江苏省盐城市2019-2020学年度高一下学期期终(期末)数学考试试题(解析版)

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江苏省盐城市2019-2020学年度高一下学期期终(期末)数学考试试题(解析版)

‎2019-2020学年江苏省盐城市高一第二学期期末数学试卷 一、选择题(共8小题).‎ ‎1.已知集合A={x|﹣2<x<1},B={﹣2,﹣1,0,1,2},则集合A∩B=(  )‎ A.{0} B.{﹣1,0} C.{0,1} D.{﹣1,0,1}‎ ‎2.某校高一、高二、高三年级各有学生数分别为800、1000、800(单位:人),现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本了解网课学习情况,样本中高一学生的人数为48人,那么此样本的容量n为(  )‎ A.108 B.‎96 ‎C.156 D.208‎ ‎3.从3名男生,2名女生中任选2人参加抗疫志愿服务活动,则选中的是1男1女的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.若直线x+ay+1=0与直线ax+4y+2=0平行,则实数a的值为(  )‎ A.﹣2 B.‎0 ‎C.2 D.±2‎ ‎5.在疫情冲击下,地摊经济有利于缓解部分失业人群的燃眉之急,2020年5月底中央开始鼓励地摊经济,某地摊的日盈利y(单位:百元)与当天的平均气温x(单位:℃)之间有如下数据:‎ x/℃‎ ‎20‎ ‎22‎ ‎24‎ ‎21‎ ‎23‎ y/百元 ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎3‎ 若y与x具有线性相关关系,则y与x的线性回归方程必过的点为(  )‎ A.(22,3) B.(22,5) C.(24,3) D.(24,5)‎ ‎6.与圆x2+y2+4x﹣4y+7=0和x2+y2﹣4x﹣10y+13=0都相切的直线共有(  )‎ A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 ‎7.若一个圆锥的母线长为4,且其侧面积为其轴截面面积的4倍,则该圆锥的高为(  )‎ A.π B. C. D.‎ ‎8.设函数f(x)=,若存在x1,x2∈R且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围为(  )‎ A.(﹣∞,)∪[1,+∞) B.[,1) ‎ C.(0,) D.(0,)∪(1,+∞)‎ 二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,计20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分,请在答题纸的指定位置填涂答案选项.)‎ ‎9.设函数f(x)=sin2x+cos2x,则下列结论正确的是(  )‎ A.f(x)的最小正周期为π ‎ B.y=f(x)的图象关于直线x=对称 ‎ C.f(x)的最大值为 ‎ D.y=f(x)的图象关于点(,0)对称 ‎10.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a==absinC,acosB+bsinA=c,则下列结论正确的是(  )‎ A.tanC=2 B.A= ‎ C.b=或b=3 D.△ABC的面积为6‎ ‎11.已知边长为2的菱形ABCD中,,现沿着BD将菱形折起,使得,则下列结论正确的是(  )‎ A.AC⊥BD ‎ B.二面角A﹣BD﹣C的大小为 ‎ C.点A到平面BCD的距离为 ‎ D.直线AD与平面BCD所成角的正切值为 ‎12.设函数f(x)是定义在实数集R上周期为2的偶函数,当0≤x≤1时,.若直线y=x+a与函数y=f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点,则实数a的值可为(  )‎ A.﹣ B.‎0 ‎C.﹣ D.1﹣‎ 三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,计20分,不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)‎ ‎13.