江西省赣州市南康中学2019-2020学年高一下学期大考数学试题

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南康中学2019-2020学年度第二学期高一第二次大考 数 学 试 卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.在中， ， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.集合，则中子集的个数为（ ）‎ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 ‎3.函数在上单调递增，且为奇函数，若，则满足 的的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.已知是定义在上的偶函数，则下列不等关系正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎6.设直线的斜率为，且，求直线的倾斜角的取值范围（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎7.为了得到函数的图象, 可以将函数的图象（ ）‎ A．向左平行移动个单位 B．向右平行移动个单位 C．向左平行移动个单位 D．向右平行移动个单位 ‎8.函数，若且， ， 互不相等，则 的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.已知单位向量与的夹角为，则向量在向量方向上的投影为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.等差数列中， 则（ ）‎ A. 40 B. 20 C. 10 D. 2+‎ ‎11.函数的图像大致为（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎12.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、、，且BC边上的高为，则的最大值是( )‎ A. 8 B. 6 C. 3 D. 4‎ 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分）‎ ‎13.已知，满足，则__________．‎ ‎14.若实数满足，则的最大值是____________.‎ ‎15.已知数列的前项之和为，若，则_________．‎ ‎16.如图， 是直线上的三点， 是直线外一点，已知， ， ．则=________．‎ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.其中17题10分，其他12分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本小题满分10分）设向量满足 ‎（1）求向量的夹角的大小；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎18. （本小题满分12分）已知， ， ‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）若， ， 为锐角的三个内角，且，求的取值范围.‎ ‎19. （本小题满分12分）已知正项等比数列（）中，公比，‎ 且， ， .‎ ‎（1）求证：数列是等差数列.‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎20. （本小题满分12分）在中， 分别为角的对边，若．‎ ‎（1）求角的大小； ‎ ‎（2）已知，求面积的最大值.‎ ‎21.（本小题满分12分）南康某服装厂拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用（）万元满足.已知2020年生产该产品的固定投入为万元，每生产万件该产品需要再投入万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.‎ ‎（1）将2020年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；‎ ‎（2）该服装厂2020年的促销费用投入多少万元时，利润最大？‎ ‎22. （本小题满分12分）已知幂函数满足．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；‎ ‎（3）若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．‎ 南康中学2019-2020学年度第二学期高一第二次大考 数学参考答案 ‎ 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D D D D D C C A B A D ‎1.C 【解析】.‎ ‎2.D 【解析】，‎ ‎，其子集的个数为，选D.‎ ‎3.D 【解析】由奇函数的性质可得： ，‎ 则不等式即： ，‎ 结合函数的单调性脱去符号有： .‎ 本题选择D选项.‎ ‎4.D 【解析】选项，函数在上单调递减，在上单调递增，故排除；‎ 选项，函数在上单调递增，故排除；‎ 选项，函数的周期是，故排除；故选 ‎5.D 【解析】因为是偶函数，则，所以，所以。‎ 所以 ， 在上单调递减，在上单调递增。‎ 又因为，所以，所以选D ‎6.D 【解析】直线的倾斜角为，则，由，‎ 即，故选D ‎7.C ‎8.C 【解析】函数的图象如图：‎ ‎ ∵且， ， 互不相等，∴，∴由得，即，即，∴，由函数图象得的取值范围是，故选C.‎ ‎9.A ‎10.B 【解析】，‎ 又 ‎∴ 故选：B ‎11.A 试题分析：由定义域为是奇函数，可排除B、C,由，故排除D.因此选A.‎ ‎12.D 【解析】12.，这个形式很容易联想到余弦定理：cosA，①‎ 而条件中的“高”容易联想到面积， bcsinA，即a2＝2bcsinA，②‎ 将②代入①得：b2＋c2＝2bc(cosA＋sinA)，‎ ‎∴＝2(cosA＋sinA)＝4sin(A＋)，当A＝时取得最大值4，故选D．‎ 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分）‎ ‎13. 【解析】‎ ‎ ‎ 因为 ‎ 故答案为 ‎14.1‎ ‎【解析】利用基本不等式，根据把题设等式整理成关于x+y的不等式，求得其范围，则的最大值可得．因为实数满足，所以，故最大值为1.‎ ‎15. 1078‎ ‎【解析】‎ ‎ .‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎16.‎ ‎【解析】如图建系设点，在中，‎ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.其中17题10分，其他12分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.解：（1）设 所成角为，由可得，‎ ‎，‎ 将代入得： ， ‎ 所以，‎ 又，故，‎ 即 所成角的大小为． ……………………5分 ‎（2）因为 ‎ 所以．…………………………………………10分 ‎18.解：（1）‎ ‎………………………………………………3分 由， 得， ‎ 故的单调递增区间为， ……………………6分 ‎（2）依题可得 又， ，解得： ，………………9分 ‎∴‎ ‎∴‎ 即的取值范围为………………………………12分 ‎19.试题解析：（1）由知， 是方程的两根，注意到，得， ，，或（不合题意，舍去）.‎ ‎， …………………………3分 ‎.‎ 数列是首项为，公差为的等差数列.……………………6分 ‎（2），………………9分 ‎.……………………12分 ‎20.解：（1）∵，∴，‎ 由正弦定理得，………………3分 整理得，‎ ‎∴，‎ 在中， ，∴，又，.………………6分 ‎（2）由余弦定理得，又，‎ ‎∴‎ ‎∴，当且仅当时取“=”……………………9分 ‎∴的面积.‎ 即面积的最大值为.………………………………12分 ‎21.解：（1）由题意知：每件产品的销售价格为 ‎ ‎ ‎ （）………………6分 ‎（2）由 ……9分 当且仅当，即时取等号.…………………………11分 答：该服装厂2020年的促销费用投入万元时，利润最大.………………12分 ‎22.解：（1）∵是幂函数，‎ ‎ ∴，‎ 解得或，……………………………………2分 当时， ，不满足，‎ 当时， ，满足，‎ ‎∴‎ ‎∴…………………………………………4分 ‎（2）令，则，‎ 设，……………………5分 ‎①当，即时，由题意得 ‎，‎ 解得；……………………………………6分 ‎②当，即时，由题意得 ‎，‎ 解得（舍去）；………………………………7分 ‎③当，即时，由题意得 ‎，‎ 解得（舍去）‎ 综上存在使得的最小值为0……………………8分 ‎（3）由题意得，‎ ‎∴在定义域内为单调递减函数；‎ 若存在实数，使函数在上的值域为，‎ 则，………………………………9分 由②-①，得 ‎，‎ ‎∴，‎ 将③代入②得，‎ ‎，………………………………10分 令，‎ ‎ ∵， ‎ ‎∴，‎ 又………………………………11分 故在区间上单调递减，‎ ‎ ∴‎ ‎∴存在实数，使函数在上的值域为且实数的取值范围为 ‎．……………………………………12分