中考数学分类汇编图形的旋转

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中考数学分类汇编图形的旋转

‎2011年中考数学分类汇编-图形的旋转 一.选择题 .(2011资阳)如图,若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到,则可以作为旋转中心的是(  )‎ ‎ A.M或O或N B.E或O或C C.E或O或N D.M或O或C 解答:解:若以M为旋转中心,把正方形ABCD顺时针旋转90°,A点对应点为H,B点对应点为E,C点对应点为F,D点对应点为G,则可得到正方形EFGH;‎ 若以O为旋转中心,把正方形ABCD旋转180°,A点对应点为G,B点对应点为H,C点对应点为E,D点对应点为F,则可得到正方形EFGH;‎ 若以N为旋转中心,把正方形ABCD逆时针旋转90°,A点对应点为F,B点对应点为G,C点对应点为H,D点对应点为E,则可得到正方形EFGH.‎ 故选A. .(2011重庆)下列图形中,是中心对称图形的是(  )‎ ‎ A. B. C. D.‎ 解答:解:A.将此图形绕任一点旋转180度都不能与原来的图形重合,所以这个图形不是中心对称图形;‎ B.将此图形绕某一点旋转180度正好与原来的图形重合,所以这个图形是中心对称图形;‎ C.将此图形绕任一点旋转180度都不能与原来的图形重合,所以这个图形不是中心对称图形;‎ D.将此图形绕任一点旋转180度都不能与原来的图形重合,所以这个图形不是中心对称图形.‎ 故选B. .(2011昭通)下列图形中既是中心对称图形,又是轴对称图形的有(  )‎ ‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解答:解:图形(1)既是轴对称图形,又是中心对称图形.符合题意;‎ 图形(2)不是轴对称图形,是中心对称图形.不符合题意;‎ 图形(3)既不是轴对称图形,又不是中心对称图形.不符合题意;‎ 图形(4)是轴对称图形,不是中心对称图形.不符合题意.‎ 共1个既是轴对称图形又是中心对称图形.‎ 故选A. .(2011湛江)在下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(  )‎ ‎ A.‎ 直角三角形 B.‎ 正五边形 C.‎ 正方形 D.‎ 等腰梯形 解答:解:A.∵此图形旋转180°后不能与原图形重合,∴此图形不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故此选项错误;‎ B.∵此图形旋转180°后不能与原图形重合,∴此图形不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项错误;‎ C.此图形旋转180°后能与原图形重合,此图形是中心对称图形,也是轴对称图形,故此选项正确;‎ D.∵此图形旋转180°后不能与原图形重合,∴此图形不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项错误.‎ 故选C. .(2011义乌市)下列图形中,中心对称图形有(  )‎ ‎ A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 解答:解:第四个图只是轴对称图形,第1、第2和第3个是中心对称图形.‎ 中心对称图形有3个.‎ 故选B. .(2011宜昌)如图,矩形OABC的顶点O为坐标原点,点A在x轴上,点B的坐标为(2,1).如果将矩形0ABC绕点O旋转180°旋转后的图形为矩形OA1B1C1,那么点B1的坐标为(  )‎ ‎ A.(2,1) B.(﹣2,1) C.(﹣2,﹣1) D.(2,﹣l)‎ 解答:解:∵点B的坐标是(2,1),‎ ‎∴点B关于点O的对称点B1点的坐标是(﹣2,﹣1).‎ 故选C. .(2011扬州)如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC,此时点D在AB边上,斜边DE交AC边于点F,则n的大小和图中阴影部分的面积分别为(  )‎ ‎ A.30,2 B.60,2 C.60, D.60,‎ 解答:解:∵△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,‎ ‎∴∠B=60°,AC=BC×cot∠A=2×=2,AB=2BC=4,‎ ‎∵△EDC是△ABC旋转而成,‎ ‎∴BC=CD=BD=AB=2,‎ ‎∵∠B=60°,‎ ‎∴△BCD是等边三角形,‎ ‎∴∠BCD=60°,‎ ‎∴∠DCF=30°,∠DFC=90°,即DE⊥AC,‎ ‎∴DE∥BC,‎ ‎∵BD=AB=2,‎ ‎∴DF是△ABC的中位线,‎ ‎∴DF=BC=×2=1,CF=AC=×2=,‎ ‎∴S阴影=DF×CF=×=.‎ 故选C. .(2011孝感)如图,菱形OABC的一边OA在x轴上,将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置,若OB=,∠C=120°,则点B′的坐标为(  )‎ ‎ A.(3,) B.(3,) C.(,) D.(,)‎ 解答:解:过点B作BE⊥OA于E,过点B′作B′F⊥OA于F,‎ ‎∴∠BE0=B′FO=90°,‎ ‎∵四边形OABC是菱形,‎ ‎∴OA∥BC,∠AOB=∠AOC,‎ ‎∴∠AOC+∠C=180°,‎ ‎∵∠C=120°,‎ ‎∴∠AOC=60°,‎ ‎∴∠AOB=30°,‎ ‎∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置,‎ ‎∴∠BOB′=75°,OB′=OB=2,‎ ‎∴∠B′OF=45°,‎ 在Rt△B′OF中,‎ OF=OB′sin45°=2×=,‎ ‎∴B′F=,‎ ‎∴点B′的坐标为:(,﹣).‎ 故选D.‎ ‎ .(2011襄阳)下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是(  )‎ ‎ A. B. C. D.‎ 解答:解:A.是中心对称图形,不是轴对称图形;故本选项正确;‎ B.是中心对称图形,也是轴对称图形;故本选项错误;‎ C.是中心对称图形,也是轴对称图形;故本选项错误;‎ D.不是中心对称图形,是轴对称图形;故本选项错误;‎ 故选A. .(2011厦门)如图,在正方形网格中,将△ABC绕点A旋转后得到△ADE,则下列旋转方式中,符合题意的是(  )‎ ‎ A.顺时针旋转90° B.逆时针旋转90° C.顺时针旋转45° D.逆时针旋转45°‎ 解答:解:根据图形可知:将△ABC绕点A逆时针旋转90°可得到△ADE.‎ 故选B. .(2011武汉)如图,在菱形ABCD中,AB=BD.点E、F分别在AB.AD上,且AE=DF.连接BF与DE相交于点G,连接CG与BD相交于点H.下列结论:‎ ‎①△AED≌△DFB;②S四边形BCDG=CG2;③若AF=2DF,则BG=6GF.‎ 其中正确的结论(  )‎ ‎ A.只有①② B.只有①③ C.只有②③ D.①②③‎ 解答:解:①∵ABCD为菱形,∴AB=AD.‎ ‎∵AB=BD,∴△ABD为等边三角形.‎ ‎∴∠A=∠BDF=60°.‎ 又∵AE=DF,AD=BD,‎ ‎∴△AED≌△DFB;‎ ‎②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD,‎ 即∠BGD+∠BCD=180°,‎ ‎∴点B.C.D.G四点共圆,‎ ‎∴∠BGC=∠BDC=60°,∠DGC=∠DBC=60°. ‎ ‎∴∠BGC=∠DGC=60°.‎ 过点C作CM⊥GB于M,CN⊥GD于N.‎ 则△CBM≌△CDN,(HL)‎ ‎∴S四边形BCDG=S四边形CMGN.‎ S四边形CMGN=2S△CMG,‎ ‎∵∠CGM=60°,‎ ‎∴GM=CG,CM=CG,‎ ‎∴S四边形CMGN=2S△CMG=2××CG×CG=CG2.‎ ‎③过点F作FP∥AE于P点. ‎ ‎∵AF=2FD,‎ ‎∴FP:AE=DF:DA=1:3,‎ 则 FP:BE=1:6=FG:BG,‎ 即 BG=6GF.‎ 故选D.‎ ‎ .(2011天津)下列汽车标志中,可以看作是中心对称图形的是(  )‎ ‎ A. B. C. D.‎ 解答:解:A.旋转180°,与原图形能够完全重合是中心对称图形;故此选项正确;‎ B.旋转180°,不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形;故此选项错误;‎ C.