全国中考数学真题解析规律探索页

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规律探索 一、选择题 ‎1.（2014•湖北荆门,第11题3分）如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A‎1A2=A1D，得到第2个△A‎1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A‎1A2到A3，使A‎2A3=A2E，得到第3个△A‎2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（　　）‎ 第1题图 ‎　 A．（）n•75° B． （）n﹣1•65° C． （）n﹣1•75° D． （）n•85°‎ 考点： 等腰三角形的性质．‎ 专题： 规律型．‎ 分析： 先根据等腰三角形的性质求出∠BA‎1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA‎2A1，∠EA‎3A2及∠FA‎4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的内角度数．‎ 解答： 解：∵在△CBA1中，∠B=30°，A1B=CB，‎ ‎∴∠BA‎1C==75°，‎ ‎∵A‎1A2=A1D，∠BA‎1C是△A‎1A2D的外角，‎ ‎∴∠DA‎2A1=∠BA‎1C=×75°；‎ 同理可得，‎ ‎∠EA‎3A2=（）2×75°，∠FA‎4A3=（）3×75°，‎ ‎∴第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（）n﹣1×75°．‎ 故选：C．‎ 点评： 本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA‎2A1，∠EA‎3A2及∠FA‎4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．‎ ‎2．（2014•重庆A,第11题4分）如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律．则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为（　　）‎ ‎　 A．20 B． ‎27 ‎C． 35 D． 40‎ 考点： 规律型：图形的变化类．‎ 分析： 第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的图象有2+3=5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个，…，按此规律，第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+n=，进一步求得第（6）个图形中面积为1的正方形的个数即可．‎ 解答： 解：第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，‎ 第（2）个图形中面积为1的图象有2+3=5个，‎ 第（3）个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个，‎ ‎…，‎ 按此规律，‎ 第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+（n+1）=个，‎ 则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为2+3+4+5+6+7=27个．‎ 故选：B．‎ 点评： 此题考查图形的变化规律，找出图形与数字之间的运算规律，利用规律解决问题．‎ ‎1. （2014•山东威海，第12题3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA‎1C1，Rt△OA‎2C2，Rt△OA‎3C3，Rt△OA‎4C4…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=∠A4OC4=…=30°．若点A1的坐标为（3，0），OA1=OC2，OA2=OC3，OA3=OC4…，则依此规律，点A2014的纵坐标为（ ）‎ ‎　‎ A．‎ ‎0‎ B．‎ ‎﹣3×（）2013‎ C．‎ ‎（2）2014‎ D．‎ ‎3×（）2013‎ 考点：‎ 规律型：点的坐标 专题：‎ 规律型．‎ 分析：‎ 根据含30度的直角三角形三边的关系得OA2=OC2=3×；OA3=‎ OC3=3×（）2；OA4=OC4=3×（）3，于是可得到OA2014=3×（）2013，由于而2014=4×503+2，则可判断点A2014在y轴的正半轴上，所以点A2014的纵坐标为3×（）2013．‎ 解答：‎ 解：∵∠A2OC2=30°，OA1=OC2=3，‎ ‎∴OA2=OC2=3×；‎ ‎∵OA2=OC3=3×，‎ ‎∴OA3=OC3=3×（）2；‎ ‎∵OA3=OC4=3×（）2，‎ ‎∴OA4=OC4=3×（）3，‎ ‎∴OA2014=3×（）2013，‎ 而2014=4×503+2，‎ ‎∴点A2014在y轴的正半轴上，‎ ‎∴点A2014的纵坐标为3×（）2013．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了规律型：点的坐标：通过从一些特殊的点的坐标发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．‎ ‎2. （2014•山东潍坊，第12题3分）如图，已知正方形ABCD，顶点A(1，3)、B(1,1)、C(3,1)．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为( )‎ A．(—2012,2) B．（一2012，一2） C. (—2013,—2) D. (—2013,2)‎ 考点：坐标与图形变化－对称；坐标与图形变化－平移．‎ 专题：规律型．‎ 分析：首先求出正方形对角线交点坐标分别是（2，2），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的点M的对应点的坐标，即可得规律．‎ 解答：∵正方形ABCD，点A(1，3)、B(1,1)、C(3,1)．∴M的坐标变为(2,2)‎ ‎∴根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2－1，－2），即（1，－2），‎ 第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2－2，2），即（0，2），‎ 第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2－3，－2），即（－1，－2），‎ 第2014次变换后的点M的对应点的为坐标为（2－2014， 2），即（－2012， 2）‎ 故答案为A．‎ 点评：此题考查了对称与平移的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意得到规律：第n次变换后的点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2－n，－2），当n为偶数时为（2－n，2）是解此题的关键．‎ ‎3. （2014•山东烟台，第9题3分）将一组数，，3，2，，…，3，按下面的方式进行排列：‎ ‎，，3，2，；‎ ‎3，，2，3，；‎ ‎…‎ 若2的位置记为（1，4），2的位置记为（2，3），则这组数中最大的有理数的位置记为（　　）‎ ‎　A．（5，2） B． （5，3） C． （6，2） D． （6，5）‎ 考点：规律探索．‎ 分析：根据观察，可得，根据排列方式，可得每行5个，根据有序数对的表示方法，可得答案．‎ 解答：3=，3得被开方数是得被开方数的30倍，‎ ‎3在第六行的第五个，即（6，5），故选：D．‎ 点评：本题考查了实数，利用了有序数对表示数的位置，发现被开方数之间的关系是解题关键．‎ ‎4.（2014•十堰7．（3分））根据如图中箭头的指向规律，从2013到2014再到2015，箭头的方向是以下图示中的（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 规律型：数字的变化类 分析：‎ 观察不难发现，每4个数为一个循环组依次循环，用2013除以4，根据商和余数的情况解答即可．‎ 解答：‎ 解：由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，‎ ‎2013÷4=503…1，‎ ‎∴2013是第504个循环组的第2个数，‎ ‎∴从2013到2014再到2015，箭头的方向是．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题是对数字变化规律的考查，仔细观察图形，发现每4个数为一个循环组依次循环是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（2014•四川宜宾，第7题，3分）如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（ ）‎ ‎　‎ A．‎ n B．‎ n﹣1‎ C．‎ ‎（）n﹣1‎ D．‎ n 考点：‎ 正方形的性质；全等三角形的判定与性质 专题：‎ 规律型．‎ 分析：‎ 根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为（n﹣1）个阴影部分的和．‎ 解答：‎ 解：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的，即是×4=1，‎ ‎5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×4，‎ n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×（n﹣1）=n﹣1．‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 此题考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．‎ ‎6．（2014•四川内江，第12题，3分）如图，已知A1、A2、A3、…、An、An+1是x轴上的点，且OA1=A‎1A2=A‎2A3=…=AnAn+1=1，分别过点A1、A2、A3、…、An、An+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1，连接A1B2、B‎1A2、B‎2A3、…、AnBn+1、BnAn+1，依次相交于点P1、P2、P3、…、Pn．△A1B1P1、△A2B2P2、△AnBnPn的面积依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则Sn为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 一次函数图象上点的坐标特征．