高中数学必修4教案：6_示范教案（1_4_1 正弦函数、余弦函数的图象）

高中数学必修4教案：6_示范教案（1_4_1 正弦函数、余弦函数的图象）

‎1.4 三角函数的图象与性质 ‎1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 整体设计 教学分析 ‎ 研究函数的性质常常以图象直观为基础,这点学生已经有些经验,通过观察函数的图象,从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法,这也是数形结合思想的应用.正弦函数、余弦函数的教学也是如此.先研究它们的图象,在此基础上再利用图象来研究它们的性质.显然,加强数形结合是深入研究函数性质的基本要求.‎ ‎ 由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质,那么它的性质也就完全清楚了,因此,教科书把对周期性的研究放在了首位.另外,教科书通过“旁白”,指出研究三角函数性质“就是要研究这类函数具有的共同特点”,这是对数学思考方向的一种引导.‎ ‎ 由于正弦线、余弦线已经从“形”的角度描述了三角函数,因此利用单位圆中的三角函数线画正弦函数图象是一个自然的想法.当然,我们还可以通过三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图,从画出的图形中观察得出五个关键点,得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图.‎ 三维目标 ‎1.通过实验演示,让学生经历图象画法的过程及方法,通过对图象的感知,形成正弦曲线的初步认识,进而探索正弦曲线准确的作法,养成善于发现、善于探究的良好习惯.学会遇到新问题时善于调动所学过的知识,较好地运用新旧知识之间的联系,提高分析问题、解决问题的能力.‎ ‎2.通过本节学习,理解正弦函数、余弦函数图象的画法.借助图象变换,了解函数之间的内在联系.通过三角函数图象的三种画法:描点法、几何法、五点法,体会用“五点法”作图给我们学习带来的好处,并会熟练地画出一些较简单的函数图象.‎ ‎3.通过本节的学习,让学生体会数学中的图形美,体验善于动手操作、合作探究的学习方法带来的成功愉悦.渗透由抽象到具体的思想,加深数形结合思想的认识,理解动与静的辩证关系,树立科学的辩证唯物主义观.‎ 重点难点 教学重点:正弦函数、余弦函数的图象.‎ 教学难点:将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点;正弦函数与余弦函数图象间的关系.‎ 课时安排 ‎1课时 教学过程 导入新课 ‎ 思路1.(复习导入)遇到一个新的函数,非常自然的是画出它的图象,观察图象的形状,看看有什么特殊点,并借助图象研究它的性质,如:值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等.我们也很自然的想知道y=sinx与y=cosx的图象是怎样的呢?回忆我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图象是什么?是如何画出它们图象的(列表描点法:列表、描点、连线)?进而引导学生通过取值,画出当x∈［0,2π］时,y=sinx的图象.‎ ‎ 思路2.‎ ‎(情境导入)请学生动手做一做章头图表示的“简谐运动”实验.教师指导学生将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗,再挂在架子上,就做成了一个简易单摆.在漏斗下方放一块纸板,板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上沙并拉离平衡位置,放手使它摆动,同时匀速拉动纸板,这样就可在纸板上得到一条曲线,它就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”.它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况.‎ 有了上述实验,你对正弦函数、余弦函数的图象是否有了一个直观的印象?画函数的图象,最基本的方法是我们以前熟知的列表描点法,但不够精确.下面我们利用正弦线画出比较精确的正弦函数图象.‎ 推进新课 新知探究 提出问题 ‎ 问题①:作正弦函数图象的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值,由于对一般角的三角函数值都是近似值,不易描出对应点的精确位置.我们如何得到任意角的三角函数值并用线段长(或用有向线段数值)表示x角的三角函数值?怎样得到函数图象上点的两个坐标的准确数据呢?简单地说,就是如何得到y=sinx,x∈［0,2π］的精确图象呢?‎ 问题②:如何得到y=sinx,x∈R时的图象?‎ ‎ 活动:教师先让学生阅读教材、思考讨论,对于程度较弱的学生,教师指导他们查阅课本上的正弦线.此处的难点在于为什么要用正弦线来作正弦函数的图象,怎样在x轴上标横坐标?为什么将单位圆分成12份?学生思考探索仍不得要领时,教师可进行适时的点拨.只要解决了y=sinx,x∈［0,2π］的图象,就很容易得到y=sinx,x∈R时的图象了.