初三数学知识点整理

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初三数学知识点整理 一、 《二次函数》 1、二次函数的定义：形如 y=ax 2 +bx+c (a≠0)形式叫二次函数。 2、解析式的形式：①一般式：y=ax 2 +bx+c (a≠0) ②顶点式：y=a(x-h) 2 +k 3、图像性质： 函数 顶点坐标 对称轴 极值 y=ax 2 （0，0） Y 轴（直线 x=0） Y=0 y=ax 2 +c （0，c） Y 轴（直线 x=0） Y=0 y=a(x-h) 2 (h, 0) 直线 x=h Y=h y=a(x-h) 2 +k (h, k) 直线 x=h Y=h y=ax 2 +bx+c （ a b 2 ， a bac 4 4 2 ） 直线 x= a b 2 , Y= a bac 4 4 2 【顶点的横坐标即图像的对称轴，纵坐标即函数的极值】 4 、 a、b、c 的作用 1 a 决定：图像的开口方向，a＞0，开口向上，a＜0,开口向下。 2 |a ︳决定：图像的开口大小 ，|a ︳越大，开口越小。 ②a、b 共同决定：对称轴，当 a、b 同号时，对称轴在 y 轴的左侧。 当 a、b 异号时，对称轴在 y 轴的右侧。 ③c 决定：图像与 Y 轴交点的纵坐标。 5、变换求解析式时，考虑两个方面： 1 a 的值 2 顶点的变化 6 二次函数与一元二次方程 对于二次函数 y=ax 2 +bx+c（a≠0）,当 Y=0 时，得一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 当 b 2 －4ac＞0 时，方程有两个不相等的实数根，抛物线与 x 轴有两个交点，交 点横坐标为方程的实根。 当 b 2 －4ac=0 时，方程有两个相等的实数根，抛物线与 x 轴有且只有一个交点， 交点横坐标为方程的实根。 当 b 2 －4ac＜0 时，方程没有实数根，抛物线与 x 轴没有交点。 7、对于二次函数 y=ax 2 +bx+c（a≠0） ①如何求与 x 轴的交点坐标：令 y=0 代入函数关系式，解得方程的根即为交点的 横坐标。 ②如何求与 y 轴的交点坐标： 令 x=0 代入函数关系式。交点坐标为（0，c） ③如何求两个函数图像的交点坐标：将两个函数解析式组成方程组求解。 8、对于二次函数 y=ax 2 +bx+c（a≠0） ①当图像顶点在 x 轴上时， b 2 －4ac=0 对应解析式为 y=a(x-h) 2 ②当图像顶点在 y 轴上时， b=0 对应解析式为 y=ax 2 +c ③当图像顶点在原点时， a=0, c=0 对应解析式为 y=ax 2 ④当图像过原点时， c=0 对应解析式为 y=ax 2 +bx 9、①方程 ax 2 +bx+c=K 的解为函数 y=ax 2 +bx+c 与直线 Y=K 的交点的横坐标。 ②抛物线的对称轴方程为 2 21 xx  ，其中 x 1 ，x 2 为图像上两对称点的横坐标。 ③抛物线上对称点的坐标特征是：纵坐标相同。 ④对于函数 y=ax 2 +bx+c，当 x=1 时，y=a+b+c, 当 x=－1 时，y=a-b+c, 当 x=2 时，y=4a+2b+c, 当 x=－2 时，y=4a-2b+c, ∠A的邻边b ∠A的对边a 斜边c C B A 二、《一函数、反比列函数》 函数 表达式 象 限 增减性 一次函数 Y=kx+b(k≠0) K＞0,一、三 K＜0,二、四 K＞0,↑ K＜0,↓ 反比例函数 Y= x k (k≠0,x≠0) K＞0, 一、三 K＜0,二、四 K＞0, ↓ K＜0, ↑ 三、三角函数 ∠A 的余弦，记作 cosA，即 cosA= A 的邻边 斜边 = c b ； ∠A 的正切，记作 tanA，即 tanA= A A   的对边 的邻边 = a b ． ∠A 的正弦，记作 sinA，即 sinA= 斜边 的对边 = a c ； 30° 45° 60° siaA cosA tanA 四、《圆》 1、几种位置关系 ①点与圆的位置关系： 点在圆外 点在圆上 点在圆内 ②直线与圆的位置关系：相离 相切 相交 ③圆与圆的位置关系：外离 内含 外切 内切 相交 D C B A O 2、判断位置关系的方法： 点与圆：d 与 r 的大小（d：圆心到点的距离） 直线与圆：d 与 r 的大小（d：圆心到直线的距离） 圆与圆： 3、几个定理 ①垂径定理：∵AB 过圆心，AB⊥CD ∴CE=DE,BC=BD,AC=AD ②等对等定理：在同圆或等圆中，两个圆心角， 两条弦，两条弧，有一组量等， 其余各组量都等。 ③圆周角定理及推论 在⊙O 中，∵∠A,∠B 都对 DC, ∴∠A=∠B 在⊙O 中，∵∠A,∠O 都对 DC, ∴∠A= 2 1 ∠O 在⊙O 中，∵∠A=90°∴BC 为⊙O 直径 ∵BC 为⊙O 直径∴∠A=90° 1 切线的性质定理：圆的切线垂直与过切点的直径（半径） ∵AB 切⊙O 于点 C, ∴OC⊥AB 【遇切线常用的辅助线是连接圆心和切点，得垂直，得半径】 2 切线的判定方法： D C A B o O C B A C A B O B A C E D O B A C O ⅰ当直线与圆无公共点时，过圆心向直线作垂线 d， 证 d 等于 r。 ⅱ当直线与圆有公共点时，连接圆心和公共点，证连 得的半径和直线垂直。 ③切线长定理： ∵PA、PB⊙O 与点 A、B， ∴PA=PB,PO 平分∠APB 4、三角形内心：三角形内切圆圆心，是三个内角平分线的交点，到三角形三边 的距离相等。 三角形外心：三角形外接圆圆心，是三边垂直平分线的交点，到三角形三顶 点的距离相等。 5、公式 ①直角三角形的外接圆半径 R= 2 c ，内切圆半径 r= 2 cba  3 O 是外心， ∠A 为锐角时，则∠BOC= 2 1 ∠A ∠A 为钝角时，则∠BOC=360°－2∠A ③O 是内心， ∠BOC=90°＋ 2 1 ∠A ④弧长 L= 180 rn 扇形面积 S= 360 2rn 或 S= 2 1 lR ⑤S 圆锥侧面 =πrl 母 ⑥S 圆柱侧面 =2πrl 母 3 正多边形中的几个概念： 中心：正多边形的外接圆圆心，也是内切圆圆心。 半径: 正多边形的外接圆半径，即中心到顶点的距离。 边心距；中心到一边的垂线段，是内切圆半径。 中心角：正多边形一边所对的圆心角。 4 正 n 边形内角和=180°（n-2） 中心角= n 0360 五、《一元二次方程》 n R B O A D j r L r h O B A P j D r R B A O 1、一元二次方程的一般形式为：ax 2 +bx+c=0 (a≠0), 二次项：ax 2 ，一次项：bx ， 常数项：c 二次项系数：a ，一次项系数：b 2、解法 2x 2 -5x+2=0（配方法） 2x 2 -5x+2=0 ( 公式法) 六、《三角形 四边形》 1、中点四边形的形状和原四边形的对角线有关： 一般四边形的中点四边形是平行四边形。 原四边形的对角线相等．．．．．，中点四边形为菱形．．。 原四边形的对角线垂直．．．．．，中点四边形为矩形．．。 2、中点四边形的周长=原四边形对角线和 中点四边形的面积=原四边形面积的一半 3、梯形的中位线性质：平行上底下底，等于上下底和的一半。 4、①边长为 a 的等边三角形面积 S= 2 4 3 a ②梯形的面积 S= )(2 1 下上  ×高÷2 或 =中位线×高 ③菱形面积 S=底×高 或 S=对角线乘积的一半 ④对角线垂直的四边形面积 S=对角线乘积的一半 6、基本图形： 七、四边形的判定 1、平行四边形的判定： 两组对边分别平行的四边形 两组对边分别相等的四边形 一组对边平行且相等的四边形 对角线互相平分的四边形 2、矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形 对角线相等的平行四边形 三角是直角的四边形 3、菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形 对角线垂直的平行四边形 四边相等的四边形 7、正方形的判定：一组邻边相等，有一个角为直角的平行四边形 有一个角是直角的菱形 一组邻边相等的矩形 8、等腰梯形的判定：两腰相等的梯形 同一底上的两角相等的梯形 八、《方差》等 方差 S 2 = 方差、极差、标准差越小，数据的波动越小，数据越稳定。 极差：最大数减最小数。 标准差：方差的算术平方根。 众数：一组数据中出现次数最多的那个数 中位数：将数据从小到大排序后，中间的那个数或中间两数的平均数 九、《二次根式》 1、代数式有意义的 x 的取值范围： ① x 1 （x≠0） ② x (x≥0) ③ x 1 (x＞0) 2、 2a = a = （ a ）=a (a≥0) 3、最简二次根式：①被开方数中不含有开得尽方的因数或因式 ②分母中不含根号，如 ③根号中不含分母，如 十、分式：形如 B A 分式有意义的条件：B≠0 分式无意义的条件：B≠0 分式值为 0 的条件：A=0,B≠0