2020年黑龙江省哈尔滨市中考数学一模试卷 (含解析)

2020年黑龙江省哈尔滨市中考数学一模试卷 (含解析)

2020 年黑龙江省哈尔滨市中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分） 1. 的倒数是 A. 5 B. 1 C. 1 D. 2. 下列运算正确的是 A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 2 2 . 下列四个选项中，既是轴对称又是中心对称的图形是 A. 矩形 B. 等边三角形 C. 正五边形 D. 正七边形 . 如图是由 4 的大小相同的正方形组合而成的几何体，其左视图是 A. B. C. D. . 如图， 中，CD 是切线，切点是 D，直线 CO 交 于 B、A， 2⸹ ， 则 的度数是 A. 2B. C. ⸹D. . 把抛物线 2 向上平移 1 个单位长度得到的抛物线的表达式为 A. 2 1 B. 2 1 C. 1 2 D. 1 2 . 如图， 香 与 香 关于 AC 所在的直线对称， 香 ， 香 䁡⸹ ，则 香香 的度数为 A. 1⸹ B. 1⸹ C. 1⸹ D. 11⸹ 䁡. 方程 2 1 2 的解是 A. 1 B. 1 2 C. 1 D. 9. 一只袋中装有 2 个白球、8 个红球，它们除颜色外都相同，从中任取 1 个球恰好是红球的概率 为 ． A. B. 1 C. D. 1 1⸹. 如图，在 香 中，D 是 AB 边上一点， 香香 ， 香 ，下列结论正 确的是 A. 香 香香 B. 香 香 C. 香 香 D. 香 香香 香 二、填空题（本大题共 10 小题，共 30.0 分） 11. 15 000 用科学记数法可表示为______ ． 12. 函数 2 1 中自变量 x 的取值范围是______ ． 1. 反比例函数 1h 的图象经过点 2 ，则 k _______． 1. 计算： 䁡⸹ ． 1. 把多项式 2 2 2 分解因式的结果是______． 1. 抛物线 2 的顶点坐标是______． 1. 不等式组 2 1 ⸹ 1 2 ⸹ 的解集是______． 1䁡. 一个扇形的半径长为 12cm，面积为 2 2 ，则这个扇形的圆心角为_____度． 19. 在 香 中， 9⸹ ， 香 12 ， ⸹ ，则 香 ________． 2⸹. 如图，菱形 ABCD 的对角线相交于点 O， 香 香 的延长线于点 E，若菱形的周长为 20， ， 则线段 OE 的长是_______． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 60.0 分） 21. 先化简，再求代数式 2 1 2 9 的值，其中 ݅⸹ 2݋ 22. 正方形网格中，每个小正方形的边长为 1． 1 如下图 1，格点 香䁨 即 香䁨 三个顶点都在 小正方形的顶点处 ，则 䁨香 ____。 图 1 图 2 2 请在图 2 正方形网格中画出格点 香 ，且 AB、BC、AC 三边的长分别为 1⸹ 1 ；并 求出这个三角形的面积。 23. 某校在艺术节选拔节目过程中，从备选的“街舞”、“爵士”、“民族”、“拉丁”四种类型 舞蹈中，选择一种学生最喜爱的舞蹈，为此，随机调查了本校的部分学生，并将调查结果绘制 成如下统计图表 每位学生只选择一种类型 ，根据统计图表的信息，解答下列问题： 类型 民族 拉丁 爵士 街舞 所占百分比 a ⸹o b 1o 1 本次抽样调查的学生人数及 a、b 的值． 2 将条形统计图补充完整． 若该校共有 1500 名学生，试估计全校喜欢“拉丁舞蹈”的学生人数． 24. 在 香 中， 香 9⸹ ， 香 香 于 D， 香 的平分线 AF 交 CD 于点 E，交 BC 于 F， 䁨 于 M，CM 的延长线交 AB 于点 N． 1 求证： 䁨 䁨 ； 2 求证： 香 ． 25. 学校决定购买 A、B 两种型号电脑，若购买 A 型电脑 3 台，B 型电脑 8 台共需 40000 元；若购买 A 型电脑 14 台，B 型电脑 4 台共需 80000 元． 1 、B 两种型号电脑每台多少元？ 2 若用不超过 160000 元去购买 A、B 两种型号电脑共 45 台，则最多可购买 A 型电脑多少台？ 26. 如图，在 中，CD 为 O 的直径， 香 ， 香 ，垂足为 F，射线 AF 交 CB 于点 E． 1 如图 ，求证： 香 ． 2 如图 ，连接 EO 并延长交 AC 于点 G，证明： 2晦 ． 如图 ，在 2 的条件下，若 tan晦 1 ，四边形 FECG 的面积为 䁡 ，求 AC 的长． 27. 如图，平面直角坐标系中，已知直线上一动点 P，C 为 y 轴上一点，连接 PC，以线段 PC 为边 作等腰直角三角形 CPD， 香 ，过点 D 作直线 香 轴，垂足为 B，直线 AB 与直线交于 点 A，连接 CD，直线 CD 与直线交于点 Q。 1 若点 P 的横坐标为 2，求点 D 的纵坐标 2 求证： 香 【答案与解析】 1.