山西省晋中市2020届高三下学期一模考试(普通招生考试模拟)数学(理)试题 Word版含解析

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山西省晋中市2020届高三下学期一模考试(普通招生考试模拟)数学(理)试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2020年普通高等学校招生统一模拟考试 数学(理科)‎ ‎(本试卷考试时间120分钟,满分150分)‎ ‎★祝考试顺利★‎ 注意事项:‎ ‎1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置.‎ ‎2.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.‎ ‎3.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上.‎ ‎4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.‎ 参考公式:锥体的体积公式:(其中为锥体的底面积,为锥体的高).‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.集合,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求解一元二次不等式解得集合,求解的定义域解得集合,再求集合交和补运算,则问题得解.‎ ‎【详解】因为集合或,‎ ‎,‎ 集合,‎ 所以.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查一元二次不等式的求解,集合的交运算和补运算,属综合基础题.‎ - 27 -‎ ‎2.若复数(,为虚数单位)是纯虚数,则的值为( )‎ A. B. 0 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的混合运算化简,令其实部为零,虚部不为零,即可求得结果.‎ ‎【详解】因为,‎ 由题意知 解得.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查复数的混合运算,涉及由复数的类型求参数值,属综合基础题.‎ ‎3.若,,且,则向量的夹角为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量垂直则数量积为零,求得,再根据夹角公式求得结果.‎ ‎【详解】根据题意,由于向量,,且,‎ ‎,,‎ 故,又向量夹角的范围为,‎ 故可知向量的夹角为.‎ 故选:B.‎ - 27 -‎ ‎【点睛】本题考查向量垂直的转化,以及由数量积求向量的夹角,属综合基础题.‎ ‎4.若,则下列不等式恒成立的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式性质,正切函数、幂函数、对数函数的性质,结合特值,进行判断即可.‎ ‎【详解】若,则,所以A错误;‎ 若,取,,,所以B错误;‎ 对于C选项,由于对数函数在上单调递增,‎ ‎,当时,,C选项中的不等式不恒成立,故错误;‎ 若,且幂函数在上单调递增,所以,所以D正确.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查正切函数、对数函数、幂函数的单调性,以及不等式的性质,属综合基础题.‎ ‎5.给定下列四个命题,其中真命题是( )‎ A. 垂直于同一直线的两条直线相互平行 B. 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行 C. 垂直于同一平面的两个平面相互平行 D. 若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间中直线与直线、平面与平面,直线与平面的位置关系,结合判定定理和性质定理,对选项进行逐一分析即可判断.‎ ‎【详解】正方体同一顶点的三条棱两两垂直,则垂直于同一直线的两条直线不一定平行,故A - 27 -‎ 错误;‎ 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,‎ 两直线可以相交,也可以成为异面直线,故B错误;‎ 正方体的前面和侧面都垂直于底面,这两个平面不平行,C错误 对:利用反证法简单证明如下:‎ 若两个平面垂直,假设一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面垂直.‎ 因为,且平面的交线,‎ 故可得,‎ 这与题设与不垂直相互矛盾,故假设不成立,原命题成立.‎ 即选项正确.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查空间中直线与直线、平面与平面,直线与平面的位置关系,属综合基础题.‎ ‎6.已知抛物线的焦点在轴上,顶点在坐标原点,且经过点,若点到该抛物线焦点的距离为3,则等于( )‎ A. B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线定义,求得,再结合抛物线方程,求得点的坐标,利用两点之间的距离公式,即可求得结果.‎ ‎【详解】因为抛物线过点,故可得该抛物线开口向上,‎ 设其方程为,‎ 由抛物线定义知,,所以,‎ 则抛物线方程为,‎ 因为点在此抛物线上,所以,‎ - 27 -‎ 于是,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义,以及抛物线上一点坐标的求解,属基础题.‎ ‎7.已知函数的最小正周期为,若将其图象沿轴向右平移个单位,所得图象关于对称,则实数的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用降幂扩角公式化简,再根据其周期求得,结合图象的左右平移求得平移后的解析式,利用是函数的对称轴,求得关于的方程,即可求得的最小值.