历年中考数学难题及答案

历年中考数学难题及答案

应用题 ‎20．（本小题满分8分）‎ 北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．‎ ‎（1）该商场两次共购进这种运动服多少套？‎ ‎（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？（利润率）‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价（元）与销售月份（月）满足关系式，而其每千克成本（元）与销售月份（月）满足的函数关系如图所示．‎ ‎（1）试确定的值；‎ ‎（2）求出这种水产品每千克的利润（元）与销售月份（月）之间的函数关系式；‎ ‎（3）“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？‎ ‎25‎ ‎24‎ y2（元）‎ x（月）‎ ‎1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ‎ 第22题图 O ‎21．(本题满分10分)星期天，小明和七名同学共8人去郊游，途中，他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完．‎ ‎(1)有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各多少杯？‎ ‎(2)每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，有几种购买方式？‎ ‎20.（9分）某项工程，甲工程队单独完成任务需要40天．若 ‎ 乙队先做30天后，甲、乙两队一起合做20天就恰好完成任务．‎ 请问：‎ ‎（1）（5分）乙队单独做需要多少天才能完成任务？‎ ‎（2）（4分）现将该工程分成两部分，甲队做其中一部分工程用了x天，乙队做另一部分 工程用了y天．若x、y都是正整数，且甲队做的时间不到15天，乙队做的时间不到 ‎70天，那么两队实际各做了多少天？‎ ‎3、某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。‎ ‎ （1）请建立销售价格y（元）与周次x之间的函数关系；‎ ‎ （2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z（元）与周次x之间的关系为， 1≤ x ≤11，且x为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得利润最大？并求最大利润为多少？‎ ‎5、某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：‎ ‎（1）若设每件降价元、每星期售出商品的利润为元，请写出与的函数关系式，并求出自变量的取值范围；‎ ‎（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？‎ 几何题 ‎20．(本题满分8分)如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD．‎ ‎(1)求证：A、E、C、F四点共圆；‎ ‎(2)设线段BD与(1)中的圆交于M、N．求证：BM=ND．‎ 第20题图 ‎23．(本题满分10分)如图，半径为2的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点．‎ ‎(1)求证：PA·PB=PC·PD；‎ ‎(2)设BC的中点为F，连结FP并延长交AD于E，求证：EF⊥AD：‎ ‎(3)若AB=8，CD=6，求OP的长．‎ ‎60°‎ ‎30°‎ 图8‎ E D CD B A 第23题图 ‎18.（8分）如图8，大楼AD的高为‎10m，远处有一塔BC．‎ 某人在楼底A处测得塔顶B点处的仰角为60°，爬到楼顶 D点处测得塔顶B点的仰角为30°．求塔BC的高度．‎ ‎ ‎ ‎22．已知：如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点M．(1)若AD=CB，求证：△ADM≌△CBM． ‎ ‎ (2)若AB=CD，△ADM与△CBM是否全等?为什么? ‎ ‎21．（本题10分）如图，已知是的直径，过点作弦的平行线，交过点的切线于点，连结．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，，求的长． ‎ ‎21．（本小题满分8分）‎ 已知：如图，在中，AE是BC边上的高，将沿方向平移，使点E与点C重合，得．‎ ‎（1）求证：；‎ A D G C B F E 第21题图 ‎（2）若，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形是菱形？证明你的结论．‎ 二次函数结合图像题 ‎(本题满分12分)一开口向上的抛物线与x轴交于A(m－2，0)，B(m＋2，0)两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC．‎ ‎(1)若m为常数，求抛物线的解析式；‎ ‎(2)若m为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？‎ ‎(3)设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BOD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．‎ 第25题图 y x A B O D C E P 图10‎ ‎21．（9分）如图10，已知：△ABC是边长为4的等边三角形，BC在 x轴上，点D为BC的中点，点A在第一象限内，AB与y轴正半轴 相交于点E，点B的坐标是（－1，0），P点是AC上的动点（P点与 A、C两点不重合）．‎ (1) ‎（2分）写出点A、点E的坐标．‎ (2) ‎（2分）若抛物线 过A、E两点，求抛物线的解析式．‎ (3) ‎（5分）连结PB、PD．设为△PBD的周长,当取最小值时, 求点P的坐标及的 图11‎ H E O D B C A 最小值，并判断此时点P是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由．‎ ‎22.（9分）如图11，AB是⊙O的直径，点E是半圆上一个动点（点E 与点A、B都不重合），点C是BE延长线上的一点，且CD⊥AB, 垂足 为D，CD与AE交于点H，点H与点A不重合. ‎ ‎（1）（5分）求证：△AHD∽△CBD；‎ ‎（2）（4分）连结HO．若CD＝AB＝2，求HD+HO的值．‎ ‎26.（2009年重庆市江津区）如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，‎ ‎ （1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ 第26题图 答案 应用题 ‎20．（本小题满分8分）‎ 解：（1）设商场第一次购进套运动服，由题意得：‎ ‎， 3分 解这个方程，得．‎ 经检验，是所列方程的根．‎ ‎．‎ 所以商场两次共购进这种运动服600套． 5分 ‎（2）设每套运动服的售价为元，由题意得：‎ ‎，‎ 解这个不等式，得，‎ 所以每套运动服的售价至少是200元． 8分 ‎22．（本小题满分10分）‎ 解：（1）由题意：‎ 解得 4分 ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎ ； 6分 ‎（3）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∵，‎ ‎∴抛物线开口向下．‎ 在对称轴左侧随的增大而增大．‎ 由题意，所以在4月份出售这种水产品每千克的利润最大． 9分 最大利润（元）． 10分 ‎21．解：(1)设买可乐、奶茶分别为x、y杯，根据题意得 ‎2x＋3y＝20(且x、y均为自然数) …………………………………………………………2分 ‎∴x＝≥0 解得y≤‎ ‎∴y＝0，1，2，3，4，5，6．代入2x＋3y＝20 并检验得 ‎……………………………………………………………6分 所以有四种购买方式，每种方式可乐和奶茶的杯数分别为：(亦可直接列举法求得)‎ ‎10，0；7，2；4，4；1，6．………………………………………………………………7分 ‎(2)根据题意：每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，即y≥2且x＋y≥8‎ 由(1)可知，有二种购买方式．……………………………………………………………10分 ‎20.（1）解:设乙队单独做需要天就能完成任务 依题意得:‎ ‎ ……（3分） ‎ ‎ 解得=100‎ ‎ 经检验=100为所列方程的解 答：乙队单独做需要100天就能完成任务. ……（5分）‎ ‎(2) 依题意得 ‎∵ ‎ ‎∴ ……（7分）‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎ ‎ 又∵‎ ‎∴12＜x＜15‎ ‎∵x、y都是正整数, ‎ ‎ ∴ x为方程的解.‎ 答：甲队实际做了14天，乙队实际做了65天. ……（9分）‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）设利润为 ‎ 当时，‎ ‎ 当时，‎ 综上知：在第11周进货并售出后，所获利润最大且为每件元.‎ ‎1）y=(60-x-40)(300+20x)=(20-x) (300+20x)=-,0≤x≤20；‎ ‎（2）y=-20,∴当x==2.5元,每星期的利润最大，最大利润是6135元；‎ 几何题 ‎20．解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°．‎ ‎∴∠AEC＋∠AFC＝180°．∴A、E、C、F四点共圆；…………………………………4分 ‎(2)由(1)可知，圆的直径是AC，设AC、BD相交于点O，‎ ‎∵ABCD是平行四边形，∴O为圆心．‎ ‎∴OM＝ON．∴BM＝DN．