已知tanα=2,则sin2α﹣cos2α=   .‎ ‎14.古希腊数学家阿基米德的整碑上刻着一个圆柱,此陶柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等,如图所示,相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现,我们不妨称之为“阿氏球柱体”,若在装满水的阿氏球柱体中放入其内切球(溢出部分水),则“阿氏球桂体”中剩下的水的体积与圆柱体积的比值为   .‎ ‎15.已知点P在圆C:(x﹣4)2+y2=4上,点A(6,0),M为AP的中点,O为坐标原点,则tan∠MOA的最大值为   .‎ ‎16.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,圆M为△BCD的内切圆,点P为圆上任意一点,且,则λ+μ的最大值为   .‎ 四、解答题(本大题共6小题,计70分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内)‎ ‎17.已知A、B、C三点的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),α∈(,)‎ ‎(1)若||=||,求角α的值;‎ ‎(2)若•=﹣1,求的值.‎ ‎18.某市为了解疫情过后制造业企业的复工复产情况,随机调查了100家企业,得到这些企业4月份较3月份产值增长率x的频率分布表如表:‎ x的分组 ‎[﹣0.20,0)‎ ‎[0,0.20)‎ ‎[0.20,0.40)‎ ‎[0.40,0.60)‎ ‎[0.60,0.80]‎ 企业数 ‎13‎ ‎40‎ ‎35‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎(1)估计制造业企业中产值增长率不低于60%的企业比例及产值负增长的企业比例;‎ ‎(2)求制造业企业产值增长率的平均数与方差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).‎ ‎19.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠BCD=120°,侧面PAB ‎⊥底面ABCD,PB=2,AB=AC=PA=2.‎ ‎(Ⅰ)求证:BD⊥面PAC;‎ ‎(Ⅱ)过AC的平面交PD于点M,若VM﹣PAC=VP﹣ACD,求三棱锥P﹣AMB的体积.‎ ‎20.设函数f(x)=a•2x﹣2﹣x(a∈R).‎ ‎(1)若函数y=f(x)的图象关于原点对称,求函数的零点x0;‎ ‎(2)若函数h(x)=f(x)+4x+2﹣x在x∈[0,1]的最大值为﹣2,求实数a的值.‎ ‎21.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosC=c(1+cosA).‎ ‎(1)若△ABC为锐角三角形,求的取值范围;‎ ‎(2)若b=2,且B∈[,],求△ABC面积的最小值.‎ ‎22.在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在x轴上的圆C经过点A(3,0),且被y轴截得的弦长为2,经过坐标原点O的直线l与圆C交于M,N两点.‎ ‎(1)求当满足+2=时对应的直线l的方程;‎ ‎(2)若点P(﹣3,0),直线PM与圆C的另一个交点为R,直线PN与圆C的另一个交点为T,分别记直线l、直线RT的斜率为k1、k2,求证:k1+k2为定值.‎ 参考答案 一、单选题:(本大题共8小题,每小题5分,计40分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的,请在答题纸的指定位置填涂答案选项.)‎ ‎1.已知集合A={x|﹣2<x<1},B={﹣2,﹣1,0,1,2},则集合A∩B=(  )‎ A.{0} B.{﹣1,0} C.{0,1} D.{﹣1,0,1}‎ ‎【分析】进行交集的运算即可.‎ 解:A={x|﹣2<x<1},B={﹣2,﹣1,0,1,2},‎ ‎∴A∩B={﹣1,0}.