2014台州中考数学试题解析版

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2014台州中考数学试题解析版

浙江省台州市2014年中考数学试卷 ‎ ‎ 一、选择题(本题有10个小题,每小题4分,共40分.请选出各题中一个符合题意的正确选项,不选,多选,错选,均不得分) ‎ ‎1.(4分)(2014•台州)计算﹣4×(﹣2)的结果是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎8‎ B.‎ ‎﹣8‎ C.‎ ‎6‎ D.‎ ‎﹣2‎ 考点:‎ 有理数的乘法.‎ 分析:‎ 根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解.‎ 解答:‎ 解:﹣4×(﹣2),‎ ‎=4×2,‎ ‎=8.‎ 故选A.‎ 点评:‎ 本题考查了有理数的乘法,是基础题,熟记运算法则是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎2.(4分)(2014•台州)如图,由相同的小正方体搭成的几何体的主视图是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 简单组合体的三视图.‎ 分析:‎ 根据从正面看得到的图形是主视图,可得答案.‎ 解答:‎ 解;从正面看第一层是三个正方形,第二层是中间一个正方形,‎ 故选:D.‎ 点评:‎ 本题考查了简单组合体的三视图,从正面看得到的图形是主视图.‎ ‎ ‎ ‎3.(4分)(2014•台州)如图,跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O,且垂直与地面BC,垂足为D,OD=50cm,当它的一端B着地时,另一端A离地面的高度AC为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎25cm B.‎ ‎50cm C.‎ ‎75cm D.‎ ‎100cm 考点:‎ 三角形中位线定理 专题:‎ 应用题.‎ 分析:‎ 判断出OD是△ABC的中位线,再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AC=2OD.‎ 解答:‎ 解:∵O是AB的中点,OD垂直于地面,AC垂直于地面,‎ ‎∴OD是△ABC的中位线,‎ ‎∴AC=2OD=2×50=100cm.‎ 故选D.‎ 点评:‎ 本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,熟记定理是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎4.(4分)(2014•台州)下列整数中,与最接近的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎4‎ B.‎ ‎5‎ C.‎ ‎6‎ D.‎ ‎7‎ 考点:‎ 估算无理数的大小 分析:‎ 根据5,25 与30的距离小于36与30的距离,可得答案.‎ 解答:‎ 解:与最接近的是5,‎ 故选:B.‎ 点评:‎ 本题考查了估算无理数的大小,两个被开方数的差小,算术平方根的差也小是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎5.(4分)(2014•台州)从下列直角三角板与圆弧的位置关系中,可判断圆弧为半圆的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 圆周角定理.‎ 分析:‎ 根据圆周角定理(直径所对的圆周角是直角)求解,即可求得答案.‎ 解答:‎ 解:∵直径所对的圆周角等于直角,‎ ‎∴从下列直角三角板与圆弧的位置关系中,可判断圆弧为半圆的是B.‎ 故选B.‎ 点评:‎ 此题考查了圆周角定理.此题比较简单,注意掌握数形结合思想的应用.‎ ‎ ‎ ‎6.(4分)(2014•台州)某品牌电插座抽样检查的合格率为99%,则下列说法总正确的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ 购买100个该品牌的电插座,一定有99个合格 ‎ ‎ B.