河南省许昌市长葛市第一高级中学2019-2020学年高三月考数学试卷

河南省许昌市长葛市第一高级中学2019-2020学年高三月考数学试卷

数学试卷 一、单选题（共20题；共20分）‎ ‎1.若复数z为纯虚数且（1+i）z=a﹣i（其中i是虚数单位，a∈R），则|a+z|=（   ） ‎ A.                                         B.                                         C. 2                                        D.  ‎2.i为虚数单位，若复数（1+mi）（i+2）是纯虚数，则实数m=（   ） ‎ A. 1                                        B. ﹣1                                        C.                                         D. 2‎ ‎3.某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10轮每轮罚球30个．命中个数的茎叶图如下．若10轮中甲、乙的平均水平相同，则乙的茎叶图中x的值是(     ) ‎ A. 3                                           B. 2                                           C. 1                                           D. 4‎ ‎4.已知函数 ， 若,则实数的取值范围是   （   ）‎ A.                                                 B.  C.                                          D.  ‎5.设O，A，B，M为平面上四点， = +（1﹣λ） ，λ∈（0，1），则（　　） ‎ A. 点M在线段AB上          B. 点B在线段AM上          C. 点A在线段BM上          D. O，A，B，M四点共线 ‎6.已知点P（ ，﹣ ）在角θ的终边上，且θ∈[0，2π），则θ的值为（  ） ‎ A.                                       B.                                       C.                                       D.  ‎7.已知定义在R上的函数 恒成立，则不等式 的解集为（    ） ‎ A.                     B.                     C.                     D.  ‎8.已知椭圆 ，双曲线 ．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，设椭圆M的离心率为 ，双曲线N的离心率为 ，则 为（   ） ‎ A.                                B.                                C.                                D.  ‎9.已知椭圆 的左顶点和上顶点分别为 ，左、右焦点分别是 ，在线段 上有且只有一个点 满足 ，则椭圆的离心率的平方为（    ） ‎ A.                                   B.                                   C.                                   D.  ‎10.组合数恒等于（　　）‎ A.                                B.                                C.                                D.  ‎11.已知函数 .若 ， ，则函数 在 上的零点之和为（    ） ‎ A.                          B.                          C.                          D.  ‎12.执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（   ） ‎ A. 5                                           B. 6                                           C. 7                                           D. 8‎ ‎13.已知 ， 为双曲线 的左、右焦点，过 的直线 与圆 相切于点 ，且 ，则双曲线的离心率为（   ） ‎ A.                                          B. 2                                         C. 3                                         D.  ‎14.设数列 满足 ，且 ，若 表不不超过 的最大整数，则 （    ） ‎ A. 2015                                   B. 2016                                   C. 2017                                   D. 2018‎ ‎15.若 ，则 （   ） ‎ A.                                     B.                                     C.                                     D.  ‎16.如图是函数 的部分图象，则函数 的零点所在的区间是（   ）‎ A.                                   B.                                   C.                                   D.  ‎17.