2021年中考数学专题复习 专题11 一元二次方程及其应用（教师版含解析）

2021年中考数学专题复习 专题11 一元二次方程及其应用（教师版含解析）

专题 11 一元二次方程及其应用 1．一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的方程，叫 做一元二次方程。 2．一元二次方程的一般形式：ax2 +bx+c=0(a≠0)。其中 ax2 是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b 是 一次项系数；c是常数项。 3．一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解 也叫做一元二次方程的根。 4．一元二次方程的解法 (1)直接开方法：适用形式：x2 =p、(x+n)2 =p 或(mx+n)2 =p。 (2)配方法：套用公式 a2 +2ab+b2 =(a+b)2 ；a2 -2ab+b2 =(a-b)2 ，配方法解一元二次方程的一般步骤是： ①将已知方程化为一般形式； ②化二次项系数为 1； ③常数项移到右边； ④方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q 的形式，如果 q ≥0，方程的根是 x=-p±√q；如果 q＜0,方程无实根． (3)公式法： 当 b2 -4ac≥0 时，方程 ax2 +bx+c=0 的实数根可写为： a acbbx 2 42   的形式，这个式子叫做一元二次 方程 ax2 +bx+c=0 的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 其中：b2-4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。 ①Δ=b2 -4ac＞0 时，方程有两个不相等的实数根。 a acbbx 2 42 1   ， a acbbx 2 42 2   ②Δ=b2 -4ac=0 时，方程有两个相等的实数根。 a bxx 221  ③Δ=b2-4ac＜0 时，方程无实数根。 定义：b2 -4ac 叫做一元二次方程 ax2 +bx+c=0 的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2 -4ac。 (4)因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一 元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。 5.解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤 第 1 步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系； 第 2 步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数； 第 3 步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程； 第 4 步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法； 第 5 步：检验。检验所求得的根是否满足题意。 第 6 步：答。 【例题 1】(2020•临沂)一元二次方程 x2 ﹣4x﹣8＝0 的解是( ) A．x1＝﹣2+2 ，x2＝﹣2﹣2 B．x1＝2+2 ，x2＝2﹣2 C．x1＝2+2 ，x2＝2﹣2 D．x1＝2 ，x2＝﹣2 【答案】B 【分析】方程利用配方法求出解即可． 【解析】一元二次方程 x2﹣4x﹣8＝0， 移项得：x2 ﹣4x＝8， 配方得：x2 ﹣4x+4＝12，即(x﹣2) 2 ＝12， 开方得：x﹣2＝±2 ， 解得：x1＝2+2 ，x2＝2﹣2 ． 【对点练习】(2019•浙江金华)用配方法解方程 x2-6x-8=0 时，配方结果正确的是( ) A. (x-3)2 =17 B. (x-3)2 =14 C. (x-6)2 =44 D. (x-3)2 =1 【答案】A 【解析】配方法解一元二次方程 ∵x2-6x-8=0， ∴x2 -6x+9=8+9， ∴(x-3)2 =17. 【点拨】本题体现直接配方法解一元二次方程。 【对点练习】(2019 年山东省威海市)一元二次方程 3x2＝4﹣2x 的解是 ． 【答案】x1＝ ，x2＝ ． 【解析】直接利用公式法解方程得出答案． 3x2＝4﹣2x 3x2 +2x﹣4＝0， 则 b2 ﹣4ac＝4﹣4×3×(﹣4)＝52＞0， 故 x＝ ， 解得：x1＝ ，x2＝ ． 【点拨】本题体现求根公式法解一元二次方程。 【例题 2】(2020•菏泽)等腰三角形的一边长是 3，另两边的长是关于 x 的方程 x2 ﹣4x+k＝0 的两个根，则 k 的值为( ) A．3 B．4 C．3 或 4 D．7 【答案】C 【分析】当 3为腰长时，将 x＝3代入原一元二次方程可求出 k 的值；当 3为底边长时，利用等腰三角形的 性质可得出根的判别式△＝0，解之可得出 k 值，利用根与系数的关系可得出两腰之和，将其与 3比较后可 得知该结论符合题意． 