2020_2021学年新教材高中数学第十章概率10

2020_2021学年新教材高中数学第十章概率10

10.1.1 　有限样本空间与随机事件　 10.1.2 　事件的关系和运算 课标阐释 思维脉络 1 . 理解有限样本空间、样本空间、样本点的概念 . ( 数学抽象 ) 2 . 理解必然事件、不可能事件、随机事件、基本事件的含义及其关系 . ( 数学抽象 ) 3 . 理解事件 A 与事件 B 之间的 关 系 , 及并事件、交事件、事件互斥、事件互为对立等相关概念 . ( 数学抽象 ) 激趣诱思 知识点拨 体育彩票摇奖时 , 将 10 个质地和大小完全相同的小球标上号码 , 分别为 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, 然后放入摇奖器中经过充分搅拌后先后摇出两个小球 , 观察该球的号码 , 那么这个试验的结果共有多少种情况 ? 如何表示这些结果 ? 如果改为抽取时先抽出一球 , 放回后再抽出一球 , 观察该球的号码 , 那么这个试验的结果共有多少种情况 ? 激趣诱思 知识点拨 知识点一、有限样本空间的相关概念 1 . 随机试验 : 我们把对随机现象的 实现 和对它的 观察 称为随机试验 , 简称 试验 , 常用字母 E 表示 . 说明 : 本节中我们研究的是具有以下特点的随机试验 . (1) 试验可以在相同条件下重复进行 ; (2) 试验的所有可能结果是明确可知的 , 并且不止一个 ; (3) 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个 , 但事先不能确定出现哪一个结果 . 激趣诱思 知识点拨 2 . 样本点 : 我们把随机试验 E 的 每个可能的基本结果 称为样本点 , 一般用 ω 表示样本点 . 3 . 样本空间 : 全体样本点的 集合 称为试验 E 的样本空间 , 一般用 Ω 表示样本空间 . 4 . 有限样本空间 : 如果一个随机试验有 n 个可能结果 ω 1 , ω 2 ,…, ω n , 则称样本空间 Ω= { ω 1 , ω 2 ,…, ω n } 为有限样本空间 , 也就是说 Ω 为有限集的情况即为有限样本空间 . 名师点析 样本点与样本空间的关系可联想元素与集合的关系来理解记忆 . 注意 : 试验不同 , 对应的样本空间也不同 ; 同一试验 , 若试验的目的不同 , 则对应的样本空间也不同 . 激趣诱思 知识点拨 微思考 抛掷两枚骰子 , 观察它们落地时朝上面的点数情况 , 你能写出该试验的样本空间吗 ? 提示 : 可以考虑用有序数对 ( a , b ) 来表示试验的结果 . 其中 a 表示其中一枚骰子的点数 , b 表示另一枚骰子的点数 , 则有 Ω= {( a , b ) | 1≤ a ≤6,1≤ b ≤6, 且 a , b ∈ N * }, 当然 Ω 还可以用列举法进行表示 , 该样本空间中有 36 个样本点 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 袋中装有大小相同的红、白、黄、黑 4 个球 , 分别写出以下随机试验的样本空间 . (1) 从中任取 1 球 ; (2) 从中任取 2 球 . 解 : (1) Ω= { 红 , 白 , 黄 , 黑 } . (2) 若记 ( 红 , 白 ) 表示一次试验中取出的是红球与白球 , 则 Ω= {( 红 , 白 ),( 红 , 黄 ),( 红 , 黑 ),( 白 , 黄 ),( 白 , 黑 ),( 黄 , 黑 )} . 激趣诱思 知识点拨 知识 点二、事件的概念及分类 1 . 随机事件 : 样本空间 Ω 的 子集 称为随机事件 , 简称 事件 . 2 . 基本事件 : 只包含 一个样本点 的事件称为基本事件 . 3 . 事件 A 发生 : 在每次试验中 , 当且仅当 A 中某个样本点出现时 , 称为事件 A 发生 . 4 . 必然事件 : Ω 作为自身的子集 , 包含了所有的样本点 , 在每次试验中总有一个样本点发生 , 所以 Ω 总会发生 , 我们称 Ω 为必然事件 . 5 . 不可能事件 : 空间 ⌀ 不包含任何样本点 , 在每次试验中都不会发生 , 我们称 ⌀ 为不可能事件 . 