旋转180°,不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形;故此选项错误;‎ D.旋转180°,不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形;故此选项错误;‎ 故选:A. .(2011泰安)下列图形:‎ 其中是中心对称图形的个数为(  )‎ ‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 解答:解:一图是轴对称图形,二图是中心对称图形,三图是轴对称图形,四图即是中心对称图形,也是轴对称图形;‎ 所以,中心对称图形的个数为2.‎ 故选B. .(2011泰安)若点A的坐标为(6,3)O为坐标原点,将OA绕点O按顺时针方向旋转90°得到OA′,则点A′的坐标是(  )‎ ‎ A.(3,﹣6) B.(﹣3,6) C.(﹣3,﹣6) D.(3,6)‎ 解答:解:由图知A点的坐标为(6,3),‎ 根据旋转中心O,旋转方向顺时针,旋转角度90°,画图,‎ 点A′的坐标是(3,﹣6).‎ 故选A.‎ ‎ .(2011台湾)如图1,有两全等的正三角形ABC,DEF,且D,A分别为△ABC,△DEF的重心.固定D点,将△DEF逆时针旋转,使得A落在上,如图2所示.求图1与图2中,两个三角形重迭区域的面积比为何(  )‎ ‎ A.2:1 B.3:2 C.4:3 D.5:4‎ 解答:解:设三角形的边长是x,则高长是x.‎ 图(1)中,阴影部分是一个内角是60°的菱形,AD=×x=x.‎ 另一条对角线长是:2××x•tan30°=x.‎ 则阴影部分的面积是:×x•x=x2;‎ 图(2)中,AD=AD=×x=x.‎ 是一个角是30°的直角三角形.‎ 则阴影部分的面积=AD•sin30°•AD•cos30°=×x•××x•=x2.‎ 两个三角形重迭区域的面积比为:x2:x2=4:3.‎ 故选C. .(2011遂宁)点(﹣2,3)关于原点对称的点的坐标是(  )‎ ‎ A.(2,3) B.(﹣2,﹣3) C.(2,﹣3) D.(﹣3,2)‎ 解答:解:∵点(﹣2,3)关于原点对称,‎ ‎∴点(﹣2,3)关于原点对称的点的坐标为(2,﹣3).‎ 故选C. .(2011沈阳)下列图形是中心对称图形的是(  )‎ ‎ A. B. C. D.‎ 解答:解:在同一平面内,如果把一个图形绕某一点旋转180度,旋转后的图形能和原图形完全重合的图形的只有D,而A.B.C都不是.‎ 故选D. .(2011钦州)如图,在方格纸中的△ABC经过变换得到△DEF,正确的变换是(  )‎ ‎ A.把△ABC向右平移6格 B.把△ABC向右平移4格,再向上平移1格 C.把△ABC绕着点A顺时针旋转90°,再向右平移6格 D.把△ABC绕着点A逆时针旋转90°,再向右平移6格 解答:解:根据图象,△ABC绕着点A逆时针方向90°旋转与△DEF形状相同,向右平移6格就可以与△DEF重合.‎ 故选D. .(2011莆田)在平行四边形、等边三角形、菱形、等腰梯形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )‎ ‎ A.平行四边形 B.等边三角形 C.菱形 D.等腰梯形 解答:解:等边三角形、等腰梯形是轴对称图形,不是中心对称图形,‎ 平行四边形不是轴对称图形,是中心对称图形,‎ 菱形是轴对称图形,也是中心对称图形.‎ 故选C. .(2011攀枝花)下列图形中,既不是轴对称图形,也不是中心对称图形的是(  )‎ ‎ A. B. C. D.‎ 解答:解:A.不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故此选项正确;‎ B.是中心对称图形,也是轴对称图形,故此选项错误;‎ C.是中心对称图形,也是轴对称图形,故此选项错误;‎ D.是中心对称图形,但不是轴对称图形,故此选项错误.‎ 故选:A. .(2011宁夏)如图,△ABO的顶点坐标分别为A(1,4)、B(2,1)、O(0,0),如果将△ABO绕点O按逆时针方向旋转90°,得到△A′B′O′,那么点A′、B′的对应点的坐标是(  )‎ ‎ A.A′(﹣4,2),B′(﹣1,1) B.A′(﹣4,1),B′(﹣1,2) C.A′(﹣4,1),B′(﹣1,1) D.A′(﹣4,2),B′(﹣1,2)‎ 解答:解:∵图形旋转后大小不变,‎ ‎∴OA=OA′==,‎ ‎∴A.D显然错误;‎ 同理OB=OB′==.‎ ‎∴C错误.‎ 故选B. .(2011宁德)下列图标中,属于中心对称的是(  )‎ ‎ A. B. C. D.‎ 解答:解:根据中心对称图形的概念,知A.B.D都不是中心对称图形,不符合题意;‎ C是中心对称图形,符合题意.‎ 故选C. .(2011宁波)平面直角坐标系中,与点(2,﹣3)关于原点中心对称的点是(  )‎ ‎ A.(﹣3,2) B.(3,﹣2) C.(﹣2,3) D.(2,3)‎ 解答:解:点(2,﹣3)关于原点中心对称的点的坐标是(﹣2,3).‎ 故选C. .(2011牡丹江)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的有(  )个.‎ ‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 解答:解:第一个和第三个图形既是轴对称图形又是中心对称图形;‎ 第二个图形和第四个图形是轴对称图形,不是中心对称图形.‎ 故既是轴对称图形又是中心对称图形的有2个.‎ 故选B. .(2011泸州)如图,该图形绕点O按下列角度旋转后,不能与其自身重合的是(  )‎ ‎ A.72° B.108° C.144° D.216°‎ 解答:解:该图形被平分成五部分,旋转72度的整数倍,就可以与自身重合,‎ 因而A.C.D都正确,不能与其自身重合的是B.‎ 故选B. .(2011龙岩)下列图形中是中心对称图形的是(  )‎ ‎ A. B. C. D.‎ 解答:解:A.不是中心对称图形,故本选项错误,‎ B.为轴对称图形,而不是中心对称图形,故本选项错误,‎ C.为轴对称图形,而不是中心对称图形,故本选项错误,‎ D.为中心对称图形,故本选项正确.‎ 故选D. .(2011辽阳)下列图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )‎ ‎ A. B. C. D.‎ 解答:解:A.不是轴对称图形,也不是中心对称图形,不符合题意;‎ B.是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意;‎ C.是中心对称图形,不是轴对称图形,不符合题意;‎ D.是轴对称图形,也是中心对称图形,符合题意.‎ 故选D. .(2011莱芜)以下多边形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )‎ ‎ A.正五边形 B.矩形 C.等边三角形 D.平行四边形 解答:解:A.是轴对称图形,不是中心对称图形;‎ B.是中心对称图形,也是轴对称图形;‎ C.不是中心对称图形,是轴对称图形.‎ D.是中心对称图形,不是轴对称图形;‎ 故选B. .(2011莱芜)观察如图,在下列四种图形变换中,该图案不包含的变换是(  )‎ ‎ A.平移 B.轴对称 C.旋转 D.位似 解答:解:A.图形的方向发生了改变,不符合平移的定义,本题图案不包含平移变换,故本选项符合题意;‎ B.有8条对称轴,本题图案包含轴对称变换,故本选项不符合题意;‎ C.将图形绕着中心点旋转22.5°的整数倍后均能与原图形重合,本题图案包含旋转变换,故本选项不符合题意;‎ D.符合位似图形的定义,本题图案包含位似变换,故本选项不符合题意.‎ 故选A. .(2011嘉兴)如图,点A.B.C.D.O都在方格纸的格点上,若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得,则旋转的角度为(  )‎ ‎ A.30° B.45° C.90° D.135°‎ 解答:解:如图,设小方格的边长为1,得,‎ OC==,AO==,AC=4,‎ ‎∵OC2+AO2=+=16,‎ AC2=42=16,‎ ‎∴△AOC是直角三角形,‎ ‎∴∠AOC=90°.‎ 故选C. .(2011鸡西)下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )‎ ‎ A. B. C. D.‎ 解答:解:A.