答案：C 解析：解： 的倒数是 1 ． 故选：C． 根据乘积为 1 的两个数互为倒数，可得一个数的倒数． 本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键． 2.答案：C 解析：解： . 2 ，故选项 A 不合题意； B. 2 䁡 ，故选项 B 不合题意； C. 2 ，故选项 C 符合题意； D. 2 2 2 2 ，故选项 D 不合题意． 故选：C． 分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项的法则以及完全平方公式化简即可判断． 本题主要考查了幂的运算法则、合并同类项的法则以及完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键． 3.答案：A 解析：解：A、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D、正七边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误． 故选：A． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿 对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合． 4.答案：A 解析： 本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．根据从左边看得到的图形是左视 图，可得答案． 解：从左边看第一层是一个小正方形，第二层是一个小正方形， 故选 A． 5.答案：C 解析： 连接 OD，根据切线的性质得到 香 9⸹ ，根据圆周角定理得到 香 2 ，计算即可． 本题考查的是切线的性质和圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 解：连接 OD， 香 是 的切线， 香 9⸹ ， 香 2 ⸹ ， 9⸹ ⸹ ⸹ ， 故选：C． 6.答案：A 解析： 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关 键．直接根据二次函数图象平移的法则即可得出结论． 解：把抛物线 2 向上平移 1 个单位长度所得抛物线的表达式是 2 1 ． 故选 A． 7.答案：C 解析： 本题主要考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； 根据轴对称的性质得到 香 香 䁡⸹ ， 香 香 ，根据三角形内角和为 1䁡⸹ 得到 香 的度 数，进而求出 香香 的度数． 解： 香 与 香 关于 AC 所在的直线对称， 香 香 䁡⸹ ， 香 香 ， 香 ， 香 1䁡⸹ 香 香 1䁡⸹ 䁡⸹ ， 香香 香 香 1⸹ ． 故选 C． 8.答案：D 解析：解：去分母得： 2 ， 解得： ， 检验：当 时， 2 11 ⸹ ， 是分式方程的解， 故选：D． 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 9.答案：C 解析： 本题考查概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比 . 让红球的个数除 以球的总个数即为所求的概率． 解：因为一共 10 个球，其中 8 个红球，所以从袋中任意摸出 1 个球是红球的概率是 䁡 1⸹ ． 故选 C． 10.答案：C 解析： 本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用等知识，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定进行判断即可． 解： 香香 ， 香 香香 ，故 A 错误， 香香 ， 香 ， 四边形 DFCE 是平行四边形， 香 ， 香 ， 香香 ， 香 香 ， 又 香 香 香 香 ，故 B 错误； 香香 ， 香 香 ，故 C 正确； 香香 ， 香 ， 香 香香 香 ，故 D 错误． 故选：C． 11.答案： 1. 1⸹ 解析：解：15 ⸹⸹⸹ 1. 1⸹ ， 故答案为： 1. 1⸹ ． 科学记数法的表示形式为 1⸹ 的形式，其中 1 1⸹ ，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原 数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 1⸹ 时，n 是正数；当原数的绝对值 1 时，n 是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 1⸹ 的形式，其中 1 1⸹ ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 12.