福建省建瓯市第二中学2020届高三上学期月考数学（文）试题

福建省建瓯市第二中学2020届高三上学期月考数学（文）试题

建瓯二中2020届高三上第二层月考 数学（文科）试题 满分150分 考试时间120分钟 审核：高三数学（文）备课组 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的班级、姓名、座号.‎ ‎2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.‎ ‎3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解不等式得集合B，再根据交集定义求结果.‎ ‎【详解】 ;‎ 因此，选C.‎ ‎【点睛】集合的基本运算的关注点 ‎(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．‎ ‎(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．‎ ‎(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．‎ ‎2.已知为虚数单位，复数，则（ ）‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对复数进行化简计算，然后根据复数的模长公式，得到答案.‎ ‎【详解】复数，‎ ‎∴，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查复数的运算，求复数的模长，属于简单题.‎ ‎3.设命题p：，则为（　　　　）‎ A. , B. ,‎ C. , D. ,‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用全称命题的否定是特称命题选出结果即可．‎ ‎【详解】因为全称命题的否定是特称命题,‎ 所以命题p：“”则是“,”．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,属于基础题型．‎ ‎4.等差数列中，与是方程的两根，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得+＝4＝+，代入所求即可得解．‎ ‎【详解】∵与是方程的两根，‎ ‎∴+＝4＝+，‎ 则．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的性质、一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题．‎ ‎5.已知向量，，，若，则实数 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量垂直的坐标表示求解即可 ‎【详解】因为，，‎ 所以，‎ 又，所以，‎ 即，解得.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记运算法则即可，属于常考题型.‎ ‎6.若执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（ ）‎ A. B. C. D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，，依次计算，找出规律即周期，再求时的S值。‎ ‎【详解】由程序框图可知时，；时，；时，；‎ 时 依次循环，所以S的值呈周期性变化：‎ 当时，，，故输出，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】此类程序框图循环运行次数较多，通过运行找到周期再进行计算即可。‎ ‎7.若，则等于（ ）‎ A. B. C. 3 D. 7‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分子与分母同时除以，变为关于的方程，解方程即可.‎ ‎【详解】显然，，故本题选D.‎ ‎【点睛】本题考查了同角三角函数关系中商关系，属于基础题.‎ ‎8.函数的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定函数的定义域，再判断函数的奇偶性和值域，由此确定正确选项。‎ ‎【详解】解：函数的定义域为，，‎ 则函数为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，‎ 当时，，排除A，‎ 当时，，排除C，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题通过判断函数图像考查函数的基本性质，属于基础题。‎ ‎9.已知函数（其中）的部分图象如图所示，为了得到的图象，则只需将的图象（ ）‎ A. 向右平移个长度单位 B. 向右平移个长度单位 C. 向左平移个长度单位 D. 向左平移个长度单位 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数图像，可知，可解得，再由求出，确定的解析式，再进行平移变换即可。‎ ‎【详解】解：由函数（其中）的部分图象可得，‎ ‎，求得.‎ 再根据五点法作图可得，∴.‎ 故把的图象向右平移个长度单位，可得的图象，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查的图像，以及平移变换，属于常见题型。‎ ‎10.若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有侧面和底面中，面积的最大值为（ ）‎ A. 2 B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出三视图对应的直观图，然后利用勾股定理、余弦定理以及三角形面积公式计算出四个面的面积，由此判断出面积最大值.‎ ‎【详解】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，其中，为的中点，平面，，.