‎ ‎【详解】容易知 又其周期为,可得,故.‎ 将其图象向右平移个单位可得图象,‎ 根据其图象关于对称,‎ 可得,,‎ 则,,又,‎ 故当时,取得最小正值为.‎ 所以实数的最小值为.‎ 故选:B.‎ - 27 -‎ ‎【点睛】本题考查降幂扩角公式的应用,求函数图像平移后的解析式,以及余弦型三角函数的性质,属综合中档题.‎ ‎8.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据规定:血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车,及以上为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量上升到了,若在停止喝酒后,他血液中酒精含量会以每小时的速度减少,要想安全驾驶,那么他至少经过( )‎ A. 2小时 B. 4小时 C. 6小时 D. 8小时 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 列出函数模型,根据题意,列出不等式,求解即可.‎ ‎【详解】因为,故喝酒后驾驶员血液中酒精含量为.‎ 不妨设喝酒后经过的时间为,小时后血液中酒精含量为,‎ 故可得.‎ 根据题意,若想安全驾驶,则,‎ 即可得,‎ 即,‎ 因为,又,,,‎ 根据选项可知,取整数,‎ 所以,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查指数函数模型的应用,解决问题的关键是要建立正确的函数模型,属中档题.‎ ‎9.已知为正整数,,,且,则当函数取得最大值时,( )‎ - 27 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正切的差角公式,结合已知条件求得参数;再利用辅助角公式化简,根据其最值,求得即可.‎ ‎【详解】由条件知,则由,‎ 得,‎ 即,‎ 解得或(舍去),‎ 则.‎ 因为,‎ 所以.‎ 则当,即时,‎ 函数取得最大值,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查正切的差角公式的应用,对数运算,以及三角恒等变换,涉及正弦型函数取得最值时自变量的求解,属综合中档题.‎ ‎10.某同学次测评成绩的数据如茎叶图所示,总体的中位数为,若要使该总体的标准差最小,则的值是( )‎ - 27 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题,中位数为12,求得,再求得平均数,利用总体标准差最小和基本不等式求得x,y的值,即可求得答案.‎ ‎【详解】由题,因为中位数为12,所以 ‎ 数据的平均数为: ‎ 要使该总体的标准最小,即方差最小,所以 ‎ ‎ 当且紧当,取等号,即时,总体标准差最小 此时 故选A ‎【点睛】本题考查了茎叶图,熟悉茎叶图,清楚中位数、标准差的求法是解题的关键,属于中档题型.‎ ‎11.已知双曲线与圆相交于四点,如图所示,点是双曲线的左焦点,且,则双曲线的离心率为( )‎ - 27 -‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设双曲线的右焦点为,连接,由四边形是平行四边形,结合双曲线的定义,即可求得,再在中,由勾股定理,即可求得等量关系,结合离心率的求解公式,则问题得解.‎ ‎【详解】设双曲线的右焦点为,连接,作图如下:‎ 根据对称性知是平行四边形,所以有,‎ 又点在双曲线上,所以,‎ 因为,所以,‎ 即,‎ 而在三角形中,,,,‎ 所以三角形为直角三角形,且.‎ 在三角形中,,,,,‎ 所以,即,‎ 所以双曲线的离心率.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线离心率的求解,本题的难点在于求得的等量关系,属中档题.‎ - 27 -‎ ‎12.函数,,若存在,其中且,使得,则的最大值为( )‎ A. 8 B. 9 C. 10 D. 11‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数,将问题转化为 ,有根,结合的值域,将问题进一步转化为根据集合之间的关系,求参数范围即可.‎ ‎【详解】令,‎ 则 ‎ ‎ ‎ ,‎ 因为,容易知二次函数对称轴为,‎ 所以,‎ 即,‎ 所以,‎ 由知,‎ 集合.‎ 因为且,‎ 所以,,‎ 所以,即,又.‎ - 27 -‎ 所以的最大值为10.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查由集合之间的关系求参数范围,函数思想的应用,涉及二次函数值域的求解,属综合压轴题.‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.某篮球运动员罚篮命中率为0.75,在一次罚篮训练中连续投篮50次,表示投进的次数,则_______.‎ ‎【答案】37.5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,服从二项分布,根据二项分布数学期望的计算公式即可容易求得结果.‎ ‎【详解】根据题意可知:满足二项分布,即可,‎ 故.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查二项分布数学期望的求解,属基础题.‎ ‎14.已知函数是奇函数,当时,(且),且,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数奇偶性,结合已知函数值和函数解析式,利用对数运算,即可求得结果.‎ ‎【详解】因为,且为奇函数,‎ 故可得,‎ 则;‎ 又当时,‎ 故可得,‎ - 27 -‎ 即,故可得或(舍)‎ 即.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数奇偶性求参数值,涉及对数运算,属综合基础题.‎ ‎15.