【解析】当 3 为腰长时，将 x＝3代入 x2﹣4x+k＝0，得：32﹣4×3+k＝0， 解得：k＝3； 当 3 为底边长时，关于 x 的方程 x2 ﹣4x+k＝0 有两个相等的实数根， ∴△＝(﹣4)2﹣4×1×k＝0， 解得：k＝4，此时两腰之和为 4，4＞3，符合题意． ∴k 的值为 3 或 4． 【对点练习】(2019 内蒙古包头市)已知等腰三角形的三边长分别为 a，b，4，且 a，b是关于 x 的一元二次 方程 x2-12x+m+2=0 的两根，则 m的值是( ) A. 34 B.30 C.30 或 34 D.30 或 36 【答案】A. 【解析】分两种情况讨论： 1 若 4 为等腰三角形底边长，则 a，b 是两腰， ∴方程 x2 -12x+m+2=0 有两个相等实根， ∴△=(-12)2-4×1×(m+2)=136-4m=0, ∴m=34. 此时方程为 x2 -12x+36=0，解得 x1=x2=6. ∴三边为 6，6，4，满足三边关系，符合题意. 2 若 4 为等腰三角形腰长，则 a，b中有一条边也为 4， ∴方程 x2 -12x+m+2=0 有一根为 4. ∴42-12×4+m+2=0， 解得，m=30. 此时方程为 x2 -12x+32=0，解得 x1=4，x2=8. ∴三边为 4，4，8，不满足三边关系，故舍去. 综上，m 的值为 34. 【例题 3】(2020 贵州黔西南)已知关于 x 的一元二次方程(m－1)x 2 ＋2x＋1＝0 有实数根，则 m 的取值范围 是( ) A. m＜2 B. m≤2 C. m＜2 且 m≠1 D. m≤2 且 m≠1 【答案】D 【解析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于 m的一元一次不等式组，解之即可得出 m 的取值范围． 解：因为关于 x 的一元二次方程 x2－2x＋m＝0 有实数根，所以 b2－4ac＝22－4(m－1)×1≥0，解得 m≤2．又 因为(m－1)x2＋2x＋1＝0 是一元二次方程，所以 m－1≠0．综合知，m 的取值范围是 m≤2 且 m≠1，因此本 题选 D． 【点拨】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出 关于 m 的一元一次不等式组是解题的关键． 【对点练习】(2019湖北咸宁)若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是( ) A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1 【答案】 【解析】∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+m＝0 有实数根， ∴△＝(﹣2) 2 ﹣4m≥0， 解得：m≤1． 【例题 4】(2020•衡阳)如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长 35 米、宽 20 米的矩形．为便于管 理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为 600 平方米，则小道的宽为多少米？若设小 道的宽为 x 米，则根据题意，列方程为( ) A．35×20﹣35x﹣20x+2x2 ＝600 B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600 C．(35﹣2x)(20﹣x)＝600 D．(35﹣x)(20﹣2x)＝600 【答案】C 【分析】若设小道的宽为 x米，则阴影部分可合成长为(35﹣2x)米，宽为(20﹣x)米的矩形，利用矩形的面 积公式，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解． 【解析】依题意，得：(35﹣2x)(20﹣x)＝600． 【对点练习】(2019 哈尔滨)某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件 25 元降到每件 16 元，则平均每 次降价的百分率为( ) A．20% B．40% C．18% D．36% 【答案】A． 【解析】本题考查了一元二次方程实际应用问题关于增长率的类型问题，按照公式 a(1﹣x)2＝b 对照参数位置代入值即可，公式的记忆与运用是本题的解题关键． 设降价的百分率为 x 根据题意可列方程为 25(1﹣x)2 ＝16 解方程得 ， (舍) ∴每次降价得百分率为 20% 【点拨】本题体现直接开方法解一元二次方程。 一、选择题 1．(2020•凉山州)一元二次方程 x2 ＝2x 的根为( ) A．x＝0 B．x＝2 C．x＝0或 x＝2 D．x＝0或 x＝﹣2 【答案】C 【分析】移项后利用因式分解法求解可得． 【解析】∵x2＝2x， ∴x2 ﹣2x＝0， 则 x(x﹣2)＝0， ∴x＝0 或 x﹣2＝0， 解得 x1＝0，x2＝2， 2．(2020•怀化)已知一元二次方程 x2 ﹣kx+4＝0 有两个相等的实数根，则 k的值为( ) A．k＝4 B．k＝﹣4 C．k＝±4 D．