全国高考三角函数题

全国高考三角函数题

全国高考三角函数题 ‎1．（本小题满分12分）‎ 如图3，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记∠CAD=α，∠ABC=β.‎ ‎（Ⅰ）证明：sinα+cos2β=0； （Ⅱ）若AC=DC，求β的值.‎ ‎2、（本小题满分１２分）‎ ‎ 已知函数 ‎ （I）求函数的最小正周期；‎ ‎ （II）求使函数取得最大值的集合。‎ ‎3（本小题满分14分）‎ ‎ 已知函数 ‎ （Ⅰ）求f(x)的最小正周期：‎ ‎（Ⅱ）求f(x)的最大值和最小值：‎ ‎（Ⅲ）若求sin2的值。‎ ‎4．(本小题满分12分)‎ ‎ 已知·cosθ=1,θ∈(0，π)，求θ的值．‎ ‎5．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数f(x)=(x∈R)。‎ ‎（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求使函数f(x)取得最大值的x的集合.‎ ‎6（本小题满分12分）‎ ‎　　在△中，内角对边的边长分别是，已知.‎ ‎（Ⅰ）若，且为钝角，求内角与的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，求△面积的最大值.‎ ‎7. (本题满分14分) 本题共有2小题,第1小题满分8分, 第2小题满分6分.‎ ‎ 已知函数f(x)=2sin(x+)-2cosx,x∈[,].‎ (1) 若sinx=,求函数f(x)的值; (2 )求函数f(x)的值域.‎ ‎8．(本小题满分12分)‎ ‎ 如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的 ‎ 点，线段MN经过△ABC的中心G.设∠MGA=α(≤α≤)．‎ ‎ (1)试将△AGM、△AGN的面积(分别记为S1与S2)表示为α的函数；‎ ‎ (2)求y=的最大值与最小值．‎ ‎9．（本题满分12分）‎ 求函数＝2＋的值域和最小正周期．‎ ‎10．(本小题满分12分)‎ ‎ 在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sinA=， ‎ ‎ (1)求tan2+sin2的值； (2)若a=2，S△ABC=，求b的值．‎ ‎11（本题满分12分）‎ 已知α是第一象限的角，且cosα=的值.‎ ‎12.（本小题满分12分）‎ ‎　　在中，内角，，对边的边长分别是，，，已知.‎ ‎（Ⅰ）若，且为钝角，求内角与的大小；（Ⅱ）求的最大值.‎ ‎13、（本小题满分12分）‎ 已知<<,tan+cot=。‎ ‎（Ⅰ）求tan的值 （Ⅱ）求的值。‎ ‎14、 (本小题满分12分)‎ 已知函数，.求:‎ ‎(I) 函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；‎ ‎(II) 函数的单调增区间.‎ ‎15、（本大题满分12分）‎ 已知是三角形三内角，向量m=(-1,),n=(cosA,sinA),且mn=1.‎ ‎（Ⅰ）求角； （Ⅱ）若，求tanC.‎ ‎16、（本大题满分12分）已知 ‎（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知函数，求 ‎（1）函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；‎ ‎（2）函数的单调增区间．‎ ‎18、（本大题满分12分）‎ 已知是三角形三内角，向量m=(-1,),n=(cosA,sinA),且mn=1.‎ ‎（Ⅰ）求角； （Ⅱ）若，求 ‎19. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分.‎ ‎ 设函数，其中为正整数.‎ ‎（1）判断函数的单调性，并就的情形证明你的结论；‎ ‎（2）证明：；‎ ‎（3）对于任意给定的正整数，求函数的最大值和最小值.