福建省高考数学试卷理科答案与解析

福建省高考数学试卷理科答案与解析

‎2011年福建省高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1．（5分）（2011•福建）i是虚数单位，若集合S={﹣1，0，1}，则（　　）‎ A．i∈S B．i2∈S C．i3∈S D．‎ ‎【考点】虚数单位i及其性质．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】根据虚数单位i及其性质，我们分别计算出i2，i3，，再根据集合元素与集合的关系，逐一判断它们与集合S的关系，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：∵S={﹣1.0.1}，‎ ‎∴i∉S，故A错误；‎ i2=﹣1∈S，故B正确；‎ i3=﹣i∉S，故C错误；‎ ‎∉S，故D错误；‎ 故选B ‎【点评】本题考查的知识点是虚数单位i及其性质，元素与集合的关系，其中利用虚数单位i及其性质，计算出i2，i3，，是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2011•福建）若a∈R，则a=2是（a﹣1）（a﹣2）=0的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有 ‎【分析】根据一元二次方程根的定义，我们判断出a=2⇒（a﹣1）（a﹣2）=0及（a﹣1）（a﹣2）=0⇒a=2的真假，进而根据充要条件的定义即可得到答案．‎ ‎【解答】解：当a=2时，（a﹣1）（a﹣2）=0成立 故a=2⇒（a﹣1）（a﹣2）=0为真命题 而当（a﹣1）（a﹣2）=0，a=1或a=2，即a=2不一定成立 故（a﹣1）（a﹣2）=0⇒a=2为假命题 故a=2是（a﹣1）（a﹣2）=0的充分不必要条件 故选A ‎【点评】本题考查的知识点是充要条件，其中判断a=2⇒（a﹣1）（a﹣2）=0及（a﹣1）（a﹣2）=0⇒a=2是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2011•福建）若tanα=3，则的值等于（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．6‎ ‎【考点】二倍角的正弦；弦切互化．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】利用两角和公式把原式的分母展开后化简，把tanα的值代入即可．‎ ‎【解答】解：==2tanα=6‎ 故选D ‎【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值．考查了基础知识的运用．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2011•福建）如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．菁优网版权所有 ‎【专题】常规题型．‎ ‎【分析】利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答．‎ ‎【解答】解：由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P=．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查概率的计算，考查几何概型的辨别，考查学生通过比例的方法计算概率的问题，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生几何图形面积的计算方法，属于基本题型．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2011•福建）（ex+2x）dx等于（　　）‎ A．1 B．e﹣1 C．e D．e2+1‎ ‎【考点】定积分．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】求出被积函数的原函数，将积分的上限代入减去将下限代入求出差．‎ ‎【解答】解：（ex+2x）dx=（ex+x2）|01=e+1﹣1=e 故选C．‎ ‎【点评】本题考查利用微积分基本定理求定积分值．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2011•福建）（1+2x）3的展开式中，x2的系数等于（　　）‎ A．80 B．12 C．20 D．10‎ ‎【考点】二项式系数的性质．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为2，求出展开式的x2的系数．‎ ‎【解答】解：展开式的通项为Tr+1=2rC3rxr 令r=2的展开式中x2的系数等于22C32=12‎ 故选B ‎【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2011•福建）设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线r的离心率等于（　　）‎ A． B．或2 C．2 D．‎ ‎【考点】圆锥曲线的共同特征．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；压轴题．