‎ 故选:B.‎ ‎2.某校高一、高二、高三年级各有学生数分别为800、1000、800(单位:人),现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本了解网课学习情况,样本中高一学生的人数为48人,那么此样本的容量n为(  )‎ A.108 B.‎96 ‎C.156 D.208‎ ‎【分析】利用分层抽样性质求解即可.‎ 解:∵高一、高二、高三学生的数量之比依次为800:1000:800=4:5:4,‎ 现用分层抽样的方法抽出的样本中高一学生有48人,‎ ‎∴由分层抽样性质,得:=,‎ 解得n=156.‎ 故选:C.‎ ‎3.从3名男生,2名女生中任选2人参加抗疫志愿服务活动,则选中的是1男1女的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】分别计算出基本事件总数n,选中的恰好是一男一女包含的基本事件个数m,由此能求出选中的恰好是一男一女的概率 解:从3名男生,2名女生中任选2人参加抗疫志愿服务活动,‎ 基本事件总数n=C52=10,‎ 选中的恰好是一男一女包含的基本事件个数m=C‎31C21=6‎ 则选中的恰好是一男一女的概率为p==‎ 故选:D.‎ ‎4.若直线x+ay+1=0与直线ax+4y+2=0平行,则实数a的值为(  )‎ A.﹣2 B.‎0 ‎C.2 D.±2‎ ‎【分析】由两直线平行时满足的条件,列出关于a的方程,求出方程的解即可得到a的值.‎ 解:因为x+ay+1=0与直线ax+4y+2=0平行,‎ 所以4﹣a2=0即a=2或a=﹣2,‎ 当a=2时,x+2y+1=0与直线2x+4y+2=0重合,不符合题意,‎ 故a=﹣2.‎ 故选:A.‎ ‎5.在疫情冲击下,地摊经济有利于缓解部分失业人群的燃眉之急,2020年5月底中央开始鼓励地摊经济,某地摊的日盈利y(单位:百元)与当天的平均气温x(单位:℃)之间有如下数据:‎ x/℃‎ ‎20‎ ‎22‎ ‎24‎ ‎21‎ ‎23‎ y/百元 ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎3‎ 若y与x具有线性相关关系,则y与x的线性回归方程必过的点为(  )‎ A.(22,3) B.(22,5) C.(24,3) D.(24,5)‎ ‎【分析】根据表中数据计算、,得出线性回归方程所过的样本中心点.‎ 解:由表中数据,计算=×(20+22+24+21+23)=22,‎ ‎=×(1+3+6+2+3)=3,‎ 所以y与x的线性回归方程必过样本中心点(22,3).‎ 故选:A.‎ ‎6.与圆x2+y2+4x﹣4y+7=0和x2+y2﹣4x﹣10y+13=0都相切的直线共有(  )‎ A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 ‎【分析】确定两圆相外切,即可得出结论.‎ 解:圆x2+y2+4x﹣4y+7=0的圆心为(﹣2,2),半径为1,x2+y2﹣4x﹣10y+13=0圆心是(2,5),半径为4‎ 故两圆相外切 ‎∴与圆x2+y2+4x﹣4y+7=0和x2+y2﹣4x﹣10y+13=0都相切的直线共有3条.‎ 故选:C.‎ ‎7.若一个圆锥的母线长为4,且其侧面积为其轴截面面积的4倍,则该圆锥的高为(  )‎ A.π B. C. D.‎ ‎【分析】设圆锥的底面圆半径为r,高为h,求出圆锥的侧面积和轴截面面积,列方程求得圆锥的高.‎ 解:设圆锥的底面圆半径为r,高为h;‎ 由圆锥的母线长为4,‎ 所以圆锥的侧面积为πr•4=4πr;‎ 又圆锥的轴截面面积为•2r•h=rh,‎ 所以4πr=4rh,‎ 解得h=π;‎ 所以该圆锥的高为π.‎ 故选:A.‎ ‎8.设函数f(x)=,若存在x1,x2∈R且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围为(  )‎ A.(﹣∞,)∪[1,+∞) B.[,1) ‎ C.(0,) D.(0,)∪(1,+∞)‎ ‎【分析】根据对数函数的定义,可得a>0,讨论0<a<1和a>1时的情况得到关于a的不等式解得即可.