2015年高考广东文科数学试题及答案(word解析版)

2015年高考广东文科数学试题及答案(word解析版)

‎2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）‎ 数学（文科）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎（1）【2015年广东，文1，5分】若集合，，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】，故选C．‎ ‎（2）【2015年广东，文2】已知是虚数单位，则复数（ ）‎ ‎（A）-2 （B）2 （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】，故选D． ‎ ‎（3）【2015年广东，文3，5分】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】，所以非奇非偶，对于B，函数定义域为R，关于原点对称．，故为偶函数；对于C，函数定义域为R，关于原点对称，因为，所以，故为偶函数；D中函数的定义域为R，关于原点对称，且，故为奇函数，故选A．‎ ‎（4）【2015年广东，文4，5分】若变量，满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】在平面直角坐标系中画图，作出可行域，可得该可行域是由，， ‎ 组成的三角形．由于该区域是封闭的，可以通过分别代这三个个边界点进行检验，易 知当，时，取得最大值5．本题也可以通过平移直线，‎ 当直线经过时，截距达到最大，即取得最大值5，故选C．‎ ‎（5）【2015年广东，文5，5分】设的内角，，的对边分别为，，．若，，，且，则（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】由余弦定理得：，所以，即，解得或．因为，所以，故选B．‎ ‎（6）【2015年广东，文6，5分】若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（ ）‎ ‎（A）至少与，中的一条相交 （B）与，都相交 ‎ ‎（C）至多与，中的一条相交 （D）与，都不相交 ‎【答案】A ‎【解析】以正方体为模型，易知至少与，中的一条相交，故选A．‎ ‎（7）【2015年广东，文7，5分】已知件产品中有件次品，其余为合格品．现从这件产品中任取件，恰有一件次品的概率为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】采用列举法，记件产品中分别为，其中为分别对应2件次品，从5件产品中任取2件有 基本事件共10个，恰有一件次品的含有基本事件共6个，故恰有一件次品的概率概率为，故选B．‎ ‎（8）【2015年广东，文8，5分】已知椭圆的左焦点为，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，，故．因为，故，故选C．‎ ‎（9）【2015年广东，文9，5分】在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，‎ 则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】由平行四边形法则，得，所以，故选D．‎ ‎（10）【2015年广东，文10，5分】若集合，‎ ‎，用表示集合中的元素个数，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】对于，当，可以从0,1,2,3这四个数任取一个，因而有；当，可以从0,1,2这三个数任取一个，因而有；当，可以从0,1这两个数任取一个，因而有；当，，，，只有一种，故 ；对于，先处理前面两个，当，可以从0,1,2,3这四个数任取一个，有4种；当，可以从0,1,2这3个数任取3个；当，可以从0,1，这四个数任取2个；当，只有一种，故前面两个的可能结果有4+3+2+1=10种，同理可得后面有10种，故．‎ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎（一）必做题（11~13）‎ ‎（11）【2015年广东，文11，5分】不等式的解集为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，即，所以，即的解集为 ‎．‎ ‎（12）【2015年广东，文12，5分】已知样本数据，，，的均值，则样本数据，，，的均值为 ．‎ ‎【答案】11‎ ‎【解析】由题意有，所以，所以 ‎．‎ ‎（13）【2015年广东，文13，5分】若三个正数，，成等比数列，其中，，则 ‎ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为正数，，成等比数列，所以，所以．