已知函数 只有一个零点，则实数 的取值范围为（   ） ‎ A.                                 B.                                 C.                                 D.  ‎18.将个正整数、、、…、（）任意排成行列的数表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数、（）的比值,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当时, 数表的所有可能的“特征值”最大值为（   ）‎ A.                                            B.                                            C.                                            D.  ‎19.气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第n天的维修保养费为元,使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)为止,一共使用了  (       ) ．‎ A. 600天                                B. 800天                                C. 1000天                                D. 1200天 ‎20.已知约束条件对应的平面区域如图所示，其中对应的直线方程分别为： ， 若目标函数仅在点 处取到最大值，则有(   ) ‎ A.                      B.                      C.                      D. 或 二、填空题（共6题；共10分）‎ ‎21.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________‎ ‎22.已知数列 满足 ，若 ，则数列 的通项  ________． ‎ ‎23.设θ为钝角，若sin（θ+ ）=﹣ ，则cosθ的值为________． ‎ ‎24.设{an}是首项为a1 ， 公差为﹣1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1 ， S2 ， S4成等比数列，则a1的值为________． ‎ ‎25.在正四棱柱ABCD﹣A1B‎1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD1与底面所成角的大小为arctan ，则该正四棱柱的高等于________．‎ ‎26.在 ，点M是△ABC外一点，BM=‎2CM=2，则AM的最大值与最小值的差为________． ‎ 三、解答题（共9题；共70分）‎ ‎27.某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据 用户对其产品的满意度的评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频率分布表.A地区用户满意度评分的频率分布直方图 B地区用户满意度评分的频率分布表 满意度评分分组 ‎[50，60)‎ ‎[50，60)‎ ‎[50,60)‎ ‎[50,60)‎ ‎[50,60)‎ 频数 ‎2‎ ‎8‎ ‎14‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎（1）（I）在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分 散 程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）‎ B地区用户满意度评分的频率分布直方图 ‎（2）（II）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：‎ 满意度评分 低于70分 ‎70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.‎ ‎28.已知函数f（x）=2 sin（π﹣x）cosx+2cos2x+a﹣1． ‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣ ， ]上的最大值与最小值的和为2，求a的值．‎ ‎29.在△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，若sin（A﹣B）= sinAcosB﹣ sinBcosA． ‎ ‎（1）求证：A=B； ‎ ‎（2）若A= ，a= ，求△ABC的面积． ‎ ‎30.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为 （φ为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=sinθ． （Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程及曲线C2的直角坐标方程； （Ⅱ）已知曲线C1 ， C2交于O，A两点，过O点且垂直于OA的直线与曲线C1 ， C2交于M，N两点，求|MN|的值． ‎ ‎31.已知函数f（x）= mx2-lnx-1，f'（x）是f（x）的导函数。 ‎ ‎（1）当m=0时，求f（x）的单调减区间； ‎ ‎（2）若f（x）存在两个不同的零点x1 ， x2。 ‎ ‎①求实数m的取值范围；‎ ‎②求证：f'（x1）+f'（x2）<0。‎ ‎32.已知函数 ． ‎ ‎（1）解不等式 ； ‎ ‎（2）若函数 存在零点，求 的求值范围． ‎ ‎33.已知椭圆 的右焦点为F.直线 被称作为椭圆C的一条准线.点P在椭圆C上(异于椭圆左、右顶点)，过点P作直线 与椭圆C相切，且与直线 相交于点Q. ‎ ‎（1）求证： . ‎ ‎（2）若点P在x轴的上方， ，求 面积的最小值. ‎ ‎34.已知函数 . ‎ ‎（1）求曲线 在点 处的切线方程； ‎ ‎（2）若函数 在区间 有两个零点，分别为 ，求证： . ‎ ‎35.