‎ 解:根据对数函数定义a>0时,此时y=﹣ax﹣1为减函数,‎ ‎①当0<a<1时,令g(x)=loga(x+2),此时需满足g(x)max>h(x)min,‎ 即loga2>﹣1=,即有>2,故0<a<;‎ ‎②当a>1时,此时条件恒成立,‎ 综上a>1或0<a<,‎ 故选:D.‎ 二、多选题:(本大题共4小题,每小题5分,计20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分,请在答题纸的指定位置填涂答案选项.)‎ ‎9.设函数f(x)=sin2x+cos2x,则下列结论正确的是(  )‎ A.f(x)的最小正周期为π ‎ B.y=f(x)的图象关于直线x=对称 ‎ C.f(x)的最大值为 ‎ D.y=f(x)的图象关于点(,0)对称 ‎【分析】将函数f(x)整理为sin(2x+),结合正弦函数相关性质逐一进行判断即可 解:f(x)=sin2x+cos2x=sin(2x+),‎ 故其最小周期T==π,最大值为,故A、C正确;‎ 令2x+=+kπ(k∈Z),则x=+(k∈Z),当k=0时,x=,故B正确;‎ 令2x+=kπ(k∈Z),则x=﹣+(k∈Z),当k=2时,x=,故D正确.‎ 故选:ABCD.‎ ‎10.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a==absinC,acosB+bsinA=c,则下列结论正确的是(  )‎ A.tanC=2 B.A= ‎ C.b=或b=3 D.△ABC的面积为6‎ ‎【分析】由已知a2+b2﹣c2=absinC,acosB+bsinA=c,利用余弦定理,正弦定理可求角C,B的三角函数值,进而求b,利用三角形的面积公式即可求其面积.‎ ‎【解答】解;∵a2+b2﹣c2=absinC,‎ ‎∴2abcosC=absinC,则tanC=2,故A正确;‎ ‎∴sinC=,cosC=.‎ ‎∵acosB+bsinA=c,‎ ‎∴sinAcosB+sinBsinA=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,‎ ‎∴sinBsinA=cosAsinB,‎ 又sinB≠0,‎ ‎∴sinA=cosA,‎ ‎∴A=,故B正确;‎ ‎∴sinB=sin(A+C)=,‎ ‎∵a=,则由正弦定理得b===3,故C错误;‎ ‎∴S△ABC=absinC=×=6,故D正确.‎ 故选:ABD.‎ ‎11.已知边长为2的菱形ABCD中,,现沿着BD将菱形折起,使得,则下列结论正确的是(  )‎ A.AC⊥BD ‎ B.二面角A﹣BD﹣C的大小为 ‎ C.点A到平面BCD的距离为 ‎ D.直线AD与平面BCD所成角的正切值为 ‎【分析】取BD中点O,证明BD⊥平面OAC可判断A,根据△OAC的形状判断B,根据二面角A﹣BD﹣C的大小判断C,计算直线AD与平面BCD所成角的正切值判断D.‎ 解:取BD得中点O,连接OA,OC,‎ 由菱形性质可知△ABD和△BCD都是等边三角形,‎ ‎∴BD⊥OA,BD⊥OC,又OA∩OC=C,‎ ‎∴BD⊥平面AOC,‎ ‎∴BD⊥AC,故选项A正确;‎ 由BD⊥OA,BD⊥OC可知∠AOC为二面角A﹣BD﹣C的平面角,‎ 由AB=AD=BC=CD=BD=2可知OA=OC=,又AC=,‎ ‎∴∠AOC=,故选项B正确;‎ ‎∴A到平面BCD的距离h=OA•sin∠AOC==,故选项C正确;‎ 过A作AM⊥平面BCD,垂足为M,则M为OC的中点,∴OM=OC=,‎ 连接DM,则∠ADM为直线AD与平面BCD所成的角,且AM=,‎ 故DM===,‎ ‎∴tan∠ADM==,故选项D错误.‎ 故选:ABC.‎ ‎12.设函数f(x)是定义在实数集R上周期为2的偶函数,当0≤x≤1时,.若直线y=x+a与函数y=f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点,则实数a的值可为(  )‎ A.﹣ B.‎0 ‎C.﹣ D.1﹣‎ ‎【分析】根据函数的奇偶性和周期性作出函数f(x)的图象,利用数形结合即可得到条件关系.