高中数学第7章(第9课时)两条直线的位置关系4

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高中数学第7章(第9课时)两条直线的位置关系4

课 题:7.3两条直线的位置关系(四)‎ ‎―点到直线的距离公式 教学目的:‎ ‎1. 理解点到直线距离公式的推导,熟练掌握点到直线的距离公式; ‎2. 会用点到直线距离公式求解两平行线距离 ‎3. 认识事物之间在一定条件下的转化,用联系的观点看问题 教学重点:点到直线的距离公式 教学难点:点到直线距离公式的理解与应用.‎ 授课类型:新授课 课时安排:1课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析:   前面几节课,我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件,两直线的夹角公式,两直线的交点问题,逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节,我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离.‎ 在引入本节的研究问题:点到直线的距离公式之后,引导学生分析点到直线距离的求解思路,一起分析探讨解决问题的各种途径,通过比较选择其中一种较好的方案来具体实施,以培养学生研究问题的习惯,分析问题进而解决问题的能力.‎ 在解决两平行线的距离问题时,注意启发学生与点到直线的距离产生联系,从而应用点到直线的距离公式求解 教学过程:‎ 一、复习引入: ‎ ‎1.特殊情况下的两直线平行与垂直.‎ 当两条直线中有一条直线没有斜率时:‎ ‎(1)当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角都为90°,互相平行;‎ ‎(2)当另一条直线的斜率为0时,一条直线的倾斜角为90°,另一条直线的倾斜角为0°,两直线互相垂直 ‎2.斜率存在时两直线的平行与垂直:‎ 两条直线有斜率且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,则它们平行,即=且 已知直线、的方程为:,‎ ‎:‎ ‎∥的充要条件是 ‎ ‎⑵两条直线垂直的情形:如果两条直线的斜率分别是和,则这两条直线垂直的充要条件是.‎ 已知直线和的一般式方程为:,‎ ‎:,则.‎ ‎3.直线到的角的定义及公式:‎ 直线按逆时针方向旋转到与重合时所转的角,叫做到的角. 到的角θ:0°<θ<180°, 如果如果,‎ ‎4.直线与的夹角定义及公式: ‎ 到的角是, 到的角是π-,当与相交但不垂直时, 和π-仅有一个角是锐角,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角.当直线⊥时,直线与的夹角是.夹角:0°<≤90°.如果如果,.‎ ‎5.两条直线是否相交的判断 两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组:‎ 是否有惟一解 二、讲解新课:‎ ‎1.点到直线距离公式:‎ 点到直线的距离为:‎ ‎ (1)提出问题 在平面直角坐标系中,如果已知某点P的坐标为,直线的方程是,怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离呢?‎ ‎(2)解决方案 方案一:根据定义,点P到直线的距离d是点P到直线的垂线段的长. ‎ 设点P到直线的垂线段为PQ,垂足为Q,由PQ⊥可知,直线PQ的斜率为(A≠0),根据点斜式写出直线PQ的方程,并由与PQ的方程求出点Q的坐标;由此根据两点距离公式求出|PQ|,得到点P到直线的距离为d ‎ 此方法虽思路自然,但运算较繁.下面我们探讨别一种方法 方案二:设A≠0,B≠0,这时与轴、轴都相交,过点P作轴的平行线,交于点;作轴的平行线,交于点,‎ 由得.‎ 所以,|PR|=||=‎ ‎|PS|=||=‎ ‎|RS|=×||由三角形面积公式可知:·|RS|=|PR|·|PS|‎ 所以 可证明,当A=0或B=0时,以上公式仍适用 ‎2.两平行线间的距离公式 已知两条平行线直线和的一般式方程为:,‎ ‎:,则与的距离为 证明:设是直线上任一点,则点P0到直线的距离为 又 ‎ 即,∴d= ‎ 三、讲解范例:‎ 例1 求点到下列直线的距离.‎ ‎(1);(2) ‎ 解:(1)根据点到直线的距离公式得 ‎(2)因为直线平行于轴,所以 ‎ 评述:此例题(1)直接应用了点到直线的距离公式,要求学生熟练掌握;‎ ‎(2)体现了求点到直线距离的灵活性,并没局限于公式.‎ 例2 求两平行线:,:的距离.‎ 解法一:在直线上取一点P(4,0),因为∥,所以点P到的距离等于与的距离.于是 解法二:∥又.‎ 由两平行线间的距离公式得 ‎ 四、课堂练习:‎ 课本P53练习 ‎1.求原点到下列直线的距离:‎ ‎(1)3+2-26=0;(2) =‎ 解:(1).(2)∵原点在直线=上,∴d=0‎ ‎2.求下列点到直线的距离:‎ ‎(1)A(-2,3),3+4+3=0;(2)B(1,0),+-=0;‎ ‎(3)C(1,-2),4+3=0.‎ 解:(1) (2)‎ ‎(3) ‎ ‎3.求下列两条平行线的距离:‎ ‎(1)2+3-8=0,2+3+18=0,‎ ‎(2)3+4=10,3+4=0.‎ 解:(1)在直线2+3-8=0上取一点P(4,0),则点P到直线2+3+18的距离就是两平行线的距离,∴d=‎ ‎(2)在直线3+4=0上取一点O(0,0),则点O到直线3+4=10的距离就是两平行线的距离,∴=2‎ 五、小结 :‎ 点到直线距离公式的推导过程,点到直线的距离公式,能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式 六、课后作业:‎ 课本P53习题7.3‎ ‎13.求点P(-5,7)到直线12+5-3=0的距离.‎ 解:‎ ‎14.已知点A(,6)到直线3-4=2的距离d取下列各值,求的值:‎ ‎(1)d=4,(2)d>4‎ 解:(1)=4,解得=2或=‎ ‎(2)>4,解得<2或>‎ ‎15.已知两条平行线直线和的一般式方程为:,‎ ‎:,则与的距离为 证明:设是直线上任一点,则点P0到直线的距离为 又 ‎ 即,∴d= ‎ ‎16.求两条平行线3-2-1=0和3x-2+1=0的距离 解:在直线3-2-1=0上任取一点P(0,-),则点P到直线3‎ ‎-2+1=0的距离就是两平行线间距离, ‎ 七、板书设计(略)‎ 八、课后记:‎ ‎ ‎
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