答案： 2 且 解析： 【试题解析】 本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： 1 当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； 2 当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不 能为 0； 当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式计算即可得解． 解：由题意得， 2 ⸹ 且 ⸹ ， 解得 2 且 ． 故答案为 2 且 ． 13.答案： 解析： 本题考查了反比例函数图象的知识，将点 2 代入解析式可求出 k 的值． 解：因为反比例函数 1h 的图象经过点 2 ， 所以可得： 1h 2 ，解得： h ， 故答案为 ． 14.答案： 解析： 本题主要考查的是二次根式的加减，由题意先将给出的式子进行化简，然后再进行合并同类二次根 式即可． 解：原式 ． 故答案为 ． 15.答案： 2 解析： 本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 直接提取公因式 m，再利用完全平方公式分解因式即可． 解： 2 2 2 2 2 2 2 ． 故答案为 2 ． 16.答案： 解析：解： 抛物线 2 是顶点式， 抛物线的顶点坐标是 ， 故答案为： ． 因为顶点式 2 h ，其顶点坐标是 h ，对照求二次函数 2 2 1 的顶点坐标 即可． 本题考查了二次函数的性质，注意：顶点式 2 h ，顶点坐标是 h ，对称轴是 ． 17.答案： 1 解析：解： 2 1 ⸹ 1 2 ⸹由不等式 得， 1 ； 由不等式 得， ， 此不等式组的解集为： 1 ． 故答案为： 1 ． 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不 到”的原则是解答此题的关键． 18.答案：60 解析： 分析 本题考查了扇形的面积的计算方法． 设这个扇形的圆心角是 ，根据 S 扇形 ⸹ 2 ，求出这个扇形的圆心角为多少即可． 详解 解：设这个扇形的圆心角是 ． 2 ⸹ 12 2 ， ⸹ ， 这个扇形的圆心角为 60 度． 故答案为：60． 点睛 准确把握扇形面积计算公式是解题关键． 19.答案： 解析： 本题考查解直角三角形的知识；用到的知识点为：一个锐角的对边 斜边 这个的角的正弦值． 已知直角三角形的斜边及一个锐角，求对边，斜边 AB 乘以 ⸹ 的正弦值可得对边 BC 的大小． 解： 香 中， 9⸹ ， 香 12 ， ⸹ ， 香 香 ݅ 12 2 ， 故答案为 ． 20.答案：4 解析：解： 四边形 ABCD 是菱形， 香香 ， 1 2 1 2 ， 香 香 ， 菱形的周长为 20， 香 ， 在 香 中，由勾股定理得： 香 香 2 2 2 2 ， 香香 2香 䁡 ， 香 香 ， 香香 9⸹ ， 香 香 ， 1 2 香香 1 2 䁡 ， 故答案为：4． 先根据菱形的四边相等得：边长 香 ，由勾股定理求 香 ，则 香香 䁡 ，再根据直角三角形斜 边中线等于斜边一半求 OE 的长． 本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是关键： 菱形的四边相等，根据周长可求边长； 菱形的对角线互相垂直且平分． 21.答案：解：原式 2 1 2 2 9 ， 当 ݅⸹ 2݋ 2 2 2 2 1 2 时， 原式 1 29 1 2 1 ． 解析：首先将括号里面通分运算，再将分子与分母分解因式，进而化简得出答案． 此题主要考查了分式的化简求值，正确分解因式是解题关键． 22.答案：解： 1 ； 2 香 如图所示： 香 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 ． 解析： 本题考查作图 应用与设计，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用数形结合的思 想思考问题，学会用分割法求三角形面积． 1 根据勾股定理计算即可； 2 利用数形结合的思想画出图形即可． 解： 1䁨香 2 2 1 2 ． 故答案为 ． 2 见答案． 23.答案：解： 1 总人数： ⸹ ⸹o 2⸹⸹ 人 ， ⸹ 2⸹⸹ 2o ， 2⸹⸹ ⸹ ⸹ ⸹ 2⸹⸹ ⸹o ； 2 如图所示： 1⸹⸹ ⸹o ⸹ 人 ． 答：约有 450 人喜欢“拉丁舞蹈”． 解析： 1 由“拉丁”的人数及所占百分比可得总人数，由条形统计图可直接得 a、b 的值； 2 由 1 中各种类型舞蹈的人数即可补全条形图； 用样本中“拉丁舞蹈”的百分比乘以总人数可得． 本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关 键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 24.