‎ 解:∵f(x)是偶函数,且当0≤x≤1时,,‎ ‎∴当﹣1≤x≤0时,f(x)=f(﹣x)=1﹣,整理得x2+(y﹣1)2=1‎ 又因为f(x)周期为2,故1≤x≤2时,f(x)=1﹣,即(x﹣2)2+(y﹣1)2=1,‎ 作出函数f(x)在[0,2]上的图象如图,图象表示两段四分之一的圆弧,‎ 则当直线经过点A(1,1)时,满足条件此时1=1+a,解得a=0,‎ 当直线y=x+a与x2+(y﹣1)2=1相切时,也满足条件,‎ 此时a<0,且=1,解得a=1﹣‎ 故a=0或a═1﹣‎ 故选:BD.‎ 三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,计20分,不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)‎ ‎13.已知tanα=2,则sin2α﹣cos2α=  .‎ ‎【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得所给式子的值.‎ 解:∵tanα=2,∴sin2α﹣cos2α====,‎ 故答案为:.‎ ‎14.古希腊数学家阿基米德的整碑上刻着一个圆柱,此陶柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等,如图所示,相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现,我们不妨称之为“阿氏球柱体”,若在装满水的阿氏球柱体中放入其内切球(溢出部分水),则“阿氏球桂体”中剩下的水的体积与圆柱体积的比值为  .‎ ‎【分析】设球的半径为r,计算出两几何体的体积,用圆柱体的体积减去球的体积即可得到“阿氏球柱体”中剩下的水的体积,则答案可求.‎ 解:∵球内切于圆柱,‎ ‎∴圆柱的底面半径与球的半径相等,不妨设为r,则圆柱的高为2r,‎ ‎∴V圆柱=πr2•2r=2πr3,V球=.‎ ‎∴球与圆柱的体积之比为2:3,即球的体积等于圆柱体积的.‎ 在装满水的阿氏球柱体中放入其内切球,溢出部分水的体积为圆柱体积的,‎ 剩下的水的体积是圆柱体积的,‎ 则“阿氏球柱体”中剩下的水的体积与圆柱体积的比值为.‎ 故答案为:.‎ ‎15.已知点P在圆C:(x﹣4)2+y2=4上,点A(6,0),M为AP的中点,O为坐标原点,则tan∠MOA的最大值为  .‎ ‎【分析】由题意设出P的坐标,利用中点坐标公式求得M的坐标,写出tan∠MOA=,然后利用辅助角公式及三角函数的有界性求最值.‎ 解:设P(4+2cosθ,2sinθ),‎ 又A(6,0),且M为AP的中点,‎ ‎∴M(5+cosθ,sinθ),‎ ‎∴tan∠MOA=,‎ 令y=,则sinθ﹣ycosθ=5y,‎ ‎∴sin(θ+φ)=5y,‎ 即sin(θ+φ)=,(tanφ=﹣y).‎ 由,解得.‎ ‎∴tan∠MOA的最大值为.‎ 故答案为:.‎ ‎16.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,圆M为△BCD的内切圆,点P为圆上任意一点,且,则λ+μ的最大值为  .‎ ‎【分析】建立如图所示平面直角坐标系,由已知得到A,B,D的坐标,求出圆M的方程,得到P的坐标,再由向量等式可得λ,μ的值,作和后利用三角函数求最值.‎ 解:建立如图所示平面直角坐标系,‎ 由已知得D(3,0),B(0,4),A(3,4),‎ 设圆M的半径为r,由等面积法可得,‎ 解得r=1.‎ ‎∴圆M的方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=1.‎ ‎∵点P为圆上任意一点,∴设P(1+cosθ,1+sinθ),‎ 则,‎ 由,得(cosθ﹣2,sinθ﹣3)=λ(﹣3,0)+μ(0,﹣4)=(﹣3λ,﹣4μ),‎ ‎∴,即.‎ ‎∴λ+μ==(θ+φ)(tanφ=).‎ ‎∴当sin(θ+φ)=﹣1时,λ+μ取最大值为.‎ 故答案为:.‎ 四、解答题(本大题共6小题,计70分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内)‎ ‎17.已知A、B、C三点的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),α∈(,)‎ ‎(1)若||=||,求角α的值;‎ ‎(2)若•=﹣1,求的值.