吉林省长春市实验中学2019-2020学年高一上学期9月月考数学试题

吉林省长春市实验中学2019-2020学年高一上学期9月月考数学试题

www.ks5u.com 长春市实验中学2019-2020学年上学期阶段考试高一数学试卷 第Ⅰ卷 一、选择题 ‎1.已知全集，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，所以，故选D．‎ 考点：集合的运算．‎ ‎2.函数的定义域为（　　）‎ A. [，3）∪（3，+∞） B. （-∞，3）∪（3，+∞）‎ C. [，+∞） D. （3，+∞）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可.‎ ‎【详解】因为函数，‎ 解得且；‎ 函数的定义域为, 故选A．‎ ‎【点睛】定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.‎ ‎3.函数的单调递增区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数解析式可确定对称轴位置，从而得到单调区间.‎ ‎【详解】由解析式可知，为开口方向向上，对称轴为的二次函数 的单调递增区间为 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查二次函数单调性的问题，属于基础题.‎ ‎4.下列函数中，与函数 相同的函数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的定义判断即可 ‎【详解】A选项中的函数等价于，B选项中的函数等价于，D选项中的函数等价于.故选C.‎ ‎【点睛】此题是基础题，考查函数的定义域.‎ ‎5.抛物线的顶点坐标是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将二次函数化为顶点式，即可得到顶点坐标.‎ ‎【详解】 抛物线顶点坐标为 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查二次函数顶点坐标的求解，属于基础题.‎ ‎6.下列函数是偶函数且在上单调递减的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇偶性可排除；根据单调性可排除，从而得到结果.‎ ‎【详解】为奇函数，错误；在上单调递增，错误；‎ 为非奇非偶函数，错误；‎ ‎ 偶函数 当时，，在上单调递减，正确 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断，属于基础题.‎ ‎7.化简结果为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数幂运算法则进行化简即可.‎ ‎【详解】‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查指数幂的运算，属于基础题.‎ ‎8.定义在上的函数对任意两个不相等的实数，，总有，则必有（ ）‎ A. 函数先增后减 B. 函数是上的增函数 C. 函数先减后增 D. 函数是上的减函数 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数单调性的定义，在和两种情况下均可得到函数单调递增，从而得到结果.‎ ‎【详解】若，由得： 在上单调递增 若，由得： 在上单调递增 综上所述：在上是增函数 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查函数单调性的定义，属于基础题.‎ ‎9.设是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）‎ A. B. C. 0 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用求得，从而得到时解析式，利用求得结果.‎ ‎【详解】是定义在上的奇函数 ，解得：‎ 当时， ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查根据函数奇偶性求解函数值，关键是利用奇函数在处有意义时，求得函数解析式.‎ ‎10.一元二次方程有两个负根，则实数的范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 两个负根可相等或不相等，可得；利用两根之和小于零，两根之积大于零，可构造不等式组，解不等式组求得结果.‎ ‎【详解】设的两个负根为 则，解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查根据一元二次方程根的分布求解参数范围问题，关键是能够根据根的分布得到判别式、两根之和与两根之积的不等式，属于常考题型.‎ ‎11.已知函数，在上是减函数，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】因为函数，在上是减函数，‎ 所以，满足条件，故选B．‎ ‎12.定义，若，关于函数的四个命题：①该函数是偶函数；②该函数值域为；③该函数单调递减区间为；④若方程恰有两个根，则两根之和为0.四个命题中描述正确的个数是（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的定义可求得，从而得到函数图象；由图象可判断函数为偶函数、值域为，单调递减区间为；根据与两交点关于轴对称可知两根之和为，从而得到结果.‎ ‎【详解】当时，；当时，或 可得函数图象如下图所示：‎ 图象关于轴对称 为偶函数，①正确 由图象可知，值域为，单调递减区间为，②③正确 当与有两个交点时，交点关于轴对称，即两根之和为，④正确 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查根据新定义处理函数性质、值域、方程根的问题，关键是能够理解新定义的含义，得到函数的解析式和图象，利用数形结合来进行求解.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题 ‎13.设全集是实数集，，则图中阴影部分所表示的集合是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 图中阴影部分所表示的集合为．‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查集合的基本运算，是常见考题。‎ ‎14.一元二次不等式的解集是，则的值是_____‎ ‎【答案】-14‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由一元二次不等式的解集确定对应一元二次方程的根，利用韦达定理求得的值，‎ ‎【详解】由于一元二次不等式的解集是，即是方程的两个根，由韦达定理得，解得，所以.