高考数学专题复习12

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一轮复习学案 §2.6. 函数的奇偶性与周期性 姓名 ‎ ‎☆学习目标：1．理解函数奇偶性的概念和图象特征，掌握判断函数奇偶性的方法；‎ ‎ 2．了解函数周期性、最小正周期的意义，理解周期函数的简单性质．‎ ‎☻基础热身：‎ ‎１.已知在R上是奇函数，且 ‎ ( )‎ ‎ 　　　 A. B‎.2 C. D.98‎ ‎2.若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,‎ ‎ 则下列说法一定正确的是 ( )‎ ‎(A)f(x)为奇函数 （B）f(x)为偶函数 (C) f(x)+1为奇函数 （D）f(x)+1为偶函数 ‎ ‎3.(06全国) 已知函数，若f（x）为奇函数，则 = ‎ ‎☻知识梳理：‎ ‎1. 函数的奇偶性 ‎①定义:若对于函数定义域内的每一个,都有 ,则函数叫做奇函数;‎ ‎ 都有 ,则函数叫做偶函数.‎ ‎ 图象特征:奇函数图象关于 对称;偶函数图象关于 对称.‎ ‎②判定方法:首先看定义域 ,再考查 和 的关系,对能化简的解析式应先 再判断.‎ ‎ ③常用结论: 10.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的 条件.‎ ‎ 20.若奇函数的定义域包含0,则 .‎ ‎ 30. 奇函数在对称的单调区间内有 的单调性，‎ 偶函数在对称的单调区间内具 的单调性.‎ ‎　　　　　　　４0为偶函数．‎ ‎2.函数的周期性 ‎①定义:对于函数,若存在一个 常数T,使当取定义域内的 值时,都有 ‎ ‎ 则函数叫做周期函数,其中 叫做的周期.若所有的周期中存在一个常数T>0,那么这个T叫做的 .‎ ‎②常用结论: 10.若是的周期,则也是其 .‎ ‎20. 若定义域内任意实数（为常数）,恒有下列条件之一成立:‎ ‎ ；　；；；；‎ ‎　　　　　　　　则是周期函数，　　　是它的一个周期．‎ ‎☆ 案例分析：‎ 例1. 判断下列各函数的奇偶性：‎ ‎（1）　 　（3）．‎ 例2. 已知是定义在实数集上的函数，满足，且时，‎ ‎ ，‎ ‎（1）求时，的表达式；（2）证明是上的奇函数．‎ 例3.定义在R上的函数满足：则( )‎ ‎ （A）13 （B） 2 （C） （D） ‎ 例4. 设函数在上满足，，‎ ‎ 且在闭区间上，只有．‎ ‎（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；‎ ‎（Ⅱ）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论 参考答案：‎ 基础热身：‎ ‎1. A 解：由题设 ‎2. C 解：令，得，，所以 ‎,即，所以 为奇函数,选C ‎3. 解： 函数若为奇函数，则，即，a=.‎ 例1.解（1）由，得定义域为，关于原点不对称，∴为非奇非偶函数．‎ ‎ （2）由得定义域为，‎ ‎ ∴，‎ ‎ ∵ ∴为偶函数 ‎（3）当时，，则，‎ ‎ 当时，，则，‎ ‎ 综上所述，对任意的，都有，∴为奇函数．‎ 例2.略 例3.【解】：∵且 ‎ ‎ ∴，， ，，，，‎ ‎ ∴ ， ∴ 故选C 例4．略 ‎.‎