天津市静海区第一中学2019-2020学年高一12月学业能力调研数学试题

天津市静海区第一中学2019-2020学年高一12月学业能力调研数学试题

静海一中2019-2020第一学期高一数学（12月）‎ 学生学业能力调研试卷 一、选择题:（每小题4分，共36分）‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式简化集合的表示，用列举法表示集合，最后根据集合交集的定义求出.‎ ‎【详解】，，‎ 又，所以，故本题选C.‎ ‎【点睛】本题考查了列举法表示集合、集合交集的运算，正确求解出不等式的解集是解题的关键.‎ ‎2.命题“”的否定是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用全称命题的否定解答即得解.‎ ‎【详解】所给命题为全称量词命题，故其否定为存在量词命题，同时要否定结论，‎ 所以所给命题的否定为.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.‎ ‎3.已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．‎ ‎【详解】,故 故选：C ‎【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，熟记指对函数的单调性与底的关系是关键，属于基础题．‎ ‎4.函数（且）的图象必过点（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据列式，求得函数图像所过定点.‎ ‎【详解】当时，，则，∴函数的图像必过点.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查对数中，属于基础题.‎ ‎5.在下列各个区间中，函数的零点所在区间是 (   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为连续函数，所以，，，,所以，函数的零点所在区间是,故选C.‎ ‎6.设函数为定义在上的奇函数，且当时，（其中为实数），则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由函数奇偶性，结合题意求出，计算出，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为为定义在上的奇函数，当时，，‎ 则，解得，则，‎ 所以，因此.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求函数值，熟记奇偶性的概念即可，属于常考题型.‎ ‎7.已知，，则是的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 解出两个不等式的解集,根据真子集关系可得.‎ ‎【详解】因为;‎ ‎,‎ 又Ü,‎ 所以命题是的充分非必要条件,‎ 故选.‎ ‎【点睛】本题考查了充分非必要条件,对数不等式和一元二次不等式解法,属于基础题.‎ ‎8.设函数，则使得成立的的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数定义域为，先分析函数的奇偶性再分析函数的单调性，根据奇偶性和单调性将转变为与之间的关系，从而求解出的取值范围.‎ ‎【详解】因为函数定义域为且，所以 是偶函数，‎ 又因为时，是增函数，所以在上是减函数，‎ 因为，所以，所以，所以.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，难度一般.已知函数值之间的不等关系可通过单调性将其转变为自变量之间的关系，再通过奇偶性将取值范围的求解扩充到整个定义域.‎ ‎9.已知函数，当时，，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据条件的函数单调性,再根据函数单调性列不等式,解得结果.‎ ‎【详解】因为当时，，所以为定义域内单调性减函数,‎ 因此，选A.‎ ‎【点睛】分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.‎ 二、填空题：（每小题4分，共20分）‎ ‎10.已知扇形OAB的圆心角为，其面积是则该扇形的周长是______cm ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设扇形的半径为,弧长为,然后根据圆心角和面积列方程组成方程组可解得.‎ ‎【详解】设扇形的半径为,弧长为,‎ 依题意可得,,解得,‎ 所以扇形的周长为.‎ 故答案为:6‎ ‎【点睛】本题考查了扇形中圆心角的弧度数公式和扇形的面积公式,属于基础题.‎ ‎11.若，，，则最小值为______.‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件把1用替换,再由基本不等式,即可求解.‎ ‎【详解】=‎ 当且仅当时,等号成立.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式求最值,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎12.函数 的最小值为______ ．‎ ‎【答案】-4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 换元,令,则,,再利用二次函数的单调性可求最小值.‎ ‎【详解】 ,令,‎ 因为 ,所以,‎ 则,‎ 在上递减，在上递增，‎ 所以当t=2时函数取得最小值-4．‎ 故答案为-4．‎ ‎【点睛】本题考查了二次函数在闭区间上的最值,属中档题.‎ ‎13.角的终边经过点，且，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值．‎ ‎【详解】解：角的终边经过点，且，‎ ‎，则，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．