高中数学必修4教案：2_2_3向量数乘运算及其几何意义

高中数学必修4教案：2_2_3向量数乘运算及其几何意义

‎2. 2.3向量数乘运算及其几何意义 学习目标：1．掌握向量数乘的定义，理解向量数乘的几何意义；‎ ‎2．掌握向量数乘的运算律；‎ ‎3．理解两个向量共线的充要条件，能够运用两向量共线的条件判定两向量是否平行．‎ 教学重点：理解向量数乘的几何意义．‎ 教学重点：向量共线的充要条件及其应用．‎ 教学过程 情景平台 a 已知非零向量a，把a+a+a记作‎3a，(-a)+(-a)+(-a)记作‎-‎‎3a，试作出‎3a和 ‎－‎3a．‎ ‎ ‎ 概念导入 我们规定 这种运算叫做向量的数乘，记作 ，它的长度和方向规定如下：‎ ‎ （1）‎ ‎ ‎ ‎ （2）‎ ‎ 有上可知：=0时，a= ‎ 向量数乘的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小.‎ 运算律 完成以下三个问题 ‎（1）已知非零向量a，求作向量2(‎3a)和‎6a，并进行比较．‎ a ‎ ‎ ‎（2）已知非零向量a，求作向量5a和2a+3a，并进行比较 ‎ a ‎（3）已知非零向量a，b，求作向量2(a+b)和‎2a+2b，并把结果进行比较分析．‎ a b 总结运算律：设为实数,那么 ‎ （1）；‎ ‎ （2）=+；‎ ‎ （3）=+。‎ ‎ 特别地，我们有 ‎（-）=-（）=（-）‎ ‎ =-‎ ‎ ‎ 能力平台 例1.计算：‎ ‎ （1）(-3)×‎‎4a ‎ （2）3(a+b)-2(a-b)-a ‎ （3）(‎2a+3b-c)-(‎3a-2b+c)‎ 变式训练 ‎ 1、点C在线段AB上，且,则= ,= .‎ ‎2、课本练习3、5题 ‎3、若‎3m+2n=a,m-3n=b,其中a,b是已知向量,求m,n.‎ 问题引导 ‎1、引入向量数乘运算后,你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗?‎ 怎样理解两向量平行？与两直线平行有什么异同？‎ ‎2、如果a(a≠0)、b，如果有一个实数λ,使b=λa. 那么由向量数乘的定义,知a与b具有怎样的位置关系?‎ ‎3、已知向量a与b共线,a≠0,且向量b的长度是向量a的长度的μ倍,即|b|=μ|a|,那么当a与b同方向时,有b= , 当a与b反方向时,有b= .‎ 有上可知：‎ 两个向量共线的等价条件是：‎ 能力平台 例2 如图,已知任意两个非零向量a、b,试作=a+b,=a+2b,=a+3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗?为什么? ‎ 例3 如图, ABCD的两条对角线相交于点M,且=a,=b,你能用a、b表示和吗?‎ 变式训练 ‎1、课本练习第4题 ‎2、课本练习第6题 ‎【小结】‎ ‎1°定义实数与向量的积 与a同向，且|λa|=|λ||a|=λ|a|(λ>0)‎ λa= 与a反向，且|λa|=|λ||a|=-λ|a|(λ<0)‎ a=0(λ=0)‎ ‎ 2°实数与向量积的运算律．‎ ‎3°向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b=λa．‎ 作业：习题2.2 A组第9、10题 课下练习：习题2.2 A组第11、12、13题 课下思考：习题2.2 B组第1、2、3、4、5题