‎ ‎20、（本小题共12分）‎ 已知函数f（x）=‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的定义域； （Ⅱ）设α是第四象限的角，且tanα=－求f（α）的值.‎ ‎21、（本小题满分12分）‎ 的三个内角为A、B、C，求当A为何值时取得最大值，并求出这个最大值。‎ ‎22、(本小题满分12分)‎ ‎ 如图，在△ABC中，AC=2，BC=l，cosC=．‎ ‎ (Ⅰ)求AB的值； (Ⅱ)求sin(‎2A+C)的值．‎ ‎(23)(本小题满分12分)‎ ‎ 已知函数f(x)=4x3-3x2cosθ+cosθ，其中x∈R,θ为参数，且0≤θ＜2π．‎ ‎ (Ⅰ)当cosθ=0时，判断函数f(x)是否有极值；‎ ‎ (Ⅱ)要使函数f(x)的极小值大于零，求参数θ的取值范围；‎ ‎ (Ⅲ)若对(Ⅱ)中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f(x)在区间(‎2a-1，a)内都是增函数，求实数α的取值范围．‎ ‎24、(本小题满分12分)‎ 的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，cosA+2cos最得最大值，并求出这个最大值.‎ ‎25、(本小题满分12分)‎ 已知tanα+cotα=，α∈(，)，求cos2α和sin(2α+)的值.‎ ‎26、(本小题满分12分)‎ ‎ 已知函数f(x)=4x3-3x2cosθ+，其中x∈R，θ为参数，且0≤θ≤.‎ ‎ (Ⅰ)当cosθ=0时，判断函数f(x)是否有极值；‎ ‎ (Ⅱ)要使函数f(x)的极小值大于零，求参数θ的取值范围；‎ ‎ (Ⅲ)若对(Ⅱ)中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f(x)在区间(‎2a-1，a)内都是增函数，求实数a的取值范围.‎ ‎27、（本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（I）求函数的最小正周期和单调增区间；‎ ‎（II）函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到？‎ ‎28、（本小题满分１２分）‎ 已知向量 ‎（I）若求 （II）求的最大值。‎ ‎29、如图，函数的图象与y轴交于点（0，1）‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求与的夹角。‎ ‎30（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数=sinx+sinxcosx，x∈R ‎ （I）求函数的最小正周期和单调增区间；‎ ‎ （II）函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到？‎ ‎31、（本小题满分１２分）‎ 在,求 ‎（1） (2)若点 ‎32、.(本小题满分12分)‎ ‎ 已知函数F(x)=Asin2(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜)，且y＝f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1，2)．‎ ‎ (Ⅰ)求φ； (Ⅱ)计算f(1)+f(2)+…+f(2008)．‎ ‎33、设函数（其中）。且的图像在轴右侧的第一个最高点的横坐标是。‎ ‎（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）如果在区间上的最小值为，求的值；‎ ‎34、（本小题满分12分）‎ 设向量a=（sinx，cos x），b=（cosx，cosx），x∈R，函数f（x）=a（a+b）。‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的最大值与最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求使不等式f（x）≥成立的x的取值集合。‎ 全国高考三角函数题答案 ‎1．解 （Ⅰ）如图，因为α=-∠BAD=-（π-2β）=2β-，‎ 所以 sinα=sin（2β-）=-cos2β， 即sinα+cos2β=0.‎ ‎（Ⅱ）在△ADC中，由正弦定理得，即.‎ 所以sinβ=sinα.由（Ⅰ），sinα=-cos2β，所以sinβ=-cos2β=-（1-2sin2β）.‎ 即2sin2β-sinβ-=0. 解得sinβ=或sinβ=-.‎ 因为0＜β＜，所以sinβ=，从而β=.‎ ‎2.解：（Ⅰ）f(x)=sin2(x－)+1－cos2(x－)=2［sin2(x－)－cos2(x－)］+1=2sin［2(x－)－］+1=2sin(2x－)+1. ∴T==π.‎ ‎（Ⅱ）当f(x)取最大值时，sin(2x－)=1.有2x－=2kπ+，‎ 即 x=kπ+ （k∈Z）,∴ 所求x的集合为{x∈R|x=kπ+，k∈Z}‎ ‎3．解：‎ ‎（Ⅰ）的最小正周期为；‎ ‎（Ⅱ）当，即时，f(x)有最大值；‎ 当，即时，f(x)有最大值。‎ 即的最大值为和最小值；‎ ‎（Ⅲ）因为，即 即的值为。‎ ‎4.解 由已知条件得 sinθ-·cosθ=1． 即sinθ-2sin2θ=0．‎ ‎ 解得sinθ=或sinθ=0． 由0＜θ＜π知sinθ=，从而θ=或θ=.‎ ‎5.解：(Ⅰ)f(x)=sin2(x－)+1－cos2(x－) =2［sin2(x－)－cos2(x－)］+1 =2sin［2(x－)－］+1 =2sin(2x－)+1， ∴T==π.‎ ‎(Ⅱ)当f(x)取最大值时，sin(2x－)=1,有 ‎ 2x－=2kπ+, 即 x=kπ+ (k∈Z),‎ ‎∴所求x的集合为{x∈R|x=kπ+,k∈Z}.‎ ‎6、解答：（Ⅰ）由题设及正弦定理，有.‎ ‎　　故.因为钝角，所以.‎ ‎　　由，可得，得，.‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理及条件，有，故≥.‎ ‎　　由于△面积，又≤，≤，‎ ‎　当时，两个不等式中等号同时成立，所以△面积的最大值为.‎ ‎7. [解](1) ∵sinx=, x∈[,],∴cosx=- ……2分 ‎ f(x)=2(sinx+cosx)-2cosx =sinx-cosx=+ ……8分 ‎ (2) f(x)= 2sin(x-) ……10分 ∵≤x≤, ∴,‎ ‎ ≤sin(x-)≤1 ……14分 ‎ ∴函数f(x)的值域[1,2]‎ ‎8．解：（1）因为G为边长为1的正三角形ABC的中心，‎ 所以 AG=，∠MAG=.由正弦定理，‎ 得GM=，则S1=GM·GA·sinα=（或=）.‎ 又，得GN=，‎ 则S2=GN·GA·sin（π-α）=（或=）.‎ ‎（2）y=［sin2（α+）+ sin2（α-）］=72（3+cot2α）.‎ 因为≤α≤，所以当α=或α=时，y的最大值ymax=240;‎ 当α=时，y的最小值ymin=216.‎ ‎9、解：，，。‎ ‎10.解：（1）因为锐角△ABC中，A+B+C=π，sinA=,所以cosA=‎ ‎ 则tan2‎ ‎ =.‎ ‎（2）因为S△ABC=，又S△ABC=bcsinA=bc·，‎ ‎ 则bc=3.将a=2,cosA=,c=代入余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,‎ ‎ 得b4-6b2+9=0,解得b=.‎ ‎11.解：=‎ ‎ 由已知可得sin, ∴原式=.‎ ‎12、解答：（Ⅰ）由题设及正弦定理，有.‎ ‎　　故.因为为钝角，所以.‎ ‎　　由，可得，得，.‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理及条件，有，‎ ‎　　因，所以.