‎ ‎（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎（14）【2015年广东，文14，5分】（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），则与交点的直角坐标为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，由得，所以，联立 解得，所以与交点的直角坐标为为．‎ ‎（15）【2015年广东，文15，5分】（几何证明选讲选做题）如图，为圆的直径，为的延长线上一点，过作圆的切线，切点为，过作直线的垂线，垂足为．若，，则 ．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】因为是圆的切线方程，所以,所以，解得 或（舍去）．连接，则，由，得，所以， 所以，故．‎ ‎ 三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎（16）【2015年广东，文16，12分】已知． ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值．‎ 解：（1）因为，所以．‎ ‎ （2）‎ ‎．‎ ‎（17）【2015年广东，文17，12分】某城市户居民的月平均用电量（单位：‎ 度），以，，，，，，‎ 分组的频率分布直方图如图．‎ ‎（1）求直方图中的值；‎ ‎（2）求月平均用电量的众数和中位数；‎ ‎（3）在月平均用电量为，，，的 ‎ 四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在 的用户中应抽取多少户？‎ 解：（1）由题意得：，解得．‎ ‎（2）由频率分布直方图可知众数为，设中位数为，则有 ‎ ，解得， 所以月平均用电量的中位 数为224．‎ ‎（3）月平均用电量为的频率为，月平均用电量为的频率为 ‎，月平均用电量为的频率为，月平均用电量为的 频率为，设月平均用电量在的用户中应抽取户,则 ‎，解得所以用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在 的用户中应抽取5户．‎ ‎（18）【2015年广东，文18，14分】如图，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，，，．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）证明：；‎ ‎（3）求点到平面的距离．‎ 解：（1）因为四边形为矩形，所以．因为平面，‎ ‎（2）取的中点为，连接，因为，所以．又平面平面，平面 平面，平面，所以平面，因为平面，所以．‎ 又，所以平面，因为平面，所以．‎ ‎（3）因为平面，即到平面的距离为，．‎ 因为，，所以，所以，‎ 设点到平面的距离为，由得，‎ 即到平面的距离为为．‎ ‎（19）【2015年广东，文19，14分】设数列的前项和为，．已知，，，且当时，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）证明：为等比数列；‎ ‎（3）求数列的通项公式．‎ 解：（1）当时，，所以，‎ 即．‎ ‎（2）因为，所以 所以，所以，‎ 即，所以 当时，，所以，满足式，所以 所以，所以是以，公比为的等比数列．‎ ‎（3）由（2）得，两边同乘以，可得，‎ 所以是以，公差为4的等差数列．所以，‎ 所以．‎ ‎（20）【2015年广东，文20，14分】已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，．‎ ‎（1）求圆的圆心坐标；‎ ‎（2）求线段的中点的轨迹的方程；‎ ‎（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不 存在，说明理由．‎ 解：（1）由题意知：圆方程为：，∴圆的圆心坐标为．‎ ‎（2）由图可知，令，，‎ ‎ ，，，‎ ‎ ∵直线与圆交于、两点，∴直线与圆的距离：‎ ‎ ，，‎ ‎ 轨迹的方程为：．‎ ‎（3）∵直线：与曲线仅有1个交点， 联立方程：‎ 得：，在区间有且仅有1个解． ‎ 当时，，此时，，仅有一个交点，符合题意．‎ 当时，令，则有：‎ 解得： ，∴的取值范围为：或．‎ ‎（21）【2015年广东，文21，14分】设为实数，函数．‎ ‎（1）若，求的取值范围；‎ ‎（2）讨论的单调性；‎ ‎（3）当时，讨论在区间内的零点个数．‎ 解：（1），因为，所以．当时，，显然成立；当，‎ 则有，所以．所以．综上所述，的取值范围．‎ ‎（2），对于，其对称轴为，开口向上，‎ 所以在单增；对于，其对称轴为，开口向上，‎ 所以在单减．综上，在单增，在单减．‎ ‎（3）由（2）得在单增，在单减，所以．‎ ‎（i）当时，，，令，即．‎ 因为在单减，所以，而在单增，，‎ 所以与在无交点．‎ 当时，，即，所以，所以，‎ 因为，所以，即当时，有一个零点．‎ ‎（ii）当时，，当时，， ‎ ‎，而在单增，当时，．‎ 下面比较与的大小 因为，‎ 所以．‎ 结合图像不难得当，与有两个交点． ‎ 综上，当时，有一个零点；当，与有两个零点．‎