不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项错误;‎ B.是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项正确;‎ C.是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;‎ D.是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误.‎ 故选B. .(2011湖州)如图,已知△AOB是正三角形,OC⊥OB,OC=OB,将△OAB绕点O按逆时针方向旋转,使得OA与OC重合,得到△OCD,则旋转的角度是(  )‎ ‎ A.150° B.120° C.90° D.60°‎ 解答:解:旋转角∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+90°=150°.‎ 故选A. .(2011衡阳)下列几个图形是国际通用的交通标志,其中不是中心对称图形的是(  )‎ ‎ A. B. C. D.‎ 解答:解:根据中心对称图形的概念,知:A.B.C都是中心对称图形;D不是中心对称图形.‎ 故选D. .(2011黑龙江)下列QQ标识图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )‎ ‎ A.①③⑤ B.③④⑤ C.②⑥ D.④⑤⑥‎ 解答:解:∵①此图形不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故此选项错误;‎ ‎②此图形不是中心对称图形,但是轴对称图形,故此选项错误;‎ ‎③此图形不是中心对称图形,但是轴对称图形,故此选项错误;‎ ‎④此图形是中心对称图形,也是轴对称图形,故此选项正确;‎ ‎⑤此图形是中心对称图形,也是轴对称图形,故此选项正确;‎ ‎⑥此图形是中心对称图形,也是轴对称图形,故此选项正确;‎ 故答案为:④⑤⑥正确.‎ 故选:D. .(2011贺州)如图,在方格纸中的△ABC经过变换得到△DEF,正确的变换是(  )‎ ‎ A.把△ABC向右平移6格 B.把△ABC向右平移4格,再向上平移1格 C.把△ABC绕着点A顺时针方向90°旋转,再右平移7格 D.把△ABC绕着点A逆时针方向90°旋转,再右平移7格 解答:解:根据图象,△ABC绕着点A逆时针方向90°旋转与△DEF形状相同,向右平移7格就可以与△DEF重合.‎ 故选D. .(2011河南)如图,将一朵小花放置在平面直角坐标系中第三象限内的甲位置,先将它绕原点O旋转180°到乙位置,再将它向下平移2个单位长到丙位置,则小花顶点A在丙位置中的对应点A′的坐标为(  )‎ ‎ A.(3,1) B.(1,3) C.(3,﹣1) D.(1,1)‎ 解答:解:根据图示可知A点坐标为(﹣3,﹣1),‎ 根据绕原点O旋转180°横纵坐标互为相反数 ‎∴旋转后得到的坐标为(3,1),‎ 根据平移“上加下减”原则,‎ ‎∴向下平移2个单位得到的坐标为(3,﹣1),‎ 故选C. .(2011哈尔滨)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,△AB′C′可以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到(点B′与点B是对应点,点C′与点C是对应点),连接CC′,则∠CC′B′的度数是(  )‎ ‎ A.45° B.30° C.25° D.15°‎ 解答:解:由旋转的性质可知,AC=AC′,‎ 又∠CAC′=90°,可知△CAC′为等腰直角三角形,‎ 所以,∠CC′A=45°.‎ ‎∵∠CC′B′+∠ACC′=∠AB′C′=∠B=60°,‎ ‎∴∠CC′B′=15°.‎ 故选D. .(2011哈尔滨)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )‎ ‎ A. B. C. D.‎ 解答:解:A项为中心对称图形,不是轴对称图形,故本项错误,‎ B项为轴对称图形,不是中心对称图形,故本项错误,‎ C项既不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故本项错误,‎ D项是中心对称图形,也是轴对称图形,故本项正确.‎ 故答案选择﹣﹣D .(2011桂林)下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽,其中为中心对称图形的是(  )‎ ‎ A. B. C. D.‎ 解答:解:∵A.此图形旋转180°后不能与原图形重合,∴此图形不是中心对称图形,故此选项错误;‎ B:∵此图形旋转180°后不能与原图形重合,∴此图形不是中心对称图形,故此选项错误;‎ C.此图形旋转180°后能与原图形重合,此图形是中心对称图形,故此选项正确;‎ D:∵此图形旋转180°后不能与原图形重合,∴此图形不是中心对称图形,故此选项错误.‎ 故选C. .(2011广安)在直角坐标平面内的机器人接受指令“[a,A]”(a≥0,0°<A<180°)后的行动结果为:在原地顺时针旋转A后,再向正前方沿直线行走a个单位长度.若机器人的位置在原点,正前方为y轴的负半轴,则它完成一次指令[2,60°]后位置的坐标为(  )‎ ‎ A. B. C. D.‎ 解答:解:由已知得到:OA=2,∠COA=60°,‎ 过A作AB⊥X轴于B,‎ ‎∴∠BOA=90°﹣60°=30°,‎ ‎∴AB=1,‎ 由勾股定理得:OB=,‎ ‎∴A的坐标是(﹣,﹣1).‎ 故选C.‎ ‎ .(2011佛山)一个图形无论经过平移还是旋转,有以下说法(  )‎ ‎①对应线段平行;②对应线段相等;‎ ‎③对应角相等;④图形的形状和大小都没有发生变化.‎ ‎ A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④‎ 解答:解:平移后对应线段平行;对应线段相等;对应角相等;图形的形状和大小没有发生变化.‎ 旋转后对应线段不平行;对应线段相等;对应角相等;图形的形状和大小没有发生变化.‎ 故选D. .(2011防城港)下列图形是轴对称图形,又是中心对称图形的有(  )‎ ‎ A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 解答:解:第①个图形不是轴对称图形,是中心对称图形,不符合题意;‎ 第②个图形是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意;‎ 第③个图形既是轴对称图形,又是中心对称图形,符合题意;‎ 第④个图形是轴对称图形,又是中心对称图形,符合题意.‎ 所以既是轴对称图形,又是中心对称图形的有③④两个.‎ 故选C. .(2011德阳)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(a,0),B(0,b),如果将线段AB绕点B顺时针旋转90°至CB,那么点C的坐标是(  )‎ ‎ A.(﹣b,b+a) B.(﹣b,b﹣a) C.(﹣a,b﹣a) D.(b,b﹣a)‎ 解答:解:如图,过点C作CD⊥y轴于点D,‎ ‎∵∠CBD+∠ABO=90°,∠ABO+∠BAO=90°,‎ ‎∴∠CBD=∠BAO,‎ 在△ABO与△BCD中,,‎ ‎∴△ABO≌△BCD(AAS),‎ ‎∴CD=OB,BD=AO,‎ ‎∵点A(a,0),B(0,b),‎ ‎∴CD=b,BD=a,‎ ‎∴OD=OB﹣BD=b﹣a,‎ 又∵点C在第二象限,‎ ‎∴点C的坐标是(﹣b,b﹣a).‎ 故选B.‎ ‎ .(2011郴州)观察下列图案,既是中心对称图形又是轴对称图形的是(  )‎ ‎ A. B. C. D.‎ 解答:解:A.不是轴对称图形,不符合题意,故本选项错误;‎ B.是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意,故本选项错误;‎ C.是轴对称图形,也是中心对称图形,符合题意,故本选项正确;‎ D.是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意,故本选项错误.‎ 故选C. .(2011滨州)如图.在△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,AC=4cm,将△ABC绕顶点C顺时针方向旋转至△A'B'C的位置,且A.C.B'三点在同一条直线上,则点A所经过的最短路线的长为(  )‎ ‎ A. B.8cm C. D.