2015年数学理高考课件5-4 数列求和

2015年数学理高考课件5-4 数列求和

[ 最新考纲展示 ] 　 熟练掌握等差、等比数列的前 n 项和公式． 第四节　数列求和 公式法求和 1 ．如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前 n 项和公式，注意等比数列公比 q 的取值情况要分 q ＝ 1 或 q ≠ 1. 2 ． 一些常见数列的前 n 项和公式 (1)1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ … ＋ n ＝ . (2)1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ 7 ＋ … ＋ 2 n － 1 ＝ . (3)2 ＋ 4 ＋ 6 ＋ 8 ＋ … ＋ 2 n ＝ . n 2 n 2 ＋ n ____________________[ 通关方略 ]____________________ 利用公式法求和要注意判断数列类型及熟记分式． 答案： C 2 ．设等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，已知 a 1 ＝ 2 ，且 a n ＋ 2 a n ＋ 1 ＋ a n ＋ 2 ＝ 0( n ∈ N * ) ，则 S 2 014 ＝ ________. 解析： 设等比数列 { a n } 的公比为 q ，则 a n ＋ 2 a n ＋ 1 ＋ a n ＋ 2 ＝ a n (1 ＋ 2 q ＋ q 2 ) ＝ 0 ， ∵ a n ≠ 0 ， ∴ q 2 ＋ 2 q ＋ 1 ＝ 0. 解得 q ＝－ 1 ， ∴ S 2 014 ＝ 0. 答案： 0 非等差、等比数列求和的常用方法 1 ．倒序相加法 如果一个数列 { a n } ，首末两端等 “ 距离 ” 的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前 n 项和即是用此法推导的． 2 ．分组转化求和法 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减． 3 ．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求，如等比数列的前 n 项和就是用此法推导的． 4 ．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． ____________________[ 通关方略 ]____________________ 1 ． 解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路 (1) 转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成； (2) 不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和． 2 ．等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法，它可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决． 答案： D 答案： A 5 ．已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 a n ＝ n · 2 n ，则 S n ＝ ________. 答案： ( n － 1) · 2 n ＋ 1 ＋ 2 分组转化求和 [ 答案 ] 　 n 2 ＋ 2 n ＋ 1 － 2 裂项求和 [ 解析 ] 　 (1) ∵ 点 ( n ， S n )( n ∈ N * ) 在函数 f ( x ) ＝ 3 x 2 － 2 x 的图象上， ∴ S n ＝ 3 n 2 － 2 n . 当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ 6 n － 5 ， 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ S 1 ＝ 1 ，也适合 a n ＝ 6 n － 5. ∴ a n ＝ 6 n － 5( n ∈ N * ) ． 错位相减求和 【 例 3】 　 (2014 年宁夏三地联考 ) 已知数列 { a n } 满足 a 1 ＝ 1 ， a 3 ＋ a 7 ＝ 18 ，且 a n － 1 ＋ a n ＋ 1 ＝ 2 a n ( n ≥ 2 ， n ∈ N * ) ． (1) 求数列 { a n } 的通项公式； (2) 若 c n ＝ 2 n － 1 · a n ，求数列 { c n } 的前 n 项和 T n . 反思总结 用错位相减法求和时，应注意 (1) 要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2) 在写出 “ S n ” 与 “ qS n ” 的表达式时应特别注意将两式 “ 错项对齐 ” ，以便下一步准确写出 “ S n － qS n ” 的表达式 . —— 数列求和的答题模板 数列求和是高考的重点，题型以解答题为主，主要考查等差，等比数列的求和公式，错位相减求和及裂项相消求和，数列求和常与函数、方程不等式联系在一起，考查内容较为全面，在考查基本运算、基本能力的基础上，又注意考查学生分析问题、解决问题的能力． 【 典例 】 　 (2014 年荆州模拟 )( 本题满分 12 分 ) 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ n 2 ＋ 2 n ，数列 { b n } 是正项等比数列，且满足 a 1 ＝ 2 b 1 ， b 3 ( a 3 － a 1 ) ＝ b 1 ， n ∈ N * . (1) 求数列 { a n } 和 { b n } 的通项公式； (2) 记 c n ＝ a n b n ，求数列 { c n } 的前 n 项和 T n . [ 教你快速规范审题 ] 1 ．审条件，挖解题信息 2 ．审结论，明解题方向 3 ．建联系，找解题突破口 ____________________ [ 教你一个万能模板 ] ___________________ 本小节结束 请按 ESC 键返回