说明 :(1) 为了方便统一处理 , 将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形 . (2) 每个事件都是样本空间 Ω 的一个子集 . 激趣诱思 知识点拨 名师点析 应该注意事件发生的结果是相对应于 “ 一定条件 ” 而言的 . 故要弄清某一随机事件 , 必须明确何为事件发生的条件 . 随机事件发生有可能性大小之分 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1) 已知集合 A 是集合 B 的真子集 , 则下列关于非空集合 A , B 的四个说法 : ① 若任取 x ∈ A , 则 x ∈ B 是必然事件 ; ② 若任取 x ∉ A , 则 x ∈ B 是不可能事件 ; ③ 若任取 x ∈ B , 则 x ∈ A 是随机事件 ; ④ 若任取 x ∉ B , 则 x ∉ A 是必然事件 . 其中正确的说法有 ( 　　 ) A.1 个 　 B.2 个 　 C.3 个 　 D.4 个 解析 : ∵ 集合 A 是集合 B 的真子集 , ∴ A 中的任意一个元素都是 B 中的元素 , 而 B 中至少有一个元素不在 A 中 , 因此 ① 正确 , ② 错误 , ③ 正确 , ④ 正确 . 答案 : C 激趣诱思 知识点拨 (2) 判断下列说法是否正确 , 正确的在后面的括号内打 “ √ ”, 错误的打 “ × ” . ① 从集合的角度看 , 事件 ⌀ 与事件 Ω 的关系为 ⌀⊆ Ω. ( 　　 ) ② 必然事件也可能不发生 , 不可能事件一定不能发生 . ( 　　 ) ③ 只有当 A 中的样本点都发生了 , 事件 A 才发生 . ( 　　 ) 答案 : ① √ 　 ② × 　 ③ × 激趣诱思 知识点拨 知识点三、利用集合的知识研究 随机事件 激趣诱思 知识点拨 激趣诱思 知识点拨 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1) 掷一颗骰子 , 统计正面向上的点数 . 记 “ 出现 5 点 ” =A ,“ 出现 3 点 ” =B ,“ 出现 1 点 ” =C , 则 “ 出现奇数点 ” 这一事件可表示为 　　　　 . 事件 A ∪ B 与事件 C 是否互为对立事件 , 　　　　 ( 填 “ 是 ” 或 “ 否 ”) .  答案 : A ∪ B ∪ C 　 否 (2) 有甲、乙两台机床 , 记 “ 甲正常工作 ” =A ,“ 乙正常工作 ” =B , 则 AB 表示 　　　　　　　 ,“ 甲不能正常工作 ” 可记为 　　　　　　 .  答案 : “ 甲、乙同时正常工作 ” 　 激趣诱思 知识点拨 (3) 判断下列说法是否正确 , 正确的在后面的括号内打“ √ ” , 错误的打“ ×” . ③ 事件 A , B , C 至少有两个发生可表示为 A ∪ B ∪ C. ( 　　 ) ④ 若事件 A 与事件 B 互为对立事件 , 则事件 A 与事件 B 一定为互斥事件 . ( 　　 ) 答案 : ①√ 　 ②√ 　 ③ × 　 ④√ 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 试验的样本空间 例 1 某人做试验 , 从一个装有标号为 1,2,3,4 的小球的盒子中 , 无放回地取两个小球 , 每次取一个 , 先取的小球的标号为 x , 后取的小球的标号为 y , 这样构成有序实数对 ( x , y ) . (1) 写出这个试验的样本空间 ; (2) 写出 “ 第一次取出的小球上的标号为 2” 这一事件 . 分析 利用列举法按照一定的顺序逐个列举即可 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解 : (1) 当 x= 1 时 , y= 2,3,4; 当 x= 2 时 , y= 1,3,4; 当 x= 3 时 , y= 1,2,4; 当 x= 4 时 , y= 1,2,3 . 因此 , 这个试验的样本空间是 Ω= {(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)} . (2) 记 “ 第一次取出的小球上的标号为 2” 为事件 A , 则 A= {(2,1),(2,3),(2,4)} . 