‎ 解答:解:∵∠B=90°,∠A=30°,A.C.B'三点在同一条直线上,‎ ‎∴∠ACA′=120°.‎ 又AC=4,‎ ‎∴L =(cm).‎ 故选D. .(2011北京)下列图形中,即是中心对称又是轴对称图形的是(  )‎ ‎ A.等边三角形 B.平行四边形 C.梯形 D.矩形 解答:解:A.是轴对称图形,不是中心对称图形.故本选项错误;‎ B.不是轴对称图形,是中心对称图形.故本选项错误;‎ C.是轴对称图形,不是中心对称图形.故本选项错误;‎ D.既是轴对称图形,又是中心对称图形.故本选项正确.‎ 故选D.‎ 二、填空题 .(2011永州)永州市新田县的龙家大院至今已有930多年历史,因该村拥有保存完好的“三堂九井二十四巷四十八栋”明清建筑,而申报为中国历史文化名村.如图是龙家大院的一个窗花图案,它具有很好的对称美,这个图案是由:①正六边形;②正三角形;③等腰梯形;④直角梯形等几何图形构成,在这四种几何图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 (只填序号).‎ 解答:解:∵①此图形是中心对称图形,也是轴对称图形,故此选项正确;‎ ‎②此图形不是中心对称图形,但是轴对称图形,故此选项错误;‎ ‎③此图形不是中心对称图形,但是轴对称图形,故此选项错误;‎ ‎④此图形不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故此选项错误.‎ 故答案为:①. .(2011宜宾)如图,在△ABC.中,AB=BC,将△ABC绕点B顺时针旋转α度,得到△A1BC1,A1B交AC于点E,A1C1分别交AC.BC于点D.F,下列结论:①∠CDF=α,②A1E=CF,③DF=FC,④A1F=CE.其中正确的是 (写出正确结论的序号).‎ 解答:解:①∠C=∠C1(旋转后所得三角形与原三角形完全相等)‎ 又∵∠DFC=∠BFC1(对顶角相等)‎ ‎∴∠CDF=∠C1BF=α 故结论①正确;‎ ‎②∵AB=BC,‎ ‎∴∠A=∠C,‎ ‎∴∠A1=∠C,A1B=CB,∠A1BF=∠CBE,‎ ‎∴△A1BF≌△CBE,‎ ‎∴BF=BE,‎ ‎∴A1B﹣BE=BC﹣BF,‎ ‎∴A1E=CF;‎ 故②正确;‎ ‎③在三角形DFC中,∠C与∠CDF=α度不一定相等,所以DF与FC不一定相等,‎ 故结论③不一定正确;‎ ‎④BC=A1B,∠A1=∠C,∠A1BF=∠CBE ‎∴△A1BF≌△CBE 那么A1F=CE.‎ 故结论④正确.‎ 故答案为:①②④. .(2011梧州)如图,在平面直角坐标系中,对△ABC进行循环往复的轴对称或中心对称变换,若原来点A坐标是(a,b),则经过第2011次变换后所得的A点坐标是 .‎ 解答:解:∵2011÷3=670…1,第一次变换是各对应点关于x轴对称,点A坐标是(a,b),‎ ‎∴经过第2011次变换后所得的A点坐标是(a,﹣b).‎ 故答案为(a,﹣b). .(2011泰州)如图,△ABC的3个顶点都在5×5的网格(每个小正方形的边长均为1个单位长度)的格点上,将△ABC绕点B顺时针旋转到△A'BC'的位置,且点A'、C'仍落在格点上,则线段AB扫过的图形面积是 平方单位(结果保留π).‎ 解答:解:在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB===,‎ 由图形可知,线段AB扫过的图形为扇形ABA′,旋转角为90°,‎ ‎∴线段AB扫过的图形面积===.‎ 故答案为:. .(2011上海)Rt△ABC中,已知∠C=90°,∠B=50°,点D在边BC上,BD=2CD(如图).把△ABC绕着点D逆时针旋转m(0<m<180)度后,如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上,那么m= .‎ 解答:解:如图,在线段AB取一点B′,使DB=DB′,在线段AC取一点B″,使DB=DB″,‎ ‎∴旋转角m=∠BDB′=180°﹣∠DB′B﹣∠B=180°﹣2∠B=80°,‎ 在Rt△B″CD中,∵DB″=DB=2CD,∴∠CDB″=60°,‎ 旋转角∠BDB″=180°﹣∠CDB″=120°.‎ 故答案为:80°或120°.‎ ‎ .(2011泉州)如图,如果边长为1的正六边形ABCDEF绕着顶点A顺时针旋转60°后与正六边形AGHMNP重合,那么点B的对应点是点 ,点E在整个旋转过程中,所经过的路径长为 (结果保留π).‎ 解答:解:∵六边形ABCDEF是正六边形,‎ ‎∴此六边形的各内角是120°,‎ ‎∵正六边形ABCDEF绕着顶点A顺时针旋转60°后与正六边形AGHMNP重合,‎ ‎∴B点只能与G点重合,‎ 连接AE,过F点向AE作垂线,垂足为I,‎ ‎∵EF=AF=1,IF⊥AE,‎ ‎∴AE=2EI,‎ ‎∵∠AFE=120°,‎ ‎∴∠EFI=60°,‎ ‎∴EI=EF•sin60°=1×=,‎ ‎∴AE=2×=,‎ ‎∴E点所经过的路线是以A为圆心,以AE为半径,圆心角为60度的一段弧,‎ ‎∴E在整个旋转过程中,所经过的路径长==π.‎ 故答案为:G、π.‎ ‎ .(2011曲靖)小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称.如果小明家距学校2公里,那么他们两家相距 公里.‎ 解答:解:∵小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称,‎ ‎∴小明、小辉两家到学校距离相等,‎ ‎∵小明家距学校2公里,‎ ‎∴他们两家相距:4公里.‎ 故答案为:4. .(2011宁德)如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,将△ABC绕C点按逆时针方向旋转α角(0°<α<90‎ ‎°)得到△DEC,设CD交AB于F,连接AD,当旋转角α度数为 ,△ADF是等腰三角形.‎ 解答:解:∵△ABC绕C点按逆时针方向旋转α角(0°<α<90°)得到△DEC,‎ ‎∴∠DCA=α,CD=CA,‎ ‎∴∠CDA=∠CAD=(180°﹣α)=90°﹣α,‎ ‎∵△ADF是等腰三角形,∠DFA=30°+α,‎ ‎①当AF=AD,‎ ‎∴∠ADF=∠AFD,‎ ‎∴90°﹣α=30°+α,‎ 解得α=40°;‎ ‎②当DF=DA,‎ ‎∴∠DFA=∠DAF,‎ ‎∴30°+α=90°﹣α﹣30°,‎ 解得α=20°.‎ 故答案为40°或20°. .(2011宁德)如图,在平面直角坐标系中,将△ABC绕A点逆时针旋转90°后,B点对应点的坐标为 .‎ 解答:解:由图中可得点B′的坐标为(0,2).‎ 故答案为:(0,2).‎ ‎ .(2011宁波)实数27的立方根是 .如果点P(4,﹣5)和点Q(a,b)关于原点对称,则a的值为 .‎ 解答:解:∵33=27,‎ ‎∴27的立方根是3,‎ ‎∵点P(4,﹣5)和点Q(a,b)关于原点对称,‎ ‎∴a=﹣4,b=5,‎ 故答案为:3,﹣4. .(2011南京)如图,E、F分别是正方形ABCD的边BC.CD上的点,BE=CF,连接AE、BF.将△ABE绕正方形的中心按逆时针方向旋转到△BCF,旋转角为α( 0°<α<180°),则∠α= .‎ 解答:解:∵四边形ABCD是正方形.‎ ‎∴∠AOB=90°,‎ 故α=90°.‎ 故答案是:90°.‎ ‎ .(2011牡丹江)平行四边形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图所示,∠AOB=60°,AO=1,AC=2,把平行四边形AOBC绕点0逆时针旋转,使点A落在y轴上,则旋转后点C的对应点C′的坐标为 .‎ 解答:解:如图:‎ ‎∵∠AOB=60°,把平行四边形AOBC绕点0逆时针旋转,使点A落在y轴上,‎ ‎∴∠A′EC′=90°,‎ ‎∵A′E=1,A′C′=2,‎ ‎∴EC′=,A′E=1,‎ ‎∴C′(,2),‎ ‎∵点A′与A″关于原点对称,‎ ‎∴点C″与C′关于原点对称.‎ ‎∴点C″(﹣,﹣2).‎ 故答案为(,2),(﹣,﹣2).‎ ‎ .(2011六盘水)请写出两个既是轴对称图形又是中心对称图形的平面几何图形名称 (写出两个即可)‎ 解答:解:正方形和矩形都是中心对称图形和轴对称图形.‎ 故本题答案为:正方形;矩形. .(2011六盘水)在平面直角坐标系中,点P(2,3)与点P'(2a+b,a+2b)关于原点对称,则a﹣b的值为 .