‎ ‎ 对问题①,第一步,可以想象把单位圆圆周剪开并12等分,再把x轴上从0到2π这一段分成12等份.由于单位圆周长是2π,这样就解决了横坐标问题.过⊙O1上的各分点作x轴的垂线,就可以得到对应于0、、、、、…、2π等角的正弦线,这样就解决了纵坐标问题(相当于“列表”).第二步,把角x的正弦线向右平移,使它的起点与x轴上的点x重合,这就得到了函数对(x,y)(相当于“描点”).第三步,再把这些正弦线的终点用平滑曲线连接起来,我们就得到函数y=sinx在［0,2π］上的一段光滑曲线(相当于“连线”).如图1所示(这一过程用课件演示,让学生仔细观察怎样平移和连线过程.然后让学生动手作图,形成对正弦函数图象的感知).这是本节的难点,教师要和学生共同探讨.‎ 图1‎ ‎ 对问题②,因为终边相同的角有相同的三角函数值,所以函数y=sinx在x∈[2kπ,2(k+1)π],k∈Z且k≠0上的图象与函数y=sinx在x∈[0,2π]上的图象的形状完全一致,只是位置不同.于是我们只要将函数y=sinx,x∈[0,2π］的图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度),就可以得到正弦函数y=sinx,x∈R的图象.(这一过程用课件处理,让同学们仔细观察整个图的形成过程,感知周期性)‎ 图2‎ 讨论结果:①利用正弦线,通过等分单位圆及平移即可得到y=sinx,x∈［0,2π］的图象.‎ ‎②左、右平移,每次2π个长度单位即可.‎ 提出问题 ‎ 如何画出余弦函数y=cosx,x∈R的图象?你能从正弦函数与余弦函数的关系出发,利用正弦函数图象得到余弦函数图象吗?‎ ‎ 活动:如果再用余弦线作余弦函数的图象那太麻烦了,根据已学的知识,教师引导学生观察诱导公式,思考探究两个函数之间的关系,通过怎样的坐标变换可得到余弦函数图象?让学生从函数解析式之间的关系思考,进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法.让学生动手做一做,体会正弦函数图象与余弦函数图象的异同,感知两个函数的整体形状,为下一步学习正弦函数、余弦函数的性质打下基础.‎ 讨论结果:‎ 把正弦函数y=sinx,x∈R的图象向左平移个单位长度即可得到余弦函数图象.如图3.‎ 图3‎ 正弦函数y=sinx,x∈R的图象和余弦函数y=cosx,x∈R的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线点.‎ 提出问题 ‎ 问题①:以上方法作图,虽然精确,但不太实用,自然我们想寻求快捷地画出正弦函数图象的方法.你认为哪些点是关键性的点?‎ 问题②:你能确定余弦函数图象的关键点,并作出它在［0,2π］上的图象吗?‎ ‎ 活动:对问题①,教师可引导学生从图象的整体入手观察正弦函数的图象,发现在［0,2π］上有五个点起关键作用,只要描出这五个点后,函数y=sinx在［0,2π］上的图象的形状就基本上确定了.这五点如下:‎ ‎(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0).‎ ‎ 因此,在精确度要求不太高时,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑的曲线将它们连接起来,就可快速得到函数的简图.这种近似的“五点(画图)法”是非常实用的,要求熟练掌握.‎ 对问题②,引导学生通过类比,很容易确定在［0,2π］上起关键作用的五个点,并指导学生通过描这五个点作出在［0,2π］上的图象.‎ 讨论结果:①略.‎ ‎②关键点也有五个,它们是:(0,1),(,0),(π,-1),(,0),(2π,1).‎ 应用示例 思路1‎ 例1 画出下列函数的简图 ‎(1)y=1+sinx,x∈[0,2π];(2)y=-cosx,x∈[0,2π].‎ ‎ 活动:本例的目的是让学生在教师的指导下会用“五点法”画图,并通过独立完成课后练习1领悟画正弦、余弦函数图象的要领,最终达到熟练掌握.从实际教学来看,“五点法”画图易学却难掌握,学生需练好扎实的基本功.可先让学生按“列表、描点、连线”三步来完成.对学生出现的种种失误,教师不要着急,在学生操作中指导一一纠正,这对以后学习大有好处.‎ 解:(1)按五个关键点列表:‎ x ‎0‎ π ‎2π sinx ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1+sinx ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ 描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图4).‎ 图4‎ ‎(2)按五个关键点列表:‎ x ‎0‎ π ‎2π cosx ‎1‎ ‎0‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎-cosx ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎-1‎ 描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图5).