高考数学复习 17-18版 第7章 第38课 直接证明与间接证明

高考数学复习 17-18版 第7章 第38课 直接证明与间接证明

第 38 课 直接证明与间接证明 [最新考纲] 要求 内容 A B C 分析法与综合法 √ 反证法 √ 1．直接证明 (1)综合法 ①定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推， 直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法． ②框图表示：已知条件⇒…⇒…⇒结论 ③思维过程：由因导果． (2)分析法 ①定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使 结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法常称为分析 法． ②框图表示：结论⇐…⇐…⇐已知条件 ③思维过程：执果索因． 2．间接证明 (1)反证法：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正 确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方 法． (2)反证法的步骤： ①反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真； ②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾 结果； ③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立． 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件．(　　) (2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(　　) (3)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾．(　　) (4)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现 解决问题的过程．(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．用反证法证明命题：“已知 a，b 为实数，则方程 x2＋ax＋b＝0 至少有 一个实根”时，要做的假设是____________． 方程 x2＋ax＋b＝0 没有实根　[“方程 x 2＋ax＋b＝0 至少有一个实根”的反 面是“方程 x2＋ax＋b＝0 没有实根”．] 3．要证明 3＋ 7<2 5，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是 ____________．(填序号) ①综合法；　　　　　　　 ②分析法； ③反证法； ④归纳法． ②　[要证明 3＋ 7<2 5成立，可采用分析法对不等式两边平方后再证 明．] 4 ． 已 知 a ， b ， x 均 为 正 数 ， 且 a>b ， 则 b a 与 b＋x a＋x 的 大 小 关 系 是 __________． b＋x a＋x>b a 　[∵b＋x a＋x －b a ＝x(a－b) (a＋x)a >0， ∴b＋x a＋x>b a.] 5．(教材改编)在△ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 A，B，C 成等差数列，a，b，c 成等比数列，则△ABC 的形状为__________三角 形． 等边　[由题意 2B＝A＋C， 又 A＋B＋C＝π，∴B＝π 3 ，又 b2＝ac， 由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac， ∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c， ∴A＝C，∴A＝B＝C＝π 3 ，∴△ABC 为等边三角形．] 综合法 　如图 38­1 所示，在四棱锥 P­ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 PAD⊥底面 ABCD，且 PA＝PD＝ 2 2 AD＝ 2. (1)求证：平面 PAB⊥平面 PCD； (2)求三棱锥 D­PBC 的体积． 图 38­1 [解]　(1)因为平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD， 又 CD⊥AD，所以 CD⊥平面 PAD，所以 CD⊥PA. 因为 PA＝PD＝ 2 2 AD，所以△PAD 是等腰直角三角形，且∠APD＝π 2 ，即 PA ⊥PD. 又 CD∩PD＝D，所以 PA⊥平面 PCD 又 PA⊂平面 PAB，所以平面 PAB⊥平面 PCD. (2)取 AD 的中点 O，连接 OP，如图 因为 PA＝PD，所以 PO⊥AD. 因为平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD， 所以 PO⊥平面 ABCD. 即 PO 为三棱锥 P­BCD 的高， 由 PA＝PD＝ 2 2 AD＝ 2，知 OP＝1. 因为底面 ABCD 是正方形，所以 S△BCD＝1 2 ×2×2＝2.所以 V 三棱锥 D­PBC＝V 三 棱锥 P­BCD＝1 3PO·S△BCD＝1 3 ×1×2＝2 3. [规律方法]　综合法是“由因导果”的证明方法，其逻辑依据是三段论式的 演绎推理方法，常与分析法结合使用，用分析法探路，综合法书写，但要注意有 关定理、性质、结论题设条件的正确运用． [变式训练 1]　已知函数 f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝a＋bx－1 2x2＋1 3x3，函数 y＝f(x) 与函数 y＝g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线． (1)求 a，b 的值； (2)证明：f(x)≤g(x). 【导学号：62172205】 [解]　(1)f′(x)＝ 1 1＋x ，g′(x)＝b－x＋x2， 由题意得Error! 解得 a＝0，b＝1. (2)证明：令 h(x)＝f(x)－g(x) ＝ln(x＋1)－1 3x3＋1 2x2－x(x>－1)． h′(x)＝ 1 x＋1 －x2＋x－1＝－x3 x＋1. 所以 h(x)在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数． h(x)max＝h(0)＝0，h(x)≤h(0)＝0，即 f(x)≤g(x). 