‎ ‎【分析】根据题意可设出|PF1|，|F1F2|和|PF2|，然后分曲线为椭圆和双曲线两种情况，分别利用定义表示出a和c，则离心率可得．‎ ‎【解答】解：依题意设|PF1|=4t，|F1F2|=3t，|PF2|=2t，‎ 若曲线为椭圆则2a=|PF1|+|PF2|=6t，c=t 则e==，‎ 若曲线为双曲线则，2a=4t﹣2t=2t，a=t，c=t ‎∴e==‎ 故选A ‎【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．关键是利用圆锥曲线的定义来解决．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2011•福建）已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域，上的一个动点，则•的取值范围是（　　）‎ A．[﹣1，0] B．[0，1] C．[0，2] D．[﹣1，2]‎ ‎【考点】简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 ‎【专题】数形结合．‎ ‎【分析】先画出满足约束条件的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入•分析比较后，即可得到•的取值范围．‎ ‎【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：‎ 将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式 当x=1，y=1时，•=﹣1×1+1×1=0‎ 当x=1，y=2时，•=﹣1×1+1×2=1‎ 当x=0，y=2时，•=﹣1×0+1×2=2‎ 故•和取值范围为[0，2]‎ 解法二：‎ z=•=﹣x+y，即y=x+z 当经过P点（0，2）时在y轴上的截距最大，从而z最大，为2．‎ 当经过S点（1，1）时在y轴上的截距最小，从而z最小，为0．‎ 故•和取值范围为[0，2]‎ 故选：C ‎【点评】本题考查的知识点是线性规划的简单应用，其中画出满足条件的平面区域，并将三个角点的坐标分别代入平面向量数量积公式，进而判断出结果是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2011•福建）对于函数f（x）=asinx+bx+c（其中，a，b∈R，c∈Z），选取a，b，c的一组值计算f（1）和f（﹣1），所得出的正确结果一定不可能是（　　）‎ A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和2‎ ‎【考点】函数的值．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；压轴题．‎ ‎【分析】求出f（1）和f（﹣1），求出它们的和；由于c∈Z，判断出f（1）+f（﹣1）为偶数．‎ ‎【解答】解：f（1）=asin1+b+c ①‎ f（﹣1）=﹣asin1﹣b+c ②‎ ‎①+②得：‎ f（1）+f（﹣1）=2c ‎∵c∈Z ‎∴f（1）+f（﹣1）是偶数 故选：D ‎【点评】本题考查知函数的解析式求函数值、考查偶数的特点．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2011•福建）已知函数f（x）=ex+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，给出以下判断：‎ ‎①△ABC一定是钝角三角形；‎ ‎②△ABC可能是直角三角形；‎ ‎③△ABC可能是等腰三角形；‎ ‎④△ABC不可能是等腰三角形．‎ 其中，正确的判断是（　　）‎ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④‎ ‎【考点】数列与函数的综合．菁优网版权所有 ‎【专题】综合题；压轴题；探究型；数形结合；数形结合法．‎ ‎【分析】由于函数f（x）=ex+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，由函数的定义及函数单调性进行判断即可得出正确选项，对于①正确，由函数的图象可以得出，角ABC是钝角，②亦可由此判断出；③④可由变化率判断出．‎ ‎【解答】解：由于函数f（x）=ex+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，且横坐标依次增大 由于此函数是一个单调递增的函数，故由A到B的变化率要小于由B到C的变化率．可得出角ABC一定是钝角故①对，②错．‎ 由于由A到B的变化率要小于由B到C的变化率，由两点间距离公式可以得出AB＜BC，故三角形不可能是等腰三角形，由此得出③不对，④对．‎ 故选B．‎ ‎【点评】此题考查了数列与函数的综合，求解本题的关键是反函数的性质及其变化规律研究清楚，由函数的图形结合等差数列的性质得出答案．‎ ‎　‎ 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）‎ ‎11．（4分）（2011•福建）运行如图所示的程序，输出的结果是　3　．‎ ‎【考点】伪代码．菁优网版权所有 ‎【专题】图表型．‎ ‎【分析】根据赋值语句的含义对语句从上往下进行运行，最后的a就是所求．‎ ‎【解答】解：a=1，b=2，‎ 接下来：a=1+2=3‎ 故最后输出3．‎ 故答案为：3．