‎ 图5‎ ‎ 点评:“五点法”是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法,本例是最简单的变化.本例的目的是让学生熟悉“五点法”.如果是多媒体教学,要突破课件教学的互动性,多留给学生一些动手操作的时间,或者增加图象纠错的环节,效果将会令人满意,切不可教师画图学生看.完成本例后,让学生阅读本例下面的“思考”,并回答如何通过图象变换得出要画的图象,让学生从另一个角度熟悉函数作图的方法.‎ 变式训练 ‎ 2007山东临沂一摸统考17(1)在给定的直角坐标系如图6中,作出函数f(x)=cos(2x+)在区间[0,π]上的图象.‎ 解:列表取点如下:‎ x ‎0‎ π π ‎2π f(x)‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ 描点连线作出函数f(x)=cos(2x+)在区间[0,π]上的图象如图7所示.‎ ‎ ‎ 图6 图7‎ 思路2‎ 例1 画出函数y=|sinx|,x∈R的简图.‎ ‎ 活动:教师引导学生观察探究y=sinx的图象并思考｜sinx｜的意义,发现只要将其x轴下方的图象翻上去即可.进一步探究发现,只要画出y=|sinx|,x∈[0,π]的图象,然后左、右平移(每次π个单位)就可以得到y=|sinx|,x∈R的图象.让学生尝试寻找在[0,π]上哪些点起关键作用,易看出起关键作用的点有三个:(0,0),(,1),(π,0).然后列表、描点、连线,让学生自己独立操作完成,对其失误的地方再予以一一纠正.‎ 解:按三个关键点列表:‎ x ‎0‎ π sinx ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ y=｜sinx｜‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ 描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图8).‎ 图8‎ ‎ 点评:通过本例,让学生更深刻地理解正弦曲线及“五点法”画图的要义,并进一步从图象变换的角度认识函数之间的关系,也为下一步将要学习的周期打下伏笔.‎ 变式训练 ‎1.方程sinx=的根的个数为( )‎ A.7 B.8 C.9 D.10‎ 解:这是一个超越方程,无法直接求解,可引导学生考虑数形结合的思想方法,将其转化为函数y=的图象与y=sinx的图象的交点个数问题,借助图形直观求解.解好本题的关键是正确地画出正弦函数的图象.如 ‎ 图9,从图中可看出,两个图象有7个交点.‎ 图9‎ 答案:A ‎2.用五点法作函数y=2sin2x的图象时,首先应描出的五点横坐标可以是( )‎ A.0,,,2π B.0,,,,π C.0,π,2π,3π,4π D.0,,,,‎ 答案:B 知能训练 课本本节练习 解答:‎ ‎1.可以用单位圆中的三角函数线作出它们的图象,也可以用“五点法”作出它们的图象,还可以用图形计算器或计算机直接作出它们的图象.两条曲线形状相同,位置不同,例如函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象,可以通过将函数y=cosx,x∈[,]的图象向右平行移动个单位长度而得到(图10).‎ 图10‎ ‎ 点评:在同一个直角坐标系中画出两个函数图象,利于对它们进行对比,可以加强正弦函数与余弦函数的联系.通过多种方法画图,渗透数形结合思想,强化学生对数学概念本质的认识.‎ ‎2.两个函数的图象相同.‎ ‎ 点评:先用“五点法”画出余弦函数的图象,再通过对比函数解析式发现另一函数的图象的变化规律,最后变换余弦曲线得到另一函数的图象(图11).‎ 图11‎ 课堂小结 以提问的方式,先由学生反思学习内容并回答,教师再作补充完善.‎ ‎1.怎样利用“周而复始”的特点,把区间［0,2π］上的图象扩展到整个定义域的?‎ ‎2.如何利用图象变换从正弦曲线得到余弦曲线?‎ 这节课学习了正弦函数、余弦函数图象的画法.除了它们共同的代数描点法、几何描点法之外,余弦函数图象还可由平移交换法得到.“五点法”作图是比较方便、实用的方法,应熟练掌握.数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法.‎ 作业 ‎1.课本习题1.4 A组1.‎ ‎2.预习下一节:正弦函数、余弦函数的性质.‎ 设计感想 ‎1.本节课操作性强,学生活动量较大.新课从实验演示入手,形成图象的感知后,升级问题,探索正弦曲线准确的作法,形成理性认识.问题设置层层深入,引导学生发现问题,解决问题,并对方法进行归纳总结,体现了新课标“以学生为主体,教师为主导”的课堂教学理念.如用多媒体课件,则可生动地表现出函数图象的变化过程,更好地突破难点.‎ ‎2.本节课所画的图象较多,能迅速准确地画出函数图象对初学者来说是一个较高的要求,重在学生动手操作,不要怕学生出错.通过画图可以培养学生的动手能力、模仿能力.开始时要慢些,尤其是“五点法”,每个点都要能准确地找到,然后迅速画出图象.‎ ‎3.本小节设置的“探究”“思考”较多,还提供了“探究与发现”“信息技术应用”等拓展性栏目.教学时,应留给学生一定的时间思考、探究这些问题.‎