k＝±2 【答案】C 【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＝0，即可得出关于 k的方程，解之即可得出 k 值． 【解析】∵一元二次方程 x2﹣kx+4＝0 有两个相等的实数根， ∴△＝(﹣k)2 ﹣4×1×4＝0， 解得：k＝±4． 3．(2020•黑龙江)已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣(2k+1)x+k2+2k＝0 有两个实数根 x1，x2，则实数 k的取值 范围是( ) A．k＜1/4 B．k≤1/4 C．k＞4 D．k≤1/4 且 k≠0 【答案】B 【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于 k 的一元一次不等式，解之即可得出 k的取 值范围． 【解析】∵关于 x 的一元二次方程 x2 ﹣(2k+1)x+k2 +2k＝0 有两个实数根 x1，x2， ∴△＝[﹣(2k+1)]2 ﹣4×1×(k2 +2k)≥0， 解得：k≤1/4． 4．(2020•泰安)将一元二次方程 x2 ﹣8x﹣5＝0 化成(x+a)2 ＝b(a，b 为常数)的形式，则 a，b 的值分别是 ( ) A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69 【答案】A 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【解析】∵x2 ﹣8x﹣5＝0， ∴x2 ﹣8x＝5， 则 x2﹣8x+16＝5+16，即(x﹣4)2＝21， ∴a＝﹣4，b＝21， 5．(2020•黑龙江)已知 2+ 是关于 x的一元二次方程 x2 ﹣4x+m＝0 的一个实数根，则实数 m 的值是( ) A．0 B．1 C．﹣3 D．﹣1 【答案】B 【分析】把 x＝2+ 代入方程就得到一个关于 m 的方程，就可以求出 m 的值． 【解析】根据题意，得 (2 +)2﹣4×(2+ )+m＝0， 解得 m＝1 6．(2020•滨州)对于任意实数 k，关于 x 的方程 x2/2-(k+5)x+k2+2k+25＝0 的根的情况为( ) A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判定 【答案】B 【分析】先根据根的判别式求出“△”的值，再根据根的判别式的内容判断即可． 【解析】x2 /2-(k+5)x+k2 +2k+25＝0， △＝[﹣(k+5)]2﹣4(k2+2k+25)/2＝﹣k2+6k﹣25＝﹣(k﹣3)2﹣16， 不论 k 为何值，﹣(k﹣3) 2 ≤0， 即△＝﹣(k﹣3) 2 ﹣16＜0， 所以方程没有实数根. 7. (2019•湖南衡阳)国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区 2016 年底 有贫困人口 9 万人，通过社会各界的努力，2018 年底贫困人口减少至 1 万人．设 2016 年底至 2018 年底该 地区贫困人口的年平均下降率为 x，根据题意列方程得( ) A．9(1﹣2x)＝1 B．9(1﹣x)2＝1 C．9(1+2x)＝1 D．9(1+x)2＝1 【答案】B． 【解析】等量关系为：2016 年贫困人口×(1﹣下降率) 2 ＝2018 年贫困人口，把相关数值代入计算即可． 设这两年全省贫困人口的年平均下降率为 x，根据题意得： 二、填空题 8．(2020•辽阳)若关于 x 的一元二次方程 x2 +2x﹣k＝0 无实数根，则 k的取值范围是 ． 【答案】k＜﹣1 【分析】根据根的判别式即可求出答案． 【解析】由题意可知：△＝4+4k＜0， ∴k＜﹣1 9．(2020•烟台)关于 x 的一元二次方程(m﹣1)x2 +2x﹣1＝0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围 是 ． 【答案】m＞0且 m≠1． 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 m﹣1≠0 且△＝22﹣4(m﹣1)×(﹣1)＞0，然后求出 两个不等式的公共部分即可． 【解析】根据题意得 m﹣1≠0 且△＝2 2 ﹣4(m﹣1)×(﹣1)＞0， 解得 m＞0且 m≠1． 10．(2020•扬州)方程(x+1)2＝9 的根是 ． 【答案】x1＝2，x2＝﹣4． 【分析】根据直接开平方法的步骤先把方程两边分别开方，再进行计算即可． 【解析】(x+1)2 ＝9， x+1＝±3， x1＝2，x2＝﹣4． 11．(2020•上海)如果关于 x的方程 x2 ﹣4x+m＝0 有两个相等的实数根，那么 m的值是 ． 【答案】4 【分析】一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式△＝b2 ﹣4ac＝0，即可求 m值． 【解析】依题意， ∵方程 x2﹣4x+m＝0 有两个相等的实数根， ∴△＝b2 ﹣4ac＝(﹣4) 2 ﹣4m＝0，解得 m＝4， 12．(2020•天水)一个三角形的两边长分别为 2 和 5，第三边长是方程 x2 ﹣8x+12＝0 的根，则该三角形的周 长为 ． 