上单调递增,当时,恒成立,‎ 当时,恒成立, ‎ 对于任意的时,,‎ 又,,‎ ‎,即.‎ 2. ‎(2011辽宁理21,利用2的对称)‎ 已知函数.‎ ‎⑴讨论的单调性;‎ ‎⑵设,证明:当时,;(作差)‎ ‎⑶若函数的图像与x轴交于A、B两点,线段AB中点的横坐标为,证明:.‎ 解:⑴ ‎ ‎①若单调增加.‎ ‎②若 且当 所以单调增加,在单调减少. ‎ ‎⑵设函数则 当.‎ 故当, ‎ ‎⑶由⑴可得,当的图像与x轴至多有一个交点,‎ 故,从而的最大值为 不妨设 由⑵得 从而 由⑴知, ‎ 1. ‎(恒成立,思路不常见)‎ 已知函数,其中为实数.‎ ‎ (1)当时,求曲线在点处的切线方程;‎ ‎ (2)是否存在实数,使得对任意,恒成立?若不存在,请说明理由,若存在,求出的值并加以证明.‎ 解:⑴时,,,‎ ‎,又,所以切线方程为.‎ ‎⑵①当时,,则 令,,‎ 再令,‎ 当时,∴在上递减,‎ ‎∴当时,,‎ ‎∴,所以在上递增,,所以 ‎②时,,则 由①知当时,在上递增 当时,,‎ 所以在上递增,∴,∴;‎ 由①②得.‎ 1. 已知函数,在区间上有最大值4,最小值1,设.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)不等式在上恒成立,求实数的范围;‎ ‎(Ⅲ)方程有三个不同的实数解,求实数的范围.‎ 解:(Ⅰ)(1) ‎ 当时,上为增函数 ‎ 故 ‎ 当上为减函数 故 ‎ 即. .‎ ‎(Ⅱ)方程化为 ‎,令,‎ ‎∵ ∴ 记∴ ∴ ‎ ‎(Ⅲ)方程化为 ‎,‎ 令, 则方程化为 ()‎ ‎∵方程有三个不同的实数解,‎ ‎∴由的图像知,‎ 有两个根、, ‎ 且 或 , ‎ ‎ ‎ 记 则 或 ∴‎ 1. 已知函数, 设 ‎ ‎(1)是否存在唯一实数,使得,若存在,求正整数m的值;若不存在,说明理由。‎ ‎(2)当时,恒成立,求正整数n的最大值。‎ 解:(1)由得 ‎ 则因此在内单调递增。……………4分 因为,,‎ 即存在唯一的根,于是 ……………6分 ‎(2)由得,且恒成立,由第(1)题知存在唯一的实数,使得,且当时,,;当时,,因此当时,取得最小值 ……………9分 由,得 即 于是 ‎ 又由,得,从而,故正整数n的最大值为3。………12分 1. ‎ (第3问难想)已知函数,其中e是自然数的底数,。‎ (1) 当时,解不等式;‎ (2) 若在[-1,1]上是单调增函数,求的取值范围;‎ (3) 当时,求整数k的所有值,使方程在[k,k+1]上有解。‎ ‎⑴因为,所以不等式即为,‎ 又因为,所以不等式可化为,‎ 所以不等式的解集为.………………………………………4分 ‎⑵,‎ ‎①当时,,在上恒成立,当且仅当时 取等号,故符合要求;………………………………………………………6分 ‎②当时,令,因为,‎ 所以有两个不相等的实数根,,不妨设,‎ 因此有极大值又有极小值.‎ 若,因为,所以在内有极值点,‎ 故在上不单调.………………………………………………………8分 若,可知,‎ 因为的图象开口向下,要使在上单调,因为,‎ 必须满足即所以.‎ 综上可知,的取值范围是.………………………………………10分 ‎⑶当时, 方程即为,由于,所以不是方程的解,‎ 所以原方程等价于,令,‎ 因为对于恒成立,‎ 所以在和内是单调增函数,……………………………13分 又,,,,‎ 所以方程有且只有两个实数根,且分别在区间和上,‎ 所以整数的所有值为.………………………………………………………16分 1. ‎(2011高考,单调性应用,第2问难)‎ 已知a、b是实数,函数 和是的导函数,若在区间I上恒成立,则称和在区间I上单调性一致.‎ ‎(1)设,若函数和在区间上单调性一致,求实数b的取值范围;‎ ‎(2)设且,若函数和在以a,b为端点的开区间上单调性一致,求|a-b|的最大值.‎ 解:‎ ‎⑴因为函数和在区间上单调性一致,‎ 所以,‎ 即 即实数b的取值范围是 ‎⑵由 若,则由,,和在区间上不是单调性一致,所以.‎ ‎;又.‎ 所以要使,只有 ‎,‎ 取,当时, ‎ 因此 当时,因为,函数和在区间(b,a)上单调性一致,所以,‎ 即,‎ 设,考虑点(b,a)的可行域,函数的斜率为1的切线的切点设为 则;‎ 当时,因为,函数和在区间(a, b)上单调性一致,所以,‎ 即,‎ 当时,因为,函数和在区间(a, b)上单调性一致,所以,‎ 即而x=0时,不符合题意, ‎ 当时,由题意:‎ ‎,‎ 综上可知,。‎ 1. ‎(2010湖南文数,另类区间)‎ 已知函数其中a<0,且a≠-1.