‎ 所以，，.‎ 又因为，，‎ 所以，故，‎ 所以.故选C.‎ ‎【点睛】本题考查三视图的知识，考查空间想象能力和运算求解能力.属于中档题.‎ ‎11.已知椭圆的左右焦点分别为，O为坐标原点，P为第二象限内椭圆上的一点，且，直线交y轴于点M，若，则该椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可知，解得，那么有，可知，根据正弦定理求出，再由，可得a,c之间的关系，确定离心率e。‎ ‎【详解】解：如图，‎ 由，得，‎ 在中，可得，即，‎ 又，∴，‎ 由，得.‎ 则，即.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题的解题关键是确定是等腰三角形，建立之间的联系进而求解。‎ ‎12.定义域为R的偶函数满足，当时，；函数，则在上零点的个数为 A. 4 B. 3 C. 6 D. 5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意得偶函数周期为2，作图可知交点个数为5，所以零点的个数为5，选D.‎ 点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知函数，则_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由分段函数的解析式，化简则，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，函数，‎ 则．‎ ‎【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中熟练应用分段函数的解析式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎14.设变量x，y满足约束条件，则的最大值为______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据约束条件做出可行域，再求的最大值。‎ ‎【详解】解：作出变量x，y满足约束条件，‎ 对应的平面区域如图：‎ 由得，‎ 平移直线，经过点A时，直线的截距最小，此时z最大.‎ 由，解得，‎ 此时，‎ 故答案为：3.‎ ‎【点睛】本题考查线性规划且不含参数，难度不大，认真做出可行域再分析即可。‎ ‎15.曲线在点处的切线方程为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求和，代入.‎ ‎【详解】，， ‎ ‎，‎ 切线方程为.‎ 故填：‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义求切线方程，属于简单题型.‎ ‎16.已知数列和满足，，即数列的前n项和为，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分别求出数列和，直接解出为等比数列，当时，，当时，可得，与已知的做差再整理可得数列，再求。‎ 详解】解：由，得.‎ 由题意知，当时，，故，‎ 当时，，和原递推式作差得，‎ ‎，整理得：，‎ ‎∴；‎ ‎，‎ 因此 ‎，‎ 两式作差得：，‎ ‎.‎ ‎【点睛】从已知的中无法直接求出，但是可以得到，两式做差可以求出数列，此时需要验证 时，是否也满足通项公式，用错位相减法求数列前n项和时需要认真计算。‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：‎ ‎17.已知，，分别是内角，，的对边，．‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，的面积为，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由正弦定理将题中关系式角化边即,然后利用余弦定理即可求得结果;‎ ‎(2)利用(1)得结合正弦定理三角形面积公式即可得出结果.‎ ‎【详解】（1）由题设及正弦定理可得.‎ 又，可得,,‎ 由余弦定理可得.‎ ‎（2）由（1）知.‎ 因为,,,.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中应用,属于基础题.‎ ‎18.某校教务处对学生学习的情况进行调研，其中一项是：对“学习数学”的态度是否与性别有关，可见随机抽取了30名学生进行了问卷调查，得到了如下联表：‎ 男生 女生 合计 喜欢 ‎10‎ 不喜欢 ‎8‎ 合计 ‎30‎ 已知在这30人中随机抽取1人，抽到喜欢“学习数学”的学生的概率是.‎ ‎（1）请将上面的列联表补充完整（在答题卷上直接填写结果，不需要写求解过程）；‎ ‎（2）若从喜欢“学习数学”的女生中抽取2人进行调研，其中女生甲被抽到的概率为多少?（要写求解过程）‎ ‎（3）试判断是否有95%的把握认为喜欢“学习数学”与性别有关？‎ 附：，其中.‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎【答案】(1)见解析；(2) (3) 没有95%的把握认为喜欢“学习数学”与性别有关.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由条件可得喜欢学数学的人数为，可根据已知喜欢学数学的男生的人数为10，算出喜欢学数学的女生人数6，从而再算出不喜欢学数学的人数，又由于已知不喜欢学数学女生的人数为8，从而算出不喜欢学数学男生的人数为6.最后填完表格；（2）算出抽到没有抽到甲的概率，再算出抽到甲的概率；（3）用公式代入和图标中数据进行比较。‎ ‎【详解】解：（1）抽到喜欢“学习数学”的学生人数是，补充完列联表如下：‎ 男生 女生 合计 喜欢 ‎10‎ ‎6‎ ‎16‎ 不喜欢 ‎6‎ ‎8‎ ‎14‎ 合计 ‎16‎ ‎14‎ ‎30‎ ‎（2）由（1）知喜欢“学习数学”的女生有6人，‎ 记其他5位女生分别为A、B、C、D、E，如果抽取两人中没有甲，则是在A、B、C、D、E五人中选取两人，一共种可能。