…………………………………………………………………8分 ‎23．(1)∵∠A、∠C所对的圆弧相同，∴∠A＝∠C．‎ ‎∴Rt△APD∽Rt△CPB，∴，∴PA·PB＝PC·PD；………………………3分 ‎(2)∵F为BC的中点，△BPC为Rt△，∴FP＝FC，∴∠C＝∠CPF．‎ 又∠C＝∠A，∠DPE＝∠CPF，∴∠A＝∠DPE．∵∠A＋∠D＝90°，‎ ‎∴∠DPE＋∠D＝90°．∴EF⊥AD．………………………………………………………7分 ‎(3)作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，同垂径定理：‎ ‎∴OM2＝(2)2－42＝4，ON2＝(2)2－32＝11‎ 又易证四边形MONP是矩形，‎ ‎∴OP＝………………………………………………………………7分 答案略 ‎22．(1)证明：在△ADM与△CBM中，‎ ‎ ∵∠DMA=∠BMC， ‎ ‎ ∠DAM=∠BCM，‎ ‎ AD=CB．‎ ‎ ∴△ADM≌△CBM(AAS)．‎ ‎ (2)解：△ADM≌△CBM ‎ ∵AB=CD，‎ ‎ ∴弧ADB=弧CBD，‎ ‎ ∴弧AD=弧CB ‎ ‎ ∴．AD=CB ‎ 与(1)同理可得△ADM≌△CBM．‎ 二次函数 ‎25．解：(1)设抛物线的解析式为：y＝a(x－m＋2)(x－m－2)＝a(x－m)2－4a．…………2分 ‎∵AC⊥BC，由抛物线的对称性可知：△ACB是等腰直角三角形，又AB＝4，‎ ‎∴C(m，－2)代入得a＝．∴解析式为：y＝(x－m)2－2．…………………………5分 ‎(亦可求C点，设顶点式)‎ ‎(2)∵m为小于零的常数，∴只需将抛物线向右平移－m个单位，再向上平移2个单位，可以使抛物线y＝(x－m)2－2顶点在坐标原点．………………………………………7分 ‎(3)由(1)得D(0，m2－2)，设存在实数m，使得△BOD为等腰三角形．‎ ‎∵△BOD为直角三角形，∴只能OD＝OB．……………………………………………9分 ‎∴m2－2＝|m＋2|，当m＋2＞0时，解得m＝4或m＝－2(舍)．‎ 当m＋2＜0时，解得m＝0(舍)或m＝－2(舍)；‎ 当m＋2＝0时，即m＝－2时，B、O、D三点重合(不合题意，舍)‎ 综上所述：存在实数m＝4，使得△BOD为等腰三角形．……………………………12分 ‎21．解：‎ ‎（1）点E坐标是（0，），点A的坐标是（1，2）． ……（2分）‎ ‎ (2 ) ∵抛物线过E（0，），A（1，2）两点，‎ ‎ 得: ∴ ‎ 抛物线的解析式是: ． ………（4分）‎ ‎(3) 过D点作DF⊥AC，垂足为F点，并延长DF至G点，使得DF=FG，‎ 则D点关于AC的对称点为G点．‎ 连结CG，则CD=CG， ∠DCA=∠ACG．‎ 再连结BG交AC于Q点，连结DQ，则DQ=QG．‎ 当点P运动到与Q点重合，即B、P(Q)、G三点共线时，‎ 依“两点之间，线段最短”．这时△PBD的周长有最小值． ……（5分）‎ F y 图10‎ x A B O D C E P H G Q ‎ 又过G点作GH⊥x轴，垂足为H点．‎ ‎ ∵△ABC是等边三角形， BC=4‎ ‎ ∴∠DCA=∠ACG=∠HCG =60，DC=CG= 2，‎ ‎ ∵GH= CG sin60 =， ‎ CH==1．‎ ‎∴OH=OC+CH=3+1=4．‎ 即G点的坐标(4,)．‎ ‎∴BH=OB+OH=1+4=5‎ 在Rt△GBH中，BG=‎ ‎△PBD周长= BD+BP+DP = BD+BQ+DQ = BD+BG = ……（6分）‎ 设线段AC的解析式,A点的坐标(1,)，C点的坐标( 3,0 )得 ‎ ‎ 线段AC的解析式：‎ 同理可得线段BG的解析式：‎ AC与BG的交点是方程组的解，得 则此时P点的坐标是（） ……（7分） ‎ ‎ 此时P点的坐标在上述（2）小题所求的抛物线上．‎ ‎ ……（8分）‎ 理由如下：‎ 把代入中，左边=右边 故此时P点的坐标在上述（2）小题所求的抛物线上． ‎ ‎ 　 ……（9分）‎ ‎22．证明(1)∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠AEB=90°，即AE⊥BC．‎ ‎∴∠BAE+∠ABE=90°. …………（1分）‎ 又∵CD⊥AB，‎ ‎∴∠BCD+∠CBD=90°．………………（2分）‎ ‎ 而∠ABE=∠CBD，‎ ‎ ∴∠BAE=∠BCD． ……………（3分）‎ ‎ 又∠ADH=∠CDB， ……………（4分）‎ ‎ ∴△AHD∽△CBD ． ……………（5分）‎ ‎ ‎ ‎(2)∵O点是圆心,CD=AB=2,设OD=x，‎ ‎∴AO=1,AD=1+x，BD=1－x．‎ ‎∵ △AHD∽△CBD，‎ ‎ ∴， ………………………（6分）‎ ‎∴，‎ ‎∴． …………………（7分）‎ 下面分两种情况讨论：‎ ‎∴①　当HD、HO重合时，x=0,．‎ ‎ 　满足HD+HO=1； ………………（8分）‎ ‎ ‎ ‎∴②当HD、HO不重合时，‎ 在Rt△HDO中，由勾股定理得:‎ ‎,‎ ‎ 也满足HD+HO=1.‎ ‎∴综上所述:HD+HO的值总是1. …………（9分）‎