‎ 专题：‎ 规律型．‎ 分析：‎ 根据图象上点的坐标性质得出点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1各点坐标，进而利用相似三角形的判定与性质得出S1、S2、S3、…、Sn，进而得出答案．‎ 解答：‎ 解：∵A1、A2、A3、…、An、An+1是x轴上的点，且OA1=A‎1A2=A‎2A3=…=AnAn+1=1，分别过点A1、A2、A3、…、An、An+1‎ 作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1，‎ ‎∴B1的横坐标为：1，纵坐标为：2，‎ 则B1（1，2），‎ 同理可得：B2的横坐标为：2，纵坐标为：4，‎ 则B2（2，4），‎ B3（2，6）…‎ ‎∵A1B1∥A2B2，‎ ‎∴△A1B1P1∽△A2B2P1，‎ ‎∴=，‎ ‎∴△A1B‎1C1与△A2B‎2C2对应高的比为：1：2，‎ ‎∴A1B1边上的高为：，‎ ‎∴=××2==，‎ 同理可得出：=，=，‎ ‎∴Sn=．‎ 故选；D．‎ 点评：‎ 此题主要考查了一次函数函数图象上点的坐标性质得出B点坐标变化规律进而得出S的变化规律，得出图形面积变化规律是解题关键．‎ ‎2.（2014•武汉，第9题3分）观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…‎ 按此规律第5个图中共有点的个数是（ ）‎ ‎ ‎ ‎　‎ A．‎ ‎31‎ B．‎ ‎46‎ C．‎ ‎51‎ D．‎ ‎66‎ 考点：‎ 规律型：图形的变化类 分析：‎ 由图可知：其中第1个图中共有1+1×3=4个点，第2个图中共有1+1×3+2×3=10个点，第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3=19个点，…由此规律得出第n个图有1+1×3+2×3+3×3+…+3n个点．‎ 解答：‎ 解：第1个图中共有1+1×3=4个点，‎ 第2个图中共有1+1×3+2×3=10个点，‎ 第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3=19个点，‎ ‎…‎ 第n个图有1+1×3+2×3+3×3+…+3n个点．‎ 所以第5个图中共有点的个数是1+1×3+2×3+3×3+4×3+5×3=46．‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 此题考查图形的变化规律，找出图形之间的数字运算规律，利用规律解决问题．‎ ‎3. （2014•株洲，第8题，3分）在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（66，34）‎ B．‎ ‎（67，33）‎ C．‎ ‎（100，33）‎ D．‎ ‎（99，34）‎ 考点：‎ 坐标确定位置；规律型：点的坐标．‎ 分析：‎ 根据走法，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右3个单位，向上1个单位，用100除以3，然后根据商和余数的情况确定出所处位置的横坐标与纵坐标即可．‎ 解答：‎ 解：由题意得，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右3个单位，向上1个单位，‎ ‎∵100÷3=33余1，‎ ‎∴走完第100步，为第34个循环组的第1步，‎ 所处位置的横坐标为33×3+1=100，‎ 纵坐标为33×1=33，‎ ‎∴棋子所处位置的坐标是（100，33）．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了坐标确定位置，点的坐标的规律变化，读懂题目信息并理解每3步为一个循环组依次循环是解题的关键．‎ 二、填空题 ‎1. （2014•湘潭，16题，3分）如图，按此规律，第6行最后一个数字是　16　，第　672　行最后一个数是2014．‎ 考点：‎ 规律型：数字的变化类．‎ 分析：‎ 每一行的最后一个数字构成等差数列1，4，7，10…，易得第n行的最后一个数字为1+3（n﹣1）=3n﹣2，由此求得第6行最后一个数字，建立方程求得最后一个数是2014在哪一行．‎ 解答：‎ 解：每一行的最后一个数字构成等差数列1，4，7，10…，‎ 第n行的最后一个数字为1+3（n﹣1）=3n﹣2，‎ ‎∴第6行最后一个数字是3×6﹣2=16；‎ ‎3n﹣2=2014‎ 解得n=672．‎ 因此第6行最后一个数字是16，第672行最后一个数是2014．‎ 故答案为：16，672．‎ 点评：‎ 此题考查数字的排列规律，找出数字之间的联系，得出运算规律解决问题．‎ ‎1. （2014•上海，第17题4分）一组数：2，1，3，x，7，y，23，…，满足“从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是‎2a﹣b”，例如这组数中的第三个数“‎3”‎是由“2×2﹣‎1”‎得到的，那么这组数中y表示的数为　﹣9　．‎ 考点：‎ 规律型：数字的变化类 分析：‎ 根据“从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是‎2a﹣b”，首先建立方程2×3﹣x=7，求得x，进一步利用此规定求得y即可．‎ 解答：‎ 解：∵从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是‎2a﹣b ‎∴2×3﹣x=7‎ ‎∴x=﹣1‎ 则7×2﹣y=23‎ 解得y=﹣9．‎ 故答案为：﹣9．‎ 点评：‎ 此题考查数字的变化规律，注意利用定义新运算方法列方程解决问题．‎ ‎1. （2014•黑龙江龙东,第10题3分）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1=；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=1+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=2+；…，按此规律继续旋转，直至得到点P2014为止．则AP2014=　1342+672　．‎ 考点： 旋转的性质．.‎ 专题： 规律型．‎ 分析： 由已知得AP1=，AP2=1+，AP3=2+；再根据图形可得到AP4=2+2；AP5=3+2；AP6=4+2；AP7=4+3；AP8=5+3；AP9=6+3；每三个一组，由于2013=3×671，则AP2013=（2013﹣761）+671，然后把AP2013加上即可．‎ 解答： 解：AP1=，AP2=1+，AP3=2+；‎ AP4=2+2；AP5=3+2；AP6=4+2；‎ AP7=4+3；AP8=5+3；AP9=6+3；‎ ‎∵2013=3×671，‎ ‎∴AP2013=（2013﹣761）+671=1342+671，‎ ‎∴AP2014=1342+671+=1342+672．‎ 故答案为：1342+672．‎ 点评： 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．‎ ‎2. （2014•黑龙江绥化,第10题3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一根长为2014个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按A→B→C→D→A…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是　（﹣1，﹣1）　．‎ 考点：‎ 规律型：点的坐标．‎ 分析：‎ 根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．‎ 解答：‎ 解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），‎ ‎∴AB=1﹣（﹣1）=2，BC=1﹣（﹣2）=3，CD=1﹣（﹣1）=2，DA=1﹣（﹣2）=3，‎ ‎∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3=10，‎ ‎2014÷10=201…4，‎ ‎∴细线另一端在绕四边形第202圈的第4个单位长度的位置，‎ 即线段BC的中间位置，点的坐标为（﹣1，﹣1）．‎ 故答案为：（﹣1，﹣1）．‎ 点评：‎ 本题主要考查了点的变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度，从而确定2014个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．‎ ‎3. （2014•湖南衡阳,第20题3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点M0的坐标为（1，0），将线段OM0绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M‎1M0⊥OM0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M‎2M1⊥OM1，得到线段OM2；如此下去，得到线段OM3，OM4，OM5，…‎ 根据以上规律，请直接写出OM2014的长度为　21007　．‎ 考点：规律型：点的坐标．‎ 专题：规律型．‎ 分析：根据点M0的坐标求出OM0，然后判断出△OM‎0M1是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出OM1，同理求出OM2，OM3，然后根据规律写出OM2014即可．‎ 解答：解：∵点M0的坐标为（1，0），‎ ‎∴OM0=1，‎ ‎∵线段OM0绕原点O逆时针方向旋转45°，M‎1M0⊥OM0，‎ ‎∴△OM‎0M1是等腰直角三角形，‎ ‎∴OM1=OM0=，‎ 同理，OM2=OM1=（）2，‎ OM3=OM2=（）3，‎ ‎…，‎ OM2014=OM2013=（）2014=21007．‎ 故答案为：21007．‎ 点评：本题是对点的坐标变化规律的考查，主要利用了等腰直角三角形的判定与性质，读懂题目信息，判断出等腰直角三角形是解题的关键．‎ ‎4. （2014•湖南永州,第16题3分）小聪，小玲，小红三人参加“普法知识竞赛”，其中前5题是选择题，每题10分，每题有A、B两个选项，且只有一个选项是正确的，三人的答案和得分如下表，试问：这五道题的正确答案（按1～5题的顺序排列）是　BABBA　．‎ 题号 答案 选手 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 得分 小聪 B A A B A ‎40‎ 小玲 B A B A A ‎40‎ 小红 A B B B A ‎30‎ 考点：‎ 推理与论证．