‎ 购买1000个该品牌的电插座,一定有10个不合格 ‎ ‎ C.‎ 购买20个该品牌的电插座,一定都合格 ‎ ‎ D.‎ 即使购买一个该品牌的电插座,也可能不合格 考点:‎ 概率的意义.‎ 分析:‎ 根据概率的意义,可得答案.‎ 解答:‎ 解;A、B、C、说法都非常绝对,故A、B、C错误;‎ D、即使购买一个该品牌的电插座,也可能不合格,说法合理,故D正确;‎ 故选:D.‎ 点评:‎ 本题考查了概率的意义,本题解决的关键是理解概率的意义以及必然事件的概念.‎ ‎ ‎ ‎7.(4分)(2014•台州)将分式方程1﹣=去分母,得到正确的整式方程是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎1﹣2x=3‎ B.‎ x﹣1﹣2x=3‎ C.‎ ‎1+2x=3‎ D.‎ x﹣1+2x=3‎ 考点:‎ 解分式方程.‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 分式方程两边乘以最简公分母x﹣1,即可得到结果.‎ 解答:‎ 解:分式方程去分母得:x﹣1﹣2x=3,‎ 故选B 点评:‎ 此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.‎ ‎ ‎ ‎8.(4分)(2014•台州)如图,把一个小球垂直向上抛出,则下列描述该小球的运动速度v(单位:m/s)与运动时间(单位:s)关系的函数图象中,正确的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 动点问题的函数图象 分析:‎ 一个小球垂直向上抛出,小球的运动速度v越来越小,到达最高点是为0,小球下落时速度逐渐增加,据此选择即可.‎ 解答:‎ 解:根据分析知,运动速度v先减小后增大,‎ 故选:C.‎ 点评:‎ 本题主要考查了动点问题的函数图象.分析小球的运动过程是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎9.(4分)(2014•台州)如图,F是正方形ABCD的边CD上的一个动点,BF的垂直平分线交对角线AC于点E,连接BE,FE,则∠EBF的度数是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎45°‎ B.‎ ‎50°‎ C.‎ ‎60°‎ D.‎ 不确定 考点:‎ 全等三角形的判定与性质;正方形的性质.‎ 分析:‎ 证明Rt△BHE≌Rt△EIF,可得∠IEF+∠HEB=90°,再根据BE=EF即可解题.‎ 解答:‎ 解:如图所示,过E作HI∥BC,分别交AB、CD于点H、I,则∠BHE=∠EIF=90°,‎ ‎∵E是BF的垂直平分线EM上的点,‎ ‎∴EF=EB,‎ ‎∵E是∠BCD角平分线上一点,‎ ‎∴E到BC和CD的距离相等,即BH=EI,‎ Rt△BHE和Rt△EIF中,‎ ‎,‎ ‎∴Rt△BHE≌Rt△EIF(HL),‎ ‎∴∠HBE=∠IEF,‎ ‎∵∠HBE+∠HEB=90°,‎ ‎∴∠IEF+∠HEB=90°,‎ ‎∴∠BEF=90°,‎ ‎∵BE=EF,‎ ‎∴∠EBF=∠EFB=45°,‎ 故选A.‎ 点评:‎ 本题考查了正方形角平分线和对角线重合的性质,考查了直角三角形全等的判定,考查了全等三角形对应角相等的性质.‎ ‎ ‎ ‎10.(4分)(2014•台州)如图,菱形ABCD的对角线AC=4cm,把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH,则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎4:3‎ B.‎ ‎3:2‎ C.‎ ‎14:9‎ D.‎ ‎17:9‎ 考点:‎ 菱形的性质;平移的性质 分析:‎ 首先得出△MEC∽△DAC,则=,进而得出=,即可得出答案.‎ 解答:‎ 解:∵ME∥AD,‎ ‎∴△MEC∽△DAC,‎ ‎∴=,‎ ‎∵菱形ABCD的对角线AC=4cm,把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH,‎ ‎∴AE=1cm,EC=3cm,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为:=.‎ 故选:C.