江苏省“百校大联考”2020届高三上学期考试数学试题

江苏省“百校大联考”2020届高三上学期考试数学试题

江苏省“百校大联考”高三年级第二次考试 数学试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1.已知集合，若，则实数的值为____________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由集合的交集运算及集合元素的互异性讨论可得解.‎ ‎【详解】解：由，得 ‎ 经检验，当时，，符合题意，‎ 当时，，不符合题意，‎ 故的值为2．‎ ‎【点睛】本题考查了集合交集的运算，属基础题.‎ ‎2.已知函数的定义域为______．‎ ‎【答案】 .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的解析式有意义，得到不等式组，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，要使得函数有意义，则满足，‎ 解得，故函数定义域为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中熟记函数的定义域的定义，根据函数解析式有意义，得出不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎3.“实数”是“向量与向量平行”____________的条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”中选择恰当的一个填空) ．‎ ‎【答案】充分必要 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量共线的判断及向量共线的坐标运算可得解.‎ ‎【详解】解：当时， ，即，所以； ‎ ‎ 当时，，解得，‎ ‎ 故“”是“”的充分必要条件．‎ ‎【点睛】本题考查了共线向量及充分必要条件，属基础题.‎ ‎4.已知幂函数在区间上是单调递减函数,则整数的取值为____________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由幂函数的单调性可得：，运算可得解.‎ ‎【详解】解：由题意，得，解得，‎ 故整数的值为1．‎ ‎【点睛】本题考查了幂函数的单调性，属基础题.‎ ‎5.已知 ，则的值是____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由诱导公式可得，再运算可得解.‎ ‎【详解】解：由题意可得，所以，‎ 故．‎ ‎【点睛】本题考查了同角三角函数的关系及诱导公式，属基础题.‎ ‎6.设向量均为单位向量，且，则向量的夹角等于____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由平面向量模的运算可得 ＝0，即可得解.‎ ‎【详解】解：由题意，得，‎ 即，‎ 又，‎ 故 ＝0，‎ 故，的夹角为90°．‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量模及平面向量数量积的运算，属基础题.‎ ‎7.若函数的图象向右平移个单位长度后关于原点对称，则 =____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角函数图像的平移可得，‎ 由函数的奇偶性可得，再运算即可得解.‎ ‎【详解】解：将函数的图像平移后得到是奇函数，则＝＝0，又，所以，‎ 故．‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质，属基础题.‎ ‎8.已知函数，则的值为____________．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由分段函数求值问题，将自变量代入解析式中求解即可.‎ ‎【详解】解：．‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数及函数求值问题，属基础题.‎ ‎9.在中，设分别为角的对边，记的面积为，且，,则的值为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦定理可得，又，所以，‎ 再结合两角和的余弦公式求值即可.‎ ‎【详解】解：由，得，即，所以．又，所以，‎ 故．‎ ‎【点睛】本题考查了正余弦定理与解三角形，属中档题.‎ ‎10.设函数，则不等式的解集为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先研究函数的单调性与奇偶性，再利用函数的性质求解不等式的解集即可.‎ ‎【详解】解：令，显然为单调递增的奇函数．‎ 不等式，可转化为不等式，即可得 ‎．所以，解得，‎ 故原不等式解集为(﹣1，)．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性，属中档题.‎ ‎11.对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由不等式恒成立，可转化为最小值大于0，再求函数的最小值即可得解.‎ ‎【详解】解：设，则，‎ 得，‎ 所以＞0，解得a＞2或a＜1，‎ 故的取值范围是(，1)(2，)．‎ ‎【点睛】本题考查了函数与不等式的关系及不等式恒成立问题，属中档题.‎ ‎12.如图所示，两点(不与两点重合)是在以为直径的上半圆弧上的两点，且，则的取值范围为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设∠BAQ＝，再将表示为 的函数，再利用三角函数求值域即可得解.‎ ‎【详解】解：设∠BAQ＝，(0，)，则∠BAP＝＋．‎ ‎ 在Rt△ABP和Rt△ABQ中，可得AQ＝4cos，AP＝4cos(＋)，‎ ‎ 则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由(0，)，得(，)，所以．‎ ‎ 故(0，4)．‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量数量积及三角函数的辅助角公式，属中档题.‎ ‎13.已知直线与曲线相切于点，且直线与曲线的图象交于点，若，则的值为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由导数的几何意义可得：曲线在点A处的切线的方程为，又由曲线过点(，)，运算可得解.‎ ‎【详解】解：因为，所以在点A处的切线的方程为，‎ 又因为直线l经过点(，)，‎ 所以，即，‎ 故．‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义，属基础题.‎ ‎14.已知函数.