高中数学必修4教案:2_2_3向量数乘运算及其几何意义

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高中数学必修4教案:2_2_3向量数乘运算及其几何意义

‎2. 2.3向量数乘运算及其几何意义 学习目标:1.掌握向量数乘的定义,理解向量数乘的几何意义;‎ ‎2.掌握向量数乘的运算律;‎ ‎3.理解两个向量共线的充要条件,能够运用两向量共线的条件判定两向量是否平行.‎ 教学重点:理解向量数乘的几何意义.‎ 教学重点:向量共线的充要条件及其应用.‎ 教学过程 情景平台 a 已知非零向量a,把a+a+a记作‎3a,(-a)+(-a)+(-a)记作‎-‎‎3a,试作出‎3a和 ‎-‎3a.‎ ‎ ‎ 概念导入 我们规定 这种运算叫做向量的数乘,记作 ,它的长度和方向规定如下:‎ ‎ (1)‎ ‎ ‎ ‎ (2)‎ ‎ 有上可知:=0时,a= ‎ 向量数乘的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小.‎ 运算律 完成以下三个问题 ‎(1)已知非零向量a,求作向量2(‎3a)和‎6a,并进行比较.‎ a ‎ ‎ ‎(2)已知非零向量a,求作向量5a和2a+3a,并进行比较 ‎ a ‎(3)已知非零向量a,b,求作向量2(a+b)和‎2a+2b,并把结果进行比较分析.‎ a b 总结运算律:设为实数,那么 ‎ (1);‎ ‎ (2)=+;‎ ‎ (3)=+。‎ ‎ 特别地,我们有 ‎(-)=-()=(-)‎ ‎ =-‎ ‎ ‎ 能力平台 例1.计算:‎ ‎ (1)(-3)×‎‎4a ‎ (2)3(a+b)-2(a-b)-a ‎ (3)(‎2a+3b-c)-(‎3a-2b+c)‎ 变式训练 ‎ 1、点C在线段AB上,且,则= ,= .‎ ‎2、课本练习3、5题 ‎3、若‎3m+2n=a,m-3n=b,其中a,b是已知向量,求m,n.‎ 问题引导 ‎1、引入向量数乘运算后,你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗?‎ 怎样理解两向量平行?与两直线平行有什么异同?‎ ‎2、如果a(a≠0)、b,如果有一个实数λ,使b=λa. 那么由向量数乘的定义,知a与b具有怎样的位置关系?‎ ‎3、已知向量a与b共线,a≠0,且向量b的长度是向量a的长度的μ倍,即|b|=μ|a|,那么当a与b同方向时,有b= , 当a与b反方向时,有b= .‎ 有上可知:‎ 两个向量共线的等价条件是:‎ 能力平台 例2 如图,已知任意两个非零向量a、b,试作=a+b,=a+2b,=a+3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗?为什么? ‎ 例3 如图, ABCD的两条对角线相交于点M,且=a,=b,你能用a、b表示和吗?‎ 变式训练 ‎1、课本练习第4题 ‎2、课本练习第6题 ‎【小结】‎ ‎1°定义实数与向量的积 与a同向,且|λa|=|λ||a|=λ|a|(λ>0)‎ λa= 与a反向,且|λa|=|λ||a|=-λ|a|(λ<0)‎ a=0(λ=0)‎ ‎ 2°实数与向量积的运算律.‎ ‎3°向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使b=λa.‎ 作业:习题2.2 A组第9、10题 课下练习:习题2.2 A组第11、12、13题 课下思考:习题2.2 B组第1、2、3、4、5题
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