‎ 分析：‎ 根据得分可得小聪和小玲都是只有一个错，小红有2个错误，首先从三人答案相同的入手分析，然后从小聪和小玲不同的题目入手即可分析．‎ 解答：‎ 解：根据得分可得小聪和小玲都是只有一个错，小红有2个错误．‎ 第5题，三人选项相同，若不是选A，则小聪和小玲的其它题目的答案一定相同，与已知矛盾，则第5题的答案是A；‎ 第3个第4题小聪和小玲都不同，则一定在这两题上其中一人有错误，则第1，2正确，则1的答案是：B，2的答案是：A；‎ 则小红的错题是1和2，则3和4正确，则3的答案是：B，4的答案是：B．‎ 总之，正确答案（按1～5题的顺序排列）是BABBA．‎ 故答案是：BABBA．‎ 点评：‎ 本题考查了命题的推理与论证，正确确定问题的入手点，理解题目中每个题目只有A和B两个答案是关键．‎ ‎5. （2014•黔南州，第18题5分）已知==3，==10，==15，…观察以上计算过程，寻找规律计算=　56　．‎ 考点：‎ 规律型：数字的变化类．‎ 分析：‎ 对于Cab（b＜a）来讲，等于一个分式，其中分母是从1到b的b个数相乘，分子是从a开始乘，乘b的个数．‎ 解答：‎ 解：∵==3，==10，==15，‎ ‎∴==56．‎ 故答案为56．‎ 点评：‎ 此题主要考查了数字的变化规律，利用已知得出分子与分母之间的规律是解题关键．‎ ‎6．(2014年广西钦州，第18题3分)甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2014时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是　336　分．‎ 考点： 规律型：数字的变化类．‎ 分析： 根据题意得甲报出的数中第一个数为1，第2个数为1+3=4，第3个数为1+3×2=7，第4个数为1+3×3=10，…，第n个数为1+3（n﹣1），由于1+3（n﹣1）=2014，解得n=672，则甲报出了672个数，再观察甲报出的数总是一奇一偶，所以偶数有672÷2=336个，由此得出答案即可．‎ 解答： 解：甲报的数中第一个数为1，‎ 第2个数为1+3=4，‎ 第3个数为1+3×2=7，‎ 第4个数为1+3×3=10，‎ ‎…，‎ 第n个数为1+3（n﹣1）=3n﹣2，‎ ‎3n﹣2=2014，则n=672，‎ 甲报出了672个数，一奇一偶，所以偶数有672÷2=336个，得336分．‎ 故答案为：336．‎ 点评： 本题考查数字的变化规律：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．‎ ‎7．(2014年贵州安顺，第17题4分 ‎)如图，∠AOB=45°，过OA上到点O的距离分别为1，3，5，7，9，11，…的点作OA的垂线与OB相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别 为S1，S2，S3，S4，…．观察图中的规律，第n（n为正整数）个黑色梯形的面积是Sn=　8n﹣4　．‎ 考点： 直角梯形．.‎ 专题： 压轴题；规律型．‎ 分析： 由∠AOB=45°及题意可得出图中的三角形都为等腰直角三角形，且黑色梯形的高都是2；根据等腰直角三角形的性质，分别表示出黑色梯形的上下底，找出第n个黑色梯形的上下底，利用梯形的面积公式即可表示出第n个黑色梯形的面积．‎ 解答： 解：∵∠AOB=45°，‎ ‎∴图形中三角形都是等腰直角三角形，‎ 从图中可以看出，黑色梯形的高都是2，‎ 第一个黑色梯形的上底为：1，下底为：3，‎ 第2个黑色梯形的上底为：5=1+4，下底为：7=1+4+2，‎ 第3个黑色梯形的上底为：9=1+2×4，下底为：11=1+2×4+2，‎ 则第n个黑色梯形的上底为：1+（n﹣1）×4，下底为：1+（n﹣1）×4+2，‎ 故第n个黑色梯形的面积为：×2×[1+（n﹣1）×4+1+（n﹣1）×4+2]=8n﹣4．‎ 故答案为：8n﹣4．‎ 点评： 此题考查了直角梯形的性质与等腰直角三角形的性质．此题属于规律性题目，难度适中，注意找到第n个黑色梯形的上底为：1+（n﹣1）×4，下底为1+（n﹣1）×4+2是解此题的关键．‎ ‎8．（2014•莱芜，第17题4分）如图在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1．先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2014次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2014的坐标为　（1342，0）　．‎ 考点：‎ 规律型：点的坐标；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．‎ 专题：‎ 规律型．‎ 分析：‎ 连接AC，根据条件可以求出AC，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于2014=335×6+4，因此点B4向右平移1340（即335×4）即可到达点B2014，根据点B4的坐标就可求出点B2014的坐标．‎ 解答：‎ 解：连接AC，如图所示．‎ ‎∵四边形OABC是菱形，‎ ‎∴OA=AB=BC=OC．‎ ‎∵∠ABC=90°，‎ ‎∴△ABC是等边三角形．‎ ‎∴AC=AB．‎ ‎∴AC=OA．‎ ‎∵OA=1，‎ ‎∴AC=1．‎ 画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示．‎ 由图可知：每翻转6次，图形向右平移4．‎ ‎∵2014=335×6+4，‎ ‎∴点B4向右平移1340（即335×4）到点B2014．‎ ‎∵B4的坐标为（2，0），‎ ‎∴B2014的坐标为（2+1340，0），‎ ‎∴B2014的坐标为（1342，0）．‎ 点评：‎ 本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力．发现“每翻转6次，图形向右平移‎4”‎是解决本题的关键．‎ ‎9．(2014•黑龙江牡丹江, 第20题3分)已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上且坐标是（0，2），点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上，C1的坐标是（1，0）．B‎1C1∥B‎2C2∥B‎3C3，以此继续下去，则点A2014到x轴的距离是　　．‎ 考点： 全等三角形的判定与性质；规律型：点的坐标；正方形的性质．‎ 分析： 根据勾股定理可得正方形A1B‎1C1D1的边长为=，根据相似三角形的性质可得后面正方形的边长依次是前面正方形边长的，依次得到第2014个正方形和第2014个正方形的边长，进一步得到点A2014到x轴的距离．‎ 解答： 解：如图，∵点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上，B‎1C1∥B‎2C2∥B‎3C3，‎ ‎∴△B1OC1∽△B2E‎2C2∽B3E‎4C3…，△B1OC1≌△1CE1D1，…，‎ ‎∴B2E2=1，B3E4=，B4E6=，B5E8=…，‎ ‎∴B2014E4016=，‎ 作A1E⊥x轴，延长A1D1交x轴于F，‎ 则△C1D‎1F∽△C1D1E1，‎ ‎∴=，‎ 在Rt△OB‎1C1中，OB1=2，OC1=1，‎ 正方形A1B‎1C1D1的边长为为=，‎ ‎∴D‎1F=，‎ ‎∴A‎1F=，‎ ‎∵A1E∥D1E1，‎ ‎∴=，‎ ‎∴A1E=3，∴=，‎ ‎∴点A2014到x轴的距离是×=‎ 点评： 此题主要考查了正方形的性质以及解直角三角形的知识，得出正方形各边长是解题关键．‎ ‎10. （2014•湖北黄石,第16题3分）观察下列等式：‎ 第一个等式：a1==﹣；‎ 第二个等式：a2==﹣；‎ 第三个等式：a3==﹣；‎ 第四个等式：a4==﹣．‎ 按上述规律，回答以下问题：‎ ‎（1）用含n的代数式表示第n个等式：an==　；‎ ‎（2）式子a1+a2+a3+…+a20=　　．‎ 考点： 规律型：数字的变化类．‎ 分析： （1）由前四个等是可以看出：是第几个算式，等号左边的分母的第一个因数是就是几，第二个因数是几加1，第三个因数是2的几加1次方，分子是几加2；等号右边分成分子都是1的两项差，第一个分母是几乘2的几次方，第二个分母是几加1乘2的几加1次方；由此规律解决问题；‎ ‎（2）把这20个数相加，化为左边的形式相加，正好抵消，剩下第一个数分裂的第一项和最后一个数分裂的后一项，得出答案即可．‎ 解答： 解：（1）用含n的代数式表示第n个等式：‎ an==﹣．‎ ‎（2）a1+a2+a3+…+a20‎ ‎=﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣‎ ‎=﹣．‎ 故答案为：（1），﹣；（2）﹣．‎ 点评： 此题考查数字的变化规律，从简单情形入手，找出一般规律，利用规律解决问题．‎ ‎11．（2014•四川绵阳,第18题4分）将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，请根据图2化简，S1+S2+S3+…+S2014=　1﹣　．‎ 考点：‎ 规律型：图形的变化类 分析：‎ 观察图形的变化发现每次折叠后的面积与正方形的关系，从而写出面积和的通项公式．‎ 解答：‎ 解：观察发现S1+S2+S3+…+S2014=+++…+=1﹣，‎ 故答案为：1﹣．‎ 点评：‎ 本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形的变化，并找到图形的变化规律．‎ ‎　‎ ‎12．（2014•浙江绍兴,第15题5分）如图，边长为n的正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点A1，A2…An﹣1为OA的n等分点，点B1，B2…Bn﹣1为CB的n等分点，连结A1B1，A2B2，…An﹣1Bn﹣1，分别交曲线y=（x＞0）于点C1，C2，…，Cn﹣1．若C15B15=‎16C15A15，则n的值为　17　．（n为正整数）‎ 考点：‎ 反比例函数图象上点的坐标特征．‎ 专题：‎ 规律型．‎ 分析：‎ 先根据正方形OABC的边长为n，点A1，A2…An﹣1为OA的n等分点，点B1，B2…Bn﹣1为CB的n等分点可知OA15=15，OB15=15，再根据C15B15=‎16C15A15表示出C15的坐标，代入反比例函数的解析式求出n的值即可．‎ 解答：‎ 解：∵正方形OABC的边长为n，点A1，A2…An﹣1为OA的n等分点，点B1，B2…Bn﹣1为CB的n等分点∴OA15=15，OB15=15，‎ ‎∵C15B15=‎16C15A15，‎ ‎∴C15（15，），‎ ‎∵点C15在曲线y=（x＞0）上，‎ ‎∴15×=n﹣2，解得n=17．‎ 故答案为：17．‎ 点评：‎ 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上k=xy为定值是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎13．