现有一副斜边长为10的直角三角板,将它们斜边重合,若将其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥,如图所示,已知,,则三棱锥的外接球的表面积为______;该三棱锥体积的最大值为_______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)容易知中点为外接球球心,则为外接球直径,从而求得半径,利用表面积公式,即可求得结果;‎ ‎(2)体积最大时,即平面平面,求得点到平面距离,利用棱锥体积公式即可求得结果.‎ ‎【详解】(1)因为,,‎ 且,,‎ 所以,,.‎ 因为,‎ 所以三棱锥的外接球的直径为,‎ 所以球的半径,‎ - 27 -‎ 故球的表面积为.‎ ‎(2)当点到平面距离最大时三棱锥的体积最大,‎ 此时平面平面,‎ 过点作,‎ 因为平面,平面平面,且交于,‎ 故可得平面,‎ 则点到平面的距离为,‎ 又在中,,‎ 所以.‎ 故答案为:;.‎ ‎【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的求解,以及棱锥体积的求解,涉及面面垂直推证线面垂直,属综合中档题.‎ ‎16.在中,内角所对应的边分别为,且,若的面积,则面积的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦的倍角公式,结合正弦定理将边化角,即可求得,结合面积公式,求得 - 27 -‎ 等量关系;再由余弦定理,以及基本不等式求得的最小值,即可求得面积的最小值.‎ ‎【详解】由,得,‎ 由正弦定理得,‎ 所以,,‎ 则,‎ 所以,‎ 由余弦定理得,即,‎ 所以,当且仅当时等号成立,‎ 故,‎ 所以面积的最小值为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查正弦的倍角公式、利用正弦定理进行边角转化,涉及余弦定理,面积公式,以及基本不等式求最值,属综合压轴题.‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎17.2020年新年伊始,新型冠状病毒来势汹汹,疫情使得各地学生在寒假结束之后无法返校,教育部就此提出了线上教学和远程教学,停课不停学的要求也得到了家长们的赞同.各地学校开展各式各样的线上教学,某地学校为了加强学生爱国教育,拟开设国学课,为了了解学生喜欢国学是否与性别有关,该学校对100名学生进行了问卷调查,得到如下列联表:‎ 喜欢国学 不喜欢国学 合计 男生 ‎20‎ ‎50‎ 女生 ‎10‎ 合计 ‎100‎ - 27 -‎ ‎(1)请将上述列联表补充完整,并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系?‎ ‎(2)针对问卷调查的100名学生,学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立国学宣传组,并在这6人中任选2人作为宣传组的组长,设这两人中女生人数为,求的分布列和数学期望.‎ 参考数据:‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎,.‎ ‎【答案】(1)列联表见解析;能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系.(2)分布列见解析;‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据总数为100,结合已知数据即可补充完整列联表;根据公式,求得的观测值,结合参考数据,即可容易判断;‎ ‎(2)求得分层抽样的抽样比,计算出人中男生和女生人数,利用概率计算公式即可求得分布列,结合分布列求得.‎ ‎【详解】(1)补充完整的列联表如下:‎ 喜欢国学 不喜欢国学 合计 男生 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 女生 ‎40‎ ‎10‎ ‎50‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ - 27 -‎ 计算得,‎ 所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系.‎ ‎(2)喜欢国学的共60人,按分层抽样抽取6人,则每人被抽到的概率均为,‎ 从而需抽取男生2人,女生4人,‎ 故的所有可能取值为0,1,2.‎ ‎,,,‎ 故分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 数学期望.‎ ‎【点睛】本题考查的计算,离散型随机变量的分布列和数学期望,涉及分层抽样,属综合中档题.‎ ‎18.已知三棱锥中,为等腰直角三角形,,平面,且,且,分别为的中点.‎ ‎(1)求证:直线平面;‎ ‎(2)求锐二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)‎ - 27 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设的中点为,连接,通过证明四边形为平行四边形,即可由线线平行推证线面平行;‎ ‎(2)以为坐标原点,建立空间直角坐标系,分别求得两个平面的法向量,由法向量的夹角与二面角平面角的关系,即可容易求得结果.‎ ‎【详解】(1)设的中点为,连接,‎ 则,,‎ 又且,‎ 且,‎ 四边形为平行四边形,‎ ‎,又平面,平面,‎ 平面.即证.‎ ‎(2)因为,且平面,‎ 又平面,‎ 故可得,‎ 故以为坐标原点,分别为轴建立空间直角坐标系 如下图所示:‎ - 27 -‎ 令,‎ 则,,,,,,‎ ‎,,,‎ ‎,,‎ ‎,.‎ ‎,平面,‎ 平面的一个法向量为.‎ 设平面的一个法向量为,‎ 则由,即 令,则,,,‎ ‎,‎ 由图知二面角为锐角,‎ 二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行,用向量法求二面角的余弦值,属综合中档题.