反思感悟 随机事件的结果是相对于条件而言的 , 要弄清某一随机事件的结果 , 首先必须明确事件发生的条件 . 在写试验结果时 , 要按照一定的顺序采用列举法写出 , 注意不能重复也不能遗漏 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 延伸探究 1 若将本例中的条件改为有放回地取两个小球呢 ? 每次取一个 , 先取的小球的标号为 x , 看清编号后放回盒子摇匀 , 再取一个小球的标号为 y , 这样构成有序实数对 ( x , y ) . 试写出这个试验的样本空间 . 解 : 当 x= 1 时 , y 可取 1,2,3,4 . 同理 , x= 2,3,4 时 , 对应的不同的试验结果也有 4 个 . 所以这个试验的样本空间为 Ω= {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)} . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 延伸探究 2 若将本例中的条件改为无放回地取三个小球呢 ? 每次取一个 , 先取的小球的标号为 x , 后取的小球的标号为 y , 最后取的小球的标号为 z , 这样构成有序实数对 ( x , y , z ) . 试写出这个试验的样本空间 . 解 : 当 x= 1 时 , y 可取 2,3,4 . 若 y= 2, 则 z 可取 3,4; 若 y= 3, 则 z 可取 2,4; 若 y= 4, 则 z 可取 2,3 . 同理 , x= 2,3,4 时 , 对应的不同的试验结果也有 6 个 . 所以 , 这个试验的样本空间是 Ω= {(1,2,3),(1,2,4),(1,3,2),(1,3,4),(1,4,2),(1,4,3),(2,1,3),(2,1,4),(2,3,1),(2,3,4),(2,4,1),(2,4,3),(3,1,2),(3,1,4),(3,2,1),(3,2,4),(3,4,2),(3,4,1),(4,1,2),(4,1,3),(4,2,1),(4,2,3),(4,3,2),(4,3,1)} . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 随机事件的概念及分类 例 2 (1)(2020 辽宁高一期末 ) 以下的随机事件中不是必然事件的是 ( 　　 ) A . 标准大气压下 , 水加热到 100 ℃ , 必会沸腾 B . 长和宽分别为 a , b 的矩形 , 其面积为 a × b C . 走到十字路口 , 遇到红灯 D . 三角形内角和为 180° (2)(2020 辽宁鞍山一中高一期末 ) 下列事件中 , 是必然事件的是 ( 　　 ) A. 任意买一张电影票 , 座位号是 2 的倍数 B.12 个人中有两个人生肖相同 C. 买了一注彩票中一等奖 D. 实数 a+b=b+a 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解析 : (1) 在 A 中 , 标准大气压下 , 水加热到 100 ℃ , 必会沸腾是必然事件 , 故 A 不符合题意 ; 在 B 中 , 长和宽分别为 a , b 的矩形 , 其面积为 a × b 是必然事件 , 故 B 不符合题意 ; 在 C 中 , 走到十字路口 , 遇到红灯是随机事件但不是必然事件 , 故 C 符合题意 ; 在 D 中 , 三角形内角和为 180° 是必然事件 , 故 D 不符合题意 . (2) 四个选项都是随机事件 , 但选项 A,B,C 中的事件都不确定发生 , 因此都不是必然事件 , 只有选项 D 总会发生 , 因此是必然事件 . 答案 : (1)C 　 (2)D 反思感悟 1 . 要判断一个事件是必然事件、随机事件 , 还是不可能事件 , 要从定义出发 . 2 . 必然事件和不可能事件不具有随机性 , 但为了统一处理 , 将必然事件和不可能事件作为随机事件的特殊情形 , 具有随机性的和不具有随机性的事件都可以理论上认为是随机事件 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 1 从 6 个篮球、 2 个排球中任选 3 个球 , 则下列事件中 , 不可能事件是 ( 　　 ) A.3 个都是篮球 B. 