上海市杨浦区2019届高三上学期期末质量调研数学试题 (1)

上海市杨浦区2019届高三上学期期末质量调研数学试题 (1)

上海市杨浦区2019届高三期末质量调研数学试卷 一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）‎ ‎1.设全集，若集合，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用补集定义直接求解即可．‎ ‎【详解】∵全集，集合，‎ ‎∴，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用．‎ ‎2.已知扇形的半径为6，圆心角为，则扇形的面积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积．‎ ‎【详解】根据扇形的弧长公式可得，‎ 根据扇形的面积公式可得，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题主要考查扇形的弧长与面积公式，正确运用公式是解题的关键，属于基础题．‎ ‎3.已知双曲线，则其两条渐近线的夹角为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算渐进线为，计算其倾斜角，得到答案.‎ ‎【详解】双曲线渐近线为：，对应倾斜角为 ，故渐近线夹角为 故答案：‎ ‎【点睛】本题考查了渐近线夹角，属于简单题型.‎ ‎4.若展开式的二项式系数之和为8，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用二项式系数和公式得到答案.‎ ‎【详解】展开式的二项式系数之和为 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了二项式系数和，属于简单题型.‎ ‎5.若实数x，y满足，则的取值范围是__________；‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，，可将化为，根据三角函数值域可求得结果.‎ ‎【详解】 可令，‎ ‎ ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查利用三角换元的方式求解取值范围的问题，关键是能够将问题转化为三角函数的值域的求解.‎ ‎6.若圆锥的母线长，高 ，则这个圆锥的体积等于_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先算出圆锥底面的半径，再利用公式计算体积即可.‎ ‎【详解】设圆锥底面的半径为 ，则，故，填.‎ ‎【点睛】本题考查圆锥的体积计算，属于基础题.‎ ‎7.在无穷等比数列中，，则的取值范围是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意首先确定公比的范围，然后结合等比数列前n项和的极限得到关于的表达式即可确定首项的范围.‎ ‎【详解】等比数列的极限存在，则：且，即.‎ 由等比数列的极限有：，‎ 则：，‎ ‎，.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列前n项和极限的计算，等比数列的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎8.若函数的定义域为集合，集合，且，则实数的取值范围为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算函数定义域得到，根据集合关系得到，计算得到答案.‎ ‎【详解】函数的定义域满足：解得，故 ‎ ‎，则 解得 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了函数定义域，根据集合关系求参数，意在考查学生的计算能力.‎ ‎9.在行列式中，第3行第2列的元素的代数余子式记作，则的零点是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据余子式定义得到，换元，得到方程，计算得到答案.‎ ‎【详解】，则的零点等于与方程的解.‎ 设 则 故 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了行列式的余子式，函数零点问题，换元可以简化运算，是解题的关键.‎ ‎10.已知复数，（，为虚数单位），在复平面上，设复数、对应的点分别为、，若，其中是坐标原点，则函数的最小正周期为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据垂直得到，化简得到，利用周期公式得到答案.‎ ‎【详解】，，‎ 则 函数的最小正周期为 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了复数的几何意义，三角函数化简，周期，意在考查学生的计算能力和综合应用能力 ‎11.当时，不等式恒成立，则实数的最大值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据均值不等式得到，再计算得到答案.‎ ‎【详解】，‎ 当且时等号成立，即时等号成立.‎ ‎ ，实数的最大值为 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了均值不等式，意在考查学生对于不等式的应用能力.‎ ‎12.设为等差数列的公差，数列的前项和，满足（），且，若实数（，），则称具有性质 ‎，若是数列的前项和，对任意的，都具有性质，则所有满足条件的的值为________.‎ ‎【答案】或4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 讨论的奇偶两种情况得到，进而得到，再计算得到，根据，计算，代入不等式得到，得到答案.‎ ‎【详解】数列的前项和，满足，代入计算得到；‎ ‎，，‎ 相减得到： ‎ 当为奇数时：‎ 当为偶数时：‎ 综上所述： 故 所以 ‎，故 ‎ ‎，即恒成立.‎ 综上所述： 故或 故答案为：或4‎ ‎【点睛】本题考查了数列的通项公式，前N项和，恒成立问题，将数列的恒成立问题转化为数列的最值问题是解题的关键.‎ 二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）‎ ‎13.下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断函数的单调性和奇偶性：为增函数；和为偶函数；排除选项得到答案.‎ ‎【详解】A. ，函数在单调递增，排除；‎ B. ，函数为偶函数，排除；‎ C. ，函数为奇函数，且单调递减，正确； ‎ D. ，函数偶函数，排除.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，意在考查学生对于函数性质的掌握情况.‎ ‎14.某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加一个象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用概率公式计算得到答案.