高考数学专题复习教案： 数列求和备考策略

高考数学专题复习教案： 数列求和备考策略

数列求和备考策略 主标题：数列求和备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。‎ 关键词：数列，错位相减，裂项，分组，备考策略 难度：4‎ 重要程度：5‎ 内容 必备知识 求通项公式的方法 ‎(1)观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式an；‎ ‎(2)利用前n项和与通项的关系an＝ ‎(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式；‎ ‎(4)累加法：如an＋1－an＝f(n)，累积法，如＝f(n)；‎ ‎(5)转化法：an＋1＝Aan＋B(A≠0，且A≠1)．‎ 常用公式 等差数列的前n项和，等比数列的前n项和，1＋2＋3＋…＋n＝，12＋22＋32＋…＋n2＝.‎ 常用裂项方法 ‎(1)＝－；‎ ‎(2)＝（－）.‎ 必备方法 ‎1．利用转化，解决递推公式为Sn与an的关系式：数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系：an＝通过纽带：an＝Sn－Sn－1(n≥2)，根据题目求解特点，消掉一个an或Sn.然后再进行构造成等差或者等比数列进行求解．如需消掉Sn，可以利用已知递推式，把n换成(n＋1)得到新递推式，两式相减即可．若要消掉an，只需把an＝Sn－Sn－1代入递推式即可．不论哪种形式，需要注意公式an＝Sn－Sn－1成立的条件n≥2.‎ ‎2．裂项相消法的基本思想是把数列的通项an分拆成an＝bn＋1－bn或者an＝bn－bn＋1或者an＝bn＋2－bn 等，从而达到在求和时逐项相消的目的，在解题中要善于根据这个基本思想变换数列{an}的通项公式，使之符合裂项相消的条件．‎ ‎3．错位相减法适用于数列由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积构成的数列的求和，乘以等比数列的公比再错位相减，即依据是：cn＝anbn，其中{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，则qcn＝qanbn＝anbn＋1，此时cn＋1－qcn＝(an＋1－an)bn＋1＝dbn＋1，这样就把对应相减的项变为了一个等比数列，从而达到求和的目的.‎ 考点一　分组转化法求和 ‎【例1】 已知数列{an}的通项公式是an＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，求其前n项和Sn.‎ 解　Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n](ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln 3，‎ 所以当n为偶数时，‎ Sn＝2×＋ln 3＝3n＋ln 3－1；‎ 当n为奇数时，‎ Sn＝2×－(ln 2－ln 3)＋‎ ‎＝3n－ln 3－ln 2－1.‎ 综上所述，Sn＝ ‎【备考策略】 (1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解．‎ ‎(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式．‎ 考点二　裂项相消法求和 裂项相消法求和是历年高考的重点，命题角度凸显灵活多变，在解题中要善于利用裂项相消的基本思想，变换数列an的通项公式，达到求解目的．归纳起来常见的命题角度有：‎ ‎(1)形如an＝型；‎ ‎(2)形如an＝ 型；‎ ‎(3)形如an＝型．‎ 角度一　形如an＝型 ‎1．在等比数列{an}中，a1>0，n∈N*，且a3－a2＝8，又a1、a5的等比中项为16.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝log4an，数列{bn}的前n项和为Sn，是否存在正整数k，使得＋＋＋…＋0，Sn＝n2＋n.‎ 于是a1＝S1＝2，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.‎ 综上可知，数列{an}的通项公式an＝2n.‎ ‎(2)证明：由于an＝2n，‎ bn＝，则bn＝＝ Tn＝ ‎＝ ‎<＝.‎ ‎【备考策略】利用裂项相消法求和的注意事项 ‎(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；‎ ‎(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{an}是等差数列，则＝，＝.‎ 考点三　错位相减法求和 ‎【例3】设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＋＝λ(λ为常数)，令cn＝b2n，(n∈N*‎ ‎)，求数列{cn}的前n项和Rn.‎ 解　(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.‎ 由S4＝4S2，a2n＝2an＋1，得 解得a1＝1，d＝2.‎ 因此an＝2n－1，n∈N*.‎ ‎(2)由题意知Tn＝λ－，‎ 所以n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝－＋＝.‎ 故cn＝b2n＝＝(n－1)()n－1，n∈N*，‎ 所以Rn＝0×()0＋1×()1＋2×()2＋3×()3＋…＋(n－1)×()n－1，‎ 则Rn＝0×()1＋1×()2＋2×()3＋…＋(n－2)×()n－1＋(n－1)×()n，‎ 两式相减得 Rn＝()1＋()2＋()3＋…＋()n－1－(n－1)×()n＝－(n－1)×()n＝－()n，‎ 整理得Rn＝(4－)．‎ 所以数列{cn}的前n项和Rn＝(4－)．‎ ‎【备考策略】 (1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．‎ ‎(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．‎