‎ ‎【点评】本题主要考查了赋值语句，理解赋值的含义是解决问题的关键，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2011•福建）三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P﹣ABC的体积等于　　．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；压轴题．‎ ‎【分析】由题意求出底面面积，然后求出三棱锥的体积．‎ ‎【解答】解：三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，所以底面面积为：；‎ 三棱锥的体积为：=‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题是基础题，考查三棱锥的体积的计算，注意三棱锥的特征是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2011•福建）盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于　　．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】先判断出此题是古典概型；利用排列、组合求出随机取出2个球的方法数及取出的2个球颜色不同的方法数；利用古典概型概率公式求出值．‎ ‎【解答】解：从中随机取出2个球，每个球被取到的可能性相同，是古典概型 从中随机取出2个球，所有的取法共有C52=10‎ 所取出的2个球颜色不同，所有的取法有C31•C21=6‎ 由古典概型概率公式知P=‎ 故答案为 ‎【点评】本题考查利用排列、组合求完成事件的方法数、考查利用古典概型概率公式求事件的概率．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2011•福建）如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于　　．‎ ‎【考点】解三角形．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；压轴题．‎ ‎【分析】由A向BC作垂线，垂足为E，根据三角形为等腰三角形求得BE，进而再Rt△ABE中，利用BE和AB的长求得B，则AE可求得，然后在Rt△ADE中利用AE和∠ADC求得AD．‎ ‎【解答】解：由A向BC作垂线，垂足为E，‎ ‎∵AB=AC ‎∴BE=BC=‎ ‎∵AB=2‎ ‎∴cosB==‎ ‎∴B=30°‎ ‎∴AE=BE•tan30°=1‎ ‎∵∠ADC=45°‎ ‎∴AD==‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了学生分析问题和解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2011•福建）设V是全体平面向量构成的集合，若映射f：V→R满足：对任意向量=（x1，y1）∈V，=（x2，y2）∈V，以及任意λ∈R，均有f（λ+（1﹣λ））=λf（）+（1﹣λ）f（）则称映射f具有性质P．先给出如下映射：‎ ‎①f1：V→R，f1（）=x﹣y，=（x，y）∈V；‎ ‎②f2：V→R，f2（）=x2+y，=（x，y）∈V；‎ ‎③f3：V→R，f3（）=x+y+1，=（x，y）∈V．‎ 其中，具有性质P的映射的序号为　①③　．（写出所有具有性质P的映射的序号）‎ ‎【考点】映射．菁优网版权所有 ‎【专题】压轴题；阅读型．‎ ‎【分析】求出两个向量的和的坐标；分别对三个函数求与的值，判断哪个函数具有．‎ ‎【解答】解：，则+（1﹣λ）y2}‎ 对于①，=λx1+（1﹣λ）x2﹣λy1﹣（1﹣λ）y2=λ（x1﹣y1）+（1﹣λ）（x2﹣y2）‎ 而=λ（x1﹣y1）+（1﹣λ）（x2﹣y2）满足性质P 对于②f2（λa+（1﹣λb））=[λx1+（1﹣λ）x2]2+[λy1+（1﹣λ）y2]，λf2（a）+（1﹣λ）f2（b）=λ（x12+y1）+（1﹣λ）（x22+y2）‎ ‎∴f2（λa+（1﹣λb））≠λf2（a）+（1﹣λ）f2（b），∴映射f2不具备性质P．‎ 对于③=λx1+（1﹣λ）x2+λy1+（1﹣λ）y2+1=λ（x1+y1）+（1﹣λ）（x2+y2）+1‎ 而=λ（x1+y1+1）+（1﹣λ）（x2+y2+1）═λ（x1+y1）+（1﹣λ）（x2+y2）+1‎ 满足性质p 故答案为：①③．‎ ‎【点评】本题考查理解题中的新定义、考查利用映射的法则求出相应的像．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分80分）‎ ‎16．（13分）（2011•福建）已知等比数列{an}的公比q=3，前3项和S3=．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有 ‎【专题】综合题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据等比数列的前n项和的公式及q=3化简S3=，得到关于首项的方程，求出方程的解得到首项的值，然后根据首项和公比即可写出数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）求出的通项公式求出a3的值，即可得到A的值，然后把代入正弦函数中得到函数值等于1，根据φ的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出φ的值，把φ的值代入即可确定出f（x）的解析式．