湖南师范大学附属中学2020届高三5月模拟考试数学（理）试题（含解析）

湖南师范大学附属中学2020届高三5月模拟考试数学（理）试题（含解析）

‎湖南师范大学附属学校2020 届高三5 月模拟 理科数学试题卷 本试卷共 6 页，满分 150 分，考试用时 120 分钟。‎ 理科数学试卷第 0页 共 6页 注意事项：‎ 理科数学试卷第 0页 共 6页 ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设集合 A = {(x，y) | x + y = 2}，B = {(x ，y) | y = x 2} ，则 A I B = 理科数学试卷第 0页 共 6页 A． {(1,1)} ‎B．{(-2, 4)} ‎C． {(1,1)},{(-2, 4)} ‎‎ D． F 理科数学试卷第 0页 共 6页 ‎2．已知 （ii 为虚数单位），则复数 z = 理科数学试卷第 0页 共 6页 A. ‎1+ i B.1- I C.-1+ i D.-1- i 理科数学试卷第 0页 共 6页 ‎3．现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎4．已知直线a,b 表示不同的直线,则a / /b 的充要条件是 A．存在平面 a ,使a / /a,b / /a B．存在平面 a ,使a ^a,b ^a 理科数学试卷第 0页 共 6页 C．存在直线 c ,使a ^ c,b ^ c D．存在直线c ,使a,b 与直线c 所成的角都是60o 理科数学试卷第 0页 共 6页 ‎5．函数 f (x) = 2x - 4sin x ， x Î[- ,]的图像大致是 理科数学试卷第 0页 共 6页 A. B.‎ 理科数学试卷第 0页 共 6页 C. D.‎ 理科数学试卷第 0页 共 6页 ‎6．的展开式中的常数项为 理科数学试卷第 0页 共 6页 A. 240 B. 180 C. -60 D.-80‎ ‎7．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元 222 年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图 1，类比“赵爽弦图”，可 类似地构造如图 2 所示的图形，它是由 6 个全等的三角形与中间 图1‎ ‎‎ E D C D F B C E F A A 图 2 B 理科数学试卷第 0页 共 6页 的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设 A¢F ¢ = 2F ¢A ,若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为 A. B. C. D. 理科数学试卷第 0页 共 6页 ‎8．关于函数 f (x) = 有下述三个结论：‎ 理科数学试卷第 0页 共 6页 ‎①函数 f (x) 的图象既不关于原点对称，也不关于 y 轴对称；‎ ‎②函数 f (x) 的最小正周期为π ； ③ $x0 Î R ， f (x0 ) =-1．‎ 理科数学试卷第 0页 共 6页 其中正确结论的个数为 理科数学试卷第 0页 共 6页 A．0 B．1 C．2 D．3 ‎ ‎9．设a,b, c 分别是DABC 的内角 A,B,C 的对边，已知(b + c)sin (A + C ) = (a + c)(sinA - sinC )，设 D uuur uuur uuur 理科数学试卷第 0页 共 6页 ‎3‎ 是 BC 边的中点，且DABC 的面积为 ‎，则 等于 理科数学试卷第 0页 共 6页 A．2 B．4 C．-4 D．-2‎ 理科数学试卷第 0页 共 6页 ‎10．已知椭圆 ，作倾斜角为的直线交椭圆 C 于 A,B 两点,线段 AB 的 理科数学试卷第 0页 共 6页 ‎ ‎ 中点为 M,O 为坐标原点OM 与MA 的夹角为q,且 tanq =3，则b =‎ 理科数学试卷第 0页 共 6页 ‎2‎ A．1 B．‎ ‎C． D． 6‎ ‎3‎ ‎2‎ 理科数学试卷第 0页 共 6页 ‎11．在四面体 ABCD中，AB = AC = 2，BC= 6，AD^底面ABC，G 为DDBC 的重心，且直 线 DG 与平面 ABC 所成的角是30°，若该四面体ABCD 的顶点均在球O 的表面上，则球O的 表面积是 A. 24π B. 32π C. 46π D. 49π 理科数学试卷第 0页 共 6页 ‎12．已知函数 f(x)= －1－nln x(m>0,0≤n≤e)在区间[1，e]内有唯一零点，则的取值范围为 ‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。‎ 开始 n = 1, S = 0‎ S = S + tan n p ‎3‎ n = n + 1‎ n < 2019 ?‎ 是 否 输 S 结束 ‎13．执行如图所示的程序框图，输出S 的值是 理科数学试卷第 0页 共 6页 ‎14．在锐角三角形 ABC 中，sin 2C = ‎3 cos 2C + ‎3, c cos B + b cos C = 2‎ ‎，则△ABC 的面积的取值 理科数学试卷第 0页 共 6页 ‎2‎ 范围为 。‎ 理科数学试卷第 0页 共 6页 ‎15．已知双曲线,O 是坐标原点,F 为 C 的右焦点,过 F 的直线与 C 的两条 渐近线的交点分别为 A, B , 且 ÐOAB 为直角, 记△OAF 和△OBF 的面积分别为 S△OAF , S△OBF , 若,则双曲线 C 的离心率为 。