【数学】安徽省亳州市2020届高三上学期期末教学质量检测试卷（文）（解析版）

【数学】安徽省亳州市2020届高三上学期期末教学质量检测试卷（文）（解析版）

安徽省亳州市2020届高三上学期期末教学质量检测数学（文）‎ 一、选择题：‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，，‎ ‎，‎ 故选：C.‎ ‎2.，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：B.‎ ‎3.中华文化博大精深，源远流长，每年都有大批外国游客入境观光旅游或者学习等，下面是年至年三个不同年龄段外国入境游客数量的柱状图：‎ 下面说法错误的是：（ ）‎ A. 年至年外国入境游客中，岁年龄段人数明显较多 B. 年以来，三个年龄段的外国入境游客数量都在逐年增加 C. 年以来，岁外国入境游客增加数量大于岁外国入境游客增加数量 D. 年，岁外国入境游客增长率大于岁外国入境游客增长率 ‎【答案】D ‎【解析】根据柱状图可知，岁年龄段人数明显多于其它年龄段的人数，故A正确；‎ 三个年龄段的外国入境游客数量都在逐年增加，其中岁每年都将近增加了450万人次，增加最多，故B、C正确；‎ 从柱状图可看出，年，岁外国入境游客增长率小于岁外国入境游客增长率，故D错误；‎ 故选：D. ‎ ‎4.已知椭圆的右焦点、右顶点、上顶点分别为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎，，，‎ ‎，，，‎ ‎.‎ 故选：B. ‎ ‎5.已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为角的终边经过点，‎ 所以，‎ ‎，‎ 故选：A. ‎ ‎6.设满足约束条件则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由约束条件作出可行域如图，‎ 由图可知，最优解为，‎ 联立，解得．‎ 的最小值为．‎ 故选：C．‎ ‎7.已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，，即，‎ ‎，即 所以 故选：A. ‎ ‎8.已知，，，若，则与的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设与的夹角为 所以，，‎ ‎，‎ 故选：B. ‎ ‎9.函数的部分图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】定义域为 所以为偶函数，图象关于轴对称，故排除A、C,‎ 又时， ，，‎ 即可排除B，‎ 故选：D. ‎ ‎10.已知双曲线的左、右焦点分别为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，交另一条渐近线于，且为的中点，则的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可知，一渐近线方程为，则的方程为，代入渐近线方程可得 的坐标为，故的中点，根据中点在双曲线的渐近线上，‎ ‎，，故，‎ 故选：A ‎11.在边长为的正方体中，过中点的直线与直线，直线分别交于点，则的长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为直线过与相交，所以平面，‎ 因为直线过与相交，所以平面，即平面，‎ 所以是两平面的交线，而平面平面，‎ 所以与重合，与的交点与重合，‎ 延长，与的延长线交于，‎ 因为是的中点，所以是的中点，‎ 因为正方体的棱长为 故选：C.‎ ‎12.关于曲线有下述三个结论：‎ ‎①曲线关于轴对称 ‎②曲线上任意一点的横坐标不大于 ‎③曲线上任意一点到原点的距离不超过 其中所有正确结论个数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】曲线 将换成，则整理得，故曲线不关于轴对称，故①错误；‎ 由得 解得，故②错误；‎ 设为曲线上的一点，则到原点的距离为：‎ ‎（当时取等号）‎ ‎，即曲线上任意一点到原点的距离不超过 故③正确 故选：B. ‎ 二、填空题：‎ ‎13.曲线在点处的切线方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以切线方程为：即，‎ 故答案为：.‎ ‎14.记为等差数列的前项和.已知，，则公差__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设等差数列的首项为，公差为，‎ ‎，‎ 解得 故答案为：.‎ ‎15.设函数在区间内有零点，无极值点，则的取值范围是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ 依题意得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎， ，‎ 因为函数在区间内有零点，无极值点，‎ ‎，，‎ 解得，，‎ 当时，满足条件，‎ 当时，满足条件，‎ 当时，显然不满足条件，‎ 综上可得 故答案为：.‎ ‎16.《周髀算经》是我国最古老的天文学与数学著作，书中讨论了测量“日高”（太阳高度）的方法.大意为：“在两处立表（古代测望用的杆子，即“髀”），设表高均为，测得表距为，两表日影长度差为，则可测算出日高”由所学知识知，日高__________．（用表示）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图，由题意可知，，‎ 设，，则 由题可知且 ‎，‎ 即，‎ 即①，②，‎ ‎②减①得 故答案为：.‎ 三、解答题：‎ ‎17.某市为创建全国文明城市，推出“行人闯红灯系统建设项目”，将针对闯红灯行为进行曝光.交警部门根据某十字路口以往的监测数据，从穿越该路口的行人中随机抽查了人，得到如图示的列联表：‎ 闯红灯 不闯红灯 合计 年龄不超过岁 年龄超过岁 合计 ‎（1）能否有的把握认为闯红灯行为与年龄有关？‎ ‎（2）下图是某路口监控设备抓拍的个月内市民闯红灯人数的统计图.请建立与的回归方程，并估计该路口月份闯红灯人数.‎ 附：‎ ‎，‎ 参考数据：，‎ 解：（1）由列联表计算,‎ 所以有的把握认为闯红灯行为与年龄有关.‎ ‎（2）由题意得，，‎ 当时，‎ 所以估计该路口月份闯红灯人数为（也可）‎ ‎18.记为数列的前项和.已知.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求使得的的取值范围.‎ 解：（1）由题知，①，‎ 当时，‎ 当时，②‎ ‎①减②得，，‎ 故是以为首项，为公比的等比数列，‎ 所以 ‎（2）由（1）知，，‎ 即 等价于 易得随的增大而增大 而，，，‎ 故，.‎ ‎19.的内角的对边分别为，已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求.‎ 解：（1）由正弦定理得：，‎ ‎，‎ 即，‎ 整理，得，‎ 因为，则，‎ 又，‎ ‎；‎ ‎（2）由正弦定理得：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，，‎ 即，‎ 所以.‎ ‎20.如图，平面，四边形为矩形，，，，分别为的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎（1）证明：取中点，连结.‎ 由题知，，，又，‎ 平面，平面 则平面平面，而平面 所以平面 ‎（2）解：连结.‎ 由题知，，‎ 且平面，‎ 所以平面，‎ 平面 则 故，可得 在中，，，‎ 可得 设点到平面的距离为.‎ 由题可得，平面 ‎，‎ 而，可得 ‎21.设抛物线的焦点为，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为.‎ ‎（1）若的坐标为，求；‎ ‎（2）证明：.‎ ‎（1）解；即 ‎，‎ 设切点坐标为，则切线斜率，‎ 切线方程为，‎ 又因为切线过点，则，，‎ 所以；‎ ‎（2）证明：设，，，‎ 则切线方程为：，‎ 又直线过点，则有，‎ 即，‎ 同理有，‎ 于是是方程的两个根，‎ 则，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）证明：存在唯一零点；‎ ‎（2）若时，，求的取值范围.‎ ‎（1）证明：，‎ 由，得，‎ 当时，，‎ 当时，，单调递增，‎ ‎，‎ 取满足且，‎ 则 故存在唯一零点；‎ ‎（2）解：设 设，‎ 则，令则，‎ 且当时，，即在上单调递增，‎ 当时，，即在上单调递减，‎ 易得，‎ 由题知，，可得，‎ 当时，‎ 设，‎ ‎（仅当取等号）‎ 则在递增，‎ 所以，‎ 可得，‎ 因此的范围是.‎ ‎ ‎