【数学】2020届一轮复习（文）通用版1-3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案
第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一、基础知识批注——理解深一点
1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词．
①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；
②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；
③对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作綈p.❷
❶“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，“非p”只否定p的结论，“非”在集合中的解释为“补集”.
❷“命题的否定”与“否命题”的区别
(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．
(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．
(2)命题真值表：
p
q
p∧q
p∨q
綈p
真
真
真
假
真
真
真
假
真
假
假
假
命题真假的判断口诀
p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与綈p→真假相反.
2．全称量词与存在量词
量词名称
常见量词
表示符号
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
∀
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等
∃
3.全称命题与特称命题
命题名称
命题结构
命题简记
全称命题
对M中任意一个x，有p(x)成立
∀x∈M，p(x)
特称命题
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
∃x0∈M，p(x0)
4．全称命题与特称命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，綈p(x0)
∃x0∈M，p(x0)
∀x∈M，綈p(x)
二、常用结论汇总——规律多一点
含逻辑联结词命题真假的等价关系
(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(綈p)∧(綈q)假．
(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(綈p)∧(綈q)真．
(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(綈p)∨(綈q)假．
(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(綈p)∨(綈q)真．
三、基础小题强化——功底牢一点
(1)若命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．( )
(2)命题p和綈p不可能都是真命题．( )
(3)若命题p，q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．( )
(4)若命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至多有一个是真命题．( )
(5)“长方形的对角线相等”是特称命题．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×
(二)选一选
1．命题∀x∈R，x2＋x≥0的否定是( )
A．∃x0∈R，x＋x0≤0 B．∃x0∈R，x＋x0<0
C．∀x∈R，x2＋x≤0 D．∀x∈R，x2＋x<0
解析：选B 由全称命题的否定是特称命题知命题B正确．
2．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若>，则x
0
解析：选D 选项A中，0的解集为，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|a0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则
a2>b2.下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧綈q
C．綈p∧q D．綈p∧綈q
(2)(2019·安徽安庆模拟)设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋>3；命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，则下列命题为真的是( )
A．p∧(綈q) B．(綈p)∧q
C．p∧q D．(綈p)∨q
[解析] (1)当x>0时，x＋1>1，因此ln(x＋1)>0，即p为真命题；取a＝1，b＝－2，这时满足a>b，显然a2>b2不成立，因此q为假命题．由复合命题的真假性，知B为真命题．
(2)对于命题p，当x0＝4时，x0＋＝>3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4时，24＝42＝16，即∃x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x成立，故命题q为假命题，所以p∧ (綈q)为真命题，故选A.
[答案] (1)B (2)A
[解题技法] 判断含有逻辑联结词命题真假的步骤
[题组训练]
1．(2019·惠州调研)已知命题p，q，则“綈p为假命题”是“p∧q是真命题”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 充分性：若綈p为假命题，则p为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出p∧q是真命题．必要性：p∧q是真命题，则p，q均为真命题，则綈p为假命题．所以“綈p为假命题”是“p∧q是真命题”的必要不充分条件．
2．已知命题p：“若x2－x>0，则x>1”；命题q：“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则xy＝0”．下列命题是真命题的是( )
A．p∨(綈q) B．p∨q
C．p∧q D．(綈p)∧(綈q)
解析：选B 若x2－x>0，则x>1或x<0，故p是假命题；若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x＝0，y＝0，xy＝0，故q是真命题．则p∨q是真命题．
[典例] (1)命题∀x∈R，ex－x－1≥0的否定是( )
A．∀x∈R，ex－x－1≤0
B．∀x∈R，ex－x－1≥0
C．∃x0∈R，ex0－x0－1≤0
D．∃x0∈R，ex0－x0－1<0
(2)对命题∃x0>0，x>2x0，下列说法正确的是( )
A．真命题，其否定是∃x0≤0，x≤2x0
B．假命题，其否定是∀x>0，x2≤2x
C．真命题，其否定是∀x>0，x2≤2x
D．真命题，其否定是∀x≤0，x2≤2x
[解析] (1)改全称量词为存在量词，把不等式中的大于或等于改为小于．故选D.
