广东省汕头市2019-2020高二数学下学期期末试题(人教新课标A版附答案)

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广东省汕头市2019-2020高二数学下学期期末试题(人教新课标A版附答案)

广东省汕头市2019-2020学年高二下学期期末考试 数学试题 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,,则( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.复数(其中为虚数单位)的虚部等于( )‎ ‎ A. B. C.1 D.0‎ ‎3.如图所示,在中,点是边的中点,则向量( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎4.的展开式中第5项的二项式系数是( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎5.如图,正四棱锥底面的四个顶点, ,,在球的同一个大圆(半径最大的圆)上,点在球面上,如果,则球的体积是( )‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知函数的最小正周期为,则该函数的图象( )‎ ‎ A.关于直线对称 B.关于点对称 ‎ C.关于直线对称 D.关于点对称 ‎7.已知某个函数的部分图象如图所示,则这个函数的解析式可能是( )‎ ‎ ‎ ‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ ‎8.我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”,该图是由四个全等的直角三角形组成,它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形.设直角三角形中一个锐角的正切值为3.在大正方形内随机取一点,则此点取自小正方形内的概率是( )‎ ‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.‎ ‎9.2020年春节前后,一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延,疫情就是命令,防控就是责任.在党中央的坚强领导和统一指挥下,全国人民众志成城、团结一心,掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争.下侧的图表展示了2月14日至29日全国新冠肺炎疫情变化情况,根据该折线图,下列结论正确的是( )‎ ‎ A.16天中每日新增确诊病例数量不断下降且19日的降幅最大 ‎ B.16天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数 ‎ C.16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000‎ ‎ D.19至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和 ‎ ‎ ‎10.双曲线的左、右焦点分别为点、,点在双曲线上,下列结论正确的是( )‎ ‎ A.该双曲线的离心率为 ‎ B.该双曲线的渐近线方程为 ‎ C.点到两渐近线的距离的乘积为 ‎ D.若,则的面积为32‎ ‎11.正方体中,,分别为棱和的中点,则下列说法正确的是( )‎ ‎ A.平面 B.平面 ‎ C.异面直线与所成角为 D.平面截正方体所得截面为等腰梯形 ‎12.某同学在研究函数的性质时,受到两点间距离公式的启发,将变形为,则表示(如图),下列关于函数的描述,描述正确的是( )‎ ‎ A.的图象是中心对称图形 B.的图象是轴对称图形 ‎ C.函数的值域为 D.方程有两个解 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.若,则__________.‎ ‎14.抛物线过圆的圆心,为抛物线上一点,则到抛物线焦点的距离为__________.‎ ‎15.将5本不同的书分给4人,每人至少1本,不同的分法种数有__________.(用数字作答)‎ ‎16.若,,且,则此时__________,的最小值为__________.‎ 四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ ‎ 在中,已知角、、的对边分别为、、,且.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若,求面积的最大值.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 已知是等比数列的前项和,、、成等差数列,且.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)求数列的前项和.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 如图,正四棱柱中,,点在上,且.‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)求二面角的大小的正切值.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:‎ 单价(元)‎ ‎8‎ ‎8.2‎ ‎8.4‎ ‎8.6‎ ‎8.8‎ ‎9‎ 销量(件)‎ ‎90‎ ‎84‎ ‎83‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎68‎ ‎(1)求回归直线方程,其中,;‎ ‎(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是4元件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 某椭圆中心在原点,焦点在轴上,离心率为,椭圆上一点到两焦点的距离之和等于.