‎ ‎【详解】 ‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了概率的计算，属于简单题.‎ ‎15.已知，，设，， ，则、、的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据均值不等式得到，再利用函数为递减函数得到答案.‎ ‎【详解】在上单调递减.‎ 综上所述：‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.‎ ‎16.已知函数，记集合，集合，若，且都不是空集，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，代入集合得到，讨论和两种情况，得到无解，计算得到答案.‎ ‎【详解】都不是空集，设，则；，则.‎ 当时：方程的解为 此时，满足；‎ 当时：的解为或 ‎ ‎，则或 ‎，则无解， ‎ 综上所述：，‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了集合的关系，函数零点问题，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.‎ 三、 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）‎ ‎17.如图，平面，四边形为矩形，，，点是的中点，点在边上移动.‎ ‎(1)求三棱锥的体积；‎ ‎(2)证明：无论点在边的何处,都有.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，得到，再由，即可求出结果；‎ ‎（2）根据线面垂直的判定定理，证明平面，进而可得出结论成立.‎ ‎【详解】（1）因为平面，四边形为矩形，，，‎ 所以，‎ 所以；‎ ‎（2）因为平面，所以，‎ 又因为，且点是的中点，‎ 所以；‎ 又，，，‎ 所以平面；‎ 又平面，所以；‎ 由可得平面；‎ 又平面，‎ 所以无论点在边的何处,都有.‎ ‎【点睛】本题主要考查求三棱锥的体积，以及线线垂直的证明，熟记棱锥的体积公式，以及线面垂直的判定定理与性质定理即可，属于常考题型.‎ ‎18.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）已知，证明：.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先计算，，根据展开计算得到答案.‎ ‎（2）利用余弦定理和均值不等式得到，再计算得到证明.‎ ‎【详解】（1）；，故为锐角，；‎ ‎（2）‎ 利用余弦定理得到：‎ ‎ ‎ 当时，等号成立 ‎，得证.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理，和差公式，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎19.上海某工厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品，每一小时可获得的利润是元，其中.‎ ‎（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求的取值范围；‎ ‎（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润.‎ ‎【答案】（1）；（2），4575元.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）直接解不等式计算得到答案.‎ ‎（2）计算得到，根据二次函数知识得到最值.‎ ‎【详解】（1），即 整理可得：，解得：或 (舍去）‎ 所以：‎ ‎（2） 要使生产900千克该产品获得的利润最大时为y，‎ 所以当取最大值为4575元.‎ ‎【点睛】本题考查了不等式和函数最值的应用，意在考查学生的应用能力.‎ ‎20.如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点、，满足、的中点均在抛物线上.‎ ‎（1）求抛物线的焦点到准线的距离；‎ ‎（2）设中点为，且，，证明：；‎ ‎（3）若是曲线（）上的动点，求面积的最小值.‎ ‎【答案】（1）2；（2）证明见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用抛物线定义得到答案 ‎（2）设，，，根据中点在抛物线上得到 ‎，同理得到是二次方程的两不等实根，计算得到答案.‎ ‎（3）设，代换得到计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）焦点坐标为（1,0），准线方程为x＝－1，所以，焦点到准线的距离为2.‎ ‎（2）设，，，‎ 则中点为，‎ 由中点在抛物线上可得，‎ 化简得，显然，‎ 且对也有，‎ 所以是二次方程的两不等实根，‎ 所以，.‎ ‎（3），‎ 由（1）可得，，‎ ‎，‎ 此时在半椭圆上，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ 所以，‎ ‎，所以，‎ 即的面积的最小值是.‎ ‎【点睛】本题考查了面积的最值问题，证明坐标关系，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.‎ ‎21.记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令，.‎ ‎（1）若，请写出的值；‎ ‎（2）求证：“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的充要条件；‎ ‎（3）若对任意，有，且，请问：是否存在，使得对于任意不小于的正整数，有成立？请说明理由.‎ ‎【答案】（1）5；（2）证明见解析；（3）存在，理由见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算得到，代入计算得到答案.‎ ‎（2）分别证明充分性和必要性得到答案.‎ ‎（3）反证法，假设不成立，则或 得到，‎ ‎，通过累加得到，与题设矛盾，得证.‎ ‎【详解】（1）（1），则，‎ ‎（2）数列是等差数列，设公差为 ‎ 则，为定值，故数列是等差数列；‎ 数列是等差数列，设公差为，则 和，和至少一组相等，不妨设只有 则故 ‎ 故，为等差数列 同理可得只有和都相等的情况，故数列是等差数列 综上所述：“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的充要条件 ‎（3）存在 假设不存在，则或，对任意，一定存在使得符号相反.‎ 所以数列中存在，其中 且；‎ 因为，即 注意到：，有且仅有一个等号成立.‎ 所以必有 所以，所以 因为，所以，所以 ‎；；…‎ 累加可得；‎ 故 这与矛盾，假设不成立 故存在，使得对于任意不小于的正整数，有成立 ‎【点睛】本题考查了数列的项，充分必要条件 ，反证法，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.‎ ‎ ‎