‎ ‎【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式、一元二次方程的对应关系，属于基础题.‎ ‎15.函数在区间上的最大值为3，则实数的值为______.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别在、和三种情况下，利用单调性得到最大值点，利用最大值构造方程求得.‎ ‎【详解】①当时，，不满足题意 ‎②当时，为开口方向向上，对称轴为的二次函数 当时，，解得：‎ ‎③当时，为开口方向向下，对称轴为的二次函数 当时，，解得：‎ 本题正确结果：或 ‎【点睛】本题考查根据函数的最值求解参数值的问题，考查了分类讨论的数学思想；易错点是忽略二次项系数是否为零和开口方向的讨论.‎ ‎16.数学老师给出一个定义在R上的函数f(x)，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条性质:‎ 甲:在(-∞,0)上函数单调递减; 乙:在[0,+∞] 上函数单调递增;‎ 丙:函数f(x)的图象关于直线x=1对称； 丁: f(0)不是函数的最小值．‎ 老师说:你们四个同学中恰好有三个人说的正确，则说法错误的同学是( )‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 先假设四个人中有两个人正确，由此推出矛盾，由此得到假设不成立，进而判断出说法错误的同学.‎ ‎【详解】先假设甲、乙正确，由此判断出丙、丁错误，与已知矛盾，由此判断甲、乙两人有一人说法错误，丙、丁正确.而乙、丙说法矛盾，由此确定乙说法错误.‎ ‎【点睛】本小题主要考查逻辑推理能力，涉及到函数性质，包括单调性、对称性和最值，属于基础题.‎ 三、解答题 ‎17.（1）求的值域；‎ ‎（2）求的值域.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用换元法将函数变为二次函数，根据二次函数值域求解方法求得结果；（2）利用分离常数法可求得结果.‎ ‎【详解】（1）令，则 ‎ 当时， 的值域为 ‎（2）‎ ‎ 的值域为：‎ ‎【点睛】本题考查利用分离常数法、换元法求解函数值域的问题，关键是能够熟练掌握不同形式的解析式所对应的值域求解方法.‎ ‎18.已知集合，.求：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）若且，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求解出集合；（1）根据交集定义求得结果；（2）根据交集结果可知，从而根据包含关系得到不等式，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎（2） ，即的取值范围为 ‎【点睛】本题考查集合运算中的交集运算、根据交集运算结果求解参数范围的问题，属于基础题.‎ ‎19.已知为二次函数，其图象顶点为，且过坐标原点.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）求在区间上的最大值.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）若，则最大值为0，若时， 最大值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设二次函数的顶点式方程，代入可求得，整理可得；（2）由（1）可得开口方向向上，对称轴为；分别在和两种情况下，结合二次函数图象可确定最大值点，代入求得最大值.‎ ‎【详解】（1）设解析式为：‎ 过坐标原点 ，解得：‎ ‎（2）由（1）知：为开口方向向上，对称轴为的二次函数 ‎①当时，，当时，，‎ ‎②当时，‎ ‎【点睛】本题考查待定系数法求解函数解析式、二次函数在某段区间内最值的求解问题，属于常考题型.‎ ‎20.（1）证明：函数在区间上单调递增；‎ ‎（2）若当时，不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，可将整理为 ‎，可判断出各个部分的符号得到，从而证得结论；（2）将不等式转化为，求得的最小值后，即可得到结果.‎ ‎【详解】（1）设 ‎ ，又 ‎ 在区间上单调递增 ‎（2）当时，等价于 在上单调递减，在上单调递增 又， ‎ 的取值范围为 ‎【点睛】本题考查利用定义证明函数的单调性、一元二次不等式在区间内恒成立问题的求解；求解恒成立问题的常用方法是通过分离变量的方式将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系，通过求解函数最值求得结果.‎ ‎21.已知是定义在R上的偶函数，当时，‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的解析式并画出简图；‎ ‎（3）讨论方程的根的情况。‎ ‎【答案】（1）（2）（3）当，方程无实根，当，有2个根，‎ 当，有3个根，当，有4个根 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）函数求值只需将自变量值代入函数式计算即可；（2）求时的解析式时，转化为，将其代入已知关系式，再借助于偶函数得到函数解析式，最后将解析式化成分段函数形式；（3）结合做出的函数图像可知函数值取不同值时对应的自变量个数是不同的，本题求解主要利用数形结合法 试题解析：（1）‎ 是定义在R上的偶函数 ‎（2）当时，于是 是定义在R上偶函数，‎ ‎（3）当，方程无实根 当，有2个根；‎ 当，有3个根； 当，有4个根；‎ 考点：1．函数求值；2．利用奇偶性求解析式；3．数形结合法 ‎22.已知函数 ‎ ‎（1）解关于不等式；‎ ‎（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）答案不唯一，具体见解析.（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）将原不等式化为，分类讨论可得不等式的解.‎ ‎（Ⅱ）若则；若，则参变分离后可得在恒成立，利用基本不等式可求的最小值，从而可得的取值范围.‎ ‎【详解】（Ⅰ） 即，‎ ‎ ，（ⅰ）当时，不等式解集为；‎ ‎（ⅱ）当时，不等式解集为；‎ ‎（ⅲ）当时，不等式解集为，‎ 综上所述，（ⅰ）当时，不等式解集；‎ ‎（ⅱ）当时，不等式解集为；‎ ‎（ⅲ）当时，不等式解集为 .‎ ‎（Ⅱ）对任意的恒成立，即恒成立，即对任意的，恒成立.‎ ‎①时，不等式为恒成立，此时； ‎ ‎②当时，， ‎ ‎ ， ， ，‎ 当且仅当时，即，时取“”, .‎ 综上 .‎ ‎【点睛】含参数的一元二次不等式，其一般的解法是：先考虑对应的二次函数的开口方向，再考虑其判别式的符号，其次在判别式于零的条件下比较两根的大小，最后根据不等号的方向和开口方向得到不等式的解．含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离，把恒成立问题转化为不含参数的新函数的最值问题，后者可用函数的单调性或基本不等式来求.‎ ‎ ‎