‎ ‎14.函数是幂函数，且为奇函数，则实数的值是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数为幂函数列式，求得的可能取值，再根据函数为奇函数，确定的值.‎ ‎【详解】∵是幂函数，∴，∴，‎ 解得或，当时，，是奇函数，符合题意；‎ 当时，，是偶函数，不符合题意， ∴．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据函数为幂函数且为奇函数，求参数的值，属于基础题.‎ 三、解答题（64分）‎ ‎15.化简求值：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据指数的运算律可计算出结果；‎ ‎（2）根据对数的运算律、对数恒等式以及换底公式可计算出结果.‎ ‎【详解】（1）原式；‎ ‎（2）原式.‎ ‎【点睛】本题考查指数与对数的计算，解题时要充分熟悉指数与对数的运算律、对数恒等式以及换底公式，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎16.函数的定义域为，函数.‎ ‎（1）若时，的解集为，求；‎ ‎（2）若存在使得不等式成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出集合A，B，由交集运算的定义，可得A∩B；‎ ‎（2）若存在使得不等式g（x）≤﹣1成立，即存在使得不等式﹣m成立，得﹣m≥（）min，解得实数m的取值范围．‎ ‎【详解】（1）由x2+2x﹣8＞0，解得：x∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），‎ 故则函数f（x）＝log3（x2+2x﹣8）的定义域A＝（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），‎ 若m＝﹣4，g（x）＝x2﹣3x﹣4，由x2﹣3x﹣4≤0，解得：x∈[﹣1，4]，则B＝[﹣1，4]‎ 所以A∩B＝（2，4]； ‎ ‎（2）存在使得不等式x2+（m+1）x+m≤﹣1成立，‎ 即存在使得不等式﹣m成立，所以﹣m≥（）min ‎ 因为x+11≥1，‎ 当且仅当x+1＝1，即x＝0时取得等号 所以﹣m≥1，‎ 解得：m≤﹣1．‎ 点睛】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式，集合的交集，函数存在性问题，函数的最值，基本不等式的应用，难度中档．‎ ‎17.（1）若与，在区间是减函数，求的取值范围.‎ ‎（2）若函数在区间上是减函数，求a的取值范围.‎ ‎（3）在区间(‎3m-2,m+2)内单调递增,求实数m的取值范围.‎ ‎（4）已知函数,若的定义域为R，求a的取值范围（只写出关系式不需要计算）‎ 通过解答上述习题，请归纳解此类题注意什么问题?（至少写出两点）‎ ‎【答案】（1）（2）[-4,4] （3）[,2）（4） 注意问题见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据二次函数的图像,区间在对称轴右侧即可,再由反比例函数单调性由比例系数正负确定,即可求出的取值范围;‎ ‎（2）令,根据复合函数的单调性关系,只需在单调递增，且恒大于0，即可求出的取值范围;‎ ‎（3）先确定单调递增区间，(‎3m-2,m+2)是单调递增区间的子集，即可求出的取值范围;‎ ‎（4）函数的定义域为R，即在R恒成立，即可求出的取值范围.‎ ‎【详解】（1）对称轴为直线,‎ 在区间是减函数,,‎ ‎,在区间是减函数, ,‎ 的取值范围为;‎ ‎（2）在是减函数 在单调递增，且恒大于0‎ 解得,‎ 的取值范围为;‎ ‎（3）函数定义域需满足,‎ ‎,即 解得,‎ 定义域是 对称轴为直线 单调递增区间是,‎ 在区间(‎3m-2,m+2)内单调递增须,‎ 解得,‎ 的取值范围为;‎ ‎（4）已知函数,若的定义域为,‎ 在上恒成立,‎ 的取值范围为.‎ 解此类题目注意:‎ ‎（1）研究函数性质必须要使函数有意义,即定义域优先原则，‎ 凡是自变量的范围都得是定义域的子集;‎ ‎（2）一次函数,二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数单 调性要熟练掌握;‎ ‎（3）如何求对数函数的定义域;‎ ‎（4）复合函数的单调性求法.‎ ‎【点睛】本题考查函数的定义域以及函数的单调性,要注意在研究函数的单调性时,必须确保函数有意义,即单调区间是定义域的子集,属于中档题.‎ ‎18.已知函数为奇函数．‎ ‎（1）求a的值，并证明是R上的增函数；‎ ‎（2）若关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0的解集非空，求实数k的取值范围．‎ ‎【答案】（1），证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由奇函数在0处有定义时计算可得.证明在上为增函数时,设,再计算,化简证明即可. (2)先根据奇偶性化简为,因为函数单调递增,所以若解集非空,则有解.再根据二次不等式恒成立的问题求解即可.‎ ‎【详解】（1）因为定义在R上的奇函数,所以,得.‎ 此时,,‎ ‎,所以是奇函数,‎ 所以．‎ 任取R,且,则,因为 所以,‎ 所以是R上的增函数.‎ ‎（2）因为为奇函数,f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0的解集非空,‎ 所以的解集非空,‎ 又在R上单调递增,‎ 所以的解集非空,‎ 即在R上有解,所以得.‎ ‎【点睛】(1)单调性的证明方法：设定义域内的两个自变量,再计算,‎ 若,则为增函数；若,则为减函数.计算化简到最后需要判断每项的正负,从而判断的正负.‎ ‎(2) 利用单调性与奇偶性解决抽象函数不等式的问题,注意化简成的形式,‎ 若在区间上增函数,则,求解出交集即可.‎ 若在区间上是减函数,则,求解出交集即可.‎