‎ 点评:‎ 此题主要考查了菱形的性质以及相似三角形的判定与性质,得出=是解题关键.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本题有6小题,每小题5分,共30分)‎ ‎11.(5分)(2014•台州)计算x•2x2的结果是 2x3 .‎ 考点:‎ 单项式乘单项式.‎ 分析:‎ 根据单项式与单项式相乘,把他们的系数分别相乘,相同字母的幂分别相加,其余字母连同他的指数不变,作为积的因式,计算即可.‎ 解答:‎ 解:x•2x2=2x3.‎ 故答案是:2x3.‎ 点评:‎ 本题考查了单项式与单项式相乘,熟练掌握运算法则是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2014•台州)如图折叠一张矩形纸片,已知∠1=70°,则∠2的度数是 55° .‎ 考点:‎ 平行线的性质;翻折变换(折叠问题).‎ 分析:‎ 根据折叠性质得出∠2=∠EFG,求出∠BEF,根据平行线性质求出∠CFE,即可求出答案.‎ 解答:‎ 解:‎ 根据折叠得出∠EFG=∠2,‎ ‎∵∠1=70°,‎ ‎∴∠BEF=∠1=70°,‎ ‎∵AB∥DC,‎ ‎∴∠EFC=180°﹣∠BEF=110°,‎ ‎∴∠2=∠EFG=∠EFC=55°,‎ 故答案为:55°.‎ 点评:‎ 本题考查了平行线的性质,折叠的性质,对顶角相等的应用,解此题的关键是能根据平行线性质求出∠CFE的度数.!‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)(2014•台州)因式分解a3﹣4a的结果是 a(a+2)(a﹣2) .‎ 考点:‎ 提公因式法与公式法的综合运用 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 原式提取a后,利用平方差公式分解即可.‎ 解答:‎ 解:原式=a(a2﹣4)‎ ‎=a(a+2)(a﹣2).‎ 故答案为:a(a+2)(a﹣2).‎ 点评:‎ 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(2014•台州)抽屉里放着黑白两种颜色的袜子各1双(除颜色外其余都相同),在看不见的情况下随机摸出两只袜子,它们恰好同色的概率是  .‎ 考点:‎ 列表法与树状图法 分析:‎ 首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与它们恰好同色的情况,再利用概率公式即可求得答案.‎ 解答:‎ 解:画树状图得:‎ ‎∵共有12种等可能的结果,它们恰好同色的有4种情况,‎ ‎∴它们恰好同色的概率是:=.‎ 故答案为:.‎ 点评:‎ 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)(2014•台州)如图是一个古代车轮的碎片,小明为求其外圆半径,连结外圆上的两点A、B,并使AB与车轮内圆相切于点D,做CD⊥AB交外圆于点C.测得CD=10cm,AB=60cm,则这个车轮的外圆半径为 50 cm.‎ ‎ ‎ 考点:‎ 垂径定理的应用;勾股定理 分析:‎ 设点O为外圆的圆心,连接OA和OC,根据CD=10cm,AB=60cm,设设半径为r,则OD=r﹣10,根据垂径定理得:r2=(r﹣10)2+302,求得r的值即可.‎ 解答:‎ 解:如图,设点O为外圆的圆心,连接OA和OC,‎ ‎∵CD=10cm,AB=60cm,‎ ‎∴设半径为r,则OD=r﹣10,‎ 根据题意得:r2=(r﹣10)2+302,‎ 解得:r=50,‎ 故答案为50.‎ 点评:‎ 本题考查了垂径定理的应用,解题的关键是正确构造直角三角形.‎ ‎ ‎ ‎16.(5分)(2014•台州)有一个计算程序,每次运算都是把一个数先乘以2,再除以它与1的和,多次重复进行这种运算的过程如下:‎ 则第n次运算的结果yn=  (用含字母x和n的代数式表示).‎ 考点:‎ 分式的混合运算.‎ 专题:‎ 图表型;规律型.‎ 分析:‎ 将y1代入y2计算表示出y2,将y2代入y3计算表示出y3,归纳总结得到一般性规律即可得到结果.‎ 解答:‎ 解:将y1=代入得:y2==;‎ 将y2=代入得:y3==,‎ 依此类推,第n次运算的结果yn=.‎ 故答案为:‎ 点评:‎ 此题考查了分式的混合运算,找出题中的规律是解本题的关键.