故，‎ ‎　　当时，等号成立.从而，的最大值为.‎ ‎13、解：（Ⅰ） ‎ 解得 ‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎14、(Ⅰ)解法一：∵f（x）=‎ ‎ =2+sin2x+cos2x=2+sin（2x+） ‎ ‎∴当2x+=2kπ+，即x=kπ+（k∈Z）时,f（x）取得最大值2+.‎ 因此f（x）取得最大值的自变量x的集合是{x|x=kπ+，k∈Z}. ‎ 解法二：∵f（x）=（sin2x·cos2x）+ sin2x +2cos2x ‎ =1+sin2x+1+cos2x =2+sin（2x+）.‎ ‎∴当2x+=2kπ+，即x=kπ+（k∈Z）时f（x）取得最大值2+.‎ 因此,f（x）取得最大值的自变量x的集合是{x|x=kπ+，（k∈Z}. ‎ ‎(Ⅱ)解：f（x）=2+sin（2x+）,‎ 由题意得2kπ-≤2x+≤2kπ+（k∈Z）.即kπ-. ‎ ‎15、解：（Ⅰ）∵mn=1∴ 即 ‎, ‎ ‎∵ ∴ ∴‎ ‎（Ⅱ）由题知，整理得 ‎∴ ∴∴或 而使，舍去 ∴‎ ‎∴‎ ‎16、 解:(Ⅰ)因为锐角,且,所以.‎ ‎.‎ ‎(Ⅱ),‎ ‎17、（Ⅰ）解法一：∵f（x）=+sin2x+‎ ‎=2+sin2x+cos2x=2+sin（2x+）.‎ ‎∴当2x+=2kπ+,即x=kπ+（k∈Z）时，f（x）取得最大值2+.‎ 因此，f（x）取得最大值的自变量x的集合是{x|x=kπ+，（k∈Z）}.‎ 解法二：∵f（x）=（sin2x+cos2x）+sin2x+2cos2x=1+sin2x+1+cos2x =2+sin（2x+）.‎ ‎ ∴当2x+=2kπ+，即x=kπ+（k∈Z）时，f（x）取得最大值2+.‎ ‎ 因此，f（x）取得最大值的自变量x的集合是{x|x=kπ+，（k∈Z）}.‎ ‎(Ⅱ)解：f（x）=2+sin（2x+），‎ 由题意得2kπ-≤2x+≤2kπ+（k∈Z），即kπ-π≤x≤kπ+（k∈Z）.‎ 因此，f（x）的单调增区间是［kπ-π，kπ+］（k∈Z）.‎ ‎18、解：（Ⅰ）∵mn=1∴ 即 ‎, ‎ ‎∵ ∴ ∴‎ ‎（Ⅱ）由题知，整理得 ‎∴ ∴∴或 而使，舍去 ∴‎ ‎19、解答：本题主要考查三角函数的化简、证明以及三角函数的最值等综合问题.‎ ‎ （1）在上均为单调递增的函数.…… 2分 ‎ 对于函数，设 ，则 ‎ ，‎ ‎ ∵，‎ ‎ ∴∴函数在上单调递增.…… 4分 ‎（2）∵原式左边 ‎ ‎ ‎ ‎ . …… 6分 又∵原式右边. ‎ ‎ ∴. …… 8分 ‎（3）当时，函数在上单调递增，‎ ‎ ∴的最大值为，最小值为. ‎ ‎ 当时，，∴函数的最大、最小值均为1.‎ ‎ 当时，函数在上为单调递增.‎ ‎ ∴的最大值为，最小值为.‎ ‎ 当时，函数在上单调递减，‎ ‎ ∴的最大值为，最小值为. …… 11分 ‎ 下面讨论正整数的情形：‎ ‎ 当为奇数时，对任意且 ‎ ∵，‎ ‎ 以及 ，‎ ‎ ∴，从而 .‎ ‎ ∴在上为单调递增，则 ‎ 的最大值为，最小值为. …… 14分 ‎ 当为偶数时，一方面有 .‎ ‎ 另一方面，由于对任意正整数，有 ‎ ，‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴函数的最大值为，最小值为. ‎ 综上所述，当为奇数时，函数的最大值为，最小值为.当为偶数时，函数的最大值为，最小值为. …… 18分 ‎20、解：（Ⅰ）由cos x≠0得x≠kπ+（k∈Z）， 故f（x）的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z }.（Ⅱ）因为tan α= －，且α是第四象限的解， 所以sinα=－，cosα=，‎ 故f（α）=‎ ‎ ‎ ‎21、解：由，得，‎ 所以有 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当，即时，取得最大值。