分析法 　已知 a>0，求证： a2＋ 1 a2 － 2≥a＋1 a －2. [证明]　要证 a2＋ 1 a2 － 2≥a＋1 a －2， 只需要证 a2＋ 1 a2 ＋2≥a＋1 a ＋ 2. 因为 a>0，故只需要证 ( a2＋ 1 a2＋2)2≥(a＋1 a ＋ 2)2， 即 a2＋ 1 a2 ＋4 a2＋ 1 a2 ＋4≥a2＋2＋ 1 a2 ＋2 2(a＋1 a)＋2， 从而只需要证 2 a2＋ 1 a2 ≥ 2(a＋1 a)， 只需要证 4(a2＋ 1 a2)≥2(a2＋2＋ 1 a2)， 即 a2＋ 1 a2 ≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立． [规律方法]　1.当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程 中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值 的等式或不等式，常考虑用分析法． 2．分析法的特点和思路是“执果索因”，逐步寻找结论成立的充分条件，即 从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经 证明成立的结论等，通常采用“欲证—只需证—已知”的格式，在表达中要注意 叙述形式的规范性． [变式训练 2]　已知△ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，A，B，C 的对 边分别为 a，b，c. 求证： 1 a＋b ＋ 1 b＋c ＝ 3 a＋b＋c. [证明]　要证 1 a＋b ＋ 1 b＋c ＝ 3 a＋b＋c ， 即证a＋b＋c a＋b ＋a＋b＋c b＋c ＝3，也就是 c a＋b ＋ a b＋c ＝1， 只需证 c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 需证 c2＋a2＝ac＋b2， 又△ABC 三内角 A，B，C 成等差数列，故 B＝60°， 由余弦定理，得 b2＝c2＋a2－2accos 60°， 即 b2＝c2＋a2－ac，故 c2＋a2＝ac＋b2 成立． 于是原等式成立. 反证法 　设{an}是公比为 q 的等比数列． (1)推导{an}的前 n 项和公式； (2)设 q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列． [解]　(1)设{an}的前 n 项和为 Sn， 当 q＝1 时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1； 当 q≠1 时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，① qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，② ①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn， ∴Sn＝a1(1－qn) 1－q ，∴Sn＝Error! (2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的 k∈N＋， (ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)， a 2k＋1＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1， a21q2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1. ∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0， ∴q＝1，这与已知矛盾． ∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列． [规律方法]　用反证法证明问题的步骤： (1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立；(否定结论) (2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾，矛盾可 以是与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾) (3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命 题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立) [变式训练 3]　已知 a≥－1，求证三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x ＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0 中至少有一个方程有实根. 【导学号：62172206】 [证明]　假设三个方程都没有实数根，则 Error!⇒Error! ∴－3 2ab>b2； ③1 a<1 b ； ④b a>a b. ②　[a2－ab＝a(a－b)， ∵a0， ∴a2>ab. 又 ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2， 即 a2>ab>b2.] 4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设 a>b>c，且 a＋b＋c＝0， 求证 b2－ac< 3a”索的因应是________．(填序号) ①a－b>0; ②a－c>0； ③(a－b)(a－c)>0; ④(a－b)(a－c)<0. ③　[由题意知 b2－ac< 3a⇐b2－ac<3a2 ⇐(a＋c)2－ac<3a2 ⇐a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0 ⇐－2a2＋ac＋c2<0 ⇐2a2－ac－c2>0 ⇐(a－c)(2a＋c)>0⇐(a－c)(a－b)>0.] 5 ． 用 反 证 法 证 明 “ 若 x2 － 1 ＝ 0 ， 则 x ＝ － 1 或 x ＝ 1” 时 ， 应 假 设 __________． x≠－1 且 x≠1　[“x＝－1 或 x＝1”的否定是“x≠－1 且 x≠1”．] 6 ． 设 a>b>0 ， m ＝ a－ b， n ＝ a－b， 则 m ， n 的 大 小 关 系 是 __________． m a⇐a0，显然成立．] 7．下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使b a ＋a b ≥2 成立的条件的个数是__________． 