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由q=3，S3=得：=，解得a1=，‎ 所以an=×3n﹣1=3n﹣2；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知an=3n﹣2，所以a3=3，‎ 因为函数f（x）的最大值为3，所以A=3；‎ 又因为当x=时，f（x）取得最大值，所以sin（2×+φ）=1，‎ 由0＜φ＜π，得到φ=．‎ 则函数f（x）的解析式为f（x）=3sin（2x+）．‎ ‎【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的前n项和的公式及通项公式化简求值，掌握正弦函数的图象与性质以及会利用待定系数法求函数的解析式，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎17．（13分）（2011•福建）已知直线l：y=x+m，m∈R．‎ ‎（Ⅰ）若以点M（2，0）为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系；直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】（I）利用待定系数法求本题中圆的方程是解决本题的关键，利用直线与圆相切的数学关系列出关于圆的半径的方程，通过求解方程确定出所求圆的半径，进而写出所求圆的方程；‎ ‎（II）设出直线为l'的方程利用直线与抛物线的位置关系解决该题，将几何问题转化为代数方程组问题，注意体现方程有几个解的思想．‎ ‎【解答】解：（I）设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为（x﹣2）2+y2=r2．由题意，所求圆与直线l：y=x+m相切于点P（0，m），则有 ‎，解得，所以圆的方程为（x﹣2）2+y2=8．‎ ‎（II）由于直线l的方程为y=x+m，所以直线l′的方程为y=﹣x﹣m，由消去y得到x2+4x+4m=0，△=42﹣4×4m=16（1﹣m）．‎ ‎①当m=1时，即△=0时，直线l′与抛物线C：x2=4y相切；‎ ‎②当m≠1时，即△≠0时，直线l′与抛物线C：x2=4y不相切．‎ 综上，当m=1时，直线l′与抛物线C：x2=4y相切；当m≠1时，直线l′与抛物线C：x2=4y不相切．‎ ‎【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系，考查学生对直线与圆相切，直线与抛物线相切的问题的转化方法，考查学生的方程思想和运算化简能力，属于基本题型．‎ ‎　‎ ‎18．（13分）（2011•福建）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y=+10（x﹣6）2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．‎ ‎（Ⅰ）求a的值；‎ ‎（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用；利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 ‎【专题】应用题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由f（5）=11代入函数的解析式，解关于a的方程，可得a值；‎ ‎（Ⅱ）商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为x=5时，y=11，所以+10=11，故a=2‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量y=‎ 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 从而，f′（x）=10[（x﹣6）2+2（x﹣3）（x﹣6）]=30（x﹣6）（x﹣4）‎ 于是，当x变化时，f（x）、f′（x）的变化情况如下表：‎ ‎ x ‎（3，4）‎ ‎4 ‎ ‎（4，6）‎ ‎ f'（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎ f（x）‎ ‎ 单调递增 极大值42 ‎ ‎ 单调递减 由上表可得，x=4是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点．‎ 所以，当x=4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42‎ 答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．