‎ 解答:解:根据两个点关于原点对称,则横、纵坐标都是原数的相反数,‎ 得:2a+b=﹣2,a+2b=﹣3,‎ 解得:a=﹣,b=﹣,‎ a﹣b=1.‎ 故答案为:1. .(2011莱芜)如图①,在△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=4.将△AOB沿x轴依次以点A.B.O为旋转中心顺时针旋转,分别得到图②、图③、…,则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐标为 .‎ 解答:解:∵在△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=4,‎ ‎∴AB=5,‎ ‎∴图③、④的直角顶点坐标为(12,0),‎ ‎∵每旋转3次为一循环,‎ ‎∴图⑥、⑦的直角顶点坐标为(24,0),‎ ‎∴图⑨、⑩的直角顶点为(36,0).‎ 故答案为:(36,0). .(2011江西)如图,△DEF是由△ABC绕某点旋转得到的,则这点的坐标是 .‎ 解答:解:如图,‎ 连接AD.BE,作线段AD.BE的垂直平分线,‎ 两线的交点即为旋转中心O′.其坐标是(0,1).‎ 故答案为(0,1).‎ ‎ .(2011淮安)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后得到△AB1C1,B1C1交AC于点D,如果AD=2,则△ABC的周长等于 .‎ 解答:解:在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,‎ 则∠BAC=60°,‎ 将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后,∠B1AD=45°,‎ 而∠AB1D=90°,故△AB1D是等腰直角三角形,‎ 如果AD=2,则根据勾股定理得,‎ AB1=2那么AB=AB1=2,‎ AC=2AB=4,‎ BC=2,‎ ‎△ABC的周长为:AB+BC+AC=2+4+2=6+2.‎ 故本题答案为:6+2. .(2011防城港)如图,等边△ABC绕点B逆时针旋转30°时,点C转到C′的位置,且BC′与AC交于点D,则的值为 .‎ 解答:解:设等边△ABC的边长是a,‎ 图形旋转30°,则△BCD是直角三角形.‎ BD=BC•cos30°=a,‎ 则C′D=a﹣=a,CD=a ‎∴==2﹣‎ 故答案是:2﹣.‎ ‎ .(2011大连)如图,等腰直角三角形ABC的直角边AB的长为6cm,将△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′,则图中阴影部分面积等于 cm2.‎ 解答:解:∵∠B′AD=∠B′AC′﹣∠DAC′=45°﹣15°=30°,‎ ‎∴B′D=AB′tan30°=6×=2,‎ S△AB′D=×6×2=6.‎ 故答案为:6.‎ ‎ .(2011本溪)菱形OCAB在平面直角坐标系中的位置如图所示,点O的坐标是(0,0),点A在y轴的正半轴上,点P是菱形对角线的交点,点C坐标是(,3)若把菱形OCAB绕点A逆时针旋转90°,则点P的对应点P′的坐标是 .‎ 解答:解:把菱形OCAB绕点A逆时针旋转90°,则点P的对应点P′,‎ 横坐标是3,纵坐标是3+3=6,‎ ‎∴P′(3,6).‎ 故答案为:(3,6).‎ 三、解答题 .(2011自贡)如图,在△ABC中,AB=BC=1,∠ABC=120°,将△ABC绕点B顺时针旋转30°得△A1BC1.A1B交AC于点E,A1C1分别交AC,BC于点D,F.‎ ‎(1)试判断四边形BC1DA的形状,并说明理由;‎ ‎(2)求ED的长.‎ 解答:解:(1)四边形BC1DA是菱形.理由如下:‎ ‎∵∠ABC=120°,AB=BC,‎ ‎∴∠A=(180°﹣120°)=30°,‎ 由题意可知∠A1=∠A=30°,‎ ‎∵旋转角为30°‎ ‎∴∠ABA1=30,‎ ‎∴∠A1=∠ABA1,‎ ‎∴A1C1∥AB,‎ 同理AC∥BC1,‎ ‎∴四边形BC1DA是平行四边形,‎ ‎∵AB=BC,‎ ‎∴四边形BC1DA是菱形;‎ ‎(2)过点E作EG⊥AB于点G,‎ ‎∵∠A=∠ABE=30°,AB=1,‎ ‎∴AG=GB=,‎ ‎∵cos∠A=,AE===,‎ ‎∴ED=AD﹣AE=1﹣.‎ ‎ .(2011珠海)如图,将一个钝角△ABC(其中∠ABC=120°)绕点B顺时针旋转得△A1BC1,使得C点落在AB的延长线上的点C1处,连接AA1.‎ ‎(1)写出旋转角的度数;‎ ‎(2)求证:∠A1AC=∠C1.‎ 解答:(1)解:∵∠ABC=120°,‎ ‎∴∠CBC1=180°﹣∠ABC=180°﹣120°=60°,‎ ‎∴旋转角为60°;‎ ‎(2)证明:由题意可知:△ABC≌△A1BC1,‎ ‎∴A1B=AB,∠C=∠C1,‎ 由(1)知,∠ABA1=60°,‎ ‎∴△A1AB是等边三角形,‎ ‎∴∠BAA1=60°,‎ ‎∴∠BAA1=∠CBC1,‎ ‎∴AA1∥BC,‎ ‎∴∠A1AC=∠C,‎ ‎∴∠A1AC=∠C1. .(2011昭通)如图所示,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(﹣1,1),C(﹣1,3).‎ ‎(1)画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1,并写出点C1的坐标;‎ ‎(2)画出△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°后得到的图形△A2B2C2,并求出C所走过的路径的长.‎ 解答:解:(1)如图所示:C1(﹣1,﹣3);‎ ‎(2)如图所示:‎ ‎△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°后得到的图形△A2B2C2,C所走过的路径为:‎ 半径为:=,‎ ‎∴路径的长为:L==π. .(2011漳州)下图是2002年在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”,它既标志着中国古代的数学成就,又像一只转动着的风车,欢迎世界各地的数学家们.‎ 请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换,在以下方格纸中设计另个两个不同的图案.画图要求:‎ ‎(1)每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上,且四个三角形到不重叠;‎ ‎(2)所设计的图案(不含方格纸)必须是中心对称图形或轴对称图形.‎ 解答:解:下面的图形都符合条件:‎ ‎ .(2011新疆)如图,在△ABC中,∠A=90°.‎ ‎(1)用尺规作图的方法,作出△ABC绕点A逆时针旋转45°后的图形△AB1C1(保留作图痕迹);‎ ‎(2)若AB=3,BC=5,求tan∠AB1C1.‎ 解答:解:(1)作∠CAB的平分线,在平分线上截取AB1=AB,‎ 延长AB1到D,使得AD=AB1,‎ 作B1D的垂直平分线AC1,‎ 在AC1上截取AC1=AC,‎ 如图所示即是所求.‎ ‎(2)∵AB=3,BC=5,‎ ‎∴AC=4,‎ ‎∴AB1=3,AC1=4,‎ tan∠AB1C1==.‎ ‎ .(2011孝感)如图所示,网格中每个小正方形的边长为1,请你认真观察图(1)中的三个网格中阴影部分构成的图案,解答下列问题:‎ ‎(1)这三个图案都具有以下共同特征:都是 对称图形,都不是 对称图形.‎ ‎(2)请在图(2)中设计出一个面积为4,且具备上述特征的图案,要求所画图案不能与图(1)中所给出的图案相同.‎ 解答:解:(1)中心、轴;‎ ‎(2)如图所示:‎ ‎ .(2011仙桃天门潜江江汉油田)两个大小相同且含30°角的三角板ABC和DEC如图①摆放,使直角顶点重合.将图①中△DEC绕点C逆时针旋转30°得到图②,点F、G分别是CD.DE与AB的交点,点H是DE与AC的交点.‎ ‎(1)不添加辅助线,写出图②中所有与△BCF全等的三角形;‎ ‎(2)将图②中的△DEC绕点C逆时针旋转45°得△D1E1C,点F、G、H的对应点分别为F1、G1、H1,如图③.探究线段D1F1与AH1之间的数量关系,并写出推理过程;‎ ‎(3)在(2)的条件下,若D1E1与CE交于点I,求证:G1I=CI.‎ 解答:解:(1)图②中与△BCF全等的有△GDF、△GAH、△ECH.‎ ‎(2)D1F1=AH1,‎ 证明:∵,‎ ‎∴△AF1C≌△D1H1C.