‎ 理科数学试卷第 0页 共 6页 理科数学试卷第 0页 共 6页 ‎16．已知数列{an}的前 n 项和Sn=2an-2n+1，若不等式2n2-n-3<(5-l)an对"nÎN*恒成立，则 整数l的最大值为 .‎ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：60 分。‎ 理科数学试卷第 0页 共 6页 ‎17．已知数列{an }的前 n 项和为Sn , a1 = a(a > 0, a Î N* ) , Sn = pan+1( p ¹ 0 且 p ¹ -1, n Î N* )‎ 理科数学试卷第 0页 共 6页 理科数学试卷第 0页 共 6页 ‎(1)求数列{an }的通项公式;‎ ‎(2)在① ak +1 , ak +3 , ak + 2 ,② ak + 2 , ak +1 , ak +3 这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,要使问题成立,‎ 对任意的正整数k,若将ak +1 , ak + 2 , ak +3 按 的顺序排列后构成等差数列,且公差为dk ,求p 的值 理科数学试卷第 0页 共 6页 及对应的dk .‎ ‎18．如图，在四棱锥 P - ABCD 中， PA ^ 底面 ABCD ，底面 ABCD 为平行四边形， AB ^ AC ，且 PA = AB = 3， AC = 2 ， E 是棱 PD 的中点．‎ ‎(1)求证： PB / / 平面 AEC ；‎ ‎(2)求直线 PC 与平面 AEC 所成角的正弦值；‎ ‎(3)在线段 PB 上（不含端点）是否存在一点 M ，使得二面角 M - AC - E 的余弦值为 ？若存 在，确定M 的位置；若不存在，说明理由．‎ ‎19．已知圆C 1: x2 + y2 = 2 ，圆C2: x2 + y2 = 4，如图，C1 ，C2 分别交 x 轴正半轴于点 E ， A ．射线 OD 分别交C1 ， C2 于点 B ， D ，动点 P 满足直线 BP 与 y 轴垂直，直线 DP 与 x 轴垂直．‎ ‎（1）求动点 P 的轨迹C 的方程；‎ ‎（2）过点 E 作直线l 交曲线C 与点 M ， N ，射线OH ^ l 与点 H ，且交曲线 C 于点 Q ．问：‎ 理科数学试卷第 0页 共 6页 ‎1 + 1‎ ‎的值是否是定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由．‎ 理科数学试卷第 0页 共 6页 ‎| MN | | OQ |2‎ ‎20．在党中央的正确领导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治， 二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．甲、乙两个地区采取防护措施后，统计了从 2 月 7 日到 2月 13 日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数，绘制成如图折线图：‎ 理科数学试卷第 0页 共 6页 ‎（1）根据图中甲、乙两个地区折线图的信息，写出你认为最重要的两个统计结论；‎ ‎（2）治疗“新冠肺炎”药品的研发成了当务之急，某药企计划对甲地区的 A 项目或乙地区的 B 项目投入研发资金，经过评估，对于 A 项目，每投资十万元，一年后利润是 1.38 万元、1.18 万 元、1.14 万元的概率分别为、、 ；对于 B 项目，利润与产品价格的调整有关，已知 B ．项 目产品价格在一年内进行 2 次独立的调整，每次价格调整中，产品价格下调的概率都是p(0 < p < 1) ，记 B 项目一年内产品价格的下调次数为x，每投资十万元，x取 0、1、2 时，一年后相应利润是 1.4 万元、1.25 万元、0.6 万元．记对 A 项目投资十万元，一年后利润的随机变量为x1 ，记对 B 项目投资十万元，一年后利润的随机变量为x2 ．‎ (i) 求x1 ，x2 的概率分布列和数学期望 Ex1 ， Ex2 ；‎ (ii) 如果你是投资决策者，将做出怎样的决策？请写出决策理由．‎ ‎21．设函数 f (x) = xlnx - aex ，j(x) = mx2 + x ，其中a Î R ， e 是自然对数的底数．‎ ‎（Ⅰ）若 f (x) 在(0, +¥) 上存在两个极值点，求a 的取值范围；‎ 理科数学试卷第 0页 共 6页 ‎（Ⅱ）当f ´()=00 ，设 F (x) = f (x) -j(x) ，m Î R ，若 F (x) 在(0, +¥) 上存在两个极值点 x 1，x2 ，且 x1 < x2 ，‎ 求证：x1 x2 >e2 ．‎ ‎2‎ ‎（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]‎ ìx = 2 + 2 cosj î 在直角坐标系 xOy 中，曲线C1 的参数方程为í y = 2sinj (j为参数，以原点O 为极点， x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为r= 4sinq.‎ 理科数学试卷第 0页 共 6页 ‎（1）求曲线C1 的普通方程和C2 的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知曲线C3 的极坐标方程为q=a(0 1，求 a 的取值范围；‎ ‎（2）若 a<0，对 x，y∈(－∞，a]，都有不等式 f(x)≤|y＋2020|＋|y－a|恒成立，求 a 的取值范围．‎ 理科数学试卷第 0页 共 6页