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本题共8小题,第17~20题每题8分,第21题10分,第22、23题每题12分,第24题14分,共80分)‎ ‎17.(8分)(2014•台州)计算:|2﹣1|+(﹣1)0﹣()﹣1.‎ 考点:‎ 实数的运算;零指数幂;负整数指数幂.‎ 分析:‎ 分别根据0指数幂及负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质计算出各数,再根据实数混合运算的法则进行计算即可;‎ 解答:‎ 解:原式=2﹣1+1﹣‎ ‎=.‎ 点评:‎ 本题考查的是实数的运算,熟知0指数幂及负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质是解答此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎18.(8分)(2014•台州)解不等式组:,并把解集在如图数轴上表示出来.‎ 考点:‎ 解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集.‎ 分析:‎ 先求出每个不等式的解集,再求出不等式组的解集,最后在数轴上表示出来即可.‎ 解答:‎ 解:‎ ‎∵解不等式①得:x>2,‎ 解不等式②得:x<3,‎ ‎∴不等式组的解集为2<x<3,‎ 在数轴上表示为:‎ ‎.‎ 点评:‎ 本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组,在数轴上表示不等式组的解集的应用,解此题的关键是求出不等式组的解集.‎ ‎ ‎ ‎19.(8分)(2014•台州)已知反比函数y=,当x=2时,y=3.‎ ‎(1)求m的值; ‎ ‎(2)当3≤x≤6时,求函数值y的取值范围.‎ 考点:‎ 待定系数法求反比例函数解析式;反比例函数的性质 分析:‎ ‎(1)把x、y的值代入反比例函数解析式,通过方程来求m的值;‎ ‎(2)根据反比例函数图象的性质进行解答.‎ 解答:‎ 解:(1)把x=2时,y=3代入y=,得 ‎3=,‎ 解得:m=﹣1;‎ ‎(2)由m=﹣1知,该反比例函数的解析式为:y=.‎ 当x=3时,y=2;‎ 当x=6时,y=1.‎ ‎∴当3≤x≤6时,函数值y的取值范围是:1≤y≤2.‎ 点评:‎ 本题考查了反比例函数的性质,待定系数法求反比例函数解析式.(1)题,实际上是把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式,得到待定系数的方程 ‎ ‎ ‎20.(8分)(2014•台州)如图1是某公交汽车挡风玻璃的雨刮器,其工作原理如图2.雨刷EF⊥AD,垂足为A,AB=CD且AD=BC,这样能使雨刷EF在运动时,始终垂直于玻璃窗下沿BC,请证明这一结论.‎ 考点:‎ 平行四边形的判定与性质.21世纪教育网 专题:‎ 应用题.‎ 分析:‎ 首先证明四边形ABCD是平行四边形,然后根据平行四边形的性质即可判断.‎ 解答:‎ 证明:∵AB=CD、AD=BC,‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AD∥BC,‎ 又∵EF⊥AD,‎ ‎∴EF⊥BC.‎ 点评:‎ 本题考查了平行四边形的判定与性质,正确理解平行四边形的判定方法是关键.‎ ‎ ‎ ‎21.(10分)(2014•台州)如图,某翼装飞行员从离水平地面高AC=500m的A处出发,沿这俯角为15°的方向,直线滑行1600米到达D点,然后打开降落伞以75°的俯角降落到地面上的B点.求他飞行的水平距离BC(结果精确到1m).‎ 考点:‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题.‎ 分析:‎ 首先过点D作DE⊥AC于点E,过点D作DF⊥BC于点F,进而里锐角三角函数关系得出DE、AE的长,即可得出DF的长,求出BC即可.