‎ ‎∴F1C=H1C,又CD1=CA,‎ ‎∴CD1﹣F1C=CA﹣H1C.‎ 即D1F1=AH1;‎ ‎(3)连接CG1.‎ 在△D1G1F1和△AG1H1中,‎ ‎∵,‎ ‎∴△D1G1F1≌△AG1H1.‎ ‎∴G1F1=G1H1,‎ 又∵H1C=F1C,G1C=G1C,‎ ‎∴△CG1F1≌△CG1H1.‎ ‎∴∠1=∠2.‎ ‎∵∠B=60°,∠BCF=30°,‎ ‎∴∠BFC=90°.‎ 又∵∠DCE=90°,‎ ‎∴∠BFC=∠DCE,‎ ‎∴BA∥CE,‎ ‎∴∠1=∠G1CE,‎ ‎∴∠2=∠G1CE,‎ ‎∴G1I=CI.‎ ‎ .(2011武汉)在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标是A(﹣7,1),B(1,1),C(1,7).线段DE的端点坐标是D(7,﹣1),E(﹣1,﹣7).‎ ‎(1)试说明如何平移线段AC,使其与线段ED重合;‎ ‎(2)将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转,使AC的对应边为DE,请直接写出点B的对应点F的坐标;‎ ‎(3)画出(2)中的△DEF,并和△ABC同时绕坐标原点O逆时针旋转90°,画出旋转后的图形.‎ 解答:解:(1)将线段AC先向右平移6个单位,再向下平移8个单位.(其它平移方式也可以);‎ ‎(2)根据A,C对应点的坐标即可得出F(﹣l,﹣1);‎ ‎(3)画出如图所示的正确图形.‎ ‎ .(2011威海)我们学习过:在平面内,将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度,这样的图形运动叫做旋转,这个定点称为旋转中心.‎ ‎(1)如图①,△ABC≌△DEF.△DEF能否由△ABC通过一次旋转得到?若能,请用直尺和圆规画出旋转中心,若不能,试简要说明理由;‎ ‎(2)如图②,△ABC≌△MNK.△MNK能否由△ABC通过一次旋转得到?若能,请用直尺和圆规画出旋转中心,若不能,试简要说明理由.(保留必要的作图痕迹)‎ 解答:解:(1)能.‎ 点O1就是所求作的旋转中心;‎ ‎(2)能.‎ 点O2就是所求作的旋转中心.‎ ‎ .(2011天水)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,每个小方格的边长为1个单位长度.正方形ABCD顶点都在格点上,其中,点A的坐标为(1,1).‎ ‎(1)若将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转90°,点B到达点B1,点C到达点C1,点D到达点D1,求点B1、C1、D1的坐标.‎ ‎(2)若线段AC1的长度与点D1的横坐标的差恰好是一元二次方程x2+ax+1=0的一个根,求a的值.‎ 解答:解:(1)如图,B1、C1、D1的坐标分别为:‎ B1(2,﹣1),C1(4,0),D1(3,2);‎ ‎(2)根据勾股定理,AC1==,‎ ‎∴线段AC1的长度与点D1的横坐标的差是﹣3,‎ ‎∴(﹣3)2+(﹣3)a+1=0,‎ 整理,10﹣6+9+(﹣3)a+1=0,‎ ‎∴(﹣3)a=﹣20+6,‎ 解得a=﹣2.‎ 故答案为:(1)B1(2,﹣1),C1(4,0),D1(3,2);(2)a=﹣2.‎ ‎ .(2011苏州)如图①,小慧同学把一个正三角形纸片(即△OAB)放在直线l1上.OA边与直线l1重合,然后将三角形纸片绕着顶点A按顺吋针方向旋转120°,此时点O运动到了点O1处,点B运动到了点B1处;小慧又将三角形纸片AO1B1,绕点B1按顺吋针方向旋转 120°,此时点A运动到了点A1处,点O1运动到了点O2处(即顶点O经过上述两次旋转到达O2处).‎ 小慧还发现:三角形纸片在上述两次旋转的过程中.顶点O运动所形成的图形是两段圆弧,即和,顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和,并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形A001的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和.‎ 小慧进行类比研究:如图②,她把边长为1的正方形纸片0ABC放在直线l2上,0A边与直线l2重合,然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°,此时点O运动到了点O1处(即点B处),点C运动到了点C1处,点B运动到了点B2处,小慧又将正方形纸片 AO1C1B1绕顶点B1按顺时针方向旋转90°,….按上述方法经过若干次旋转后,她提出了如下问题:‎ 问题①:若正方形纸片0ABC按上述方法经过3次旋转,求顶点0经过的路程,并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积;若正方形纸片OABC按上述方法经过5次旋转.求顶点O经过的路程;‎ 问题②:正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转,顶点0经过的路程是?‎ 解答:解:①如图所示,正方形纸片OABC经过3次旋转,顶点O运动所形成的图形是三段圆弧,‎ ‎∴顶点O在此过程中经过的路程为:2+=(1+)π,‎ 顶点O在此过程中经过的图形与直线l2围成的图形面积为:‎ ‎×2++2××1=1+π.‎ 正方形纸片OABC经过5次旋转,顶点O在此过程中经过的路程为:‎ ‎3+=(+)π,‎ ‎②正方形纸片OABC经过4次旋转,顶点O在此过程中经过的路程为:‎ ‎2+=(1+)π,‎ ‎∴=20(1+)π+,‎ ‎∴正方形纸片OABC经过了81次旋转.‎ ‎ .(2011绍兴)分别按下列要求解答:‎ ‎(1)在图1中.作出⊙O关于直线l成轴对称的图形;‎ ‎(2)在图2中.作出△ABC关于点P成中心对称的图形.‎ 解答:解:(1)(2)如图所示:‎ ‎ .(2011南通)如图1,O为正方形ABCD的中心,分别延长OA.OD到点F、E,使OF=2OA,OE=2OD,连接EF.将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E1OF1(如图2).‎ ‎(1)探究AE1与BF1的数量关系,并给予证明;‎ ‎(2)当α=30°时,求证:△AOE1为直角三角形.‎ 解答:(1)解:AE1=BF1.‎ 证明:∵O为正方形ABCD的中心,‎ ‎∴OA=OD,‎ ‎∵OF=2OA,OE=2OD,‎ ‎∴OE=OF,‎ ‎∵将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E1OF1‎ ‎∴OE1=OF1,‎ ‎∵∠F1OB=∠E1OA,OA=OB,‎ ‎∴△E1AO≌△F1BO,‎ ‎∴AE1=BF1;‎ ‎(2)证明:∵取OE1中点G,连接AG,‎ ‎∵∠AOD=90°,α=30°,‎ ‎∴∠E1OA=90°﹣α=60°,‎ ‎∵OE1=2OA,‎ ‎∴OA=OG,‎ ‎∴∠E1OA=∠AGO=∠OAG=60°,‎ ‎∴AG=GE1,‎ ‎∴∠GAE1=∠GE1A=30°,‎ ‎∴∠E1AO=90°,‎ ‎∴△AOE1为直角三角形.‎ ‎ .(2011梅州)如图,在平面直角坐标系中,点A(﹣4,4),点B(﹣4,0),将△ABO绕原点O按顺时针方向旋转135°得到△A1B1O.回答下列问题:(直接写结果)‎ ‎(1)∠AOB= °;‎ ‎(2)顶点A从开始到A1经过的路径长为 ;‎ ‎(3)点B1的坐标为 .‎ 解答:解:(1)∵在平面直角坐标系中,点A(﹣4,4),点B(﹣4,0),‎ ‎∴AB=OB=4,∠ABO=90°.‎ ‎∴∠AOB=45°,OA==;‎ ‎(2)的长度l==3π;‎ ‎(3)设OA的中点为C,连接BC.‎ 则BC⊥OA.BC=OC=OA=2.‎ ‎∴B1的横纵坐标相等,OB1=4,‎ ‎∴根据旋转的性质知点B1的坐标为(2,2).‎ 故答案为:(1)45;(2);(3)(2,2).‎ ‎ .(2011茂名)画图题:‎ ‎(1)如图,将△ABC绕点O顺时针旋转180°后得到△A1B1C1.请你画出旋转后的△A1B1C1; ‎ ‎(2)请你画出下面“蒙古包”的左视图.‎ 解答:(1)答:如图所示:‎ ‎(2)答:如图所示:‎ ‎ .(2011娄底)如图,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=10,将△ABC绕点B沿顺时针方向旋转90°得到△A1BC1.