中考数学几何证明压轴题教师版

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几何证明压轴题（中考） 1、如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠BCD=90°,且 AB=1，BC=2，tan∠ADC=2. (1) 求证：DC=BC; (2) E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF 的形 状，并证明你的结论； (3) 在（2）的条件下，当 BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求 sin∠BFE 的值. [解析] （1）过 A 作 DC 的垂线 AM 交 DC 于 M, 则 AM=BC=2. 又 tan∠ADC=2,所以 .即 DC=BC. (2)等腰三角形. 证明：因为 . 所以，△DEC≌△BFC 所以， . 所以， 即△ECF 是等腰直角三角形. （3）设 ,则 ，所以 . 因为 ，又 ，所以 . 所以 所以 . 2、已知：如图，在□ABCD 中，E、F 分别为边 AB、CD 的中点，BD 是对角线，AG∥DB 交 CB 的延长线于 G． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形 AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论． [解析] （1）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD ． ∵点 E 、F 分别是 AB、CD 的中点， ∴AE＝ AB ，CF＝ CD ． ∴AE＝CF ∴△ADE≌△CBF ． （2）当四边形 BEDF 是菱形时， 四边形 AGBD 是矩形． ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC ． 1sin 3 3 kBFE k ∠ = = 2 12DM = = , ,DE DF EDC FBC DC BC= ∠ = ∠ = ,CE CF ECD BCF= ∠ = ∠ 90ECF BCF BCE ECD BCE BCD∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = ∠ = ° BE k= 2CE CF k= = 2 2EF k= 135BEC∠ = ° 45CEF∠ = ° 90BEF∠ = ° 2 2(2 2 ) 3BF k k k= + = 2 1 2 1 E B F CD A ∵AG∥BD ， ∴四边形 AGBD 是平行四边形． ∵四边形 BEDF 是菱形， ∴DE＝BE ． ∵AE＝BE ， ∴AE＝BE＝DE ． ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4． ∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°， ∴2∠2＋2∠3＝180°． ∴∠2＋∠3＝90°． 即∠ADB＝90°． ∴四边形 AGBD 是矩形 3、如图 13－1，一等腰直角三角尺 GEF 的两条直角边与正方形 ABCD 的两条边分别重合在 一起．现正方形 ABCD 保持不动，将三角尺 GEF 绕斜边 EF 的中点 O（点 O 也是 BD 中点） 按顺时针方向旋转． （1）如图 13－2，当 EF 与 AB 相交于点 M，GF 与 BD 相交于点 N 时，通过观察或测 量 BM，FN 的长度，猜想 BM，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想； （2）若三角尺 GEF 旋转到如图 13－3 所示的位置时，线段 FE 的延长线与 AB 的延长 线相交于点 M，线段 BD 的延长线与 GF 的延长线相交于点 N，此时，（1）中的猜 想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． [解析]（1）BM=FN． 证明：∵△GEF 是等腰直角三角形，四边形 ABCD 是正方形， ∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF． 又∵∠BOM=∠FON， ∴ △OBM≌△OFN ． ∴ BM=FN． （2） BM=FN 仍然成立． （3） 证明：∵△GEF 是等腰直角三角形，四边形 ABCD 是正方形， ∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF． ∴∠MBO=∠NFO=135°． 又∵∠MOB=∠NOF， ∴ △OBM≌△OFN ． ∴ BM=FN． 图 13－2 E A B D G F O M N C 图 13－3 A B D G E F O M N C 图 13－1 A( G ) B( E ) C O D( F ) 4、如图，已知⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD 于 E，连结 AD、BD、OC、OD，且 OD＝5。 （1）若 ，求 CD 的长； （2）若 ∠ADO：∠EDO＝4：1，求扇形 OAC（阴影部分）的面积（结果保留 ）。 [解析] （1）因为 AB 是⊙O 的直径，OD＝5 所以∠ADB＝90°，AB＝10 在 Rt△ABD 中， 又 ，所以 ，所以 因为∠ADB＝90°，AB⊥CD 所以 所以 所以 所以 （2）因为 AB 是⊙O 的直径，AB⊥CD 所以 所以∠BAD＝∠CDB，∠AOC＝∠AOD 因为 AO＝DO，所以∠BAD＝∠ADO 所以∠CDB＝∠ADO 设∠ADO＝4x，则∠CDB＝4x 由∠ADO：∠EDO＝4：1，则∠EDO＝x 因为∠ADO＋∠EDO＋∠EDB＝90° 所以 所以 x＝10° 所以∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100° 所以∠AOC＝∠AOD＝100° sin ∠BAD = 3 5 π sin ∠BAD BD AB = sin ∠BAD = 3 5 BD 10 3 5 = BD = 6 AD AB BD= − = − =2 2 2 210 6 8 DE AB AD BD CE DE· · ，= = DE × = ×10 8 6 DE = 24 5 CD DE= =2 48 5 CB BD AC AD⌒ ⌒ ⌒ ⌒，= = 4 4 90x x x+ + = ° S OAC扇形 = × × =100 360 5 125 18 2π π 5、如图，已知：C 是以 AB 为直径的半圆 O 上一点，CH⊥AB 于点 H，直线 AC 与过 B 点的切线相交于点 D，E 为 CH 中点，连接 AE 并延长交 BD 于点 F，直线 CF 交直线 AB 于 点 G. （1）求证：点 F 是 BD 中点； （2）求证：CG 是⊙O 的切线； （3）若 FB=FE=2，求⊙O 的半径． [解析] (1)证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF ∴ ，∵HE＝EC，∴BF＝FD (2)方法一：连接 CB、OC， ∵AB 是直径，∴∠ACB＝90°∵F 是 BD 中点， ∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO ∴∠OCF=90°,∴CG 是⊙O 的切线---------6′ 方法二：可证明△OCF≌△OBF(参照方法一标准得分) (3)解：由 FC=FB=FE 得：∠FCE=∠FEC 可证得：FA＝FG，且 AB＝BG 由切割线定理得：（2＋FG）2＝BG×AG=2BG2 ○1 在 Rt△BGF 中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2　○2 由○1 、○2 得：FG2-4FG-12=0 解之得：FG1＝6，FG2＝－2（舍去） ∴AB＝BG＝ ∴⊙O 半径为 2 6、如图，已知 O 为原点，点 A 的坐标为（4，3）， ⊙A 的半径为 2．过 A 作直线 平行于 轴，点 P 在直线 上运动． （１）当点 P 在⊙O 上时，请你直接写出它的坐标； （２）设点 P 的横坐标为 12，试判断直线 OP 与⊙A 的位置关系，并说明理由. [解析] 解: ⑴点 P 的坐标是（2,3）或（6,3） ⑵作 AC⊥OP,C 为垂足. ∵∠ACP=∠OBP= ,∠1=∠1 ∴△ACP∽△OBP ∴ FD CE AF AE BF EH == 24 2 l x l 90 AC AP OB OP = 在 中, ,又 AP=12-4=8, ∴ ∴AC= ≈1.94 ∵1.94<2 ∴OP 与⊙A 相交. 7、如图，延长⊙O 的半径 OA 到 B，使 OA=AB， DE 是圆的一条切线，E 是切点，过点 B 作 DE 的垂线， 垂足为点 C. 求证：∠ACB= ∠OAC. [解析] 证明：连结 OE、AE，并过点 A 作 AF⊥DE 于点 F， （3 分） ∵DE 是圆的一条切线，E 是切点， ∴OE⊥DC， 又∵BC⊥DE, ∴OE∥AF∥BC. ∴∠1=∠ACB，∠2=∠3. ∵OA=OE， ∴∠4=∠3. ∴∠4=∠2. 又∵点 A 是 OB 的中点， ∴点 F 是 EC 的中点. ∴AE=AC. ∴∠1=∠2. ∴∠4=∠2=∠1. 即∠ACB= ∠OAC. 8、如图１，一架长 4 米的梯子 AB 斜靠在与地面 OM 垂直的墙壁 ON 上，梯子与地面的倾 斜角α为 ． ⑴求 AO 与 BO 的长； ⑵若梯子顶端 A 沿 NO 下滑，同时底端 B 沿 OM 向右滑行. ①如图 2，设 A 点下滑到 C 点，B 点向右滑行到 D 点，并且 AC:BD=2:3，试计算梯子 顶端 A 沿 NO 下滑多少米； ②如图３，当 A 点下滑到 A’点，B 点向右滑行到 B’点时，梯子 AB 的中点 P 也随之运 动到 P’点．若∠POP’＝ ，试求 AA’的长． OBPRt∆ 2 2 153OP OB BP= + = 8 3 153 AC = 24 153÷ 3 1 3 1 60 15 C A B D O E [解析] ⑴ 中,∠O= ,∠α= ∴,∠OAB= ，又ＡＢ＝4 米， ∴ 米. 米. -------------- (3 分) ⑵设 在 中, 根据勾股定理: ∴ ------------- (5 分) ∴ ∵ 　　∴ ∴ ------------- (7 分) AC=2x= 即梯子顶端 A 沿 NO 下滑了 米. ---- (8 分) ⑶∵点 P 和点 分别是 的斜边 AB 与 的斜边 的中点 ∴ ， ------------- (9 分) ∴ ------- (10 分) ∴ ∴ ∵ ∴ ----------------------- (11 分) ∴ ----- (12 分) ∴ 米. -------- (13 分) AOBRt∆ 90 60 30 1 22OB AB= = 3sin 60 4 2 32OA AB= ⋅ = × = 2 , 3 ,AC x BD x= = CODRt∆ 2 3 2 , 2 3 , 4OC x OD x CD= − = + = 2 2 2OC OD CD+ = ( ) ( )2 2 22 3 2 2 3 4x x− + + = ( )213 12 8 3 0x x+ − = 0x ≠ 0381213 =−+x 8 3 12 13x −= 16 3 24 13 − 16 3 24 13 − P′ AOBRt∆ ''OBARt∆ '' BA POPA = OPAP ''' = ,PAO AOP P A O A OP′ ′ ′ ′∠ = ∠ ∠ = ∠ P A O PAO A OP AOP′ ′ ′ ′∠ − ∠ = ∠ − ∠ 15P A O PAO POP′ ′ ′∠ − ∠ = ∠ =  30PAO∠ =  45P A O′ ′∠ =  2cos45 4 2 22A O A B′ ′ ′= × = × = (2 3 2 2)AA OA A O′ ′= − = −