（2014•四川成都,第23题4分）在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如，图中三角形ABC是格点三角形，其中S=2，N=0，L=6；图中格点多边形DEFGHI所对应的S，N，L分别是　7，3，10　．经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为S=aN+bL+c，其中a，b，c为常数，则当N=5，L=14时，S=　11　．（用数值作答）‎ 考点：‎ 规律型：图形的变化类；三元一次方程组的应用．‎ 分析：‎ ‎（1）观察图形，即可求得第一个结论；‎ ‎（2）根据格点多边形的面积S=aN+bL+c，结合图中的格点三角形ABC及多边形DEFGHI中的S，N，L数值，代入建立方程组，求出a，b，c即可求得S．‎ 解答：‎ 解：（1）观察图形，可得S=7，N=3，L=10；‎ ‎（2）不妨设某个格点四边形由四个小正方形组成，此时，S=4，N=1，L=8，‎ ‎∵格点多边形的面积S=aN+bL+c，‎ ‎∴结合图中的格点三角形ABC及格点四边形DEFG可得 ‎，解得，‎ ‎∴S=N+L﹣1，‎ 将N=5，L=14代入可得S=5+14×﹣1=11．‎ 故答案为：（Ⅰ）7，3，10；（Ⅱ）11．‎ 点评：‎ 此题考查格点图形的面积变化与多边形内部格点数和边界格点数的关系，从简单情况分析，找出规律解决问题．‎ ‎14．（2014•河北，第20题3分）如图，点O，A在数轴上表示的数分别是0，0.1．‎ 将线段OA分成100等份，其分点由左向右依次为M1，M2，…，M99；‎ 再将线段OM1，分成100等份，其分点由左向右依次为N1，N2，…，N99；‎ 继续将线段ON1分成100等份，其分点由左向右依次为P1，P2．…，P99．‎ 则点P37所表示的数用科学记数法表示为　3.7×10﹣6　．‎ 考点：‎ 规律型：图形的变化类；科学记数法—表示较小的数．‎ 分析：‎ 由题意可得M1表示的数为0.1×=10﹣3，N1表示的数为0×10﹣3=10﹣5，P1‎ 表示的数为10﹣5×=10﹣7，进一步表示出点P37即可．‎ 解答：‎ 解：M1表示的数为0.1×=10﹣3，‎ N1表示的数为0×10﹣3=10﹣5，‎ P1表示的数为10﹣5×=10﹣7，‎ P37=37×10﹣7=3.7×10﹣6．‎ 故答案为：3.7×10﹣6．‎ 点评：‎ 此题考查图形的变化规律，结合图形，找出数字之间的运算方法，找出规律，解决问题．‎ ‎2. （2014•四川巴中，第20题3分）如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（a+b）n（n为非负整数）的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数．例如，（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再如，（a+b）3=a3+‎3a2b+3ab2+b3展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字．请认真观察此图，写出（a+b）4的展开式，（a+b）4=　　．‎ 考点：规律探索．‎ 分析：由（a+b）=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=a3+‎3a2b+3ab2+b3可得（a+b）n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于（a+b）n﹣1的相邻两个系数的和，由此可得（a+b）4的各项系数依次为1、4、6、4、1．‎ 解答：（a+b）4=a4+‎4a3b+‎6a2b2+4ab3+b4．故答案为：a4+‎4a3b+‎6a2b2+4ab3+b4．‎ 点评：本题考查了完全平方公式，学生的观察分析逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．‎ ‎3.（2014•遵义16．（4分））有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2014次后，骰子朝下一面的点数是　3　． ‎ 考点：‎ 专题：正方体相对两个面上的文字；规律型：图形的变化类．‎ 分析：‎ 观察图象知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，从而确定答案．‎ 解答：‎ 解：观察图象知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，‎ ‎∵2014÷4=503…2，‎ ‎∴滚动第2014次后与第二次相同，‎ ‎∴朝下的点数为3，‎ 故答案为：3．‎ 点评：‎ 本题考查了正方体相对两个面上的文字及图形的变化类问题，解题的关键是发现规律．‎ ‎4.（2014•娄底19．（3分））如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第n（n为正整数）个图案由　3n+1　个▲组成．‎ 考点：‎ 规律型：图形的变化类．‎ 分析：‎ 仔细观察图形，结合三角形每条边上的三角形的个数与图形的序列数之间的关系发现图形的变化规律，利用发现的规律求解即可．‎ 解答：‎ 解：观察发现：‎ 第一个图形有3×2﹣3+1=4个三角形；‎ 第二个图形有3×3﹣3+1=7个三角形；‎ 第一个图形有3×4﹣3+1=10个三角形；‎ ‎…‎ 第n个图形有3（n+1）﹣3+1=3n+1个三角形；‎ 故答案为：3n+1．‎ 点评：‎ 考查了规律型：图形的变化类，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．‎ ‎5. (2014年湖北咸宁14．（3分）)观察分析下列数据：0，﹣，，﹣3，2，﹣，3，…，根据数据排列的规律得到第16个数据应是　﹣3　 （结果需化简）．‎ 考点： 算术平方根．‎ 专题： 规律型．‎ 分析： 通过观察可知，规律是根号外的符号以及根号下的被开方数依次是：（﹣1）1+1×0，（﹣1）2+1，（﹣1）3+1…（﹣1n+1），可以得到第16个的答案．‎ 解答： 解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：，（﹣1）2+1，…（﹣1n+1），‎ ‎∴第16个答案为：．‎ 故答案为：．‎ 点评： 主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．‎ ‎6. （2014•江苏盐城,第18题3分）如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（8，4），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则Sn的值为　24n﹣5　．（用含n的代数式表示，n为正整数）‎ 考点：‎ 正方形的性质；一次函数图象上点的坐标特征．‎ 专题：‎ 规律型．‎ 分析：‎ 根据直线解析式判断出直线与x轴的夹角为45°，从而得到直线与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，再根据点A的坐标求出正方形的边长并得到变化规律表示出第n个正方形的边长，然后根据阴影部分的面积等于一个等腰直角三角形的面积加上梯形的面积再减去一个直角三角形的面积列式求解并根据结果的规律解答即可．‎ 解答：‎ 解：∵函数y=x与x轴的夹角为45°，‎ ‎∴直线y=x与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，‎ ‎∵A（8，4），‎ ‎∴第四个正方形的边长为8，‎ 第三个正方形的边长为4，‎ 第二个正方形的边长为2，‎ 第一个正方形的边长为1，‎ ‎…，‎ 第n个正方形的边长为2n﹣1，‎ 由图可知，S1=×1×1+×（1+2）×2﹣×（1+2）×2=，‎ S2=×4×4+×（2+4）×4﹣×（2+4）×4=8，‎ ‎…，‎ Sn为第2n与第2n﹣1个正方形中的阴影部分，‎ 第2n个正方形的边长为22n﹣1，第2n﹣1个正方形的边长为22n﹣2，‎ Sn=•22n﹣2•22n﹣2=24n﹣5．‎ 故答案为：24n﹣5．‎ 点评：‎ 本题考查了正方形的性质，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征，依次求出各正方形的边长是解题的关键，难点在于求出阴影Sn所在的正方形和正方形的边长．‎ ‎7. (2014•年山东东营,第18题4分)将自然数按以下规律排列：‎ 表中数2在第二行第一列，与有序数对（2，1）对应，数5与（1，3）对应，数14与（3，4）对应，根据这一规律，数2014对应的有序数对为　（45，12）　．‎ 考点： 规律型：数字的变化类．‎ 分析： 根据已知数据可得出第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方，同理可得出第一行的偶数列的数的规律，从而得出2014所在的位置．‎ 解答： 解：由已知可得：根据第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方，‎ 第一行的偶数列的数的规律，与奇数行规律相同；‎ ‎∵45×45=2025，2014在第45行，向右依次减小，‎ ‎∴2014所在的位置是第45行，第12列，其坐标为（45，12）．‎ 故答案为：（45，12）．‎ 点评： 此题主要考查了数字的规律知识，得出第一列的奇数行的数的规律与第一行的偶数列的数的规律是解决问题的关键．‎ ‎8．（2014•四川遂宁，第15题，4分）已知：如图，在△ABC中，点A1，B1，C1分别是BC、AC、AB的中点，A2，B2，C2分别是B‎1C1，A‎1C1，A1B1的中点，依此类推…．若△ABC的周长为1，则△AnBnCn的周长为　　．‎ 考点：‎ 三角形中位线定理．‎ 专题：‎ 规律型．‎ 分析：‎ 由于A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，就可以得出△A1B‎1C1∽△ABC，且相似比为，△A2B‎2C2∽△ABC的相似比为，依此类推△AnBnCn∽△ABC的相似比为，‎ 解答：‎ 解：∵A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，‎ ‎∴A1B1、A‎1C1、B‎1C1是△ABC的中位线，‎ ‎∴△A1B‎1C1∽△ABC，且相似比为，‎ ‎∵A2、B2、C2分别是△A1B‎1C1的边B‎1C1、C‎1A1、A1B1的中点，‎ ‎∴△A2B‎2C2∽△A1B‎1C1且相似比为，‎ ‎∴△A2B‎2C2∽△ABC的相似比为 依此类推△AnBnCn∽△ABC的相似比为，‎ ‎∵△ABC的周长为1，‎ ‎∴△AnBnCn的周长为．‎ 故答案为．‎ 点评：‎ 本题考查了三角形中位线定理的运用，相似三角形的判定与性质的运用，解题的关键是有相似三角形的性质：‎ ‎9．