‎ ‎【点评】本题函数解析式的建立比较容易，考查的重点是利用导数解决生活中的优化问题，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（13分）（2011•福建）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1，2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准 ‎（Ⅰ）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：‎ X1‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ P ‎0.4‎ a b ‎0.1‎ 且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：‎ ‎3 5 3 3 8 5 5 6 3 4‎ ‎6 3 4 7 5 3 4 8 5 3‎ ‎8 3 4 3 4 4 7 5 6 7‎ 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅰ）、（Ⅱ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．‎ 注：（1）产品的“性价比”=；‎ ‎（2）“性价比”大的产品更具可购买性．‎ ‎【考点】概率的应用；随机抽样和样本估计总体的实际应用；离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；应用题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据题意，结合期望的计算与频率分布列的性质，可得，解即可得答案；‎ ‎（Ⅱ）依据题意中，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，先由数据得到样本的频率分布列，进而可得其概率分布列，由期望公式，计算可得答案；‎ ‎（Ⅲ）由题意与（Ⅱ）的结论，可得两厂产品的期望，结合题意，计算可得他们产品的“性价比”，比较其大小，可得答案．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）根据题意，因为X1的数字期望EX1=6，则5×0.4+6a+7b+8×0.1=6，化简可得6a+7b=3.2；‎ 又由X1的频率分布列，可得0.4+a+b+0.1=1，即a+b=0.5；‎ 即，解可得a=0.3，b=0.2；‎ ‎（Ⅱ）由已知得，样本的频率分布列为 X2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8 ‎ f ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 用这个样本的频率分布估计总体的分布，将其频率视为概率，可得X2的概率分布列如下：‎ X2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8 ‎ p ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 所以EX2=3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1=4.8．‎ 即乙产品的等级系数的数学期望等于4.8；‎ ‎（Ⅲ）乙厂的产品更具有可购买性，‎ 理由如下：甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为=1，‎ 乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为=1.2；‎ 据此乙厂的产品更具有可购买性．‎ ‎【点评】本题考查概率的实际运用，是应用性的题目，整体难度不大；解题时需要认真分析、理解题意，并根据题意，选择合适的数学统计量来计算应用．‎ ‎　‎ ‎20．（14分）（2011•福建）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=，∠CDA=45°．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎（Ⅱ）设AB=AP．‎ ‎（i）若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长；‎ ‎（ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由．‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有 ‎【专题】压轴题；转化思想；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】（I）根据线面垂直的定义可得PA⊥AB，再结合DA⊥AB得到AB⊥平面PAD，最后根据平面与平面垂直的判定定理可得平面PAB与平面PAD垂直；‎ ‎（II）（i）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，根据已知数据设出B、P、E、C、D的坐标，用法向量的方法结合数量积计算公式，可得线段AB的长；‎ ‎（ii）先假设存在点G满足条件，再通过计算GB之长，与GD长加以比较，得出GB＞GD，与已知条件GB=GD=1矛盾，故不存在满足条件的点G．