‎ ‎ 22、(Ⅰ)解：由余弦定理，‎ ‎ AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC=4+1-2×2×1×=2．那么，AB=．‎ ‎(Ⅱ)解：由cosC=且0＜C＜π，得sinC=由正弦定理，‎ ‎,‎ ‎23、解得sinA=,所以,cosA=.由倍角公式 sin2A=2sinA·cosA=，且cos‎2A=1-2sin‎2A=，故 sin（‎2A+C）=sin2AcosC+cos2AsinC=.‎ ‎23、(Ⅰ)解：当cosθ=0时，f(x)=4x3，则f(x)在(-∞，+∞)内是增函数，故无极值．‎ ‎(Ⅱ)解：f′(x)=12x2-6xcosθ，令f′(x)=0，得 x1=0，x2=.‎ 由(Ⅰ)，只需分下面两种情况讨论．‎ 当cosθ＞0时，随x的变化，f′(x)的符号及f(x)的变化情况如下表：‎ 因此，函数f（x）在x=处取得极小值f（），且 f（）=-.‎ ‎ 要使f（）＞0，必有-＞0，可得 ‎0＜cosθ＜.‎ ‎ 由于0≤θ＜2π，故 ‎＜θ＜或＜θ＜.‎ ‎②当cosθ＜0时，随x的变化，f′（x）的符号及f（x）的变化情况如下表：‎ 因此，函数f（x）在x=0处取得极小值f（0），且 f（0）=cosθ 若f（0）＞0，且cosθ＞0.矛盾.所以当cosθ＜0时，f（x）的极小值不会大于零.‎ 综上，要使函数f（x）在（-∞，+∞）内的极小值大于零，参数θ的取值范围为 ‎（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，函数f（x）在区间（-∞，0）与（，+∞）内都是增函数.‎ 由题设，函数f(x)在(‎2a-1,a)内是增函数，则a须满足不等式组 由(Ⅱ),参数θ∈时，0＜cosθ＜.要使不等式‎2a-1≥cosθ关于参数θ恒成立，必有‎2a-1≥，即.‎ 综上，解得a≤0或＜1.所以a的取值范围是(-∞,0]∪［，1）.‎ ‎24、解： 由A+B+C=，得，所以有 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当，即A=时，cosA+2cos取得最大值。‎ ‎25、解法—：由tanα+cotα=，得，则 ‎ 因为α∈()，所以2α∈(，π)，cos2α=-‎ sin(2α+)=sin2α·cos+cos2α·sin=‎ 解法二:由tanα+cotα=，得tanα+,‎ 解得tanα=2或tanα=.由已知α∈(),故舍去tanα=,得tanα=2.‎ 因此,sinα=cosα=,那么cos2α=cos2α-sin2α=-,‎ 且sin2α=2sinαcosα=,故sin(2α+)=sin2α·cos+cos2α·sin ‎=×.‎ ‎26、(Ⅰ)解：当cosθ=0时，f(x)=4x3+，则函数f(x)在(-∞，+∞)上是增函数，故无极值.‎ ‎(Ⅱ)解：f′(x)=12x2-6xcosθ，令f′(x)=0，得 x1=0，x2=.‎ 由O≤θ≤及(Ⅰ)，只考虑cosθ＞0的情况.‎ 当x变化时，f′(x)的符号及f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(-∞,0)‎ ‎0‎ ‎（0，）‎ ‎（，+∞）‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f (x)‎ 极大值 极小值 ‎ ‎ ‎ 因此，函数f（x）在x=处取得极小值f（），且 f（）=-.‎ ‎ 要使f（）＞0，必有-＞0，可得0＜cosθ＜，所以 ‎＜θ＜.‎ ‎（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，函数f（x）在区间（-∞，0）与（，+∞）内都是增函数.‎ 由题设，函数f(x)在(‎2a-1,a)内是增函数，则a须满足不等式组 由(Ⅱ),参数θ∈（）时，0＜cosθ＜.