(2)已知命题是真命题，如32＝9>8＝23，其否定是∀x>0，x2≤2x.故选C.
[答案] (1)D (2)C
[解题技法]
1．全称命题与特称命题真假的判断方法
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称命题
真
所有对象使命题真
否定为假
假
存在一个对象使命题假
否定为真
特称命题
真
存在一个对象使命题真
否定为假
假
所有对象使命题假
否定为真
2.全称命题与特称命题的否定
(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．
(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．
[题组训练]
1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是( )
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2
B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n>x2
C．∃x0∈R，∃n∈N*，使得n>x
D．∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x
解析：选D ∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n>x2，则该命题的否定形式为“∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x”．
2．已知命题p：∃n∈R，使得f(x)＝nxn2＋2n是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题q：“∃x0∈R，x＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2<3x”．则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．(綈p)∧q
C．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)
解析：选C 当n＝1时，f(x)＝x3为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故p是真命题，则綈p是假命题；“∃x0∈R，x＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2≤3x”，故q是假命题，綈q是真命题．所以p∧q，(綈p)∧q，(綈p)∧(綈q)均为假命题，p∧(綈q)为真命题，选C.
考点三 根据命题的真假求参数的取值范围
[典例] 已知p：存在x0∈R，mx＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0.若p或q为假命题，求实数m的取值范围．
[解] 依题意知p，q均为假命题，
当p是假命题时，则mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；
当q是真命题时，则Δ＝m2－4<0，－20，
所以m>2或m<－2.由得0≤m≤2，
所以m的取值范围为[0,2]．
答案：[0,2]
[解题技法]
根据命题的真假求参数的取值范围的步骤
(1)求出当命题p，q为真命题时所含参数的取值范围；
(2)根据复合命题的真假判断命题p，q的真假性；
(3)根据命题p，q的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．
1．(2019·西安摸底)命题“∀x>0，>0”的否定是( )
A．∃x0≥0，≤0 B．∃x0>0,0≤x0≤1
C．∀x>0，≤0 D．∀x<0,0≤x≤1
解析：选B ∵>0，∴x<0或x>1，∴>0的否定是0≤x≤1，
∴命题的否定是“∃x0>0,0≤x0≤1”．
2．下列命题中，假命题的是( )
A．∀x∈R,21－x>0
B．∃a0∈R，y＝xa0的图象关于y轴对称
C．函数y＝xa的图象经过第四象限
D．直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切
解析：选C 对于A，由指数函数的性质可知为真命题；对于B，当a＝2时，其图象关于y轴对称；对于C，当x>0时，y>0恒成立，从而图象不过第四象限，故为假命题；对于D，因为圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离等于，等于圆的半径，命题成立．
3．(2019·陕西质检)已知命题p：对任意的x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．(綈p)∧(綈q)
C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)
解析：选D 由指数函数的性质知命题p为真命题．易知x>1是x>2的必要不充分条件，所以命题q为假命题．由复合命题真值表可知p∧(綈q)为真命题．
4．(2018·湘东五校联考)下列说法中正确的是( )
A．“a>1，b>1”是“ab>1”成立的充分条件
B．命题p：∀x∈R,2x>0，则綈p：∃x0∈R,2x0<0
C．命题“若a>b>0，则<”的逆命题是真命题
D．“a>b”是“a2>b2”成立的充分不必要条件
解析：选A 对于选项A，由a>1，b>1，易得ab>1，故A正确．对于选项B，全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈R,2x>0的否定是綈p：∃x0∈R,2x0≤0，故B错误．对于选项C，其逆命题：若<，则a>b>0，可举反例，如a＝－1，b＝1，显然是假命题，故C错误．对于选项D，由“a>b”并不能推出“a2>b2”，如a＝1，b＝－1，故D错误．故选A.
