河南省平顶山市鲁山县第一高级中学2020届高三下学期期中考试数学（文）试卷

河南省平顶山市鲁山县第一高级中学2020届高三下学期期中考试数学（文）试卷

文科数学 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）‎ ‎1．已知（虚数单位，），，则（ ）‎ A. 3 B. C. D. 1‎ ‎2．已知单位向量、，则的值为（ ）‎ A. B. C. 3 D. 5‎ ‎3．给出两个命题：：“事件与事件对立”的充要条件是“事件与事件互斥”；：偶函数的图象一定关于轴对称，则下列命题是假命题的是（ ）‎ A. 或B. 且 C. 或 D. 且 ‎4．过点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（ ）‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎5．执行如图所示程序框图，输出的（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎6．函数在区间上的最小值是（ ）‎ A. B. 0 C. 1 D. 2‎ ‎7．一个陀螺模型的三视图如图所示，则其表面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．已知函数在区间上单调递增，若成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．已知等比数列，，，且，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．已知定义在上的函数满足，且的导函数，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．正方体棱长为3，点在边上，且满足，动点在正方体表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的周长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为()‎ A.16 B.14 C.12 D.10‎ 二.填空题(每小题5分，共20分)‎ ‎13．已知集合，，则__________．‎ ‎14．学校为了调查学生在课外读物方面支出情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在元的同学有30人，则的值为__________．‎ ‎15．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________.‎ ‎16．已知，，若存在实数同时满足和，则实数t的取值范围是______．‎ 三．解答题 ‎17.（12分）已知在中，、、分别是角、、的对边，且，.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎18. （12分）3月12日，全国政协总工会界别小组会议上，人社部副部长汤涛在回应委员呼声时表示无论是从养老金方面，还是从人力资源的合理配置来说，延迟退休是大势所趋.不过，汤部长也表示，不少职工对于延迟退休有着不同的意见.某高校一社团就是否同意延迟退休的情况随机采访了200名市民，并进行了统计，得到如下的列联表：‎ 赞同延迟退休 不赞同延迟退休 合计 男性 ‎80‎ ‎20‎ ‎100‎ 女性 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ 合计 ‎140‎ ‎60‎ ‎200‎ ‎（1）根据上面的列联表判断能否有的把握认为对延迟退休的态度与性别有关；‎ ‎（2）为了进一步征求对延迟退休的意见和建议，从抽取的200位市民中对不赞同的按照分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽出3名进行电话回访，求3人中至少有1人为男性的概率.‎ 附：，其中.‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎19. （12分）如图，四棱锥的底面是菱形，且，其对角线、交于点，、是棱、上的中点.‎ ‎（1）求证：面面；‎ ‎（2）若面底面，，，，求三棱锥体积.‎ ‎20. （12分）已知椭圆：的离心率为，直线交椭圆于、两点，椭圆的右顶点为，且满足.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆交于不同两点、，且定点满足，求实数的取值范围.‎ ‎21．（12分） 已知函数f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0).‎ ‎（1）若f(0)＝2，求实数a的值，并求此时f(x)在[－2，1]上的最小值；‎ ‎（2）若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围.‎ ‎22. （10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）试将曲线的极坐标方程转化为直角坐标系方程；‎ ‎（2）直线过点，交曲线于、两点，若的定值为，求实数的值.‎ 文科数学答案 ‎1---5 DCBCB 6---10ADADC 11--12AA ‎13. 14. 100 15. 5 16. ‎ ‎17. （1）由及正弦定理得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又为三角形的内角，∴，‎ ‎∴，∴，‎ 又,∴. ‎ ‎（2）由知，‎ 由余弦定理得，∴‎ ‎∴， ∴．‎ ‎18. （1）由列联表中的数据可得．‎ 所以有99.5%的把握认为对延迟退休的态度与性别有关． ‎ ‎（2）设从不赞同延迟退休的男性中抽取人，从不赞同延迟退休的女性中抽取人，‎ 由分层抽样的定义可知，解得， ‎ 在抽取的不赞同延迟退休的6人中，男性2人记为，，女性4人记为，， ，，则所有的基本事件如下：‎ ‎， ， ， ，‎ ‎， ， ， ，， ， ‎ ‎， ， ，， ， ，‎ ‎， ， ， 共20种， ‎ 其中至少有1人为男性的情况有16种．‎ 记事件为“至少有1人为男性不赞同延迟退休”，‎ 则．‎ 即至少有1人为男性不赞同延迟退休的概率为．‎ ‎19. （1）证明：因为底面是菱形，‎ 所以是的中点，且，‎ 又、是棱、上的中点，所以， 所以，‎ 又面，面，‎ 所以平面．‎ 又在中，，且面，面，‎ 所以平面，又，‎ 所以平面面． ‎ ‎（2）解：在中，，‎ 所以，由（1）知，，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因为平面底面，平面底面，‎ 所以点到面的距离即为点到的距离． ‎ 又在菱形中，，，‎ 所以点到的距离为， ‎ ‎ 因为、、是、、的中点，平面面， ‎ 所以点到面的距离为点到面的距离的一半，‎ 所以．‎ ‎20.（1）∵，‎ ‎∴， 又，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）由消去y整理得：， ‎ ‎∵直线与椭圆交于不同的两点、，‎ ‎∴，整理得． ‎ 设，，‎ 则， ‎ 又设中点的坐标为，‎ ‎∴，． ‎ ‎∵，‎ ‎∴，即， ‎ ‎∴，‎ ‎∴，解得．‎ ‎∴实数的取值范围．‎ ‎21. (1)由题意知，函数f(x)的定义域为R，‎ 又f(0)＝1－a＝2，得a＝－1，‎ 所以f(x)＝ex－x＋1，求导得f′(x)＝ex－1.‎ 易知f(x)在[－2，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，‎ 所以当x＝0时，f(x)在[－2，1]上取得最小值2.‎ ‎(2)由(1)知f′(x)＝ex＋a，由于ex>0，‎ ‎①当a>0时，f′(x)>0，f(x)在R上是增函数，‎ 当x>1时，f(x)＝ex＋a(x－1)>0；‎ 当x<0时，取x＝－，‎ 则f<1＋a＝－a<0.‎ 所以函数f(x)存在零点，不满足题意.‎ ‎②当a<0时，令f′(x)＝0，得x＝ln(－a).‎ 在(－∞，ln(－a))上，f′(x)<0，f(x)单调递减，‎ 在(ln (－a)，＋∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，‎ 所以当x＝ln(－a)时，f(x)取最小值.‎ 函数f(x)不存在零点，等价于f(ln(－a))＝eln(－a)＋aln(－a)－a＝－2a＋aln(－a)>0，解得－e2

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