要使不等式‎2a-1≥cosθ关于参数θ恒成立，必有‎2a-1≥.‎ 综上，解得a≤0或≤a＜1.所以a的取值范围是(-∞,0］∪［，1）.‎ ‎27、解：（I）‎ ‎　　　　　　　的最小正周期 ‎ 由题意得即　‎ ‎ 的单调增区间为 ‎（II）方法一：先把图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度，就得到的图象。方法二：把图象上所有的点按向量平移，就得到 的图象。‎ ‎28、解：（Ⅰ）若             由此得       ‎ 所以        ；                                        ‎ ‎    （Ⅱ）由得 ‎ ‎                                 ‎ ‎                                            ‎ 当时，取得最大值，即当时, 的最大值为 ‎29、解：（Ⅰ）因为函数图象过点（0，1），‎ ‎ 所以2，即。因为，所以。‎ ‎（Ⅱ）由函数及其图象，得，，，‎ 所以，从而 ‎ 故。‎ ‎ 30、解：（I）=+　=-+‎ ‎ = + 的最小正周期 ‎ 由题意得-≤≤,,‎ ‎ 即　的单调增区间为,‎ ‎ （II）方法一：‎ ‎ 先把图象上所有点向右平移个单位长度，得到 的图象，再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度，就得到 + 的图象。‎ ‎ 方法二：‎ ‎ 把图象上所有的点按向量平移，就得到 + 的图象。‎ ‎31、（17）解：由=得=，‎ ‎ = = ……3分由正弦定理知 ‎ ……6分 ‎（Ⅱ）‎ ‎ ……9分 由余弦定理知 ‎ ‎ ‎32、.解：(Ⅰ)y=Asin2(ωx+φ)=cos(2ωx+2φ).‎ ‎ ∵y=f(x)的最大值为2，＞0， ∴=2，=2．‎ ‎ 又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2，ω＞0， ∴＝2，ω＝.‎ ‎ ∴f(x)=cos(+2φ)=1-cos(+2φ).‎ ‎ ∵y＝f(x)过(1，2)点， ∴cos(+2φ)=-1． ∴+2φ＝2kπ+π，k∈Z，‎ ‎ ∴2φ＝2kπ+，k∈Z， ∴φ=kπ+，k∈Z． 又∵0＜φ＜， ∴φ=.‎ ‎ (Ⅱ)解法一：∵φ=， ∴y=1-cos(x+)=1+sinx．‎ ‎ ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4． 又∵y=f(x)的周期为4，2008=4×502．‎ ‎ ∴f(1)+f(2)+…+f(2008)=4×502＝2008．‎ ‎ 解法二：∵f(x)=2sin2(x+φ)∴f(1)+f(3)＝2sin2(+φ)+2sin2(+φ)=2，‎ ‎ f(2)+f(4)=2sin2(+φ)+2sin2(π+φ)=2， ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4．‎ ‎ 又y＝f(x)的周期为4，2008＝4×502． ∴f(1)+f(2)+…+f(2008)=4×502＝2008．‎ ‎33、解：（I）‎ ‎ 依题意得解之得 ‎（II）由（I）知，‎ ‎ 又当时， 故 ‎ 从而在上取得最小值 ‎ 因此，由题设知故 ‎34、解：（Ⅰ）∵f（x）=a（a+b）=a×a+a×b=sin2x+cos2x+sinxcosx+cos2x ‎=1+sin2x+（cos2x+1）=sin（2x+）.‎ ‎∴f（x）最大值为，最小正周期是=π.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 f（x）≥+sin（2x+）≥sin（2x+）≥0‎ ‎2kπ≤2x+≤2kπ+πkπ-≤x≤kπ+，k∈Z.‎ 即f（x）≥成立的x的取值集合是{x|kπ-≤x≤kπ+，k∈Z}.‎