‎ ‎【分析】(1)利用向量的运算性质、同角三角函数基本关系式即可得出;‎ ‎(2)利用数量积运算、同角三角函数基本关系式即可得出.‎ 解:,.‎ ‎(1)∵,‎ ‎∴.‎ 化简得:sinα=cosα,∴tanα=1.‎ 又,‎ 故.‎ ‎(2)∵,‎ ‎∴(cosα﹣3)cosα+sinα(sinα﹣3)=﹣1,‎ 化简得:,‎ 两边平方得:,‎ ‎∴,‎ 故sinα﹣cosα>0,‎ 而,‎ ‎∴,‎ ‎18.某市为了解疫情过后制造业企业的复工复产情况,随机调查了100家企业,得到这些企业4月份较3月份产值增长率x的频率分布表如表:‎ x的分组 ‎[﹣0.20,0)‎ ‎[0,0.20)‎ ‎[0.20,0.40)‎ ‎[0.40,0.60)‎ ‎[0.60,0.80]‎ 企业数 ‎13‎ ‎40‎ ‎35‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎(1)估计制造业企业中产值增长率不低于60%的企业比例及产值负增长的企业比例;‎ ‎(2)求制造业企业产值增长率的平均数与方差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).‎ ‎【分析】(1)直接求出制造业企业中产值增长率不低于60%的企业比例和产值负增长的企业比例即可.‎ ‎(2)100家制造业企业产值增长率的平均数,然后求解方差即可.‎ 解:(1)制造业企业中产值增长率不低于60%的企业比例为,‎ 产值负增长的企业比例,‎ 所以制造业企业中产值增长率不低于60%的企业比例4%,产值负增长的企业比例13%.‎ ‎(2)100家制造业企业产值增长率的平均数为,‎ 方差[13×(﹣0.10﹣0.20)2+40×(0.10﹣0.20)2+35×(0.30﹣0.20)2‎ ‎+8×(0.50﹣0.20)2+4×(0.70﹣0.20)2]=0.0364.‎ 所以制造业企业产值增长率的平均数为0.20,方差的估计值为0.0364.‎ ‎19.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠BCD=120°,侧面PAB⊥底面ABCD,PB=2,AB=AC=PA=2.‎ ‎(Ⅰ)求证:BD⊥面PAC;‎ ‎(Ⅱ)过AC的平面交PD于点M,若VM﹣PAC=VP﹣ACD,求三棱锥P﹣AMB的体积.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由题意,PA2+AB2=PB2,得到PA⊥AB,再由平面与平面垂直的性质可得PA⊥面ABCD,从而得到PA⊥BD,结合已知条件证明ABCD为菱形,则BD⊥AC ‎.由直线与平面垂直的判定可得BD⊥面PAC;‎ ‎(Ⅱ)由,得M为PB中点,然后利用=求解.‎ ‎【解答】(Ⅰ)证明:由题意,PA2+AB2=PB2,‎ ‎∴∠BAP=90°,则PA⊥AB,‎ 又侧面PAB⊥底面ABCD,面PAB∩面ABCD=AB,PA⊂面PAB,‎ ‎∴PA⊥面ABCD.‎ ‎∵BD⊂面ABCD,则PA⊥BD,‎ 又∵∠BCD=120°,ABCD为平行四边形,‎ 则∠ABC=60°,又AB=AC,‎ 则△ABC为等边三角形,可得ABCD为菱形,则BD⊥AC.‎ 又PA∩AC=A,∴BD⊥面PAC;‎ ‎(Ⅱ)解:由,得M为PB中点,‎ 由(Ⅰ)知,ABCD为菱形,‎ 又AB=AC=2,∠BCD=120°,‎ ‎∴.‎ 又PA⊥面ABCD,且PA=2,‎ ‎∴=.‎ ‎20.设函数f(x)=a•2x﹣2﹣x(a∈R).‎ ‎(1)若函数y=f(x)的图象关于原点对称,求函数的零点x0;‎ ‎(2)若函数h(x)=f(x)+4x+2﹣x在x∈[0,1]的最大值为﹣2,求实数a的值.‎ ‎【分析】(1)通过f(﹣x)+f(x)=0,求出a ‎=1.得到函数的解析式,利用解析式为0,求解函数的零点即可.‎ ‎(2)利用换元法通过2x=t∈[1,2],h(x)=t2+at,t∈[1,2],结合二次函数的性质求解函数的最值,推出结果即可.‎ 解:(1)∵f(x)的图象关于原点对称,‎ ‎∴f(x)为奇函数,‎ ‎∴f(﹣x)+f(x)=0,‎ ‎∴a•2﹣x﹣2﹣x+a•2x﹣2x=0,‎ 即∴(a﹣1)•(2﹣x+2x)=0,∴a=1.