‎ 解答:‎ 解:过点D作DE⊥AC于点E,过点D作DF⊥BC于点F,‎ 由题意可得:∠ADE=15°,∠BDF=15°,AD=1600m,AC=500m,‎ ‎∴cos∠ADE=cos15°=≈0.97,‎ ‎∴≈0.97,‎ 解得:DE=1552(m),‎ sin15°=≈0.26,‎ ‎∴≈0.26,‎ 解得;AE=416(m),‎ ‎∴DF=500﹣416=84(m),‎ ‎∴tan∠BDF=tan15°=≈0.27,‎ ‎∴≈0.27,‎ 解得:BF=22.68(m),‎ ‎∴BC=CF+BF=1552+22.68=1574.68≈1575(m),‎ 答:他飞行的水平距离为1575m.‎ 点评:‎ 此题主要考查了解直角三角形的应用,正确构造直角三角形得出CF,BF的长是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎22.(12分)(2014•台州)为了估计鱼塘中成品鱼(个体质量在0.5kg及以上,下同)的总质量,先从鱼塘中捕捞50条成品鱼,称得它们的质量如表:‎ 质量/kg ‎0.5‎ ‎0.6‎ ‎0.7‎ ‎1.0‎ ‎1.2‎ ‎1.6‎ ‎1.9‎ 数量/条 ‎1‎ ‎8‎ ‎15‎ ‎18‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎2‎ 然后做上记号再放回水库中,过几天又捕捞了100条成品鱼,发现其中2条带有记号.‎ ‎(1)请根据表中数据补全如图的直方图(各组中数据包括左端点不包括右端点).‎ ‎(2)根据图中数据分组,估计从鱼塘中随机捕一条成品鱼,其质量落在哪一组的可能性最大?‎ ‎(3)根据图中数据分组,估计鱼塘里质量中等的成品鱼,其质量落在哪一组内?‎ ‎(4)请你用适当的方法估计鱼塘中成品鱼的总质量(精确到1kg).‎ 考点:‎ 频数(率)分布直方图;用样本估计总体.‎ 分析:‎ ‎(1)由函数图象可以得出1.1﹣1.4的有5条,就可以补全直方图;‎ ‎(2)分别求出各组的频率,就可以得出结论;‎ ‎(3)由这组数据的个数为50,就可以得出第25个和第26个数的平均数就可以得出结论;‎ ‎(4)设鱼塘中成品鱼的总质量为x,根据作记号的鱼50:x=2:100建立方程求出其解即可.‎ 解答:‎ 解:(1)由函数图象可以得出1.1﹣1.4的有5条,补全图形,得:‎ ‎(2)由题意,得 ‎0.5﹣0.8的频率为:24÷50=0.48,‎ ‎0.8﹣1.1的频率为:18÷50=0.36,‎ ‎1.1﹣1.4的频率为:5÷50=0.1,‎ ‎1.4﹣1.7的频率为:1÷50=0.02,‎ ‎1.7﹣2.0的频率为:2÷50=0.04.‎ ‎∵0.48>0.36>0.1>0.04>0.02.‎ ‎∴估计从鱼塘中随机捕一条成品鱼,其质量落在0.5﹣0.8的可能性最大;‎ ‎(3)这组数据的个数为50,就可以得出第25个和第26个数分别是1.0,1.0,‎ ‎∴(1.0+1.0)÷2=1.0‎ 鱼塘里质量中等的成品鱼,其质量落在0.8﹣1.1内;‎ ‎(4)设鱼塘中成品鱼的总质量为x,由题意,得 ‎50:x=2:100,‎ 解得:x=2500.‎ ‎2500×=2260kg.‎ 点评:‎ 本题考查了频数分布直方图的运用,比较频率大小的运用,中位数的运用,平均数的运用,由样本数据估计总体数据的运用,解答时认真分析统计表和统计图的数据是关键.‎ ‎ ‎ ‎23.(12分)(2014•台州)某公司经营杨梅业务,以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后,分拣成A、B两类,A类杨梅包装后直接销售;B类杨梅深加工后再销售.A类杨梅的包装成本为1万元/吨,根据市场调查,它的平均销售价格y(单位:万元/吨)与销售数量x(x≥2)之间的函数关系如图;B类杨梅深加工总费用s(单位:万元)与加工数量t(单位:吨)之间的函数关系是s=12+3t,平均销售价格为9万元/吨.‎ ‎(1)直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式;‎ ‎(2)第一次,该公司收购了20吨杨梅,其中A类杨梅有x吨,经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元(毛利润=销售总收入﹣经营总成本).‎ ‎①求w关于x的函数关系式;‎ ‎②若该公司获得了30万元毛利润,问:用于直销的A类杨梅有多少吨?‎ ‎(3)第二次,该公司准备投入132万元,请设计一种经营方案,使公司获得最大毛利润,并求出最大毛利润.