高考导数与积分命题热点研讨2
第五讲：2013年高考导数与积分命题热点研讨（2）
第三部分：模拟演练
导数与积分一直以来都是高考的热点，其重要性就不必多说了.导数与积分在高考中主要考察求切线斜率（导数的背景、定义、几何意义、瞬时变化率）、求极值、求单调性、和数列三角函数不等式联合起来考察学生的计算能力、转化与化归思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想.
孟老师大胆预测点1双基检测
2012年安徽高考
（）·（4）=
（A） （B） （C） 2 （D） 4
【解析】选
孟老师大胆预测点2对函数图像的考察
1（孟老师模拟举例）
函数y＝5x与函数y＝－的图像关于
A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．直线y＝x对称
解析：因y＝－＝－5－x，所以关于原点对称．答案：C
2．(2011·北京海淀一模)
函数f(x)＝图像的对称中心为
A．(0,0) B．(0,1) C．(1,0) D．(1,1)
解析：f(x)＝＝1＋，把函数y＝的图像向上平移1个单位，即得函数f(x)的图像．
由y＝的对称中心为(0,0)，可得平移后的f(x)图像的对称中心为(0,1)．答案：B
3（孟老师模拟举例）
函数y＝ln的图像为
解析：易知2x－3≠0，即x≠，排除C，D项．当x>时，函数为减函数，当x<时，函数为增函数．答案：A
4．(2012·福建质检)
函数f(x)＝的图像上关于y轴对称的点共有
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
解析：因为y＝cosπx是偶函数，图像关于y轴对称．
所以，本题可转化成求函数y＝log3x与y＝cosπx图像的交点个数的问题．
作函数图像如图，可知有三个交点，即函数f(x)图像上关于y轴对称的点有3对．
答案：D
孟老师大胆预测3对函数性质的考察
1．(2012·昆明模拟)
已知减函数f(x)的定义域是实数集R，m、n都是实数．如果不等式f(m)－f(n)>f(－m)－f(－n)成立，那么下列不等式成立的是
A．m－n<0 B．m－n>0 C．m＋n<0 D．m＋n>0
解析：因为f(x)是定义域为R的减函数，所以－f(－x)也是定义域为R的减函数，则f(x)－f(－x)是定义域为R的减函数，由于f(m)－f(n)>f(－m)－f(－n)，即f(m)－f(－m)>f(n)－f(－n)，所以m
0，则函数f(x)在[a，b]上有
A．最小值f(a) B．最大值f(b) C．最小值f(b) D．最大值f()
解析：设x10.∴f(x1)>f(x2)．即f(x)在R上为减函数．∴f(x)在[a，b]上亦为减函数．∴f(x)min＝f(b)，f(x)max＝f(a)，故选C.答案：C
3(2012·揭阳一模)
已知函数y＝是偶函数，f(x)＝logax的图像过点(2,1)，则y＝g(x)对应
的图像大致是下图中的
解析：依题意易得f(x)＝log2x(x>0)，函数的图像关于y轴对称，可得g(x)＝log2(－x)(x<0)．
答案：B
4（2009年江苏卷）
函数的单调减区间为
【答案】
【解析】，由得单调减区间为.
5（2010年新课标全国）
设函数.
（I）若，求的单调区间；
（II）若当时，求的取值范围.
解：（1）时，，.
当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加
（II）由（I）知，当且仅当时等号成立.故
，从而当，
即时，，而，于是当时，.
由可得.
从而当时， ，
故当时，，而，于是当时，.
综合得的取值范围为.
孟老师大胆预测4：三个二次的考察
1(2012·金华月考)
若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a等于
A．－2 B．－1 C．1 D．2
解析：∵y＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a是偶函数，∴1－a＝0，∴a＝1.答案：C
2(2012·福建质检)
设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是
A．(－∞，0] B．[2，＋∞) C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0,2]
解析：二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，
则a≠0，f′(x)＝2a(x－1)<0，x∈[0,1]，
所以a>0，即函数图像的开口向上，对称轴是直线x＝1.
所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.答案：D
孟老师热点预测5：指数函数与对数函数
1（2012年安徽卷）
（）·（4）=
（A） （B） （C） 2 （D） 4
【解析】选
2（孟老师模拟举例）
函数y＝log2|x|的图像大致为
解析：显然函数y＝log2|x|为偶函数，且当x>0时单调递增，与C选项相符．答案：C
3(2012·哈师大附中月考)
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，当x∈(－，0)时，f(x)＝log(1－x)，则f(2 011)＋f(2 013)＝
A．1 B．2 C．－1 D．－2
解析：由已知得，f(2 011)＋f(2 013)＝f(670×3＋1)＋f(671×3)＝f(1)＋f(0)＝－f(－1)＝1.答案：A
4（孟老师模拟举例）
设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则a，b，c的大小关系是__________．
解析：∵a＝log3π>1，b＝log2∈(，1)，c＝log3＝log32<，∴a>b>c.
答案：a>b>c
孟老师大胆预测6：导数及其综合应用
1（孟老师模拟举例）
定义在(0，＋∞)上的可导函数f(x)满足：x·f ′(x)0，∴x0＝1，∴y0＝1，即M(1,1)．此时点M到直线的最小距离为d＝＝＝2.
4（2010年新课标全国卷）
设函数.
（I）若，求的单调区间；
（II）若当时，求的取值范围
解：（1）时，，.
当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加
（II）
由（I）知，当且仅当时等号成立.故
，
从而当，即时，，而，
于是当时，.
由可得.从而当时，
，
故当时，，而，于是当时，.
综合得的取值范围为.
5（2009年安徽卷）
已知函数，讨论的单调性.
本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力.本小题满分12分.
解：的定义域是(0,+),
设,二次方程的判别式.
（1）当，即时，对一切都有.
此时在上是增函数.
（2）当,即时，仅对有,对其余的都有, 此时在上也是增函数.
（3）当，即时，
方程有两个不同的实根,,.
+
0
_
0
+
单调递增↑
极大
单调递减↓
极小
单调递增↑
此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增.
6(12分)(2011·江西卷)
设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.
(1)若f(x)在(，＋∞)上存在单调递增区间，求a的取值范围；
(2)当00，得a>－.
所以，当a>－时，f(x)在(，＋∞)上存在单调递增区间．
(2)令f ′(x)＝0，得两根x1＝，x2＝.
所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在[x1，x2]上单调递增．
当0
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