已知函数 . ‎ ‎（1）证明：当 时， ； ‎ ‎（2）若函数 有三个零点，求实数 的取值范围. ‎ 答案解析部分 一、单选题 ‎1.【答案】A ‎ ‎2.【答案】D ‎ ‎3.【答案】 A ‎ ‎4.【答案】 A ‎ ‎5.【答案】 A ‎ ‎6.【答案】 C ‎ ‎7.【答案】D ‎ ‎8.【答案】 B ‎ ‎9.【答案】B ‎ ‎10.【答案】 D ‎ ‎11.【答案】 B ‎ ‎12.【答案】 C ‎ ‎13.【答案】D ‎ ‎14.【答案】 B ‎ ‎15.【答案】 C ‎ ‎16.【答案】 B ‎ ‎17.【答案】D ‎ ‎18.【答案】 D ‎ ‎19.【答案】 B ‎ ‎20.【答案】 B ‎ 二、填空题 ‎21.【答案】 ‎ ‎22.【答案】 ‎ ‎23.【答案】 ‎ ‎24.【答案】 ﹣ ‎ ‎25.【答案】 ‎ ‎26.【答案】2 ‎ 三、解答题 ‎27.【答案】 （1）‎ 通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，B地区用户满意度评分比较集中，A地区用户满意度评分比较分散。‎ ‎ （2）A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.‎ ‎ ‎ ‎28.【答案】 解：（I）函数f（x）=2 sin（π﹣x）cosx+2cos2x+a﹣1= sin2x+cos2x+a ‎ ‎=2 +a．‎ ‎∴f（x）的最小正周期T= =π．‎ ‎（II）∵x∈[﹣ ， ]，∴ ≤2x+ ≤ ，∴ ∈ ．‎ ‎∴f（x）∈[a﹣1，a+2]．‎ ‎∴a﹣1+a+2=2，解得a= ‎ ‎29.【答案】 （1）证明：∵sin（A﹣B）= sinAcosB﹣ sinBcosA， ‎ ‎∴sinAcosB﹣cosAsinB= sinAcosB﹣ sinBcosA，‎ 利用正弦定理可得：acosB﹣bcosA= cosB﹣ cosA，‎ 化为：cosA=cosB，又A，B∈（0，π），‎ ‎∴A=B．‎ ‎ （2）解：∵A=B，∴b=a= ． ‎ ‎∴c=2bcosA=2 cos ，‎ ‎∴S△ABC= bcsinA= ×2 cos ×sin ‎ ‎=3sin =3sin =3 = ．‎ ‎30.【答案】解：（I）曲线C1的参数方程为 （φ为参数）， 利用平方关系可得：（x﹣1）2+y2=1，化为x2+y2﹣2x=0． 利用互化公式可得：曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ． 曲线C2的极坐标方程为ρ=sinθ，可得：ρ2=ρsinθ，可得：曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=y． （II）联立 ，可得tanθ=2，设点A的极角为θ，则tanθ=2，可得sinθ= ，cosθ= ， 则M ，代入ρ=2cosθ，可得：ρ1=2cos =2sinθ= ． N ，代入ρ=sinθ，可得：ρ2=sin =cosθ= ． 可得：|MN|=ρ1+ρ2= ‎ ‎31.【答案】 （1）解：当m=0时，f（x）=-lnx-1，f'（x）= ，因为函数f（x）的定义域为（0，+∞），故f'（x）= <0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）的单调减区间为（0，+∞）。 （2）解：f'（x）=mx- = ‎ ‎①（ⅰ）当m≤0时，由f'（x）<0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，f（x）在（0，+∞）上至多有一个零点，不合题意：‎ ‎（ⅱ）当m>0时，由f'（x）=0，得x= 。‎ 当0 时，f'（x）>0，f'（x）单调递增，所以f（x）min=f（ ）=- + lnm。‎ 若两数f（x）有两个零点，则- + lnm<0，解得0 > 。‎ 因为f（ ）= >0，故f（ ）f（ ）<0，又函数f（x）在（0， ）上单调递减．所以由零点存在性定理可知f（x）在（0， ）上恰有一个零点，‎ 记s（x）=-x-1-lnx，则s'（x）=1- = ‎ 当x∈（0，1）时，s'（x）<0，函数s（x）在（0，1）上单调递减；当x∈（1，+∞）时，s'（x）>0，函数s（x）在（1，+∞）上单调递增，所以s（x）≥s（1）=0，故函数f（ ）= -1-ln ≥0，所以f（ ）f（ ）≤0，因为 >0，所以 > 。‎ 又f（x）在（ ，+∞）上单调递增。‎ 所以由零点存在性定理知函数f（x）在区间（ ，+∞）上恰有一个零点 综上所述，实数m的取值范围为（0，e）。‎ ‎②由于x1 ， x2是函数f（x）的两个零点，不妨设x10。‎ 记t（x）=2lnx+ -x，x∈（0，1），则t'（x）= - -1= <0‎ 所以t（x）在（0，1）上单调递减，所以t（x）>0，‎ 所以2ln >0，即f'（x）1+f'（x2）<0成立。‎ ‎32.【答案】 （1）解：有题不等式可化为 ， ‎ 当 时，原不等式可化为 ，解得 ；‎ 当 时，原不等式可化为 ，解得 ，不满足，舍去；‎ 当 时，原不等式可化为 ，解得 ，‎ 所以不等式的解集为 ‎ ‎ （2）解：因为 ， ‎ 所以若函数 存在零点则可转化为函数 与 的图像存在交点，‎ 函数 在 上单调增，在 上单调递减，且 .‎ 数形结合可知 ．‎ ‎33.【答案】 （1）解：点 的坐标为 . 联立方程 ,消去 后整理为 有 ,可得 ， ， . 可得点 的坐标为 . 当 时，可求得点 的坐标为 ， ， . 有 . 故有 ‎ （2）解：若点 在 轴上方，必有 由(1)知 因为 时.由(1)知 ， ， 由函数 单调递增，可得此时 . 故当 时， 的面积取得最小值为1 ‎ ‎34.【答案】 （1）解：由 ，有 . 曲线 在点 处的切线方程为 （2）解：不妨设 .令 . 由 .有 两边取对数，有 又由 若证 ，只需证 .可化为 . 令 ， 可得函数 单调递增.所以 . 故当 时， 故若函数 在区间 有两个零点，必有： ‎ ‎35.【答案】 （1）证明：令 ，则 ，当 时， ， 故 在 上单调递增，所以 ， 即 ‎ ，所以 . （2）解：由已知， ， 依题意， 有3个零点，即 有3个根，显然0不是其根，所以 有3个根，令 ，则 ，当 时， ，当 时， ，当 时， ，故 在 单调递减，在 ， 上 单调递增，作出 的图象，易得 . 故实数 的取值范围为 . ‎