（2014•四川内江，第16题，5分）如图，将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第2014个图形是　□　．‎ 考点：‎ 规律型：图形的变化类．‎ 分析：‎ 去掉开头的两个三角形，剩下的由三个正方形，一个三角形，两个圆6个图形为一组，依次不断循环出现，由此用（2014﹣2）÷6算出余数，余数是几，就与循环的第几个图形相同，由此解决问题．‎ 解答：‎ 解：由图形看出去掉开头的两个三角形，剩下的由三个正方形，一个三角形，两个圆6个图形为一组，不断循环出现，‎ ‎（2014﹣2）÷6=335…2‎ 所以第2014个图形是与循环的第二个图形相同是正方形．‎ 故答案为：□．‎ 点评：‎ 此题考查图形的变化规律，找出图形的循环规律，利用规律解决问题．‎ ‎10．（2014•四川南充，第15题，3分）一列数a1，a2，a3，…an，其中a1=﹣1，a2=，a3=，…，an=，则a1+a2+a3+…+a2014=　　．‎ 分析：分别求得a1、a2、a3、…，找出数字循环的规律，进一步利用规律解决问题．‎ 解：a1=﹣1，a2==，a3==2，a4==﹣1，…，‎ 由此可以看出三个数字一循环，2004÷3=668，‎ 则a1+a2+a3+…+a2014=668×（﹣1++2）=1002．故答案为：1002．‎ 点评：此题考查了找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，找出规律是解题的关键．‎ ‎11．（2014•甘肃白银、临夏,第18题4分）观察下列各式：‎ ‎13=12‎ ‎13+23=32‎ ‎13+23+33=62‎ ‎13+23+33+43=102‎ ‎…‎ 猜想13+23+33+…+103=　 　．‎ 考点：‎ 规律型：数字的变化类．‎ 专题：‎ 压轴题；规律型．‎ 分析：‎ ‎13=12‎ ‎13+23=（1+2）2=32‎ ‎13+23+33=（1+2+3）2=62‎ ‎13+23+33+43=（1+2+3+4）2=102‎ ‎13+23+33+…+103=（1+2+3…+10）2=552．‎ 解答：‎ 解：根据数据可分析出规律为从1开始，连续n个数的立方和=（1+2+…+n）2‎ 所以13+23+33+…+103=（1+2+3…+10）2=552．‎ 点评：‎ 本题的规律为：从1开始，连续n个数的立方和=（1+2+…+n）2．‎ ‎12．（2014•甘肃兰州,第20题4分）为了求1+2+22+23+…+2100的值，可令S=1+2+22+23+…+2100，则2S=2+22+23+24+…+2101，因此2S﹣S=2101﹣1，所以S=2101﹣1，即1+2+22+23+…+2100=2101﹣1，仿照以上推理计算1+3+32+33+…+32014的值是　　 ．‎ 考点：‎ 有理数的乘方 专题：‎ 整体思想．‎ 分析：‎ 根据等式的性质，可得和的3倍，根据两式相减，可得和的2倍，根据等式的性质，可得答案．‎ 解答：‎ 解：设M=1+3+32+33+…+32014 ①，‎ ‎①式两边都乘以3，得 ‎3M‎=3+32+33+…+32015 ②．‎ ‎②﹣①得 ‎2M‎=32015﹣1，‎ 两边都除以2，得 M=，‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查了有理数的乘方，等式的性质是解题关键．‎ ‎13．（2014•广东梅州,第13题3分）如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为Pn，则点P3的坐标是　 　；点P2014的坐标是　 　．‎ 考点：‎ 规律型：点的坐标．‎ 分析：‎ 根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2014除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．‎ 解答：‎ 解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），‎ 当点P第3次碰到矩形的边时，点P的坐标为：（8，3）；‎ ‎∵2014÷6=335…4，‎ ‎∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，‎ 点P的坐标为（5，0）．‎ 故答案为：（8，3），（5，0）．‎ 点评：‎ 此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．‎ ‎2. （2014•扬州，第18题，3分）设a1，a2，…，a2014是从1，0，﹣1这三个数中取值的一列数，若a1+a2+…+a2014=69，（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2014+1）2=4001，则a1，a2，…，a2014中为0的个数是　165　．‎ 考点：‎ 规律型：数字的变化类．‎ 分析：‎ 首先根据（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2014+1）2得到a12+a22+…+a20142+2152，然后设有x个1，y个﹣1，z个0，得到方程组，解方程组即可确定正确的答案．‎ 解答：‎ 解：（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2014+1）2=a12+a22+…+a20142+2（a1+a2+…+a2014）+2014‎ ‎=a12+a22+…+a20142+2×69+2014‎ ‎=a12+a22+…+a20142+2152，‎ 设有x个1，y个﹣1，z个0‎ ‎∴，‎ 化简得x﹣y=69，x+y=1849‎ 解得x=959，y=890，z=165‎ ‎∴有959个1，890个﹣1，165个0，‎ 故答案为：165．‎ 点评：‎ 本题考查了数字的变化类问题，解题的关键是对给出的式子进行正确的变形，难度较大．‎ ‎1. （ 2014•珠海，第10题4分）如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1=90°，OA=1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA‎1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA‎2A3，…则OA4的长度为　8　．‎ 考点：‎ 等腰直角三角形 专题：‎ 规律型．‎ 分析：‎ 利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，进而得出答案．‎ 解答：‎ 解：∵△OAA1为等腰直角三角形，OA=1，‎ ‎∴AA1=OA=1，OA1=OA=；‎ ‎∵△OA‎1A2为等腰直角三角形，‎ ‎∴A‎1A2=OA1=，OA2=OA1=2；‎ ‎∵△OA‎2A3为等腰直角三角形，‎ ‎∴A‎2A3=OA2=2，OA3=OA2=2；‎ ‎∵△OA‎3A4为等腰直角三角形，‎ ‎∴A‎3A4=OA3=2，OA4=OA3=8．‎ 故答案为：8．‎ 点评：‎ 此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题关键．‎ ‎　‎ ‎2．(2014年四川资阳，第16题3分)如图，以O（0，0）、A（2，0）为顶点作正△OAP1，以点P1和线段P‎1A的中点B为顶点作正△P1BP2，再以点P2和线段P2B的中点C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，则第六个正三角形中，不在第五个正三角形上的顶点P6的坐标是　（，）　．‎ 考点： 规律型：点的坐标；等边三角形的性质．‎ 分析： 根据O（0，0）A（2，0）为顶点作△OAP1，再以P1和P‎1A的中B为顶点作△P1BP2，再P2和P2B的中C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，结合图形求出点P6的坐标．‎ 解答： 解：由题意可得，每一个正三角形的边长都是上个三角形的边长的，第六个正三角形的边长是，‎ 故顶点P6的横坐标是，P5纵坐标是=，‎ P6的纵坐标为，‎ 故答案为：（，）．‎ 点评： 本题考查了点的坐标，根据规律解题是解题关键．‎ ‎　‎ ‎3．（2014年云南省，第14题3分）观察规律并填空 ‎（1﹣）=•=；‎ ‎（1﹣）（1﹣）=•••==‎ ‎（1﹣）（1﹣）（1﹣）=•••••=•=；‎ ‎（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）=•••••••=•=；‎ ‎…‎ ‎（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=　　．（用含n的代数式表示，n是正整数，且n≥2）‎ 考点： 规律型：数字的变化类．‎ 分析： 由前面算式可以看出：算式的左边利用平方差公式因式分解，中间的数字互为倒数，乘积为1，只剩下两端的（1﹣）和（1+）相乘得出结果．‎ 解答： 解：（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）‎ ‎=••••••…‎ ‎=．‎ 故答案为：．‎ 点评： 此题考查算式的运算规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，解决问题．‎ ‎　‎ ‎4.（2014•邵阳，第18题3分）如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动3个单位长度至C点，第3次从C点向右移动6个单位长度至D点，第4次从D点向左移动9个单位长度至E点，…，依此类推，这样至少移动 28 次后该点到原点的距离不小于41．‎ 考点：‎ 规律型：图形的变化类；数轴 专题：‎ 规律型．‎ 分析：‎ 根据数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），分别求出点所对应的数，进而求出点到原点的距离；然后对奇数项、偶数项分别探究，找出其中的规律（相邻两数都相差3），写出表达式；然后根据点到原点的距离不小于41建立不等式，就可解决问题．‎ 解答：‎ 解：由题意可得：‎ 移动1次后该点对应的数为0+1=1，到原点的距离为1；‎ 移动2次后该点对应的数为1﹣3=﹣2，到原点的距离为2；‎ 移动3次后该点对应的数为﹣2+6=4，到原点的距离为4；‎ 移动4次后该点对应的数为4﹣9=﹣5，到原点的距离为5；‎ 移动5次后该点对应的数为﹣5+12=7，到原点的距离为7；‎ 移动6次后该点对应的数为7﹣15=﹣8，到原点的距离为8；‎ ‎…‎ ‎∴移动（2n﹣1）次后该点到原点的距离为3n﹣2；‎ 移动2n次后该点到原点的距离为3n﹣1．‎ ‎①当3n﹣2≥41时，‎ 解得：n≥‎ ‎∵n是正整数，‎ ‎∴n最小值为15，此时移动了29次．‎ ‎②当3n﹣1≥41时，‎ 解得：n≥14．‎ ‎∵n是正整数，‎ ‎∴n最小值为14，此时移动了28次．