【答案】13 【分析】先利用因式分解法解方程 x2 ﹣8x+12＝0，然后根据三角形的三边关系得出第三边的长，则该三角 形的周长可求． 【解析】∵x2 ﹣8x+12＝0， ∴(x﹣2)(x﹣6)＝0， ∴x1＝2，x2＝6， ∵三角形的两边长分别为 2 和 5，第三边长是方程 x2 ﹣8x+12＝0 的根，2+2＜5，2+5＞6， ∴三角形的第三边长是 6， ∴该三角形的周长为：2+5+6＝13． 13.(2019 年江苏省扬州市)一元二次方程 x(x﹣2)＝x﹣2 的根是 ． 【答案】1或 2． 【解析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． x(x﹣2)＝x﹣2， x(x﹣2)﹣(x﹣2)＝0， (x﹣2)(x﹣1)＝0， x﹣2＝0，x﹣1＝0， x1＝2，x2＝1 14.(2019 湖北十堰)对于实数 a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝(a+b)2 ﹣(a﹣b)2 ．若(m+2)◎(m﹣3)＝24， 则 m＝ ． 【答案】﹣3 或 4 【解析】根据题意得[(m+2)+(m﹣3)] 2 ﹣[(m+2)﹣(m﹣3)] 2 ＝24， (2m﹣1) 2 ﹣49＝0， (2m﹣1+7)(2m﹣1﹣7)＝0， 2m﹣1+7＝0 或 2m﹣1﹣7＝0， 所以 m1＝﹣3，m2＝4． 15. (2019 吉林长春)一元二次方程 x2-3x+1=0 根的判别式的值为________. 【答案】5． 【解析】∵a=1，b=-3，c=1， ∴△=b2 -4ac=(-3)2 -4×1×1=5 16.(2019 年甘肃省天水市)中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民 2016 年人均年收入 20000 元，到 2018 年人均年收入达到 39200 元．则该地区居民年人均收入平均增长率 为 ．(用百分数表示) 【答案】40%． 【解析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得该地区居民年人均收入平均增长率，本题得以解决． 设该地区居民年人均收入平均增长率为 x， 20000(1+x)2 ＝39200， 解得，x1＝0.4，x2＝﹣2.4(舍去)， ∴该地区居民年人均收入平均增长率为 40% 17.(2019 年江苏省连云港市)已知关于 x 的一元二次方程 ax2 +2x+2﹣c＝0 有两个相等的实数根，则 +c 的 值等于 ． 【答案】2 【解析】根据“关于 x的一元二次方程 ax2+2x+2﹣c＝0 有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到 关于 a 和 c 的等式，整理后即可得到的答案． 根据题意得： △＝4﹣4a(2﹣c)＝0， 整理得：4ac﹣8a＝﹣4， 4a(c﹣2)＝﹣4， ∵方程 ax2 +2x+2﹣c＝0是一元二次方程， ∴a≠0， 等式两边同时除以 4a 得：c﹣2＝﹣ ， 则 +c＝2 三、解答题 18．(2020•河北)有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的 A区就会自动加上 a2 ，同时 B 区就会自动减去 3a， 且均显示化简后的结果．已知 A，B 两区初始显示的分别是 25 和﹣16，如图． 如，第一次按键后，A，B 两区分别显示： (1)从初始状态按 2次后，分别求 A，B 两区显示的结果； (2)从初始状态按 4次后，计算 A，B 两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由． 【答案】见解析。 【分析】(1)根据题意列出代数式即可； (2)根据题意得到 25+4a2+(﹣16﹣12a)，根据整式加减的法则计算，然后配方，根据非负数的性质即可得到 结论． 【解析】(1)A 区显示的结果为：25+2a2 ，B区显示的结果为：﹣16﹣6a； (2)这个和不能为负数， 理由：根据题意得，25+4a2+(﹣16﹣12a)＝25+4a2﹣16﹣12a＝4a2﹣12a+9； ∵(2a﹣3) 2 ≥0， ∴这个和不能为负数． 19．(2020•孝感)已知关于 x的一元二次方程 x2 ﹣(2k+1)x k2 ﹣2＝0． (1)求证：无论 k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根 x1，x2满足 x1﹣x2＝3，求 k 的值． 【答案】见解析。 【分析】(1)根据根的判别式得出△＝[﹣(2k+1)]2 ﹣4×1×( k2 ﹣2)＝2(k+1)2 +7＞0，据此可得答案； (2)先根据根与系数的关系得出 x1+x2＝2k+1，x1x2 k2 ﹣2，由 x1﹣x2＝3 知(x1﹣x2) 2 ＝9，即(x1+x2) 2 ﹣4x1x2 ＝9，从而列出关于 k 的方程，解之可得答案． 