- 2021-05-11 发布 |
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文档介绍
2020届二轮复习归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法教案(全国通用)
【例1】在数列{}中,,且, (1)求的值; (2)猜测数列{}的通项公式,并用数归纳法证明. 【点评】(1)本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项,进而猜出数列的通项公式,最后再用数归纳法加以证明.(2)归纳法在主观题中一般用的比较少,一是因为它要给予严格的证明,二是有时数列的通项并不好猜想.如果其它方法实在不行,再考虑利用归纳法. 【反馈检测1】在单调递增数列中,,,且成等差数列,成等比数列,. (1)分别计算,和,的值; (2)求数列的通项公式(将用表示); (3)设数列的前项和为,证明:,. 方法二 公式法 使用情景 已知数列是等差数列或等比数列或已知. 解题步骤 已知数列是等差数列或等比数列,先求出等差(比)数列的基本量,再代入等差(比)数列的通项公式;已知的关系,可以利用项和公式,求数列的通项. * 【例2】已知数列,是其前项的和,且满足,对一切都有成立,设. (1)求;(2)求证:数列 是等比数列; (3)求使成立的最小正整数的值. 【点评】利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差(公比)后再写出通项. 【反馈检测2】已知等比数列{}中,,公比,又分别是某等差数列的第项,第项,第项. (1)求;(2)设,求数列的前项和. 【例3】数列{}的前n项和为,=1, ( n∈),求{}的通项公式. 【点评】(1)已知,一般利用和差法.如果已知也可 以采用和差法.(2)利用此法求数列的通项时,一定要注意检验是否满足,能并则并,不并则分. 【例4】已知函数 ,是数列的前项和,点()在曲线上.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)若,,且是数列的前项和. 试问是否存在最大值?若存在,请求出的最大值;若不存在,请说明理由. 【解析】(Ⅰ)因为点在曲线上,又,所以. 当时,. 当时, 所以. (Ⅱ)因为 ①所以 ② ③ ②-③得 . 整理得, ④ 方法一 利用差值比较法 由④式得,所以 因为,所以. 又,所以所以, 所以. 所以Tn存在最大值 方法三 利用放缩法 由①式得,又因为是数列的前项和, 所以. 所以 所以存在最大值. 【反馈检测3】已知数列{}的前n项和(),求{}的通项公式. 方法三 累加法 使用情景 在已知数列中相邻两项存在:的关系 解题步骤 先给递推式中的从2开始赋值,一直到,一共得到个式子,再把这个式子左右两边对应相加化简,即得到数列的通项. 【例4】已知数列,,,,,为数列的前项和,为数列的前项和. (1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和;(3)求证:. 【解析】(1)法一:, 【点评】(1)本题,符合累加法的使用情景,所以用累加法求数列的通项.(2)使用累加法时,注意等式的个数,是个,不是个. 【反馈检测4】已知数列满足,求数列的通项公式. 方法四 累乘法 使用情景 若在已知数列中相邻两项存在:的关系. 解题步骤 先给递推式中的从2开始赋值,一直到,一共得到个式子,再把这个式子左右两边对应相乘化简,即得到数列的通项. 【例5】已知数列满足 【点评】(1)由已知得符合累乘法求数列通项的情景,所以使用累乘法求该数列的通项.(2)使用累乘法求数列的通项时,只要写出个等式就可以了,不必写个等式. 【反馈检测5】 已知数列满足,求数列的通项公式. 高中数常见题型解法归纳及反馈检测第36讲: 数列通项的求法一(归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法)参考答案 【反馈检测1答案】,,,. ①当时,,,猜想成立; ②假设时,猜想成立,即,,那么 , ∴时,猜想也成立.由①②,根据数归纳法原理,对任意的,猜想成立. ∴当为奇数时,; 当为偶数时,. 即数列的通项公式为. (方法2)由(2)得. 以下用数归纳法证明,. ①当时,; 当时,.∴时,不等式成立. ②假设时,不等式成立,即, 那么,当为奇数时, ; 当为偶数时, .∴时,不等式也成立. 综上所述: 【反馈检测2答案】(1);(2) =. 【反馈检测3答案】 【反馈检测4答案】* 【反馈检测4详细解析】由得则 所以 【反馈检测5答案】 【反馈检测5详细解析】因为,所以,则, 故 所以数列的通项公式为 查看更多