‎ 纵上所述：至少移动28次后该点到原点的距离不小于41．‎ 故答案为：28．‎ 点评：‎ 本题考查了用正负数可以表示具有相反意义的量，考查了数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），考查了一列数的规律探究．对这列数的奇数项、偶数项分别进行探究是解决这道题的关键．‎ ‎5.（2014•孝感，第18题3分）正方形A1B‎1C1O，A2B‎2C2C1，A3B‎3C3C2，…按如图的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B6的坐标是　（63，32）　．‎ 考点：‎ 一次函数图象上点的坐标特征 专题：‎ 规律型．‎ 分析：‎ 首先利用直线的解析式，分别求得A1，A2，A3，A4…的坐标，由此得到一定的规律，据此求出点An的坐标，即可得出点B6的坐标．‎ 解答：‎ 解：∵直线y=x+1，x=0时，y=1，‎ ‎∴A1B1=1，点B2的坐标为（3，2），‎ ‎∴A1的纵坐标是：1=20，A1的横坐标是：0=20﹣1，‎ ‎∴A2的纵坐标是：1+1=21，A2的横坐标是：1=21﹣1，‎ ‎∴A3的纵坐标是：2+2=4=22，A3的横坐标是：1+2=3=22﹣1，‎ ‎∴A4的纵坐标是：4+4=8=23，A4的横坐标是：1+2+4=7=23﹣1，‎ 即点A4的坐标为（7，8）．‎ 据此可以得到An的纵坐标是：2n﹣1，横坐标是：2n﹣1﹣1．‎ 即点An的坐标为（2n﹣1﹣1，2n﹣1）．‎ ‎∴点A6的坐标为（25﹣1，25）．‎ ‎∴点B6的坐标是：（26﹣1，25）即（63，32）．‎ 故答案为：（63，32）．‎ 点评：‎ 此题主要考查了一次函数图象上点的坐标性质和坐标的变化规律，正确得到点的坐标的规律是解题的关键．‎ ‎6.（2014•滨州，第18题4分）计算下列各式的值：‎ ‎；；；．‎ 观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得= 102014 ．‎ ‎ ‎ 考点：‎ 算术平方根；完全平方公式．‎ 专题：‎ 规律型．‎ 分析：‎ 先计算得到=10=101，=100=102，=1000=103，=1000=104，计算的结果都是10的整数次幂，且这个指 数的大小与被开方数中每个数中9的个数相同，所以=102014．‎ 解答：‎ 解：∵=10=101，‎ ‎=100=102，‎ ‎=1000=103，‎ ‎=1000=104，‎ ‎∴=102014．‎ 故答案为102014．‎ 点评：‎ 本题考查了算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为A．‎ ‎7．（2014•德州，第17题4分）如图，抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…An，…．将抛物线y=x2沿直线L：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：‎ ‎①抛物线的顶点M1，M2，M3，…Mn，…都在直线L：y=x上；‎ ‎②抛物线依次经过点A1，A2，A3…An，…．‎ 则顶点M2014的坐标为（　4027　，　4027　）．‎ 考点：‎ 二次函数图象与几何变换．‎ 专题：‎ 规律型．‎ 分析：‎ 根据抛物线y=x2与抛物线yn=（x﹣an）2+an相交于An，可发现规律，根据规律，可得答案．‎ 解答：‎ 解：M1（a1，a1）是抛物线y1=（x﹣a1）2+a1的顶点，‎ 抛物线y=x2与抛物线y1=（x﹣a1）2+a1相交于A1，‎ 得x2=（x﹣a1）2+a1，‎ 即‎2a1x=a12+a1，‎ x=（a1+1）．‎ ‎∵x为整数点 ‎∴a1=1，‎ M1（1，1）；‎ M2（a2，a2）是抛物线y2=（x﹣a2）2+a2=x2﹣‎2a2x+a22+a2顶点，‎ 抛物线y=x2与y2相交于A2，‎ x2=x2﹣‎2a2x+a22+a2，‎ ‎∴‎2a2x=a22+a2，‎ x=（a2+1）．‎ ‎∵x为整数点，‎ ‎∴a2=3，‎ M2（3，3），‎ M3（a3，a3）是抛物线y2=（x﹣a3）2+a3=x2﹣‎2a3x+a32+a3顶点，‎ 抛物线y=x2与y3相交于A3，‎ x2=x2﹣‎2a3x+a32+a3，‎ ‎∴‎2a3x=a32+a3，‎ x=（a3+1）．‎ ‎∵x为整数点 ‎∴a3=5，‎ M3（5，5），‎ 所以M2014，2014×2﹣1=4027‎ ‎（4027，4027），‎ 故答案为：（4027，4027）‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数图象与几何变换，定点沿直线y=x平移是解题关键．‎ ‎8.（2014•菏泽，第14题3分）下面是一个某种规律排列的数阵：‎ 根据数阵的规律，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数是 （用含n的代数式表示） ‎ 考点：‎ 算术平方根．‎ 专题：‎ 规律型．‎ 分析：‎ 观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出n﹣1行的数据的个数，再加上n﹣2得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可．‎ 解答：‎ 解：前（n﹣1）行的数据的个数为2+4+6+…+2（n﹣1）=n（n﹣1），‎ 所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数的被开方数是n（n﹣1）+n﹣2=n2﹣2，‎ 所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数是．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（n﹣1）行的数据的个数是解题的关键．‎ ‎9．（2014年山东泰安，第24题4分）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB‎1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB‎1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B‎1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B‎1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B‎2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，4），则点B2014的横坐标为　　．‎ 分析： 首先利用勾股定理得出AB的长，进而得出三角形的周长，进而求出B2，B4的横坐标，进而得出变化规律，即可得出答案．‎ 解：由题意可得：∵AO=，BO=4，∴AB=，∴OA+AB1+B‎1C2=++4=6+4=10，‎ ‎∴B2的横坐标为：10，B4的横坐标为：2×10=20，∴点B2014的横坐标为：×10=10070．故答案为：10070．‎ 点评：此题主要考查了点的坐标以及图形变化类，根据题意得出B点横坐标变化规律是解题关键．‎ ‎1.（5分）（2014•毕节地区，第18题5分）观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是 ．‎ 考点：‎ 规律型：数字的变化类 专题：‎ 规律型．‎ 分析：‎ 观察已知一组数发现：分子为从1开始的连线奇数，分母为从2开始的连线正整数的平方，写出第n个数即可．‎ 解答：‎ 解：根据题意得：这一组数的第n个数是．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．‎ ‎1．（2014•浙江台州，第16题5分）有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：‎ 则第n次运算的结果yn=　　（用含字母x和n的代数式表示）．‎ 考点：‎ 分式的混合运算．‎ 专题：‎ 图表型；规律型．‎ 分析：‎ 将y1代入y2计算表示出y2，将y2代入y3计算表示出y3，归纳总结得到一般性规律即可得到结果．‎ 解答：‎ 解：将y1=代入得：y2==；‎ 将y2=代入得：y3==，‎ 依此类推，第n次运算的结果yn=．‎ 故答案为：‎ 点评：‎ 此题考查了分式的混合运算，找出题中的规律是解本题的关键．‎ ‎2. （2014•湖北潜江仙桃，第15题3分）将相同的矩形卡片，按如图方式摆放在一个直角上，每个矩形卡片长为2，宽为1，依此类推，摆放2014个时，实线部分长为　5035　．‎ 考点：‎ 规律型：图形的变化类．‎ 分析：‎ 根据图形得出实线部分长度的变化规律，进而求出答案．‎ 解答：‎ 解：由图形可得出：摆放一个矩形实线长为3，‎ 摆放2个矩形实线长为5，摆放3个矩形实线长为8，‎ 摆放4个矩形实线长为10，摆放5个矩形实线长为13，‎ 即第偶数个矩形实线部分在前一个的基础上加2，‎ 第奇数个矩形实线部分在前一个的基础上加3，‎ ‎∵摆放2014个时，相等于在第1个的基础上加1006个2，1007个3，‎ ‎∴摆放2014个时，实线部分长为：3+1006×2+1007×3=5035．‎ 故答案为：5035．‎ 点评：‎ 此题主要考查了图形变化类，得出实线部分按第奇数与偶数个长度变化规律是解题关键．‎ ‎　‎ ‎3. （2014•江苏淮安，第18题3分）如图，顺次连接边长为1的正方形ABCD四边的中点，得到四边形A1B‎1C1D1，然后顺次连接四边形A1B‎1C1D1的中点，得到四边形A2B‎2C2D2‎ ‎，再顺次连接四边形A2B‎2C2D2四边的中点，得到四边形A3B‎3C3D3，…，按此方法得到的四边形A8B‎8C8D8的周长为　　．‎ 考点：‎ 中点四边形．‎ 专题：‎ 规律型．‎ 分析：‎ 根据题意，利用中位线定理可证明顺次连接正方形ABCD四边中点得正方形A1B‎1C1D1的面积为正方形ABCD面积的一半，根据面积关系可得周长关系，以此类推可得正方形A8B‎8C8D8的周长．‎ 解答：‎ 解：顺次连接正方形ABCD四边的中点得正方形A1B‎1C1D1，则得正方形A1B‎1C1D1的面积为正方形ABCD面积的一半，即，则周长是原来的；‎ 顺次连接正方形A1B‎1C1D1中点得正方形A2B‎2C2D2，则正方形A2B‎2C2D2的面积为正方形A1B‎1C1D1面积的一半，即，则周长是原来的；‎ 顺次连接正方形A2B‎2C2D2得正方形A3B‎3C3D3，则正方形A3B‎3C3D3的面积为正方形A2B‎2C2D2面积的一半，即，则周长是原来的；‎ 顺次连接正方形A3B‎3C3D3中点得正方形A4B‎4C4D4，则正方形A4B‎4C4D4的面积为正方形A3B‎3C3D3面积的一半，则周长是原来的；‎ ‎…‎ 故第n个正方形周长是原来的，‎ 以此类推：正方形A8B‎8C8D8周长是原来的，‎ ‎∵正方形ABCD的边长为1，‎ ‎∴周长为4，‎ ‎∴按此方法得到的四边形A8B‎8C8D8的周长为，‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查了利用了三角形的中位线的性质，相似图形的面积比等于相似比的平方的性质．