‎ 考点:‎ 二次函数的应用 分析:‎ ‎(1)这是一个分段函数,分别求出其函数关系式;‎ ‎(2)①当2≤x<8时及当x≥8时,分别求出w关于x的表达式.注意w=销售总收入﹣经营总成本=wA+wB﹣3×20;‎ ‎②若该公司获得了30万元毛利润,将30万元代入①中求得的表达式,求出A类杨梅的数量;‎ ‎(3)本问是方案设计问题,总投入为132万元,这笔132万元包括购买杨梅的费用+A类杨梅加工成本+B类杨梅加工成本.共购买了m吨杨梅,其中A类杨梅为x吨,B类杨梅为(m﹣x)吨,分别求出当2≤x<8时及当x≥8时w关于x的表达式,并分别求出其最大值.‎ 解答:‎ 解:(1)①当2≤x<8时,如图,‎ 设直线AB解析式为:y=kx+b,将A(2,12)、B(8,6)代入得:‎ ‎,解得,‎ ‎∴y=﹣x+14;‎ ‎②当x≥8时,y=6.‎ ‎∴A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式为:‎ y=.‎ ‎(2)设销售A类杨梅x吨,则销售B类杨梅(20﹣x)吨.‎ ‎①当2≤x<8时,‎ wA=x(﹣x+14)﹣x=﹣x2+13x;‎ wB=9(20﹣x)﹣[12+3(20﹣x)]=108﹣6x ‎∴w=wA+wB﹣3×20‎ ‎=(﹣x2+13x)+(108﹣6x)﹣60‎ ‎=﹣x2+7x+48;‎ 当x≥8时,‎ wA=6x﹣x=5x;‎ wB=9(20﹣x)﹣[12+3(20﹣x)]=108﹣6x ‎∴w=wA+wB﹣3×20‎ ‎=(5x)+(108﹣6x)﹣60‎ ‎=﹣x+48.‎ ‎∴w关于x的函数关系式为:‎ w=.‎ ‎②当2≤x<8时,﹣x2+7x+48=30,解得x1=9,x2=﹣2,均不合题意;‎ 当x≥8时,﹣x+48=30,解得x=18.‎ ‎∴当毛利润达到30万元时,直接销售的A类杨梅有18吨.‎ ‎(3)设该公司用132万元共购买了m吨杨梅,其中A类杨梅为x吨,B类杨梅为(m﹣x)吨,‎ 则购买费用为3m万元,A类杨梅加工成本为x万元,B类杨梅加工成本为[12+3(m﹣x)]万元,‎ ‎∴3m+x+[12+3(m﹣x)]=132,化简得:x=3m﹣60.‎ ‎①当2≤x<8时,‎ wA=x(﹣x+14)﹣x=﹣x2+13x;‎ wB=9(m﹣x)﹣[12+3(m﹣x)]=6m﹣6x﹣12‎ ‎∴w=wA+wB﹣3×m ‎=(﹣x2+13x)+(6m﹣6x﹣12)﹣3m ‎=﹣x2+7x+3m﹣12.‎ 将3m=x+60代入得:w=﹣x2+8x+48=﹣(x﹣4)2+64‎ ‎∴当x=4时,有最大毛利润64万元,‎ 此时m=,m﹣x=;‎ ‎②当x>8时,‎ wA=6x﹣x=5x;‎ wB=9(m﹣x)﹣[12+3(m﹣x)]=6m﹣6x﹣12‎ ‎∴w=wA+wB﹣3×m ‎=(5x)+(6m﹣6x﹣12)﹣3m ‎=﹣x+3m﹣12.‎ 将3m=x+60代入得:w=48‎ ‎∴当x>8时,有最大毛利润48万元.‎ 综上所述,购买杨梅共吨,其中A类杨梅4吨,B类吨,公司能够获得最大毛利润,最大毛利润为64万元.‎ 点评:‎ 本问是二次函数、一次函数的综合应用题,难度较大.解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系.涉及到分段函数时,注意要分类讨论.‎ ‎ ‎ ‎24.(14分)(2014•台州)研究几何图形,我们往往先给出这类图形的定义,再研究它的性质和判定.‎ 定义:六个内角相等的六边形叫等角六边形.‎ ‎(1)研究性质 ‎①如图1,等角六边形ABCDEF中,三组正对边AB与DE,BC与EF,CD与AF分别有什么位置关系?证明你的结论 ‎②如图2,等角六边形ABCDEF中,如果有AB=DE,则其余两组正对边BC与EF,CD与AF相等吗?证明你的结论 ‎③如图3,等角六边形ABCDEF中,如果三条正对角线AD,BE,CF相交于一点O,那么三组正对边AB与DE,BC与EF,CD与AF分别有什么数量关系?证明你的结论.‎ ‎(2)探索判定 三组正对边分别平行的六边形,至少需要几个内角为120°,才能保证六边形一定是等角六边形?‎ 考点:‎ 四边形综合题;全等三角形的判定与性质;多边形内角与外角;平行四边形的判定与性质;相似三角形的判定与性质 专题:‎ 证明题;新定义;探究型.‎ 分析:‎ ‎(1)通过验证容易得到猜想:三组正对边分别平行.