‎ ‎19.已知等差数列前项和为,,.‎ ‎(1)求数列的通项公式及前项和;‎ ‎(2)设,求前项和.‎ ‎【答案】(1),;(2)‎ - 27 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用等差数列的基本量,列方程即可求得首项和公差,再利用公式求通项公式和前项和即可;‎ ‎(2)根据(1)中所求即可求得,对分类讨论,结合等差数列的前项和公式,即可容易求得结果.‎ ‎【详解】(1)由得.‎ 又因为,所以,‎ 则,解得;‎ 故,‎ ‎.‎ ‎(2).‎ 当为偶数时:‎ ‎.‎ 当为奇数时:‎ - 27 -‎ ‎.‎ 综上得.‎ ‎【点睛】本题考查数列通项公式和前项和基本量求解,涉及并项求和,属综合中档题.‎ ‎20.设椭圆长轴长为4,右焦点到左顶点的距离为3.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设过原点的直线交椭圆于两点(不在坐标轴上),连接并延长交椭圆于点,若,求四边形面积的最大值.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意,列出的方程组,求解即可求得结果;‎ ‎(2)设出直线方程,联立椭圆方程,结合韦达定理,用参数表示的面积;根据向量关系,求得,再利用对勾函数单调性求面积关于参数的函数的最大值即可.‎ ‎【详解】(1)由题意可得,‎ 所以椭圆方程为.‎ ‎(2)由(1)知,‎ - 27 -‎ 设直线的方程为,‎ 联立得.‎ 设,,‎ 则,.‎ 因为,‎ 故可得四边形为平行四边形,则,‎ 又,‎ 故.‎ 设,,‎ 则,‎ 令,故可得,‎ 当时,恒成立,故在单调递增,‎ 故在上单调递减,‎ 所以当,即时,‎ 四边形的面积取得最大值.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求解,椭圆中四边形面积的最值的求解,属综合中档题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)求在点处的切线方程;‎ ‎(2)(i)若恒成立,求的取值范围;‎ - 27 -‎ ‎(i i)当时,证明.‎ ‎【答案】(1);(2)(i);(i i)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)对函数求导,求得,利用导数的几何意义,即可求得切线方程;‎ ‎(2)(i)将问题转化为恒成立,对参数进行分类讨论,根据函数单调性,即可容易求参数的范围;‎ ‎(i i)当时,;结合(i)中所求,可得,再利用不等式进行适度放缩,结合裂项求和,即可容易证明.‎ ‎【详解】(1)因为,‎ 故可得,‎ ‎,,‎ 所以在点处的切线方程为:,‎ 即.‎ ‎(2)(i)因为恒成立,‎ 恒成立,即恒成立.‎ 令,则,‎ ‎①当时,,所以满足;‎ ‎②当时,,在上单调递减,‎ 因为时,,所以不满足;‎ ‎③当时,时,,单调递增;‎ - 27 -‎ 时,,单调递减;‎ ‎,解得.‎ 所以的取值范围为.‎ ‎(i i)时,,所以.‎ 由(i)知:,即,所以.‎ 令,得,即,所以.‎ 即证.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数几何意义求切线方程,由恒成立问题求参数范围,利用导数证明不等式,涉及不等式放缩以及裂项求和求数列的前项和,属压轴题.‎ ‎(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎【选修4—4:坐标系与参数方程】‎ ‎22.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(参数).以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线的普通方程和的直角坐标方程;‎ - 27 -‎ ‎(2)已知曲线的极坐标方程为,点是曲线与的交点,点是曲线与的交点,且均异于极点,求的值.‎ ‎【答案】(1);;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用,消参即可求得的普通方程;利用,即可求得曲线的直角坐标方程;‎ ‎(2)联立以及的极坐标方程,即可容易求得两点在极坐标系下的坐标,再求两点之间的距离即可.‎ ‎【详解】(1)曲线的参数方程为(为参数).‎ 转换为普通方程为.‎ 曲线的极坐标方程为.‎ 转换为直角坐标方程为:.‎ ‎(2)曲线的参数方程为(为参数).‎ 转换为极坐标方程为:.‎ 联立与 解得:,.‎ 整理得.‎ ‎【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程之间的相互转化,以及利用极坐标求两点之间的距离,属综合基础题.‎ ‎【选修4—5:不等式选讲】‎ - 27 -‎ ‎23.已知关于的函数.‎ ‎(1)若存在使得不等式成立,求实数的取值范围;‎ ‎(2)若的解集包含,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用绝对值三角不等式求得的最小值,再解绝对值不等式即可;‎ ‎(2)当时,将问题转化为恒成立,即可容易求得参数的范围.‎ ‎【详解】(1)对,,‎ 当且仅当时,等号成立,‎ 故原条件等价于,‎ 即,解得,‎ 故实数的取值范围是.‎ ‎(2)当时,‎ ‎,‎ 所以,即,则,‎ 又的解集包含,‎ 所以在上恒成立,‎ 所以当时,,‎ - 27 -‎ 因为,,‎ 因此的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查利用绝对值三角不等式求函数的最值,绝对值不等式的求解,属综合中档题.‎ - 27 -‎ - 27 -‎
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