‎ ‎(1)线段A1C1的长度是 ,∠CBA1的度数是 .‎ ‎(2)连接CC1,求证:四边形CBA1C1是平行四边形.‎ 解答:(1)解:∵将△ABC绕点B沿顺时针方向旋转90°得到△A1BC1.‎ ‎∴A1C1=10,∠CBC1=90°,‎ 而△ABC是等腰直角三角形,‎ ‎∴∠A1BC1=45°,‎ ‎∴∠CBA1=135°;‎ ‎(2)证明:∵∠A1C1B=∠C1BC=90°,‎ ‎∴A1C1∥BC.‎ 又∵A1C1=AC=BC,‎ ‎∴四边形CBA1C1是平行四边形. .(2011龙岩)一副直角三角板叠放如图所示,现将含45°角的三角板ADE固定不动,把含30°角的三角板ABC绕顶点A顺时针旋转∠α(α=∠BAD且0°<α<180°),使两块三角板至少有一组边平行.‎ ‎(1)如图①,α= °时,BC∥DE;‎ ‎(2)请你分别在图②、图③的指定框内,各画一种符合要求的图形,标出α,并完成各项填空:‎ 图②中α= °时, ∥ ;图③中α= °时, ∥ .‎ 解答:解:(1)α=∠CAD﹣∠CAB=45°﹣30°=15°.‎ ‎(2)图②中α=60°时,BC∥DA,图③中α=105°时,BC∥EA. .(2011聊城)将两块大小相同的含30°角的直角三角板(∠BAC=∠B′A′C=30°)按图①方式放置,固定三角板A′B′C,然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转(旋转角小于90°)至图②所示的位置,AB与A′C交于点E,AC与A′B′交于点F,AB与A′B′相交于点O.‎ ‎(1)求证:△BCE≌△B′CF;‎ ‎(2)当旋转角等于30°时,AB与A′B′垂直吗?请说明理由.‎ 解答:(1)证明:∵∠B=∠B′,BC=B′C,∠BCE=∠B′CF,‎ ‎∴△BCE≌△B′CF;‎ ‎(2)解:AB与A′B′垂直,理由如下:‎ 旋转角等于30°,即∠ECF=30°,‎ 所以∠FCB′=60°,‎ 又∠B=∠B′=60°,‎ 根据四边形的内角和可知∠BOB′的度数为360°﹣60°﹣60°﹣150°=90°,‎ 所以AB与A′B′垂直. .(2011凉山州)在平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(﹣1,2),B(﹣3,4),C(﹣2,9).‎ ‎(1)画出△ABC,并求出AC所在直线的解析式.‎ ‎(2)画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1,并求出△ABC在上述旋转过程中扫过的面积.‎ 解答:解:(1)如图所示,△ABC即为所求,‎ 设AC所在直线的解析式为y=kx+b(k≠0),‎ ‎∵A(﹣1,2),C(﹣2,9),‎ ‎∴,‎ 解得,‎ ‎∴y=﹣7x﹣5;‎ ‎(2)如图所示,△A1B1C1即为所求,‎ 由图可知,,‎ S=S扇形+S△ABC,‎ ‎=+2×7﹣1×5×﹣1×7×﹣2×2×,‎ ‎=.‎ ‎ .(2011昆明)在平面直角坐标系中,△ABC的位置如图所示,请解答下列问题:‎ ‎(1)将△ABC向下平移3个单位长度,得到△A1B1C1,画出平移后的△A1B1C1;‎ ‎(2)将△ABC绕点O顺时针方向旋转180°,得到△A2B2C2,画出旋转后的△A2B2C2,并写出A2点的坐标.‎ 解答:解:(1)所画图形如下:‎ ‎(2)所画图形如下:‎ ‎∴A2点的坐标为(2,﹣3). .(2011荆州)如图,P是矩形ABCD下方一点,将△PCD绕P点顺时针旋转60°后恰好D点与A点重合,得到△PEA,连接EB,问△ABE是什么特殊三角形?请说明理由.‎ 解答:解:△PCD绕点P顺时针旋转60°得到△PEA,PD的对应边是PA,CD的对应边是EA,‎ 线段PD旋转到PA,旋转的角度是60°,因此这次旋转的旋转角为60°,即∠APD为60°,‎ ‎∴△PAD是等边三角形,‎ ‎∴∠DAP=∠PDA=60°,‎ ‎∴∠PDC=∠PAE=30°,∠DAE=30°,‎ ‎∴∠PAB=30°,即∠BAE=60°,‎ 又∵CD=AB=EA,‎ ‎∴△ABE是等边三角形,‎ 故答案为等边三角形. .(2011锦州)如图所示,在边长为1个单位的正方形网格中建立平面直角坐标系,△ABC的顶点均在格点上.‎ ‎(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;‎ ‎(2)将△A1B1C1向下平移3个单位,画出平移后的△A2B2C2;‎ ‎(3)将△A2B2C2绕点C2顺时针旋转90°,画出旋转后的△A3B3C2;并直接写出点A3、B3的坐标.‎ 解答:解:(1)如图,△A1B1C1为所求.(2分)‎ ‎(2)如图,△A2B2C2为所求.(4分)‎ ‎(3)如图,△A3B3C2为所求.(6分)‎ A3(2,﹣2)B3(0,﹣3).(8分)‎ ‎ .(2011江西)如图,将△ABC的顶点A放在⊙O上,现从AC与⊙O相切于点A(如图1)的位置开始,将△ABC绕着点A顺时针旋转,设旋转角为α(0°<α<120°),旋转后AC,AB分别与⊙O交于点E,F,连接EF(如图2).已知∠BAC=60°,∠C=90°,AC=8,⊙O的直径为8.‎ ‎(1)在旋转过程中,有以下几个量:①弦EF的长;②的长;③∠AFE的度数;④点O到EF的距离.其中不变的量是 (填序号);‎ ‎(2)当BC与⊙O相切时,请直接写出α的值,并求此时△AEF的面积.‎ 解答:解:(1)①②④. (多填或填错得0分,少填酌情给分)(3分)‎ ‎(2)α=90°. (5分)‎ 依题意可知,△ACB旋转90°后AC为⊙O直径,‎ 且点C与点E重合,‎ 因此∠AFE=90°. (6分)‎ ‎∵AC=8,∠BAC=60°,‎ ‎∴AF=,EF=,(8分)‎ ‎∴S△AEF=. (9分)‎ ‎ .(2011吉林)如图所示,在7×6的正方形网格中,选取14个格点,以其中三个格点为顶点一画出△ABC,请你以选取的格点为顶点再画出一个三角形,且分别满足下列条件:‎ ‎(1)图①中所画的三角形与△ABC组成的图形是轴对称图形.‎ ‎(2)图②中所画的三角形与△ABC组成的图形是中心对称图形.‎ ‎(3)图③中所画的三角形与△ABC的面积相等,但不全等.‎ 解答:解:(1)如图1、图2所示,所画的三角形与△ABC组成的图形是轴对称图形;‎ ‎(2)如图3所示,所画的三角形与△ABC组成的图形是中心对称图形;‎ ‎(3)如图4、图5、图6所示,所画的三角形与△ABC的面积相等,但不全等.‎ ‎ .(2011鸡西)在正方形ABCD的边AB上任取一点E,作EF⊥AB交BD于点F,取FD的中点G,连接EG、CG,如图(1),易证 EG=CG且EG⊥CG.‎ ‎(1)将△BEF绕点B逆时针旋转90°,如图(2),则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系?请直接写出你的猜想.‎ ‎(2)将△BEF绕点B逆时针旋转180°,如图(3),则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系?请写出你的猜想,并加以证明.‎ 解答:解:(1)EG=CG,EG⊥CG. (2分)‎ ‎(2)EG=CG,EG⊥CG. (2分)‎ 证明:延长FE交DC延长线于M,连MG.‎ ‎∵∠AEM=90°,∠EBC=90°,∠BCM=90°,‎ ‎∴四边形BEMC是矩形.‎ ‎∴BE=CM,∠EMC=90°,‎ 由图(3)可知,△BEF为等腰直角三角形,∴BE=EF,‎ ‎∴EF=CM.‎ ‎∵∠EMC=90°,FG=DG,‎ ‎∴MG=FD=FG.‎ ‎∵BC=EM,BC=CD,‎ ‎∴EM=CD.‎ ‎∵EF=CM,‎ ‎∴FM=DM,‎ ‎∴∠F=45°.‎ 又FG=DG,‎ ‎∠CMG=∠EMC=45°,‎ ‎∴∠F=∠GMC.‎ ‎∴△GFE≌△GMC.‎ ‎∴EG=CG,∠FGE=∠MGC. (2分)‎ ‎∵∠FMC=90°,MF=MD,FG=DG,‎ ‎∴MG⊥FD,‎ ‎∴∠FGE+∠EGM=90°,‎ ‎∴∠MGC+∠EGM=90°,‎ 即∠EGC=90°,‎ ‎∴EG⊥CG. (2分)‎ ‎ .(2011鸡西)如图,每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形.‎ ‎(1)将△ABC向右平移3个单位长度,画出平移后的△A1B1C1.‎ ‎(2)将△ABC绕点O旋转180°,画出旋转后的△A2B2C2.