至少有 1 个是排球 C.3 个都是排球 D. 至少有 1 个是篮球 解析 : 根据题意 , 从 6 个篮球、 2 个排球中任选 3 个球 , 四个选项都是随机事件 , 进一步 C 是不可能事件 ,D 是必然事件 . 答案 : C 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 互斥事件、对立事件的判断 例 3 (2020 山东潍坊高一检测 ) 把红、黄、蓝、白 4 张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁 4 个人 , 每人分得一张 , 事件 “ 甲分得红牌 ” 与事件 “ 乙分得红牌 ” 是 ( 　　 ) A. 对立事件 B. 互斥但不对立事件 C. 不可能事件 D. 以上都不对 分析 由题意可知事件 “ 甲分得红牌 ” 与 “ 乙分得红牌 ” 不会同时发生 , 但除了 “ 甲分得红牌 ” 与 “ 乙分得红牌 ” 之外 , 还有 “ 丙分得红牌 ” 和 “ 丁分得红牌 ”, 则两者不是对立事件 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解析 : 根据题意 , 把红、黄、蓝、白四张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四个人 , 事件 “ 甲分得红牌 ” 与 “ 乙分得红牌 ” 不会同时发生 , 则两者是互斥事件 , 但除了 “ 甲分得红牌 ” 与 “ 乙分得红牌 ” 之外 , 还有 “ 丙分得红牌 ” 和 “ 丁分得红牌 ”, 则两者不是对立事件 . ∴ 事件 “ 甲分得红牌 ” 与 “ 乙分得红牌 ” 是互斥但不对立事件 . 故选 B . 答案 : B 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 一般判断互斥事件或对立事件从集合的角度来认识 , 若 A ∪ B=Ω , A ∩ B= ⌀ , 则称事件 A 与事件 B 互为对立 ; 若 A ∩ B= ⌀ , 则称事件 A 与事件 B 互斥 ( 互不相容 ) . 对于本例中的问题 , 要把样本空间明确 , 再进行分析 . 2 . 判互斥事件的步骤 (1) 确定每个事件包含的结果 ; (2) 确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生 , 若是 , 则两事件不互斥 , 否则就是互斥的 . 3 . 判对立事件的步骤 (1) 判断是互斥事件 ; (2) 确定两个事件必然有一个发生 , 否则只有互斥 , 但不对立 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 2 从装有 3 个红球和 2 个白球的口袋中随机取出 3 个球 , 则事件 “ 取出 1 个红球和 2 个白球 ” 的对立事件是 ( 　　 ) A. 取出 2 个红球和 1 个白球 B. 取出的 3 个球全是红球 C. 取出的 3 个球中既有红球也有白球 D. 取出的 3 个球中不止一个红球 解析 : 从装有 3 个红球和 2 个白球的口袋中随机取出 3 个球 , 则事件 “ 取出 1 个红球和 2 个白球 ” 的对立事件是取出的 3 个球中至少有两个红球 . 故选 D . 答案 : D 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 用简单事件的和或积表示复杂 事件 例 4 已知 电路图 , 其中记 A 1 = “ 开关 K 1 合上 ”, A 2 = “ 开关 K 2 合上 ” . 则 A 1 A 2 表示的含义是 　　　　　　　　　　　　　　 .  答案 : 开关 K 1 ,K 2 同时合上 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 例 5 盒子里有 6 个红球 ,4 个白球 , 现从中任取 3 个球 , 设事件 A= “3 个球中有 1 个红球 ,2 个白球 ”, 事件 B= “3 个球中有 2 个红球 ,1 个白球 ”, 事件 C= “3 个球中至少有 1 个红球 ”, 事件 D= “3 个球中既有红球又有白球 ” . 