总取法一共种可能。‎ 故所求概率为；‎ ‎（3）设：喜欢“学习数学”与性别是否有关；‎ 由已知数据得，，‎ 所以没有95%的把握认为喜欢“学习数学”与性别有关.‎ ‎【点睛】本题是一道概率和统计的综合题，但题目思考难度小，属于中等题。‎ ‎19.如图所示，四棱锥底面是直角梯形，点E是棱PC的中点，，底面ABCD，.‎ ‎（1）判断BE与平面PAD是否平行，证明你的结论；‎ ‎（2）证明：平面；‎ ‎（3）求三棱锥的体积V.‎ ‎【答案】(1)平面，证明见解析；(2)证明见解析；(3) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）应用平面几何知识证明(其中Q是PD的中点)，从而平面；（2）证明和，从而证明平面PCD，又得证；（3）算出三角形ADC的面积，再根据PA长度可算出的体积V。‎ ‎【详解】（1）证明：取PD中点Q，连EQ，AQ，则 且 ‎ 四边形ABEQ是平行四边形 故可由，平面，平面推出平面 ‎（2）证明：因为平面，平面，所以，‎ 又∵，‎ ‎∴平面PAD 又∵平面PAD ‎∴，‎ 又∵为PD的中点 ‎∴，‎ 又∵‎ ‎∴平面PCD 又∵平面PCD ‎（3）解：‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题是一道立体几何综合题，考查了线面平行，线面垂直和三棱锥体积的相关内容，但思考难度不大，属于中档题。‎ ‎20.已知抛物线上一点到其焦点距离为.‎ ‎（1）求与的值；‎ ‎（2）若斜率为的直线与抛物线交于、两点，点为抛物线上一点，其横坐标为1，记直线的斜率为，直线的斜率为，试问：是否为定值？并证明你的结论.‎ ‎【答案】（1），；（2）为定值，证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由抛物线的定义可得，解出将代入到抛物线方程即可得的值；（2）设直线的方程为，设，，联立直线与抛物线运用韦达定理可得，根据斜率的定义化简可得，进而可得结果.‎ ‎【详解】（1）根据抛物线定义，点到焦点的距离等于它到准线的距离，‎ 即，解得，‎ ‎∴抛物线方程为，‎ 点在抛物线上，得，∴．‎ ‎（2）设直线的方程为，设，，‎ 消元化简得，‎ 当即即时，直线与抛物线有两交点，‎ ‎∴．‎ 点坐标为(1，1)，，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ 所以为定值．‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的求法，考查两直线的斜率之和是否为定值的判断与求法，根的判别式、韦达定理，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．‎ ‎21.已知函数 ‎(Ⅰ)当时，求的极值；‎ ‎(Ⅱ)若在区间上是增函数，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(Ⅰ) 极小值，无极大值（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)将代入原函数，再对求导，用导数的方法判断的单调性，进而可得出其极值；‎ ‎(Ⅱ)先对求导，根据题意得到在恒成立；分离参数得到在恒成立，再设，只需用导数的方法求出在上的最大值即可.‎ ‎【详解】解：（I）当时，，，‎ 令，有 随的变化情况如下表： ‎ 极小 由上表易知，函数在时取得极小值，无极大值；‎ ‎（II）由，有， ‎ 由题设在区间上是增函数，可知在恒成立；‎ 故在恒成立，‎ 设，则只需， ‎ ‎，令，有，‎ 随的变化情况如下表： ‎ 极小 又，，故，故 ‎ 实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数单调性、极值、最值等，属于常考题型.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.已知曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（Ⅰ）求曲线和直线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）若点为曲线上一点，求点到直线的距离的最大值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) 曲线的普通方程，直线的普通方程为；‎ ‎ (Ⅱ) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(Ⅰ)由题意消去参数可得曲线的普通方程，直线的普通方程为；‎ ‎(Ⅱ)由题意设点的坐标为，结合点到直线距离公式和三角函数的性质可得根据点到直线的距离公式可得点到直线的距离的最大值是.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）消去参数可得曲线的普通方程，‎ 消去参数可得直线的普通方程为；‎ ‎（Ⅱ）∵点为曲线上一点，‎ ‎∴点的坐标为，‎ 根据点到直线的距离公式，得 ‎.‎ ‎∴.‎ ‎23.己知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若有解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由函数的解析式零点分段求解不等式的解集即可；‎ ‎(2)结合(1)的结论首先确定函数的最小值，然后求解绝对值不等式即可确定实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎①当时，.解得：.‎ ‎②当时，恒成立，即，‎ ‎③当时，.解得：.‎ 综合①②③得不等式的解集为：.‎ ‎（2）由（1）得，.‎ 所以不等式有解等价于 解得：或 ‎【点睛】绝对值不等式的解法：‎ 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎ ‎ ‎