‎ 令,‎ 则2•(2x)2+3•(2x)﹣2=0,‎ ‎∴(2x+2)•(2•2x﹣1)=0,又2x>0,‎ ‎∴2•2x﹣1即x=﹣1,‎ 所以函数g(x)的零点为x0=﹣1.‎ ‎(2)h(x)=a•2x﹣2﹣x+4x+2﹣x,x∈[0,1],‎ 令2x=t∈[1,2],h(x)=t2+at,t∈[1,2],‎ 对称轴,‎ 当,即a≥﹣3时,hmax(t)=h(2)=4+‎2a=﹣2,∴a=﹣3;‎ ‎②当,即a<﹣3时,hmax(t)=h(1)=1+a=﹣2,∴a=﹣3(舍);‎ 综上:实数a的值为﹣3.‎ ‎21.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosC=c(1+cosA).‎ ‎(1)若△ABC为锐角三角形,求的取值范围;‎ ‎(2)若b=2,且B∈[,],求△ABC面积的最小值.‎ ‎【分析】(1)根据正弦定理,以及两角差的正弦公式可得A=‎2C,再求出C的范围,即可求出的取值范围;‎ ‎(2)根据余弦定理和基本不等式可得ac≤,即可得到S△ABC≤,根据三角函数的性质即可求出.‎ 解:(1)由正弦定理以及acosC=c(1+cosA),‎ ‎∴sinAcosC=sinC(1+cosA),即sin(A﹣C)=sinC.‎ ‎∴A﹣C=C或A﹣C+C=π,即A=‎2C或A=π(舍),‎ ‎∴=,‎ ‎∵△ABC为锐角三角形,‎ ‎∴A、B、C∈,即,‎ ‎∴C∈,‎ ‎∴cosC∈(,),‎ 故的取值范围为.‎ ‎(2)由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB≥‎2ac﹣2accosB,当且仅当a=c时取等号,‎ ‎∴ac≤,‎ ‎∴S△ABC=acsinB≤==,‎ ‎∵B∈[,],‎ ‎∴∈[,],‎ ‎∵y=tan在[,]为增函数,‎ ‎∴y=tan≤tan=1,‎ ‎∴S△ABC的面积的最小值为1.‎ ‎22.在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在x轴上的圆C经过点A(3,0),且被y轴截得的弦长为2,经过坐标原点O的直线l与圆C交于M,N两点.‎ ‎(1)求当满足+2=时对应的直线l的方程;‎ ‎(2)若点P(﹣3,0),直线PM与圆C的另一个交点为R,直线PN与圆C的另一个交点为T,分别记直线l、直线RT的斜率为k1、k2,求证:k1+k2为定值.‎ ‎【分析】根据题意可得即+r=3,解得r,及圆心C坐标,进而可得圆C方程,设直线l方程为:y=kx,M(x1,y1),N(x2,y2),联立圆的方程得关于x的一元二次方程,结合韦达定理可得x1+x2,x1x2.‎ ‎(1)由向量的运算可得即,解得k,进而可得直线l的方程.‎ ‎(2)联立直线lPT方程与圆的方程得关于x的一元二次方程,结合韦达定理可得T点的坐标,同理可得R点坐标,再分析k2与k之间关系,即可得k1与k2之间的关系.‎ 解:因为圆C被y轴截得的弦长为2,‎ 所以OC=,‎ 又圆心在x轴上的圆C经过点A(3,0),‎ 所以OC+r=3,即+r=3,‎ 解得r=2,所以圆心C(1,0),‎ 所以圆C方程为(x﹣1)2+y2=4.‎ 设直线l方程为:y=k1x,M(x1,y1),N(x2,y2)‎ 联立圆的方程得,(1+k12)x2﹣2x﹣3=0,‎ x1+x2=③,x1x2=④,‎ ‎(1)因为,‎ 所以(x1,y1)+(2x2,2y2)=(0,0)‎ 即 ‎①﹣③得x2=﹣,‎ 代入③得x1=,代入④得,(﹣)()=‎ 解得k1=±,‎ 所以直线l的方程为:y=±.‎ ‎(2)直线lPT方程为:y﹣0=(x+3),‎ 联立圆的方程得:[1+()2]x2+[﹣2+6()2]x+9()2﹣3=0,‎ 所以xT+x2=﹣==,‎ 所以xT=﹣x2=﹣x2,‎ ‎=﹣x2,‎ ‎=,‎ ‎=‎ ‎=,‎ yT=()=•=,‎ 所以T(,),‎ 同理可得R(,),‎ 所以k2==‎ ‎=‎ ‎=﹣=﹣k1,‎ 所以k1+k2=0,‎ 所以k1+k2=0为定值.‎
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