问 : (1) 事件 D 与 A , B 是什么样的运算关系 ? (2) 事件 C 与 A 的交事件是什么事件 ? 分析 事件间运算的类型 : 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解 : (1) 对于事件 D , 可能的结果为 1 个红球 2 个白球或 2 个红球 1 个白球 , 故 D=A ∪ B. (2) 对于事件 C , 可能的结果为 1 个红球 2 个白球 ,2 个红球 1 个白球 ,3 个均为红球 , 故 C ∩ A=A. 反思感悟 进行事件运算时应注意的问题 (1) 进行事件的运算时 , 一是要紧扣运算的定义 , 二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果 , 必要时可利用 Venn 图或列出全部的试验结果进行分析 . (2) 在一些比较简单的题目中 , 需要判断事件之间的关系时 , 可以根据常识来判断 . 但如果遇到比较复杂的题目 , 就得严格按照事件之间关系的定义来推理 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 3 在掷质地均匀的骰子的试验中 , 可以定义许多事件 . 例如 : C 1 = “ 出现 1 点 ”, C 2 = “ 出现 2 点 ”, C 3 = “ 出现 3 点 ”, C 4 = “ 出现 4 点 ”, C 5 = “ 出现 5 点 ”, C 6 = “ 出现 6 点 ”, D 1 = “ 出现的点数不大于 1”, D 2 = “ 出现的点数大于 3”, D 3 = “ 出现的点数小于 5”, E= “ 出现的点数小于 7”, F= “ 出现的点数为偶数 ”, G= “ 出现的点数为奇数 ”, 请根据上述定义的事件 , 回答下列问题 . (1) 请列出事件 D 2 , 事件 F 包含的事件及符合相等关系的事件 ; (2) 利用和事件的定义 , 判断上述哪些事件是和事件 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解 : (1) 事件 D 2 包含事件 C 4 , C 5 , C 6 . 事件 F 包含事件 C 2 , C 4 , C 6 . 事件 C 1 与事件 D 1 相等 , 即 C 1 =D 1 . (2) 因为 D 2 = “ 出现的点数大于 3” = “ 出现 4 点或出现 5 点或出现 6 点 ”, 所以 D 2 =C 4 ∪ C 5 ∪ C 6 , 所以事件 D 2 为和事件 . 同理可得事件 D 3 , 事件 E , 事件 F , 事件 G 均为和事件 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 4 (2020 全国高一课时练习 ) 从一批 100 件的产品中每次取出一个 ( 取后不放回 ), 假设 100 件产品中有 5 件是次品 , 用事件 A k 表示第 k 次取到次品 ( k= 1,2,3), 试用 A 1 , A 2 , A 3 表示下列事件 . (1) 三次全取到次品 ; (2) 只有第一次取到次品 ; (3) 三次中至少有一次取到次品 ; (4) 三次中恰有两次取到次品 ; (5) 三次中至多有一次取到次品 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 分类讨论与数形结合思想的应用 典例 先后抛掷两枚质地均匀的硬币 , 则 : (1) 一共可能出现多少种不同的结果 ? (2) 出现 “ 一枚正面 , 另一枚反面 ” 的情况有几种 ? 解 : (1)( 方法一 ) 一共可能出现 “ 两枚正面 ”“ 两枚反面 ”“ 一枚正面 , 一枚反面 ”“ 一枚反面 , 一枚正面 ”4 种不同的结果 . ( 方法二 ) 借助树状图列出试验所有可能结果 . 共 4 种不同的结果 . (2) 出现 “ 一枚正面 , 另一枚反面 ” 的情况有 2 种 . 方法点睛 (1) 把握随机试验的实质 , 明确一次试验的含义 . (2) 按一定的顺序用有序数组的形式写出 , 要不重不漏 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 一个家庭有两个小孩儿 , 则可能的结果为 ( 　　 ) A.