‎ ‎【解答】解：（I）证明：∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD ‎∴PA⊥AB 又∵AB⊥AD，PA∩AD=A ‎∴AB⊥平面PAD 又∵AB⊂平面PAB，‎ ‎∴平面PAB⊥平面PAD ‎（II）（i）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz（如图）‎ 在平面ABCD内，作CE∥AB交于点E，‎ 则CE⊥AD ‎ 在Rt△CDE中，DE=CD•cos45°=1，‎ ‎ CE=CD•sin45°=1‎ 设AB=AP=t，则B（t，0，0），P（0，0，t）‎ 由AB+AD=4，得AD=4﹣t，‎ 所以E（0，3﹣t，0），C（1，3﹣t，0），D（0，4﹣t，0）‎ ‎，‎ 设平面PCD的法向量为=（x，y，z）‎ 由，，得 取x=t，得平面PCD的一个法向量为 又，故由直线PB与平面PCD所成的角为30°得 cos（90°﹣30°）==‎ 即 解得或t=4（舍去，因为AD=4﹣t＞0）‎ 所以AB=‎ ‎（ii）假设在线段AD上存在一个点G到P、B、C、D的距离都相等 由GC=GD，得∠GCD=∠GDC=45° ‎ 从而∠CGD=90°，即CG⊥AD 所以GD=CD•cos45°=1‎ 设AB=λ，则AD=4﹣λ，AG=AD﹣GD=3﹣λ 在Rt△ABG中，‎ GB=‎ 这GB=GD与矛盾．‎ 所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到B、C、D的距离都相等．‎ 从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P、B、C、D的距离都相等．‎ ‎【点评】本小题主要考查空间中的线面关系，考查面面垂直的判定及线面角的计算，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力，考查转化思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）（2011•福建）本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．‎ ‎（1）选修4﹣2：矩阵与变换 设矩阵 （其中a＞0，b＞0）．‎ ‎（Ⅰ）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M﹣1；‎ ‎（Ⅱ）若曲线C：x2+y2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：，求a，b的值．‎ ‎（2）（本小题满分7分）选修4﹣4：坐标系与参数方程 在直接坐标系xOy中，直线l的方程为x﹣y+4=0，曲线C的参数方程为．‎ ‎（Ⅰ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；‎ ‎（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．‎ ‎（3）（本小题满分7分）选修4﹣5：不等式选讲 设不等式|2x﹣1|＜1的解集为M．‎ ‎（Ⅰ）求集合M；‎ ‎（Ⅱ）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小．‎ ‎【考点】逆变换与逆矩阵；椭圆的参数方程；绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；压轴题；选作题．‎ ‎【分析】（1）（Ⅰ）直接根据求逆矩阵的公式求解，即M=，则代入a，b即可求解 ‎（Ⅱ）设出曲线C：x2+y2=1任意一点为（x0，y0）经矩阵M所对应的线性变换作用下得到的点为（x，y），即可根据矩阵乘法M（x0，y0）=（x，y）得到关于x0，y0与x，y间的关系，即将之代入得到的含x0，y0的方程应与x2+y2=1相同，根据待定系数即可运算 ‎（2）（Ⅰ）将P的极坐标（4，）根据公式化为直角坐标坐标为（0，4），则根据直角坐标系下点与直线的位置关系判断即可 ‎（Ⅱ）根据曲线C的参数方程为，设出曲线C上任一点到直线l的距离为d，则根据点到直线的距离公式知d=，即d=，而2sin（）∈[﹣2，2]，则d的最小值为 ‎（3）（Ⅰ）直接根据绝对值不等式的意义（（|a﹣b|表示a﹣b与原点的距离，也表示a与b之间的距离）知：﹣1＜2x﹣1＜1即可求解 ‎（Ⅱ）要比较ab+1与a+b的大小，只需比较（ab+1）﹣（a+b）与0的大小，而（ab+1）﹣（a+b）=（a﹣1）（b﹣1）再根据a，b∈M即可得到（a﹣1）（b﹣1）的符号，即可求解．‎ ‎【解答】（1）解：（Ⅰ）∵‎ ‎∴‎ 将a=2，b=3代入即得：‎ ‎（Ⅱ）设出曲线C：x2+y2=1任意一点为（x0，y0）经矩阵M所对应的线性变换作用下得到的点为（x，y），‎ ‎∵M（x0，y0）=（x，y）‎ ‎∴‎ 将之代入得：‎ 即 ‎∵a＞0，b＞0‎ ‎∴‎ ‎（2）（Ⅰ）解∵P的极坐标为（4，），‎ ‎∴P的直角坐标为（0，4）‎ ‎∵直线l的方程为x﹣y+4=0‎ ‎∴（0，4）在直线l上 ‎（Ⅱ）∵曲线C的参数方程为，直线l的方程为x﹣y+4=0‎ 设曲线C的到直线l的距离为d 则d==‎ ‎∵2sin（）∈[﹣2，2]‎ ‎∴d的最小值为 ‎（3）（Ⅰ）解：∵|2x﹣1|＜1‎ ‎∴﹣1＜2x﹣1＜1‎ 即0＜x＜1‎ 即M为{x|0＜x＜1}‎ ‎（Ⅱ）∵a，b∈M ‎∴a﹣1＜0．b﹣1＜0‎ ‎∴（b﹣1）（a﹣1）＞0‎ ‎∴（ab+1）﹣（a+b）=a（b﹣1）+（1﹣b）=（b﹣1）（a﹣1）＞0‎ 即（ab+1）＞（a+b）‎ ‎【点评】本题考查了逆变换与逆矩阵，以及待定系数法求解a，b的方法，椭圆的参数方程，绝对值不等式的解法，作差法比较大小的相关知识，属于基础题．‎