若方程有4个不等的实根，则实数的取值集合为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 方程实根的个数等价于函数的图像与直线 的交点个数，其中为方程 的根，作图观察即可得解.‎ ‎【详解】解：令，方程，‎ 得，，根据的图像，得如下简图：‎ ‎ ‎ ‎ 由，得，此时，符合题意；‎ ‎ 由，解得．‎ ‎ 综上，a的取值集合为(，){}．‎ ‎【点睛】本题考查了函数与方程的相互转化，重点考查了数形结合的思想方法，属中档题.‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15.已知为实常数.命题命题函数在区间上是单调递增函数．‎ ‎（1）若命题为真命题，求实数取值范围；‎ ‎（2）若命题“或”为真命题，命题“且”为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由命题真假可得再由方程有解问题求解即可；‎ ‎（2）由复合命题的真假，结合不等式恒成立问题最值法,列不等式组求解即可得解.‎ ‎【详解】解：（1）当命题为真命题时，即 因为函数为增函数，则，则 ‎ 故， ‎ ‎（2）当命题为真时，即函数在区间上是单调递增函数．‎ 即 在区间恒成立，‎ 即，即，‎ 又命题“或”为真命题，命题“且”为假命题，‎ 则命题 ，一真一假，‎ ‎①当为真，为假时， 则， ‎ ‎②当为假，为真时，，则，‎ 综上可得实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题考查了命题的真假及不等式有解与恒成立问题，属中档题.‎ ‎16.已知向量，函数．‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）或0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由平面向量数量积的运算可得： ，再结合三角函数的单调区间的求法可得解；‎ ‎（2）先由已知求出或（），‎ 再代入运算即可得解.‎ ‎【详解】（1）解：因为，‎ 所以= ，‎ 令 ，解得： ，‎ 故函数的单调递增区间为 （）； ‎ ‎（2）因为，所以，‎ 即 即，或（）；‎ 所以=或= ‎ 故的值为．‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算、三角函数的单调性及三角求值问题，属中档题.‎ ‎17.在中，点为边的中点．‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，试判断的形状．‎ ‎【答案】（1）；（2）直角三角形 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由平面向量基本定理可得： ==;得解；‎ ‎（2）由平面向量数量积运算可得：‎ 即，再结合余弦定理求解即可得解.‎ ‎【详解】(1)解：因为= == =;‎ ‎(2)因为，所以 ‎ 所以，‎ 由余弦定理可得，‎ ‎ 化简得： ，‎ 故为直角三角形．‎ 点睛】本题考查了平面向量基本定理及余弦定理，属中档题.‎ ‎18.如图，在矩形纸片中，，，在线段上取一点，沿着过点的直线将矩形右下角折起，使得右下角顶点恰好落在矩形的左边边上．设折痕所在直线与交于点,记折痕的长度为，翻折角为．‎ ‎（1）探求与的函数关系，推导出用表示的函数表达式；‎ ‎（2）设的长为，求的取值范围；‎ ‎（3）确定点在何处时，翻折后重叠部分的图形面积最小．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）当时，翻折后重叠部分的图形面积最小 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由图可知与的函数关系式为 =，再求函数定义域的范围即可；‎ ‎（2）由三角函数的性质求函数在区间上的值域即可；‎ ‎（3）由均值不等式求函数的最值，由取等的条件求出的值即可.‎ ‎【详解】解：（1）设顶点翻折到边上的点为，由题意可得,‎ ‎，因为，‎ 所以=，‎ 即与的函数关系式为 =，‎ 由题意有，首先利用，可知，‎ 解得，所以，‎ 又由，可知，即，‎ 即，‎ 故与的函数关系式为 =，；‎ ‎（2），‎ 当，，‎ 所以，‎ 故的取值范围为；‎ ‎（3） ，‎ 又 ‎ ‎（当且仅当= 即时取等号，‎ 故当时，取最小值，‎ 故 时，取最小值.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的值域及利用均值不等式求函数最值问题，属难度较大的题型.‎ ‎19.已知函数．‎ ‎（1）当，且时，试求函数的最小值；‎ ‎（2）若对任意的恒成立，试求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）讨论或，判断函数的单调性，求最值即可；‎ ‎（2）由导数的应用，分别讨论 ①当时，②当时， ‎ ‎③当时， ④当时，函数的单调性，最值即可得解.‎ ‎【详解】解：（1）由，‎ 则，‎ ‎①当时， ，‎ 当时，，函数为减函数，‎ 所以 ，‎ ‎②当时，当时，，函数为减函数，‎ 即 ，‎ 综上可得当，且时，函数的最小值为；‎ ‎（2）①当且 时， ，即函数在为增函数，，不合题意，‎ ‎②当时，函数的单调增区间为，减区间为，‎ ‎ ，‎ 由， ，‎ 所以，‎ 故 ，不合题意，‎ ‎③当时，函数的单调减区间为，‎ 所以，不合题意，‎ ‎④当时，函数的单调增区间为，减区间为，‎ 所以，符合题意，‎ 综上所述，实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的综合应用，属综合性较强的题型.‎ ‎20.已知函数，其中．‎ ‎（1）若函数在点处的切线方程为，求的值；‎ ‎（2）若函数有两个极值点，证明：成等差数列；‎ ‎（3）若函数有三个零点，对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由导数的几何意义可得解；‎ ‎（2）由等差数列的判定，只需证明，代入运算即可；‎ ‎（3）由导数的综合应用，求函数的单调性，再求函数的最值，解不等式即可得解.‎ ‎【详解】解：（1）由函数在点处的切线方程为，‎ 得 ，又， ‎ 即，‎ 故；‎ ‎（2）要证成等差数列，‎ 只需证明，‎ 又函数有两个极值点，则，‎ ‎ +=‎ ‎ = ，‎ 命题得证；‎ ‎（3）由函数有三个零点，‎ 得，解得且有两个根，‎ 于是有 ，即，‎ 有两个相异的实根，不妨设为，‎ ‎①当时，，‎ 函数在为减函数，在为增函数，‎ 又 ‎ 所以，‎ 故不等式恒成立，‎ ‎ ② 当时， ，‎ 函数在为减函数，在， 为增函数，‎ ‎ 由， ‎ 故=，‎ 对于任意的，不等式恒成立， ‎ 于是，‎ 又 ，‎ 故，‎ 令 ‎ ‎，则 ，‎ 解得，‎ 解得，即，‎ 即 ‎ 综上可得的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的综合应用，属综合性较强的题型.‎ ‎ ‎