{( 男 , 女 ),( 男 , 男 ),( 女 , 女 )} B.{( 男 , 女 ),( 女 , 男 )} C.{( 男 , 男 ),( 男 , 女 ),( 女 , 男 ),( 女 , 女 )} D.{( 男 , 男 ),( 女 , 女 )} 解析 : 随机试验的所有结果要保证等可能性 . 两小孩儿有大小之分 , 所以 ( 男 , 女 ) 与 ( 女 , 男 ) 是不同的结果 , 故选 C . 答案 : C 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 1 . (2020 全国高一课时练习 ) 下列事件 : ① 连续两次抛掷同一骰子 , 两次都出现 2 点 ; ② 走到十字路口 , 遇到绿灯 ; ③ 异性电荷相互吸引 ; ④ 掷一石块 , 下落 . 其中是随机事件的个数是 ( 　　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 : 由随机事件的概念可知 ①② 是随机事件 , ③④ 是必然事件 , 也属于随机事件的极端情形 . 答案 : D 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 2 . 抽查 10 件产品 , 设 “ 至少抽到 2 件次品 ” 为事件 A , 则 A 的对立事件是 ( 　　 ) A. 至多抽到 2 件次品 B. 至多抽到 2 件正品 C. 至少抽到 2 件正品 D. 至多抽到 1 件次品 解析 : 抽查 10 件产品 , 设 “ 至少抽到 2 件次品 ” 为事件 A , 则 为 至多抽到一件次品 . 故选 D . 答案 : D 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 3 . 一箱产品中有正品 4 件 , 次品 3 次 , 从中任取 2 件 , 下列四组事件 : ① 恰有一件次品和恰有两件次品 ; ② 至少有一件次品和全是次品 ; ③ 至少有一件正品和至少有一件次品 ; ④ 至少有一件次品和全是正品 . 其中两个事件互斥的是 　　　　 . ( 填序号 )  解析 : ∵ 从一箱产品中任取 2 件 , 观察正品件数和次品件数 , 其中正品、次品都多于 2 件 , ∴ 恰有一件次品和恰有两件次品是互斥的 , 至少有一件次品和全是正品是互斥的 , ∴①④ 是互斥事件 . 答案 : ①④ 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 4 . 下列事件是随机事件的有 　　　　　 . ( 填序号 )  ① 北京每年 1 月 1 日刮西北风 ; ② 当 x 为实数时 ,2 x+ 1 > 0; ③ 手电筒的电池没电 , 灯泡发亮 ; ④ 函数 f ( x ) = 3 x 没有零点 . 解析 : ①② 是随机事件 , ③ 是不可能事件 , 属于随机事件的极端情形 , ④ 是必然事件 , 也属于随机事件的极端情形 . 答案 : ①②③④ 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 5 . 设集合 M= {1,2,3,4}, a ∈ M , b ∈ M ,( a , b ) 是一个基本事件 . (1)“ a+b= 5” 这一事件包含哪几个基本事件 ?“ a< 3 且 b> 1” 呢 ? (2)“ ab= 4” 这一事件包含哪几个基本事件 ?“ a=b ” 呢 ? 解 : 这个试验的样本空间 Ω= {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)} . (1)“ a+b= 5” 这一事件包含以下 4 个基本事件 :(1,4),(2,3),(3,2),(4,1) . “ a< 3 且 b> 1” 这一事件包含以下 6 个基本事件 :(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4) . (2)“ ab= 4” 这一事件包含以下 3 个基本事件 :(1,4),(2,2),(4,1) . “ a=b ” 这一事件包含以下 4 个基本事件 :(1,1),(2,2),(3,3),(4,4) .