答案：证明： 1 香 9⸹ ， 香 香 ， 香 9⸹ ， 香 香 9⸹ ， 9⸹ ， 又 香 的平分线 AF 交 CD 于 E， 香 ， 香 ， 又 香 ， ， ， 又 䁨 ， 䁨 䁨 ． 2 香 ， 䁨 䁨香 9⸹ ， 在 䁨香 和 䁨 中， 䁨 䁨香 䁨 䁨 䁨 香䁨 䁨香≌ 䁨 ， 香 ． 解析：此题考查的知识点是等腰三角形的判定与性质以及三角形全等的判定和性质，熟练掌握等腰 三角形的性质、定理是解题的关键． 1 由已知 香 9⸹ ， 香 香 ， 䁨 ，从而证得三个直角三角形，即： 香 香 9⸹ ， 9⸹ ，再通过已知， 香 的平分线 AF 和对顶角得 ，即得 为 等腰三角形， 䁨 䁨 ； 2 根据 ASA 证得 䁨香≌ 䁨 ，即可证得 香 ． 25.答案：解： 1 设 A 型电脑 x 元 台，B 型电脑 y 元 台． 根据题意得： 䁡 ⸹⸹⸹⸹ 1 䁡⸹⸹⸹⸹ ， 解得： 䁡⸹⸹ 2⸹⸹ ． 答：A 型电脑 4800 元 台，B 型电脑 3200 元 台． 2 设购买 a 台 A 型电脑， 台 B 型电脑． 根据题意得： 䁡⸹⸹ 2⸹⸹ 1⸹⸹⸹⸹ ， 解得： 1⸹ ． 答：最多购买 10 台 A 型电脑． 解析： 1 设 A 型电脑 x 元 台，B 型电脑 y 元 台．然后根据购买 A 型电脑 3 台，B 型电脑 8 台共需 40000 元；若购买 A 型电脑 14 台，B 型电脑 4 台共需 80000 元列方程组求解即可； 2 设购买 a 台 A 型电脑， 台 B 型电脑．然后根据总费用不超过 160000 元列不等式求解即 可． 本题主要考查的是一元一次不等式的应用和二元一次方程的应用，根据题意列出方程组和不等式是 解题的关键． 26.答案：证明： 1 如图 1，连接 AD， 香 为 的直径， 香 9⸹ ， 香 ， 香 9⸹ ， 香 香 香 ， 香 ， 香 ， 香 ， 香 香 ， 香 ； 2 如图 2，连接 AO， ， ， 香 ， ， ， ≌ ， ， 晦 平分 ， 是等腰三角形， 晦 是 AC 的中点， 是直角三角形， 2晦 ； 如图 3，过 G 作 晦 香 于 H， 香 ， 晦 ， 在 中， 晦 是 AC 的中点， 晦 晦 ， 晦 1 2 ， 晦 ， ， 晦 ， 晦 晦 1䁡⸹ ， 晦 1䁡⸹ ， 、E、C、G 四点共圆， 晦 ， tan晦 1 ， tan 1 ， 即 1 ， 设 ， ， 由勾股定理得： 1⸹ ， 1⸹ ， 1⸹ ， 晦 1 2 1⸹ 2 ， 由勾股定理得： 2 2 1⸹ 2 2 2⸹ 2 1⸹ ， 2 2⸹ 2 1⸹ 2 ， 四边形 FECG 的面积为 䁡 ， 则 晦 䁡 ， 1 2 1 2 晦 䁡 ， 1 2 1 2 1⸹ 2 䁡 ， 2 1 2 1⸹ ， 2 2⸹ 2 1⸹ 1 2 1⸹ 2 1⸹ 1⸹ 1 䁡2 1⸹ 1 1 1⸹ 1⸹ 1 2 1 2 2 2 1 1⸹ 1⸹1 2 1 2 2 ． 解析： 1 连接 AD，根据同角的余角相等得： 香 ，再由同圆中弦相等，则弧相等，进而 由等弧所对的圆周角相等得： 香 香 ，所以 香 ； 2 作辅助线，先证明 ≌ ，得 ，由等腰三角形三线合一的性质得：G 是 AC 的中点，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边一半可得结论： 2晦 ； 如图 3，作辅助线，构建高线 GH 和中位线，证明 F、E、C、G 四点共圆，则 tan晦 tan 1 ， 设 ， ，利用勾股定理得：EC 和 AC 的长，根据四边形 FECG 的面积列式可得结论． 本题是圆的综合题，考查了四点共圆的性质和判定、三角函数、圆周角定理、三角形全等的性质和 判定、勾股定理等知识，第三问中利用四点共圆将 晦 转化为 是关键，根据正切比的关系设 未知数，由已知等量关系列方程可得出结果． 27.答案：解： 1 过 P 作 晦 ，垂足为 G，交 AB 于 H， 香 香 ， 晦 香 ． 香 9⸹ ， 晦 香 9⸹ ， 晦 晦 9⸹ ， 晦 香 ． 晦 香 9⸹ ， 香 ， 晦≌ 香 ， 晦 ． 点 P 的横坐标为 2，点 P 再直线 上 22 ， 晦 香 晦 香 2 ， 香香 ， 点 D 的纵坐标为 4． 2 过 P 作 轴，垂足为 E． 由 1 中 晦≌ 香 ， 晦 ． 香 香 香 9⸹ ， 四边形 PEBH 为矩形， 香 ， 晦 香 ． 晦香 ， 晦 ， 晦 9⸹ ， 四边形 GOEP 为矩形， 直线 OA 解析式为： ， 晦 ． 晦 ， 晦 晦 ， 晦 晦 ， 矩形 GOEP 为正方形， 晦 ， 晦 晦 香 ，即 香 ． 解析：本题考查一次函数综合题，全等三角形的判定和性质，矩形，正方形的判定和性质，平面直 角坐标系中的的坐标的确定 . 关键是作辅助线，构建全等三角形． 1 过P作 晦 ，垂足为G，交AB于H，证明 晦≌ 香 关键确定三角形的性质得 晦 香 即可解答； 2 在 1 的基础上证明四边形 OGPE 为正方形得 晦 ，即可证明 香 ．