【数学】2020届一轮复习北师大版简单的逻辑联结词全称量词与存在量词课时作业
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.已知命题p1:当x,y∈R时,|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0;p2:函数y=2x+2-x在R上为减函数.则命题q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(p1)∨p2,q4:p1∨(p2)中,真命题是 ( )
A.q1,q3 B.q2,q3
C.q1,q4 D.q2,q4
【解析】选C.对于p1(充分性)若xy≥0,则xy至少有一个为0或同号,所以|x+y|=|x|+|y|一定成立;
(必要性)若|x+y|=|x|+|y|,两边平方,得:
x2+2xy+y2=x2+2|x||y|+y2.
所以xy=|x||y|,
即xy≥0.故p1为真命题.对于p2,因为y′=2xln 2-ln 2=ln 2,当x∈(0,+∞)时,2x> ,又因为ln 2>0,所以y′>0,函数在(0,+∞)上单调递增;
同理,当x∈(-∞,0)时,y′<0,函数在(-∞,0)上单调递减.因此p2为假命题.
所以q1真,q2假,q3假,q4真.
2.下列命题中的假命题是 ( )
A.∀x∈R,x2≥0
B.∀x∈R,2x-1>0
C.∃x0∈N,sinx0=1
D.∃x0∈R,sin x0+cos x0=2
【解析】选D.因为任何实数的平方均非负,所以选项A正确;由指数函数的性质知:2x-1>0,所以选项B正确;因为当x=1时,sin=1,所以选项C正确;因为sin x +cos x=sin,所以-≤sin x+cos x≤,所以选项D错误.
3.命题“∃x0∈R,<或>x0”的否定是 ( )
A.∃x0∈R,≥或≤x0
B.∀x∈R,2x≥或x2≤x
C.∀x∈R,2x≥且x2≤x
D.∃x0∈R,≥且≤x0
【解析】选C.特称命题的否定是全称命题,注意“或”的否定为“且”.
【变式备选】命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是 ( )
A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n
sin y,则x>y;命题q:x2+y2≥2xy.下列命题为假命题的是 ( )
A.p或q B.p且q C.q D.p
【解析】选B.取x=,y=,可知命题p是假命题;由(x-y)2≥0恒成立,可知命题q是真命题,故p为真命题,p或q是真命题,p且q是假命题.
5.(2018·唐山模拟)已知命题p:∃x0∈N,<;命题q:∀a∈(0,1)∪(1,+∞),函数f(x)=loga(x-1)的图象过点(2,0),则 ( )
A.p假q真 B.p真q假
C.p假q假 D.p真q真
【解析】选A.由<,得(x0-1)<0,解得x0<0或00,由题意知,其为真命题,则Δ=(a-1)2-4×2×<0.则-21.
答案:∃x0∈R,cos x0>1
9.给出下列命题: 导学号
①∀x∈R,x2+1>0;②∀x∈N,x2≥1;
③∃x0∈Z,<1;④∃x0∈Q,=3;
⑤∀x∈R,x2-3x+2=0;⑥∃x0∈R,+1=0.
其中所有真命题的序号是________.
【解析】①显然是真命题;②中,当x=0时,x2<1,故②是假命题;③中,当x=0时, x3<1,故③是真命题;④中,对于任意的x∈Q,x2=3都不成立,故④是假命题;⑤中,只有当x=1或x=2时,x2-3x+2=0才成立,故⑤是假命题;⑥显然是假命题.综上可知,所有真命题的序号是①③.
答案:①③
10.(2018·枣庄模拟)若“∀x∈,m≤tan x+1”为真命题,则实数m的最大值为________.导学号
【解析】“∀x∈,m≤tan x+1”为真命题,可得-1≤tan x≤1,所以0≤tan x+1≤2,所以实数m的最大值为0.
答案:0
(20分钟 40分)
1.(5分)已知f(x)=3sin x-πx,命题p:∀x∈,f(x)<0,则 ( )
A.p是假命题,p:∀x∈,f(x)≥0
B.p是假命题,p:∃x0∈,f(x0)≥0
C.p是真命题,p:∃x0∈,f(x0)≥0
D.p是真命题,p:∀x∈,f(x)>0
【解析】选C.因为f′(x)=3cos x-π,所以当x∈时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,即对∀x∈,f(x)0,若p∨q为假命题,则实数m的取值范围为 ( )
A.m≥2 B.m≤-2
C.m≤-2或m≥2 D.-2≤m≤2
【解析】选A.依题意知,p,q均为假命题.当p是假命题时,mx2+1>0恒成立,则有m≥0;当q是假命题时,则有Δ=m2-4≥0,m≤-2或m≥2.因此由p,q均为假命题得即m≥2.
3.(5分)给定两个命题,p:对任意实数x都有ax2+ax+1>0恒成立;q:关于x的方程x2-x+a=0有实数根;如果p与q中有且仅有一个为真命题,则实数a的取值范围是________.
【解析】对任意实数x都有ax2+ax+1>0恒成立⇒a=0或⇒0≤a<4;
关于x的方程x2-x+a=0有实数根⇒1-4a≥0⇒a≤;
若p真q假,则有0≤a<4,且a>,所以0,设命题p:函数y=ax在R上单调递增;命题q:不等式ax2-ax+1>0对∀x∈R恒成立.若p且q为假,p或q为真,求实数a的取值范围. 导学号
【解析】因为y=ax在R上单调递增,所以p:a>1.又不等式ax2-ax+1>0对∀x∈R恒成立,
所以Δ<0,即a2-4a<0,所以00). 导学号
(1)若p是q的充分条件,求实数m的取值范围.
(2)若m=5,p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数x的取值范围.
【解析】(1)设使命题p成立的集合为A,命题q成立的集合为B,则
A={x|-1≤x≤5},B={x|1-m≤x≤1+m},所以A⊆B,
所以解得m≥4,
故实数m的取值范围为[4,+∞).
(2)根据条件可知p,q一真一假.
当p真q假时,无解.
当p假q真时,
解得-4≤x<-1或5
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