‎ ‎(1)求该椭圆方程;‎ ‎(2)若直线交该椭圆于、两点,且,求实数的值.‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎(1)若曲线在点处的切线与直线垂直,求的值;‎ ‎(2)讨论函数的单调性;‎ ‎(3)当时,关于的方程有三个不同的实数根,求实数的取值范围.‎ 广东省汕头市2019-2020学年高二下学期期末考试 数学试题参考答案及解析 ‎1.D 【解析】∵集合, ∴.‎ ‎2.B 【解析】,所以虚部为.‎ ‎3.D 【解析】∵点是边的中点,.‎ ‎4.D 【解析】第5(即)项的二项式系数为.‎ ‎5.D 【解析】‎ 如图,正四棱锥的底面的四个顶点,,,在球的同一个大圆上,‎ 点在球面上,平面,四边形是正方形,‎ 由得,‎ 所以,,,‎ 所以,解得,‎ 所以球的体积为.‎ ‎6.B 【解析】‎ ‎∵,∴,于是,‎ ‎∵在对称轴上取到最值,∴,故A不对;‎ ‎,故C不对;‎ 又∵,故D不对.‎ ‎7.D 【解析】‎ 对于A,,,故A不对;‎ 对于B,,,由图知B不对;‎ 对于C,,,由图知C不对.‎ ‎8.D 【解析】‎ 由题意设直角三角形中较小的直角边是1,‎ 则较大的直角边是3,则斜边是,则大正方形的面积是10,‎ 则4个三角形的面积是,‎ 故小正方形的面积是4,‎ 故满足的条件的概率.‎ ‎9.BC 【解析】‎ 由频率分布折线图可知,16天中新增确诊病例数量整体呈下降趋势,但具体到每一天有增有减,故A错误;‎ 由每日新增确诊病例的数量大部分小于新增疑似病例的数量,则16天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数,故B正确;‎ 由图可知,16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000,故C正确;‎ 由图可知,20日的新增治愈病例数量小于新增确诊与新增疑似病例之和,故D错误.‎ ‎10.BC 【解析】‎ 由题意可知,,,,故离心,故A错误;‎ 由双曲线的性质可知,双曲线的渐近线方程为 即,B正确;‎ 设,则到两渐近线的距离之积 ‎,C正确;‎ 若,则,得 所以的面积,D错误.‎ ‎11.AD 【解析】‎ 正方体中,、分别为棱和棱的中点,‎ 如图所示:‎ ‎①对于选项A:,分别为棱和棱的中点,‎ 所以,由于平面,不在平面内,‎ 所以平面,故选项A正确.‎ ‎②对于选项B:由于平面,平面和平面为相交平面,‎ 所以不可能垂直平面,故B错误.‎ ‎③对于选项C:,为等边三角形,所以,‎ 即异面直线与所成的角为.故C错误.‎ ‎④对于选项D:连接,,,‎ 由于,,‎ 所以:平面截正方体所得截面为等腰梯形,故D正确.‎ ‎12.BC 【解析】‎ 由题意值,而,‎ 所以,即函数的值域为,故C正确.‎ 由函数的值域知,函数图象不可能为中心对称图形,故A错误.‎ 因为 所以,即函数关于对称,故B正确.‎ 设,则方程,等价为,‎ 即,所以,或.‎ 因为函数,所以当或时,不成立,‎ 所以方程无解,故D错误.‎ ‎13.【答案】.‎ ‎【解析】,∴.‎ ‎14.【答案】5.‎ ‎【解析】圆心,代入,得,‎ ‎∴,∴‎ ‎∴或,,‎ ‎∴.‎ ‎15.【答案】240‎ ‎【解析】先选择2本书作为一组有种选法,其余3本书每本一组,把这四组书分配给4个人有种分法,所以共有种分配方案.‎ ‎16.【答案】4,‎ ‎【解析】(1)因为,‎ 所以,‎ ‎(2)因为,又,,‎ 所以,‎ 当且仅当,即,取等.‎ ‎17.【解】(1)由余弦定理及正弦定理得:‎ ‎∴,∴.‎ ‎(2)∵,‎ ‎∴‎ 即(当且仅当时取等号)‎ ‎∴‎ ‎∴面积的最大值是.‎ ‎18.【解】(1)设等比数列的公比为,‎ ‎∵、、成等差数列,‎ ‎∴,即,‎ 又,‎ ‎∴,解得,‎ ‎∴.‎ ‎(2)由(1)得,,‎ 设,①‎ ‎,②‎ ‎①-②得,‎ ‎,‎ ‎∴.‎ ‎19.【解】依题设知,.‎ ‎(1)证明1:连接交于点,则.‎ 又平面,由三垂线定理知,.‎ 在平面内,连接交于点,由于,‎ 故,,与互余.‎ 于是,与平面内两条相交直线,都垂直,‎ 所以平面.‎ ‎(1)证明2:以为坐标原点,射线为轴的正半轴,建立如图所示直角坐标系.‎ 依题设,,,,.‎ ‎,,,‎ 因为,,‎ 故,.‎ 又,所以平面.‎ ‎(2)解:设向量是平面的法向量,‎ 则,.‎ 故,.‎ 令,则,,.‎ 是平面的法向量 ‎,∴,‎ 由图知二面角为锐二面角,‎ 所以二面角的大小的正切值为.‎ ‎20.【解】(1)由题意,,‎ ‎;‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,∴.‎ ‎(2)设工厂获得的利润为元,则 ‎,,‎ ‎∴该产品的单价应定为元时,工厂获得的利润最大.‎ ‎21.【解】(1)由椭圆的定义可得,即,‎ 由,可得,则,‎ 可得椭圆的方程为 ‎(2)设,,‎ 将直线方程代入椭圆方程,‎ 可得,‎ 由,‎ 解得.‎ 又,,‎ 由,可得,‎ 即为,‎ 即有,‎ 即有,‎ 可得,‎ 解得,满足.则的值为.‎ ‎22.【解】(1)由已知可知的定义域为 根据题意可得,,‎ ‎∴.‎ ‎(2)∵‎ ‎①当时,由可得或;‎ 由可得 ‎∴在,上单调递增,在上单调递减 ‎②当时,由可得或;‎ 由得 ‎③当时,在区间上恒成立.‎ 当时,由可得;‎ 由得 综上所述:当时,‎ 在,上单调递增,在上单调递减;‎ 当时,在,‎ 上单调递增,在上单调递减;‎ 当时,在上单调递增.‎ 当时,在上单调递增,在上单调递减.‎ ‎(3)当时,,‎ 由(2)问知,在,上单调递增,在上单调递减;‎ ‎∴的极大值为,‎ 的极小值为,‎ 又∵当时,;‎ ‎∵当时,;‎ 故当,‎ 函数方程在上有三个不同的实数根,‎ 因此实数的取值范围是.‎
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