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第九章　平面解析几何第6课时　椭　 圆(1)‎ ‎1. 设Ρ是椭圆＋上的点．若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|＝________．‎ 答案：10‎ 解析：|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.‎ ‎2. 椭圆＋＝1的离心率为________．‎ 答案： 解析：a＝4，b＝2，c＝＝2，‎ e＝＝.‎ ‎3. (选修11P26习题3改编)已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A与椭圆的焦点F1重合，且椭圆的另外一个焦点F2在BC边上，则△ABC的周长是________．‎ 答案：4 解析：AB＋BC＋CA＝BF1＋(BF2＋CF2)＋CF1＝(BF1＋BF2)＋(CF2＋CF1)＝4a＝4.‎ ‎4. (选修11P31习题4改编)方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________. ‎ 答案：k＞3‎ 解析：方程＋＝1表示椭圆，则k＞3.‎ ‎5. 已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8，则该椭圆的方程是________．‎ 答案：＋＝1‎ 解析：∵ 2c＝8，∴ c＝4，∴ e＝＝＝，故a＝8.‎ 又∵ b2＝a2－c2＝48，∴ 椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎1. 椭圆的定义 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点F1、F2间的距离叫做椭圆的焦距．‎ ‎2. 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0)‎ ＋＝1(a>b>0)‎ 图形 性质 范围 ‎－a≤x≤a ‎－b≤y≤b ‎－b≤x≤b ‎－a≤y≤a 对称性 对称轴：x轴，y轴_‎ 对称中心：(0，0)‎ 顶点 A1(－a，0) ‎ A2a，0 ‎ B10，－b ‎ B20，b A10，－a ‎ A20，a ‎ B1－b，0 ‎ B2b，0‎ 轴 长轴A1A2的长为2a 短轴B1B2的长为2b 焦距 F1F2＝2c 离心率 e＝∈(0，1)‎ a、b、c 的关系 c2＝a2－b2‎ 题型1　求椭圆的方程 例1　设椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，且长轴长是短轴长的2倍．又点P(4，1)在椭圆上，求该椭圆的方程．‎ 解：设该椭圆的方程为＋＝1或＋＝1(a>b>0)，依题意，2a＝2(2b)a＝2b.由于点P(4，1)在椭圆上，所以＋＝1或＋＝1.解得b2＝5或，这样a2＝20或65，故该椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.‎ 根据下列条件求椭圆的标准方程：‎ ‎(1) 两准线间的距离为，焦距为2 ；‎ ‎(2) 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为和，过P点作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点．‎ 解：(1) 设椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，则故该椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.‎ ‎(2) 由题设，2a＝|PF1|＋|PF2|＝2 a＝.又＝b2＝，故该椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.‎ 题型2　求椭圆离心率的值 例2　在平面直角坐标系中，有椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径的圆．过点作圆的两切线互相垂直，则离心率e＝________．‎ 答案： 解析：如题图，PA、PB与圆O相切，由于切线PA、PB互相垂直，所以四边形OAPB为正方形，OP＝OA，这样就得到一个关于基本量a、c的齐次方程，从而求解出比值(e)的值．由已知条件，四边形OAPB为正方形，所以OP＝OA，所以＝a，解得＝，即e＝.‎ 在△ABC中，∠ACB＝60°，sinA∶sinB＝8∶5，‎ 则以A、B为焦点且过点C的椭圆的离心率为________．‎ 答案： 解析：由题意e＝＝＝.∵ sinA∶sinB＝8∶5，∴ 由正弦定理得a∶b＝8∶5. 设a＝8k，b＝5k，∴ 由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC，∴ c＝7k，∴ e＝＝.‎ 题型3　求椭圆离心率的取值范围 例3　椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是________．‎ 答案： 解析：(解法1)由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，所以|PF|＝|FA|，而|FA|＝－c，|PF|≤a＋c，所以－c≤a＋c，即a2≤ac＋2c2.又e＝，所以2e2＋e≥1，所以2e2＋e－1≥0，即(2e－1)(e＋1)≥0.又0b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是________．‎ 答案： 解析：如图，由BF⊥x轴，知xB＝－c，yB＝，设P(0，t)，‎ ‎∵＝2，∴(－a，t)＝2，‎ ‎∴a＝2c，∴e＝＝.‎ ‎3. 若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．‎ 答案：6 ‎ 解析：由椭圆方程得F(－1，0)，设P(x0，y0)，‎ 则·＝(x0，y0)·(x0＋1，y0)＝x＋x0＋y.‎ ‎∵P为椭圆上一点，∴＋＝1.‎ ‎∴·＝x＋x0＋3＝＋x0＋3‎ ‎＝(x0＋2)2＋2.‎ ‎∵－2≤x0≤2，‎ ‎∴·的最大值在x0＝2时取得，且最大值等于6.‎ ‎4. 如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.‎ ‎(1) 若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；‎ ‎(2) 若＝2，·＝，求椭圆的方程．‎ 解：(1) 若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c.所以a＝c，e＝＝.‎ ‎(2) 由题知A(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，‎ 其中，c＝，设B(x，y)．‎ 由＝2，得(c，－b)＝2(x－c，y)，‎ 解得x＝，y＝－，即B.‎ 将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，‎ 即＋＝1，解得a2＝3c2.①‎ 又由·＝(－c，－b)·＝，得b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.②‎ 由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.‎ 所以椭圆方程为＋＝1.‎ ‎1. 椭圆的定义中应注意常数大于F1F2.因为当平面内的动点与定点F1，F2的距离之和等于F1F2时，其动点轨迹就是线段F1F2；当平面内的动点与定点F1，F2的距离之和小于F1F2时，其轨迹不存在．‎ ‎2. 已知椭圆离心率求待定系数时要注意椭圆焦点位置的判断，当焦点位置不明确时，要分两种情形讨论．当椭圆焦点位置不明确时，可设为＋＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，也可设为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，且A≠B)．‎ ‎3. 求椭圆的离心率实质上是建立a，b，c中任意两者或三者之间的关系，利用e＝或e＝去整体求解．‎