【解析】(1)∵△＝[﹣(2k+1)]2﹣4×1×( k2﹣2) ＝4k2 +4k+1﹣2k2 +8 ＝2k2+4k+9 ＝2(k+1)2 +7＞0， ∵无论 k 为何实数，2(k+1)2 ≥0， ∴2(k+1)2+7＞0， ∴无论 k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)由根与系数的关系得出 x1+x2＝2k+1，x1x2 k2 ﹣2， ∵x1﹣x2＝3， ∴(x1﹣x2) 2 ＝9， ∴(x1+x2) 2 ﹣4x1x2＝9， ∴(2k+1)2 ﹣4×( k2 ﹣2)＝9， 化简得 k2 +2k＝0， 解得 k＝0或 k＝﹣2． 20．(2020•重庆)为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产 量，某农业科技小组对 A，B 两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年 A、B 两个品种各种植了 10 亩．收 获后 A、B 两个品种的售价均为 2.4 元/kg，且 B 品种的平均亩产量比 A 品种高 100 千克，A、B 两个品种全 部售出后总收入为 21600 元． (1)求 A、B 两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？ (2)今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计 A、B 两个品种平均 亩产量将在去年的基础上分别增加 a%和 2a%．由于 B 品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础 上上涨 a%，而 A 品种的售价保持不变，A、B 两个品种全部售出后总收入将增加 a%．求 a 的值． 【答案】见解析。 【分析】(1)设 A、B 两个品种去年平均亩产量分别是 x 千克和 y 千克；根据题意列方程组即可得到结论； (2)根据题意列方程即可得到结论． 【解析】(1)设 A、B 两个品种去年平均亩产量分别是 x 千克和 y 千克； 根据题意得， െ × ǤͶ ݔ ݕ ， 解得： ， 答：A、B两个品种去年平均亩产量分别是 400 千克和 500 千克； (2)2.4×400×10(1+a%)+2.4(1+a%)×500×10(1+2a%)＝21600(1 a%)， 解得：a＝10， 答：a的值为 10． 21.(2019 北京市)关于 x 的方程 2 2 2 1 0x x m    有实数根，且 m 为正整数，求 m 的值及此时方程的根． 【答案】m=1，此方程的根为 1 2 1x x  【解析】先由原一元二次方程有实数根得判别式 2 4 0b ac  进而求出 m 的范围；结合 m 的值为正整数，求 出 m 的值，进而得到一元二次方程求解即可. ∵关于 x 的方程 2 2 2 1 0x x m    有实数根， ∴    22 4 2 4 1 2 1 4 8 4 8 8 0b ac m m m               ∴ 1m  又∵m为正整数，∴m=1， 此时方程为 2 2 1 0x x   解得根为 1 2 1x x  ， ∴m=1，此方程的根为 1 2 1x x  22.(2019•湖南衡阳)关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+k＝0 有实数根． (1)求 k 的取值范围； (2)如果 k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程(m﹣1)x2 +x+m﹣3＝0 与方程 x2 ﹣3x+k＝0 有一个相同的 根，求此时 m 的值． 【答案】见解析。 【解析】(1)根据题意得△＝(﹣3) 2 ﹣4k≥0， 解得 k≤ ； (2)k 的最大整数为 2， 方程 x2 ﹣3x+k＝0 变形为 x2 ﹣3x+2＝0，解得 x1＝1，x2＝2， ∵一元二次方程(m﹣1)x2 +x+m﹣3＝0 与方程 x2 ﹣3x+k＝0 有一个相同的根， ∴当 x＝1时，m﹣1+1+m﹣3＝0，解得 m＝ ； 当 x＝2 时，4(m﹣1)+2+m﹣3＝0，解得 m＝1， 而 m﹣1≠0， ∴m 的值为 ． 23. (2019•湖南长沙)近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师参 与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益 课受益学生 2 万人次，第三批公益课受益学生 2.42 万人次． (1)如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率； (2)按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？ 【答案】见解析。 【解析】设增长率为 x，根据“第一批公益课受益学生 2 万人次，第三批公益课受益学生 2.42 万人次”可 列方程求解；用 2.42×(1+增长率)，计算即可求解． (1)设增长率为 x，根据题意，得 2(1+x)2 ＝2.42， 解得 x1＝﹣2.1(舍去)，x2＝0.1＝10%． 答：增长率为 10%． (2)2.42(1+0.1)＝2.662(万人)． 答：第四批公益课受益学生将达到 2.662 万人次．