3　[要使b a ＋a b ≥2，只要b a>0，且a b>0，即 a，b 不为 0 且同号即可，故有 3 个．] 8．设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x≥0 时，f(x)单调递减，若 x 1＋ x2>0，则 f(x1)＋f(x2)____________0.(填“>”“<”或“＝”) 【导学号：62172208】 <　[∵x1＋x2>0，∴x1>－x2， 又 f(x)是奇函数，且在[0，＋∞)上单调递减， 故 f(x)在 R 上单调递减， 故 f(x1)0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b. [证明]　要证明 2a3－b3≥2ab2－a2b 成立， 只需证：2a3－b3－2ab2＋a2b≥0， 即 2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0， 即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0. ∵a≥b>0，∴a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0， 从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0 成立， ∴2a3－b3≥2ab2－a2b. 12．设数列{an}是公比为 q 的等比数列，Sn 是它的前 n 项和． (1)求证：数列{Sn}不是等比数列； (2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？ 【导学号：62172209】 [解]　(1)证明：假设数列{Sn}是等比数列，则 S22＝S1S3， 即 a21(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)， 因为 a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2， 即 q＝0，这与公比 q≠0 矛盾， 所以数列{Sn}不是等比数列． (2)当 q＝1 时，Sn＝na1，故{Sn}是等差数列； 当 q≠1 时，{Sn}不是等差数列，否则 2S2＝S1＋S3， 即 2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)， 得 q＝0，这与公比 q≠0 矛盾． 综上，当 q＝1 时，数列{Sn}是等差数列； 当 q≠1 时，数列{Sn}不是等差数列． B 组　能力提升 (建议用时：15 分钟) 1．设 x，y，z>0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋x y____________.(填序号) ①都大于 2; ②至少有一个大于 2； ③至少有一个不小于 2; ④至少有一个不大于 2. ③　[因为 x>0，y>0，z>0， 所以(y x ＋y z )＋(z x ＋z y )＋(x z ＋x y )＝(y x ＋x y )＋(y z ＋z y )＋(x z ＋z x )≥6， 当且仅当 x＝y＝z 时等号成立，则三个数中至少有一个不小于 2.] 2．如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个内角的正弦 值，则下列说法正确的是____________．(填序号) ①△A1B1C1 和△A2B2C2 都是锐角三角形； ②△A1B1C1 和△A2B2C2 都是钝角三角形； ③△A1B1C1 是钝角三角形，△A2B2C2 是锐角三角形； ④△A1B1C1 是锐角三角形，△A2B2C2 是钝角三角形； ④　[由条件知，△A1B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0，则△A1B1C1 是锐 角三角形，假设△A2B2C2 是锐角三角形． 由Error! 得Error! 那么，A2＋B2＋C2＝π 2 ，这与三角形内角和为 180°相矛盾． 所以假设不成立，又显然△A2B2C2 不是直角三角形． 所以△A2B2C2 是钝角三角形．] 3．已知数列{an}满足 a1＝1 2 ，且 an＋1＝ an 3an＋1(n∈N＋)． (1)证明数列{ 1 an }是等差数列，并求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝anan＋1(n∈N＋)，数列{bn}的前 n 项和记为 Tn，证明：Tn<1 6. [解]　(1)由已知可得，当 n∈N＋时，an＋1＝ an 3an＋1. 两边取倒数得， 1 an＋1 ＝3an＋1 an ＝ 1 an ＋3， 即 1 an＋1 － 1 an ＝3， 所以数列{ 1 an }是首项为 1 a1 ＝2，公差为 3 的等差数列， 其通项公式为 1 an ＝ 1 a1 ＋(n－1)×3＝2＋(n－1)×3＝3n－1. 所以数列{an}的通项公式为 an＝ 1 3n－1. (2)证明：由(1)知 an＝ 1 3n－1 ， 故 bn＝anan＋1＝ 1 3n－1 × 1 3(n＋1)－1 ＝ 1 (3n－1)(3n＋2) ＝1 3( 1 3n－1 － 1 3n＋2)， 故 Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝1 3 ×(1 2 －1 5)＋1 3 ×(1 5 －1 8)＋…＋1 3 ×( 1 3n－1 － 1 3n＋2) ＝1 3(1 2 － 1 3n＋2)＝1 6 －1 3 × 1 3n＋2. 因为 1 3n＋2>0，所以 Tn<1 6. 4．若 f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a－2)，使函数 h(x)＝ 1 x＋2 是区间[a，b]上的“四维 光军”函数？若存在，求出 a，b 的值；若不存在，请说明理由． [解]　(1)由题设得 g(x)＝1 2(x－1)2＋1，其图象的对称轴为 x＝1，区间[1，b] 在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b]上单调递增． 由“四维光军”函数的定义可知，g(1)＝1，g(b)＝b， 即 1 2b2－b＋3 2 ＝b，解得 b＝1 或 b＝3. 因为 b>1，所以 b＝3. (2)假设函数 h(x)＝ 1 x＋2 在区间[a，b](a>－2)上是“四维光军”函数， 因为 h(x)＝ 1 x＋2 在区间(－2，＋∞)上单调递减， 所以有Error!即Error! 解得 a＝b，这与已知矛盾．故不存在．