进而得到周长关系．‎ ‎4. （2014•常德，第16题3分）已知：=；=；‎ 计算：=　　；‎ 猜想：=　　．‎ 考点：‎ 规律型：数字的变化类．‎ 分析：‎ 由=；=；=；…‎ 由此看出分子是从n个1相加，结果等于n；分母是（4n+3）+（4n﹣1）+…+11+7+3==n（2n+3），故猜想=．‎ 解答：‎ 解：已=；‎ ‎=；‎ ‎=；‎ ‎…‎ 分子为n个1相加，结果等于n；‎ 分母为n项相加：（4n+3）+（4n﹣1）+…+11+7+3==n（2n+3）‎ ‎∴猜想==．‎ 故答案为：；．‎ 点评：‎ 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．‎ ‎　‎ ‎6. （2014•铜仁，第18题4分）一列数：0，﹣1，3，﹣6，10，﹣15，21，…，按此规律第n的数为　（﹣1）n﹣1　．‎ 考点：‎ 规律型：数字的变化类．‎ 分析：‎ 首先发现奇数位置为正，偶数位置为负；且对应数字依次为0，0+1=1，0+1+2=3，0+1+2+3=6，0+1+2+3+4=0+10，0+1+2+3+4+5=15，0+1+2+3+4+5+6=21，…第n个数字为0+1+2+3+…+（n﹣1）=，由此得出答案即可．‎ 解答：‎ 解：第n个数字为0+1+2+3+…+（n﹣1）=，符号为（﹣1）n﹣1，‎ 所以第n个数为（﹣1）n﹣1．‎ 故答案为：（﹣1）n﹣1．‎ 点评：‎ 此题考查数字的变化规律，从数的绝对值的和正负情况两个方面考虑求解是解题的关键．‎ ‎7. （2014•内蒙古赤峰，第16题，3分）平移小菱形◇可以得到美丽的“中国结”图案，下面四个图案是由◇平移后得到的类似“中国结”的图案，按图中规律，第20个图案中，小菱形的个数是　800　个．‎ 考点：‎ 规律型：图形的变化类．‎ 分析：‎ 仔细观察图形发现第一个图形有2×12=2个小菱形；第二个图形有2×22=8个小菱形；第三个图形有2×32=18个小菱形；由此规律得到通项公式，然后代入n=20即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：第一个图形有2×12=2个小菱形；‎ 第二个图形有2×22=8个小菱形；‎ 第三个图形有2×32=18个小菱形；‎ ‎…‎ 第n个图形有2n2个小菱形；‎ 第20个图形有2×202=800个小菱形；‎ 故答案为：800．‎ 点评：‎ 本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形的变化，并找到图形的变化规律．‎ ‎8．（2014•广东深圳，第16题3分）如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数有　 　．‎ 考点：‎ 规律型：图形的变化类．‎ 分析：‎ 由图可以看出：第一个图形中5个正三角形，第二个图形中5×3+2=17个正三角形，第三个图形中17×3+2=53个正三角形，由此得出第四个图形中53×3+2=161个正三角形，第五个图形中161×3+2=485个正三角形．‎ 解答：‎ 解：第一个图形正三角形的个数为5，‎ 第二个图形正三角形的个数为5×3+2=17，‎ 第三个图形正三角形的个数为17×3+2=53，‎ 第四个图形正三角形的个数为53×3+2=161，‎ 第五个图形正三角形的个数为161×3+2=485．‎ 故答案为：485．‎ 点评：‎ 此题考查图形的变化规律，找出数字与图形之间的联系，找出规律解决问题．‎ ‎9.（2014•福建漳州，第16题4分）已知一列数2，8，26，80．…，按此规律，则第n个数是　 　．（用含n的代数式表示）‎ 考点：‎ 规律型：数字的变化类．‎ 分析：‎ 根据观察等式，可发现规律，根据规律，可得答案．‎ 解答：‎ 解；已知一列数2，8，26，80．…，按此规律，则第n个数是 3n﹣1，‎ 故答案为：3n﹣1．‎ 点评：‎ 本题考查了数字的变化类，规律是第几个数就是3的几次方减1．‎ ‎10.（2014•北京，第12题4分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，…．若点A1的坐标为（3，1），则点A3的坐标为　 　，点A2014的坐标为　 　；若点A1的坐标为（a，b），对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，则a，b应满足的条件为　 　．‎ 考点：‎ 规律型：点的坐标．‎ 分析：‎ 根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2014除以4，根据商和余数的情况确定点A2014的坐标即可；再写出点A1（a，b）的“伴随点”，然后根据x轴上方的点的纵坐标大于0列出不等式组求解即可．‎ 解答：‎ 解：∵A1的坐标为（3，1），‎ ‎∴A2（0，4），A3（﹣3，1），A4（0，﹣2），A5（3，1），‎ ‎…，‎ 依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，‎ ‎∵2014÷4=503余2，‎ ‎∴点A2014的坐标与A2的坐标相同，为（0，4）；‎ ‎∵点A1的坐标为（a，b），‎ ‎∴A2（﹣b+1，a+1），A3（﹣a，﹣b+2），A4（b﹣1，﹣a+1），A5（a，b），‎ ‎…，‎ 依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，‎ ‎∵对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，‎ ‎∴，，‎ 解得﹣1＜a＜1，0＜b＜2．‎ 故答案为：（﹣3，1），（0，4）；﹣1＜a＜1且0＜b＜2．‎ 点评：‎ 本题是对点的变化规律的考查，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．‎ ‎11.（2014•甘肃天水，第18题4分）如图，一段抛物线y=﹣x（x﹣1）（0≤x≤1）记为m1，它与x轴交点为O、A1，顶点为P1；将m1绕点A1旋转180°得m2，交x轴于点A2，顶点为P2；将m2绕点A2旋转180°得m3，交x轴于点A3，顶点为P3，…，如此进行下去，直至得m10，顶点为P10，则P10的坐标为（　 　）．‎ 考点：‎ 二次函数图象与几何变换．‎ 专题：‎ 规律型．‎ 分析：‎ 根据旋转的性质，可得图形的大小形状没变，可得答案．‎ 解答：‎ 解：y=﹣x（x﹣1）（0≤x≤1），‎ OA1=A‎1A2=1，P2P4=P1P3=2，‎ P2（2.5，﹣0.25）‎ P10的横坐标是2.5+2×[（10﹣2）÷2]=10.5，‎ p10的纵坐标是﹣0.25，‎ 故答案为（10.5，﹣0.25）．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数图象与几何变换，注意旋转前后的图形大小与形状都没发生变化是解题关键．‎ ‎12．（2014•齐齐哈尔，20题3分）如图，在在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，∠OAB=90°，直角边AO在x轴上，且AO=1．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O=2AO，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O=‎2A1O…，依此规律，得到等腰直角三角形A2014OB2014，则点A2014的坐标为　（﹣22014，0）　．‎ 考点：‎ 规律型：点的坐标．‎ 分析：‎ 根据题意得出A点坐标变化规律，进而得出点A2014的坐标位置，进而得出答案．‎ 解答：‎ 解：∵将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O=2AO，‎ 再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O=‎2A1O…，依此规律，‎ ‎∴每4次循环一周，A1（0，﹣2），A2（﹣4，0），A3（0，8），A4（16，0），‎ ‎∵2014÷4=503…2，‎ ‎∴点A2014的坐标与A2所在同一象限，‎ ‎∵﹣4=﹣22，8=23，16=24，‎ ‎∴点A2014（﹣22014，0）．‎ 故答案为：（﹣22014，0）．‎ 点评：‎ 此题主要考查了点的坐标变化规律，得出A点坐标变化规律是解题关键．‎ ‎13．（2014•莆田，第16题4分）如图放置的△OAB1，△B‎1A1B2，△B‎2A2B3，…都是边长为2的等边三角形，边AO在y轴上，点B1，B2，B3，…都在直线y=x上，则A2014的坐标是　（2014，2016）　．‎ 考点：‎ 一次函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．‎ 专题：‎ 规律型．‎ 分析：‎ 根据题意得出直线AA1的解析式为：y=x+2，进而得出A，A1，A2，A3坐标，进而得出坐标变化规律，进而得出答案．‎ 解答：‎ 解：过B1向x轴作垂线B‎1C，垂足为C，‎ 由题意可得：A（0，2），AO∥A1B1，∠B1OC=30°，‎ ‎∴CO=OB1cos30°=，‎ ‎∴B1的横坐标为：，则A1的横坐标为：，‎ 连接AA1，可知所有三角形顶点都在直线AA1上，‎ ‎∵点B1，B2，B3，…都在直线y=x上，AO=2，‎ ‎∴直线AA1的解析式为：y=x+2，‎ ‎∴y=×+2=3，‎ ‎∴A1（，3），‎ 同理可得出：A2的横坐标为：2，‎ ‎∴y=×2+2=4，‎ ‎∴A2（2，4），‎ ‎∴A3（3，5），‎ ‎…‎ A2014（2014，2016）．‎ 故答案为：（2014，2016）．‎ 点评：‎ 此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及数字变化类，得出A点横纵坐标变化规律是解题关键．‎ 三、解答题 ‎1. （ 2014•安徽省,第16题8分）观察下列关于自然数的等式：‎ ‎32﹣4×12=5 ①‎ ‎52﹣4×22=9 ②‎ ‎72﹣4×32=13 ③‎ ‎…‎ 根据上述规律解决下列问题：‎ ‎（1）完成第四个等式：92﹣4×　4　2=　17　；‎ ‎（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．‎ 考点： 规律型：数字的变化类；完全平方公式．菁优网 分析： 由①②③三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，计算的结果是被减数的底数的2倍减1，由此规律得出答案即可．