5．(2019·唐山五校联考)已知命题p：“a>b”是“2a>2b”的充要条件；命题q：∃x0∈R，|x0＋1|≤x0，则( )
A．(綈p)∨q为真命题 B．p∧(綈q)为假命题
C．p∧q为真命题 D．p∨q为真命题
解析：选D 由题意可知命题p为真命题．因为|x＋1|≤x的解集为空集，所以命题q为假命题，所以p∨q为真命题．
6．下列说法错误的是( )
A．命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”
B．若命题p：存在x0∈R，x＋x0＋1<0，则綈p：对任意x∈R，x2＋x＋1≥0
C．若x，y∈R，则“x＝y”是“xy≥2”的充要条件
D．已知命题p和q，若“p或q”为假命题，则命题p与q中必一真一假
解析：
选D 由原命题与逆否命题的关系，知A正确；由特称命题的否定知B正确；由xy≥2⇔4xy≥(x＋y)2⇔4xy≥x2＋y2＋2xy⇔(x－y)2≤0⇔x＝y，知C正确；对于D，命题“p或q”为假命题，则命题p与q均为假命题，所以D不正确．
7．(2019·长沙模拟)已知命题“∀x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．(4，＋∞) B．(0,4]
C．(－∞，4] D．[0,4)
解析：选C 当原命题为真命题时，a>0且Δ<0，所以a>4，故当原命题为假命题时，a≤4.
8．下列命题为假命题的是( )
A．存在x>y>0，使得ln x＋ln y<0
B．“φ＝”是“函数y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件
C．∃x0∈(－∞，0)，使3x0<4x0成立
D．已知两个平面α，β，若两条异面直线m，n满足m⊂α，n⊂β且m∥β，n∥α，则α∥β
解析：选C 对于A选项，令x＝1，y＝，则ln x＋ln y＝－1<0成立，故排除A.对于B选项，“φ＝”是“函数y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件，正确，故排除B.对于C选项，根据幂函数y＝xα，当α<0时，函数单调递减，故不存在x0∈(－∞，0)，使3x0<4x0成立，故C错误．对于D选项，已知两个平面α，β，若两条异面直线m，n满足m⊂α，n⊂β且m∥β，n∥α，可过n作一个平面与平面α相交于直线n′.由线面平行的性质定理可得n′∥n，再由线面平行的判定定理可得n′∥β，接下来由面面平行的判定定理可得α∥β，故排除D，选C.
9．若命题p的否定是“∀x∈(0，＋∞)，＞x＋1”，则命题p可写为________________________．
解析：因为p是綈p的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可．
答案：∃x0∈(0，＋∞)，≤x0＋1
10．已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“綈q”同时为假命题，则 x＝________.
解析：若p为真，则x≥－1或x≤－3，
因为“綈q”为假，则q为真，即x∈Z，
又因为“p∧q”为假，所以p为假，故－3＜x＜－1，
由题意，得x＝－2.
答案：－2
11．已知p：a<0，q：a2>a，则綈p是綈q的________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．
解析：由题意得綈p：a≥0，綈q：a2≤a，即0≤a≤1.因为{a|0≤a≤1}{a|a≥0}，所以綈p是綈q的必要不充分条件．
答案：必要不充分
12．已知命题p：a2≥0(a∈R)，命题q：函数f(x)＝x2－x在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题：
①p∨q；②p∧q；③(綈p)∧(綈q)；④(綈p)∨q.
其中为假命题的序号为________．
解析：显然命题p为真命题，綈p为假命题．
∵f(x)＝x2－x＝2－，
∴函数f(x)在区间上单调递增．
∴命题q为假命题，綈q为真命题．
∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题，(綈p)∨q为假命题．
答案：②③④
13．设t∈R，已知命题p：函数f(x)＝x2－2tx＋1有零点；命题q：∀x∈[1，＋∞)， －x≤4t2－1.
(1)当t＝1时，判断命题q的真假；
(2)若p∨q为假命题，求t的取值范围．
解：(1)当t＝1时，max＝0，－x≤3在[1，＋∞)上恒成立，故命题q为真命题．
(2)若p∨q为假命题，则p，q都是假命题．
当p为假命题时，Δ＝(－2t)2－4<0，解得－1
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