要证明两条线段平行,只需证明同位角相等或内错角相等或同旁内角互补,要证AB∥DE,只需连接AD,证明∠ADE=∠DAB即可,其它两组同理可得.‎ ‎(2)要证BC=EF,CD=AF,只需连接AE、BD,证明△AFE≌△DCB即可.‎ ‎(3)由条件“三条正对角线AD,BE,CF相交于一点O“及(1)中的结论可证到=,将等角六边形ABCDEF补成等边三角形后,可以证到AB+AF=DE+DC,从而得到三组正对边分别相等.‎ ‎(4)若只有1个内角为120°或有2个内角为120°,可以通过举反例说明该六边形不一定是等角六边形;若有3个内角为120°,可以通过分类讨论证明该六边形一定是等角六边形.‎ 解答:‎ 解:(1)①结论:AB∥DE,BC∥EF,CD∥AF.‎ 证明:连接AD,如图1,‎ ‎∵六边形ABCDEF是等角六边形,∴∠BAF=∠F=∠E=∠EDC=∠C=∠B==120°.‎ ‎∵∠DAF+∠F+∠E+∠EDA=360°,∴∠DAF+∠EDA=360°﹣120°﹣120°=120°.‎ ‎∵∠DAF+∠DAB=120°,∴∠DAB=∠EDA.∴AB∥DE.‎ 同理BC∥EF,CD∥AF.‎ ‎②结论:EF=BC,AF=DC.‎ 证明:连接AE、DB,如图2,‎ ‎∵AB∥DE,AB=DE,∴四边形ABDE是平行四边形.‎ ‎∴AE=DB,∠EAB=∠BDE.‎ ‎∵∠BAF=∠EDC.∴∠FAE=∠CDB.‎ 在△AFE和△DCB中,‎ ‎.‎ ‎∴△AFE≌△DCB.‎ ‎∴EF=BC,AF=DC.‎ ‎③结论:AB=DE,AF=DC,EF=BC.‎ 延长FE、CD相交于点P,延长EF、BA相交于点Q,延长DC、AB相交于点S,如图3.‎ ‎∵六边形ABCDEF是等角六边形,∴∠BAF=∠AFE=120°.∴∠QAF=∠QFA=60°.‎ ‎∴△QAF是等边三角形.∴∠Q=60°,QA=QF=AF.‎ 同理:∠S=60°,SB=SC=BC;∠P=60°,PE=PD=ED.‎ ‎∵∠S=∠P=60°,∴△PSQ是等边三角形.∴PQ=QS=SP.‎ ‎∴QB=QS﹣BS=PS﹣CS=PC.∴AB+AF=AB+QA=QB=PC=PD+DC=ED+DC.‎ ‎∵AB∥ED,∴△AOB~△DOE.∴.‎ 同理:,.‎ ‎∴.‎ ‎∴==1.‎ ‎∴AB=ED,AF=DC,EF=BC.‎ ‎(2)连接BF,如图4,‎ ‎∵BC∥EF,∴∠CBF+∠EFB=180°.‎ ‎∵∠A+∠ABF+∠AFB=180°,∴∠ABC+∠A+∠AFE=360°.‎ 同理:∠A+∠ABC+∠C=360°.‎ ‎∴∠AFE=∠C.‎ 同理:∠A=∠D,∠ABC=∠E.‎ Ⅰ.若只有1个内角等于120°,不能保证该六边形一定是等角六边形.‎ 反例:当∠A=120°,∠ABC=150°时,∠D=∠A∠=120°,∠E=∠ABC=150°.‎ ‎∵六边形的内角和为720°,∴∠AFE=∠C=(720°﹣120°﹣120°﹣150°﹣150°)=90°.‎ 此时该六边形不是等角六边形.‎ Ⅱ.若有2个内角等于120°,也不能保证该六边形一定是等角六边形.‎ 反例:当∠A=∠D=120°,∠ABC=150°时,∠E=∠ABC=150°.‎ ‎∵六边形的内角和为720°,∴∠AFE=∠C=(720°﹣120°﹣120°﹣150°﹣150°)=90°.‎ 此时该六边形不是等角六边形.‎ Ⅲ.若有3个内角等于120°,能保证该六边形一定是等角六边形.‎ 设∠A=∠D=α,∠ABC=∠E=β,∠AFE=∠C=γ.则2α+2β+2γ=720°.∴α+β+γ=360°.‎ ‎∵有3个内角等于120°,∴α、β、γ中至少有两个为120°.‎ 若α、β、γ都等于120°,则六个内角都等于120°;‎ 若α、β、γ中有两个为120°,根据α+β+γ=360°可得第三个也等于120°,则六个内角都等于120°.‎ 综上所述:至少有3个内角等于120°,能保证该六边形一定是等角六边形.‎ 点评:‎ 本题引导学生对几何图形进行科学探究(从定义到性质到判定),考查了相似三角形、全等三角形以及平行四边形的性质与判定、多边形的内角和定理等知识,考查了分类讨论的思想,培养了学生的批判意识(举反例说明一个命题是假命题),是一道非常难得的好题.‎
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