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第九章 平面解析几何第6课时 椭  圆(1)‎ ‎1. 设Ρ是椭圆+上的点.若F1、F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|=________.‎ 答案:10‎ 解析:|PF1|+|PF2|=2a=10.‎ ‎2. 椭圆+=1的离心率为________.‎ 答案: 解析:a=4,b=2,c==2,‎ e==.‎ ‎3. (选修11P26习题3改编)已知△ABC的顶点B、C在椭圆+y2=1上,顶点A与椭圆的焦点F1重合,且椭圆的另外一个焦点F2在BC边上,则△ABC的周长是________.‎ 答案:4 解析:AB+BC+CA=BF1+(BF2+CF2)+CF1=(BF1+BF2)+(CF2+CF1)=4a=4.‎ ‎4. (选修11P31习题4改编)方程+=1表示椭圆,则k的取值范围是________. ‎ 答案:k>3‎ 解析:方程+=1表示椭圆,则k>3.‎ ‎5. 已知椭圆的中心在原点,焦点在y轴上,若其离心率为,焦距为8,则该椭圆的方程是________.‎ 答案:+=1‎ 解析:∵ 2c=8,∴ c=4,∴ e===,故a=8.‎ 又∵ b2=a2-c2=48,∴ 椭圆的方程为+=1.‎ ‎1. 椭圆的定义 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点F1、F2间的距离叫做椭圆的焦距.‎ ‎2. 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 +=1(a>b>0)‎ +=1(a>b>0)‎ 图形 性质 范围 ‎-a≤x≤a ‎-b≤y≤b ‎-b≤x≤b ‎-a≤y≤a 对称性 对称轴:x轴,y轴_‎ 对称中心:(0,0)‎ 顶点 A1(-a,0) ‎ A2a,0 ‎ B10,-b ‎ B20,b A10,-a ‎ A20,a ‎ B1-b,0 ‎ B2b,0‎ 轴 长轴A1A2的长为2a 短轴B1B2的长为2b 焦距 F1F2=2c 离心率 e=∈(0,1)‎ a、b、c 的关系 c2=a2-b2‎ 题型1 求椭圆的方程 例1 设椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,且长轴长是短轴长的2倍.又点P(4,1)在椭圆上,求该椭圆的方程.‎ 解:设该椭圆的方程为+=1或+=1(a>b>0),依题意,2a=2(2b)a=2b.由于点P(4,1)在椭圆上,所以+=1或+=1.解得b2=5或,这样a2=20或65,故该椭圆的方程为+=1或+=1.‎ 根据下列条件求椭圆的标准方程:‎ ‎(1) 两准线间的距离为,焦距为2 ;‎ ‎(2) 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P 到两焦点的距离分别为和,过P点作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点.‎ 解:(1) 设椭圆长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,则故该椭圆的方程为+=1或+=1.‎ ‎(2) 由题设,2a=|PF1|+|PF2|=2 a=.又=b2=,故该椭圆的方程为+=1或+=1.‎ 题型2 求椭圆离心率的值 例2 在平面直角坐标系中,有椭圆+=1(a>b>0)的焦距为2c,以O为圆心,a为半径的圆.过点作圆的两切线互相垂直,则离心率e=________.‎ 答案: 解析:如题图,PA、PB与圆O相切,由于切线PA、PB互相垂直,所以四边形OAPB为正方形,OP=OA,这样就得到一个关于基本量a、c的齐次方程,从而求解出比值(e)的值.由已知条件,四边形OAPB为正方形,所以OP=OA,所以=a,解得=,即e=.‎ 在△ABC中,∠ACB=60°,sinA∶sinB=8∶5,‎ 则以A、B为焦点且过点C的椭圆的离心率为________.‎ 答案: 解析:由题意e===.∵ sinA∶sinB=8∶5,∴ 由正弦定理得a∶b=8∶5. 设a=8k,b=5k,∴ 由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC,∴ c=7k,∴ e==.‎ 题型3 求椭圆离心率的取值范围 例3 椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F,其右准线与x轴的交点为A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是________.‎ 答案: 解析:(解法1)由题意,椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点F,所以|PF|=|FA|,而|FA|=-c,|PF|≤a+c,所以-c≤a+c,即a2≤ac+2c2.又e=,所以2e2+e≥1,所以2e2+e-1≥0,即(2e-1)(e+1)≥0.又0b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P.若=2,则椭圆的离心率是________.‎ 答案: 解析:如图,由BF⊥x轴,知xB=-c,yB=,设P(0,t),‎ ‎∵=2,∴(-a,t)=2,‎ ‎∴a=2c,∴e==.‎ ‎3. 若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为________.‎ 答案:6 ‎ 解析:由椭圆方程得F(-1,0),设P(x0,y0),‎ 则·=(x0,y0)·(x0+1,y0)=x+x0+y.‎ ‎∵P为椭圆上一点,∴+=1.‎ ‎∴·=x+x0+3=+x0+3‎ ‎=(x0+2)2+2.‎ ‎∵-2≤x0≤2,‎ ‎∴·的最大值在x0=2时取得,且最大值等于6.‎ ‎4. 如图,已知椭圆+=1(a>b>0),F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.‎ ‎(1) 若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;‎ ‎(2) 若=2,·=,求椭圆的方程.‎ 解:(1) 若∠F1AB=90°,则△AOF2为等腰直角三角形,所以有OA=OF2,即b=c.所以a=c,e==.‎ ‎(2) 由题知A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),‎ 其中,c=,设B(x,y).‎ 由=2,得(c,-b)=2(x-c,y),‎ 解得x=,y=-,即B.‎ 将B点坐标代入+=1,得+=1,‎ 即+=1,解得a2=3c2.①‎ 又由·=(-c,-b)·=,得b2-c2=1,即有a2-2c2=1.②‎ 由①②解得c2=1,a2=3,从而有b2=2.‎ 所以椭圆方程为+=1.‎ ‎1. 椭圆的定义中应注意常数大于F1F2.因为当平面内的动点与定点F1,F2的距离之和等于F1F2时,其动点轨迹就是线段F1F2;当平面内的动点与定点F1,F2的距离之和小于F1F2时,其轨迹不存在.‎ ‎2. 已知椭圆离心率求待定系数时要注意椭圆焦点位置的判断,当焦点位置不明确时,要分两种情形讨论.当椭圆焦点位置不明确时,可设为+=1(m>0,n>0,m≠n),也可设为Ax2+By2=1(A>0,B>0,且A≠B).‎ ‎3. 求椭圆的离心率实质上是建立a,b,c中任意两者或三者之间的关系,利用e=或e=去整体求解.‎
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