‎ 解答： 解：（1）32﹣4×12=5 ①‎ ‎52﹣4×22=9 ②‎ ‎72﹣4×32=13 ③‎ ‎…‎ 所以第四个等式：92﹣4×42=17；‎ ‎（2）第n个等式为：（2n+1）2﹣4n2=2（2n+1）﹣1，‎ 左边=（2n+1）2﹣4n2=4n2+4n+1﹣4n2=4n+1，‎ 右边=2（2n+1）﹣1=4n+2﹣1=4n+1．‎ 左边=右边 ‎∴（2n+1）2﹣4n2=2（2n+1）﹣1．‎ 点评： 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．‎ ‎1. （2014•青岛，第23题10分）数学问题：计算+++…+（其中m，n都是正整数，且m≥2，n≥1）．‎ 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．‎ 探究一：计算+++…+．‎ 第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；‎ 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为+；‎ 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…；‎ ‎…‎ 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为+++…+，最后空白部分的面积是．‎ 根据第n次分割图可得等式：+++…+=1﹣．‎ 探究二：计算+++…+．‎ 第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为；‎ 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为+；‎ 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…；‎ ‎…‎ 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为+++…+，最后空白部分的面积是．‎ 根据第n次分割图可得等式：+++…+=1﹣，‎ 两边同除以2，得+++…+=﹣．‎ 探究三：计算+++…+．‎ ‎（仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）‎ 解决问题：计算+++…+．‎ ‎（只需画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空）‎ 根据第n次分割图可得等式：　+++…+=1﹣　，‎ 所以，+++…+=　﹣　．‎ 拓广应用：计算 +++…+．‎ 考点：‎ 作图—应用与设计作图；规律型：图形的变化类．‎ 专题：‎ 规律型．‎ 分析：‎ 探究三：根据探究二的分割方法依次进行分割，然后表示出阴影部分的面积，再除以3即可；‎ 解决问题：按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出阴影部分的面积及，再除以（m﹣1）即可得解；‎ 拓广应用：先把每一个分数分成1减去一个分数，然后应用公式进行计算即可得解．‎ 解答：‎ 解：探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分，‎ 其中阴影部分的面积为；‎ 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，‎ 阴影部分的面积之和为；‎ 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，‎ ‎…，‎ 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，‎ 所有阴影部分的面积之和为：+++…+，‎ 最后的空白部分的面积是，‎ 根据第n次分割图可得等式：+++…+=1﹣，‎ 两边同除以3，得+++…+=﹣；‎ 解决问题：+++…+=1﹣，‎ ‎+++…+=﹣；‎ 故答案为：+++…+=1﹣，﹣；‎ 拓广应用：+++…+，‎ ‎=1﹣+1﹣+1﹣+…+1﹣，‎ ‎=n﹣（+++…+），‎ ‎=n﹣（﹣），‎ ‎=n﹣+．‎ 点评：‎ 本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律，读懂题目信息，理解分割的方法以及求和的方法是解题的关键．‎ ‎2．（2014•江西，第24题8分）如图1，抛物线的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若三角形AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A、B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离称为碟高。‎ ‎（1）抛物线对应的碟宽为____；抛物线对应的碟宽为_____；抛物线（a>0）对应的碟宽为____；抛物线对应的碟宽____；‎ ‎（2）若抛物线对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值；‎ ‎（3）将抛物线的对应准蝶形记为Fn（n=1,2,3，…），定义F1，F2，…..Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比。若Fn与Fn-1的相似比为，且Fn的碟顶是Fn-1的碟宽的中点，现在将（2）中求得的抛物线记为y1，其对应的准蝶形记为F1.‎ ‎①求抛物线y2的表达式 ‎② 若F1的碟高为h1,F2的碟高为h2，…Fn的碟高为hn。则hn=_______,Fn的碟宽右端点横坐标为_______；F1，F2，….Fn的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出改直线的表达式；若不是，请说明理由。‎ ‎【答案】 （1）4、、、；（2）；（3）①；②、.‎ ‎【考点】 二次函数解析式与图像性质，等腰直角三角形性质，探索规律.‎ ‎【分析】 （1）根据准碟形的定义易算出含具体值的抛物线y=x2、抛物线y=4x2的碟宽，且都利用第一象限端点B的横纵坐标的相等，类似推广至含字母的抛物线y=ax2（a＞0）．而抛物线y=a(x-2)2+3（a＞0）为顶点式，可看成y=ax2向右、向上平移得到，因而发现碟宽的规律，只与a有关，碟宽= ．‎ 亦可先根据画出二次函数的大致图像，根据题意并从图像分析可知，其准碟形碟宽两端点A、B和抛物线的顶点M围成的△AMB是等腰直角三角形，进而知道A、B两点的纵坐标和横坐标绝对值相等，代入即可求出二次项系数a与碟宽之间的关系式，而y=a(x-2)2+3（a＞0）为顶点式，可看成y=ax2平移得到，只与a有关。‎ ‎（2）根据（1）中的结论，根据碟宽为6，列出方程=6，求出a的值．‎ ‎（3）①把(2)中求出的a代入，得出y1的解析式，易推出y2．‎ ‎②结合画图，易知，…，，都在直线x=2上，但证明需要有一般推广，可以考虑∥，且都过Fn-1的碟宽中点，进而可得．另外，画图时易知碟宽有规律递减，所以推理也可得右端点的特点．对于F1，F2，…，Fn的碟宽右端点是否在一条直线上，如果写出所有端点规律不可能，找规律更难，所以可以考虑基础的几个图形关系，如果相邻3个点构成的两条线段不共线，则结论不成立，反正结论成立．而最后一空的求直线表达式只需考虑特殊点即可．‎ ‎【解答】 解：（1）4、、、.‎ ‎∵a＞0，∴y=ax2的图象大致如图1，其必经过原点O.‎ 记线段AB为其准蝶形碟宽，AB与y轴的交点为C，连接OA，OB．‎ ‎∵△OAB为等腰直角三角形，AB∥x轴，‎ ‎∴OC⊥AB，‎ ‎∴∠AOC=∠BOC＝∠AOB＝×90°=45°，‎ 即△AOC=△BOC亦为等腰直角三角形，∴AC=OC=BC．‎ ‎∴，即A、B两点x轴和y轴坐标绝对值相同．‎ 代入，得方程，解得.‎ ‎∴由图像可知，A（－，），B（ ，），C（0，），‎ 即AC=OC=BC＝，‎ ‎∴AB=·2＝，‎ 即的碟宽为AB＝.‎ ‎∴①抛物线y=x2对应的，得碟宽=4；‎ ‎②抛物线y=4x2对应的a=4，得碟宽=；‎ ‎③抛物线(a＞0)的碟宽为；‎ ‎④抛物线y=a（x-2）2+3（a＞0）可看成y=ax2向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的图形，‎ ‎∵平移不改变形状、大小、方向，‎ ‎∴抛物线y=a（x-2）2+3（a＞0）的准碟形≌抛物线y=ax2的准碟，‎ ‎∵抛物线y=ax2（a＞0），碟宽为，‎ ‎∴抛物线y=a（x-2）2+3（a＞0），碟宽为.‎ ‎（2）解法一：‎ ‎∵y=ax2―4ax－＝a(x－2)2－（‎4a＋)‎ ‎∴同（1）得其碟宽为，‎ ‎∵y=ax2―4ax－的碟宽为6，‎ ‎∴=6，解得，a=.‎ ‎∴y＝(x-2)2-3．‎ 解法二：‎ ‎∵可得，，‎ 又已知碟宽在x轴上，‎ ‎∴碟高＝＝=3，解得a＝±，‎ 又∵a＞0，a＝－ 不合题意舍去，∴a1＝.‎ ‎(3) ①解法一：‎ ‎∵F1的碟宽︰F2的碟宽=2：1，‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵的碟宽AB在x轴上（A在B左边），‎ ‎∴A（-1，0），B（5，0），‎ ‎∴F2的碟顶坐标为（2，0），‎ ‎∴‎ 解法二：‎ ‎∵，a＝，‎ ‎∴，‎ 即碟顶的坐标为（2，－3）.‎ ‎∵的碟顶是的碟宽的中点，且的碟宽线段在x轴上，‎ ‎∴的碟顶的坐标为（2,0），设，‎ ‎∵与的相似比为，的碟宽为6，‎ ‎∴的碟宽为6×＝3，即＝3，＝.‎ ‎∴.‎ ‎②∵的准碟形为等腰直角三角形，‎ ‎∴的碟宽为2，‎ ‎∵‎ ‎∴.‎ ‎∵=3，‎ ‎∴·3.‎ ‎∵∥，且都过的碟宽中点，‎ ‎∴都在同一条直线上，‎ ‎∵在直线x=2上，‎ ‎∴都在直线x=2上，‎ ‎∴的碟宽右端点横坐标为2+·3.‎ F1，F2，…，Fn的的碟宽右端点在一条直线上，直线为y=-x+5．‎ 理由：‎ 考虑Fn-2，Fn-1，Fn情形，关系如图2，‎ Fn-2，Fn-1，Fn的碟宽分别为AB，DE，GH；‎ 且C，F，I分别为其碟宽的中点，都在直线x=2上，‎ 连接右端点，BE，EH．‎ ‎∵AB∥x轴，DE∥x轴，GH∥x轴，‎ ‎∴AB∥DE∥GH，‎ ‎∴GH平行相等于FE，DE平行相等于CB，‎ ‎∴四边形GFEH、四边形DCBE都是平行四边形，‎ ‎∴HE∥GF，EB∥DC，‎ ‎∵∠GFI=•∠GFH= •∠DCE=∠DCF，‎ ‎∴GF∥DC，‎ ‎∴HE∥EB，‎ ‎∵HE，EB都过E点， ‎ ‎∴HE，EB在一条直线上，‎ ‎∴的碟宽的右端点是在一条直线，‎ ‎∴的碟宽的右端点是在一条直线．‎ 根据②中得出的碟高和右边端点公式，可知 准碟形右端点坐标为（5，0），‎ 准碟形右端点坐标为，即(3.5，1.5)‎ ‎∴待定系数可得过两点的直线为y=－x+5，‎ ‎∴F1，F2，…，Fn的碟宽的右端点是在直线y=-x+5上．‎ ‎【点评】 本题考查学生对新定义和新知识的学习、模仿和应用能力．题目中主要涉及特殊直角三角形，二次函数解析式与图象性质，多点共线证明等知识，综合难度较高，学生对题意要清晰的理解比较困难。‎