‎ ‎(Ⅰ)讨论函数的单调性;‎ ‎(Ⅱ)设函数(e是自然数的底数)。是否存在a,使在[a,-a]上为减函数?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由。‎ ‎79. (2008辽宁理22,第2问无从下手,思路太难想)‎ 设函数.‎ ‎⑴求的单调区间和极值;‎ ‎⑵是否存在实数,使得关于的不等式的解集为?若存在,求的取值范围;若不存在,试说明理由.‎ 说明:本小题主要考查函数的导数,单调性,极值,不等式等基础知识,考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力.满分14分.‎ 解:⑴.‎ 故当时,,时,.‎ 所以在单调递增,在单调递减.‎ 由此知在的极大值为,没有极小值.‎ ‎⑵①当时,由于,‎ 故关于的不等式的解集为.‎ ‎②当时,由知,其中为正整数,且有.‎ 又时,.且.‎ 取整数满足,,且,‎ 则,‎ 即当时,关于的不等式的解集不是.‎ 综合①②知,存在,使得关于的不等式的解集为,且的取值范围为.‎ ‎80. (第二问较难)‎ ‎ 设函数,,是的一个极大值点.‎ ‎⑴若,求的取值范围;‎ ‎⑵当是给定的实常数,设是的3个极值点,问是否存在实数,可找到,使得的某种排列(其中=)依次成等差数列?若存在,求所有的及相应的;若不存在,说明理由.‎ 解:本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识,同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识.‎ ‎ (Ⅰ)时,,‎ ‎,‎ 令,,‎ 设是的两个根,‎ ‎ (1)当或时,则不是极值点,不合题意;‎ ‎ (2)当且时,由于是的极大值点,故 ‎ ,即,‎ ‎(Ⅱ)解:,‎ 令,‎ ‎,‎ 于是,假设是的两个实根,且 由(Ⅰ)可知,必有,且是的三个极值点,‎ 则,‎ 假设存在及满足题意,‎ ‎(1)当等差时,即时,‎ 则或,‎ 于是,即 此时 或 ‎ (2)当时,则或 ‎①若,则,‎ 于是,‎ 即 两边平方得,‎ 于是,此时,‎ 此时=‎ ‎②若,则,‎ 于是,‎ 即两边平方得,‎ 于是,此时 此时 综上所述,存在b满足题意,‎ 当b=-a-3时,,‎ 时,,‎ 时,.‎ ‎81. 已知函数,,记 ‎(Ⅰ)求的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)当时,若,比较:与的大小;‎ ‎(Ⅲ)若的极值为,问是否存在实数,使方程有四个不同实数根?若存在,求出实数的取值范围;若不存在,请说明理由。‎ 解:(Ⅰ)的定义域为(0,+∞), 又 ‎ , 当时,>0恒成立 ‎∴在(0,+∞)上单调递增; 令得 当时,若, ∴在(0,)上单调递减;‎ ‎ 若,,∴在(,+∞)上单调递增 ‎ ‎ 故时,增区间为;‎ 时,增区间为,减区间为(0,)。 ……4分 ‎(Ⅱ)令,‎ ‎ 则,所以在[1,+∞)‎ ‎ 上单调递增,∴,∴.‎ ‎ (Ⅲ)由(Ⅰ)知仅当时,在=处取得极值 由可得=2,方程为 ‎,令,得...‎ ‎  由方程有四个不同的根,得方程有两个不同的正根,‎ 令,当直线与曲线相切时,,得切点坐标(3,) ∴切线方程为,其在y轴上截距为;当直线在轴上截距时,和在y轴右侧有两个不同交点,所以k的取值范围为(,0).‎ ‎ (注:也可用导数求解) ‎ 六、导数应用题 ‎82. 某工厂生产某种儿童玩具,每件玩具的成本为30元,并且每件玩具的加工费为t元(其中t为常数,且2≤t≤5),设该工厂每件玩具的出厂价为x元(35≤x≤41),根据市场调查,日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例,当每件玩具的出厂价为40元时,日销售量为10件.‎ ‎(1)求该工厂的日利润y(元)与每件玩具的出厂价x元的函数关系式;‎ ‎(2)当每件玩具的日售价为多少元时,该工厂的利润y最大,并求y的最大值.‎ 解:(1)设日销售量为,则=10,∴k=10 e40.则日销售量为,‎ ‎∴日利润y=(x-30-t)·.∴y=,其中35≤x≤41.‎ ‎(2)y′=,令y′=0得x=31+t.‎ ‎①当2≤t≤4时,33≤31+t≤35.∴当35≤x≤41时,y′≤0.‎ ‎∴当x=35时,y取最大值,最大值为10(5-t)e5.‎ ‎②当4
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