‎ ‎(3)画出一条直线将△AC1A2的面积分成相等的两部分.‎ 解答:解:(1)如图所示,平移正确给(2分);‎ ‎(2)如图所示旋转正确给(2分);‎ ‎(3)面积等分正确给(2分)(答案不唯一).‎ ‎ .(2011呼和浩特)如图所示,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点且∠AEF=90°,EF交正方形外角平分线CF于点F,取边AB的中点G,连接EG.‎ ‎(1)求证:EG=CF;‎ ‎(2)将△ECF绕点E逆时针旋转90°,请在图中直接画出旋转后的图形,并指出旋转后CF与EG的位置关系.‎ 解答:(1)证明:∵正方形ABCD,点G,E为边AB.BC中点,‎ ‎∴AG=EC,△BEG为等腰直角三角形,‎ ‎∴∠AGE=180°﹣45°=135°,‎ 又∵CF为正方形外角平分线,‎ ‎∴∠ECF=90°+45°=135°,‎ ‎∴∠AGE=∠ECF,‎ ‎∵∠AEF=90°,‎ ‎∴∠GAE=90°﹣∠AEB=∠CEF,‎ ‎∴△AGE≌△ECF,‎ ‎∴EG=CF;‎ ‎(2)解:画图如图所示,‎ 旋转后CF与EG平行.‎ ‎ .(2011海南)在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系xoy.△ABC的三个顶点都在格点上,点A的坐标是(4,4 ),请解答下列问题:‎ ‎(1)将△ABC向下平移5个单位长度,画出平移后的A1B1C1,并写出点A的对应点A1的坐标;‎ ‎(2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2;‎ ‎(3)将△ABC绕点C逆时针旋转90°,画出旋转后的△A3B3C.‎ 解答:解:(1)如图:点A的对应点A1的坐标为(4,﹣1);‎ ‎(2)如图:△A2B2C2即是△A1B1C1关于y轴对称得到的;‎ ‎(3)如图:△A3B3C即是将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到的.‎ ‎ .(2011阜新)如图,在边长为1的小正方形组成的网格,直角梯形ABEF的顶点均在格点上,请按要求完成下列各题:‎ ‎(1)请在图中拼上一个直角梯形,使它与梯形ABEF构成一个等腰梯形ABCD;‎ ‎(2)将等腰梯形ABCD绕点C按顺时针方向旋转90°,画出相应的图形A1B1CD1;‎ ‎(3)求点A旋转到点A1时,点A所经过的路线长.(结果保留π)‎ 解答:解:(1)如图所示:‎ ‎(2)如图所示:‎ ‎(3)连接CA,则CA==,‎ 由于从A旋转到A1,旋转角为90°,‎ 则点A所经过的路线长为以C为圆心,以为半径的扇形弧长,‎ 为l==π.‎ ‎ .(2011抚顺)如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,△ABC与△DEF关于点O成中心对称,△ABC与△DEF的顶点均在格点上,请按要求完成下列各题.‎ ‎(1)在图中画出点O的位置.‎ ‎(2)将△ABC先向右平移4个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;‎ ‎(3)在网格中画出格点M,使A1M平分∠B1A1C1.‎ 解答:解:(1)如图所示,点O为所求.‎ ‎(2)如图所示,△A1B1C1为所求.‎ ‎(3)如图所示,点M为所求.‎ ‎ .(2011丹东)己知:正方形ABCD.‎ ‎(1)如图1,点E、点F分别在边AB和AD上,且AE=AF.此时,线段BE、DF的数量关系和位置关系分别是什么?请直接写出结论.‎ ‎(2)如图2,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α,当0°<α<90°时,连接BE、DF,此时(1)中的结论是否成立,如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.‎ ‎(3)如图3,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α,当a=90°时,连接BE、DF,猜想沟AE与AD满足什么数量关系时,直线DF垂直平分BE.请直接写出结论.‎ ‎(4)如图4,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α,当90°<α<180°时,连接BD.DE、EF、FB得到四边形BDEF,则顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形?请直接写出结论.‎ 解答:解:(1)BE=DF且BE⊥DF;‎ ‎(2)在△DFA和△BEA中,‎ ‎∵∠DAF=90°﹣∠FAB,∠BAE=90°﹣∠FAB,‎ ‎∴∠DAF=∠BAE,‎ 又AB=AD,AE=AF,‎ ‎∴△DFA≌△BEA,‎ ‎∴BE=DF;∠ADF=∠ABE,‎ ‎∴BE⊥DF;‎ ‎(3)AE=(﹣1)AD;‎ ‎(4)正方形.‎ ‎ .(2011达州)如图,△ABC的边BC在直线m上,AC⊥BC,且AC=BC,△DEF的边FE也在直线m上,边DF与边AC重合,且DF=EF.‎ ‎(1)在图(1)中,请你通过观察、思考,猜想并写出AB与AE所满足的数量关系和位置关系;(不要求证明)‎ ‎(2)将△DEF沿直线m向左平移到图(2)的位置时,DE交AC于点G,连接AE,BG.猜想△BCG与△ACE能否通过旋转重合?请证明你的猜想.‎ 解答:解:(1)AB=AE,AB⊥AE;‎ ‎(2)将△BCG绕点C顺时针旋转90°后能与△ACE重合(或将△ACE绕点C逆时针旋转90°后能与△BCG重合),‎ 理由如下:‎ ‎∵AC⊥BC,DF⊥EF,B.F、C.E共线,‎ ‎∴∠ACB=∠ACE=∠DFE=90°,‎ 又∵AC=BC,DF=EF,‎ ‎∴∠DEF=∠D=45°,‎ 在△CEG中,∵∠ACE=90°,‎ ‎∴∠CGE+∠DEF=90°‎ ‎∴∠CGE=∠DEF=45°,‎ ‎∴CG=CE,‎ 在△BCG和△ACE中,‎ ‎∵,‎ ‎∴△BCG≌△ACE(SAS),‎ ‎∴将△BCG绕点C顺时针旋转90°后能与△ACE重合(或将△ACE绕点C逆时针旋转90°后能与△BCG重合). .(2011常州)如图,在△ABO中,已知点、B(﹣1,﹣1)、O(0,0),正比例函数y=﹣x图象是直线l,直线AC∥x轴交直线l与点C.‎ ‎(1)C点的坐标为 ;‎ ‎(2)以点O为旋转中心,将△ABO顺时针旋转角α(90°≤α<180°),使得点B落在直线l上的对应点为B′,点A的对应点为A′,得到△A′OB′.‎ ‎①∠α= ;②画出△A′OB′.‎ ‎(3)写出所有满足△DOC∽△AOB的点D的坐标.‎ 解答:解:(1)∵直线AC∥x轴交直线l于点C,‎ ‎∴C两点纵坐标为3,代入直线y=﹣x中,得C点横坐标为﹣3,‎ ‎∴C(﹣3,3);‎ ‎(2)由B(﹣1,﹣1)可知,OB为第三象限角平分线,‎ 又直线l为二、四象限角平分线,‎ ‎∴旋转角为∠α=∠BOB′=90°,△A′OB′如图所示;‎ ‎(3)∵A点坐标可知OA与x轴正半轴夹角为60°,可知∠AOB=165°,‎ 根据对应关系,则∠DOC=165°,故OD在第四象限,与x轴正半轴夹角为30°或与y轴负半轴夹角为30°,‎ 根据A.B.C三点坐标,‎ ‎∴OA=2、OB=、OC=3,‎ ‎∵=,‎ ‎∴DO===6,‎ ‎∴D点的横坐标为:3,或纵坐标为:﹣3,‎ ‎∴D点坐标为(9,﹣3),(3,﹣9).‎ ‎ .(2011保山)如图,下列网格中,每个小方格的边长都是1.‎ ‎(1)分别作出四边形ABCD关于x轴、y轴、原点的对称图形;‎ ‎(2)求出四边形ABCD的面积.‎ 解答:解:(1)如图所示:‎ ‎(2)四边形ABCD的面积=. .(2011巴中)在如图所示的方格纸中,每个小正方形的边长都是l,△ABC与△A'B'C'成中心对称.‎ ‎(1)画出对称中心O;‎ ‎(2)画出将△A'B'C'沿直线MN向上平移5格得到的△A''B''C'':‎ ‎(3)要使△A''B''C''与△CC'C''重合,则△A''B''C''绕点C''沿顺时针方向旋转,至少旋转多少度?(直接写出答案)‎ 解答:解:(1)(2)所画图形如下所示:‎ ‎(3)‎ 由图形可得要使△A''B''C''与△CC'C''重合,则△A''B''C''绕点C''沿顺时针方向旋转,至少旋转90°.‎
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