2015山东春季高考数学真题与答案

2015山东春季高考数学真题与答案

机密★启用前 山东省2015年普通高校招生（春季）考试 数学试题 注意事项：‎ ‎1.本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分,满分120分，考试时间120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.‎ ‎2.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01.‎ 卷一（选择题，共60分）‎ 一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡上）‎ ‎1.集合，，则等于（ ）‎ A.{1,2,3} B.{1,3} C.{1,2} D.{2}‎ ‎【考查内容】集合的交集 ‎【答案】B ‎2.不等式的解集是（ ）‎ A.(,4) B.(,6) C. D.‎ ‎【考查内容】绝对值不等式的解法 ‎【答案】B ‎【解析】.‎ ‎3.函数的定义域是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【考查内容】函数的定义域 ‎【答案】A ‎【解析】且得该函数的定义域是.‎ ‎4.“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【考查内容】充分、必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】“圆心到直线的距离等于圆的半径”“直线与圆相切”，“直线与圆相切” “圆心到直线的距离等于圆的半径”.‎ ‎5.在等比数列中，，则的值是（ ）‎ A. B‎.5 C. D.9‎ ‎【考查内容】等比数列的性质 ‎【答案】D ‎【解析】，.‎ ‎6.如图所示，M是线段OB的中点，设向量，则可以表示为（ ）‎ 第6题图 15SD1‎ A. B. C. D.‎ ‎【考查内容】向量的线性运算 ‎【答案】B ‎【解析】.‎ ‎7.终边在y轴的正半轴上的角的集合是（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【考查内容】终边相同的角的集合 ‎【答案】A ‎【解析】终边在y轴正半轴上的角的集合是.‎ ‎8.关于函数，下列叙述错误的是（ ）‎ A.函数的最大值是1 B.函数图象的对称轴是直线 C.函数的单调递减区间是 D.函数的图象经过点（2,0）‎ ‎【考查内容】二次函数的图象和性质 ‎【答案】C ‎【解析】，最大值是1，对称轴是直线，单调递减区间是，（2,0）在函数图象上.‎ ‎9.某值日小组共有5名同学，若任意安排3名同学负责教室内的地面卫生，其余2名同学负责教师外的走廊卫生，则不同的安排方法种数是（ ）‎ A.10 B‎.20 C.60 D.100‎ ‎【考查内容】组合数的应用 ‎【答案】A ‎【解析】从5人中选取3人负责教室内的地面卫生，共有种安排方法.‎ ‎（选取3人后剩下2名同学干的活就定了）‎ ‎10.如图所示，直线l的方程是（ ）‎ 第10题图 15SD2‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【考查内容】直线的倾斜角，直线的点斜式方程 ‎【答案】D ‎【解析】由图可得直线的倾斜角为30°，斜率，直线l与x轴的交点为（1,0），由直线的点斜式方程可得l：，即.‎ ‎11.对于命题p,q,若是假命题，是真命题，则（ ）‎ A. p,q都是真命题 B. p,q都是假命题 C. p,q一个是真命题一个是假命题 D.无法判断 ‎【考查内容】逻辑联结词 ‎【答案】C ‎【解析】由是假命题可知p,q至少有一个假命题，由是真命题可知p,q至少有一个真命题，∴p,q一个是真命题一个是假命题.‎ ‎12.已知函数是奇函数，当时，，则的值是（ ）‎ A. B. C.1 D.3‎ ‎【考查内容】奇函数的性质 ‎【答案】A ‎【解析】.‎ ‎13.已知点在函数的图象上，点A的坐标是（4,3），则的值是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【考查内容】对数的运算，向量的坐标运算，向量的模 ‎【答案】D ‎【解析】∵点在函数的图象上，∴，∴P点坐标为，.‎ ‎14.关于x，y的方程，给出下列命题：‎ ‎①当时，方程表示双曲线； ②当时，方程表示抛物线；‎ ‎③当时，方程表示椭圆； ④当时，方程表示等轴双曲线；‎ ‎⑤当时，方程表示椭圆.‎ 其中，真命题的个数是（ ）‎ A.2 B‎.3 C.4 D.5‎ ‎【考查内容】椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，等轴双曲线的概念 ‎【答案】B ‎【解析】当时，方程表示双曲线；当时，方程表示两条垂直于x轴的直线；当时，方程表示焦点在y轴上的椭圆；当时，方程表示圆；当时，方程表示焦点在x轴上的椭圆.①③⑤正确.‎ ‎15.的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（ ）‎ A.0 B. C. D.32‎ ‎【考查内容】二项式定理 ‎【答案】D ‎【解析】所有项的二项式系数之和为.‎ ‎16.不等式组表示的区域（阴影部分）是（ ）‎ ‎ ‎ A B C D ‎ 15SD3 15SD4 15SD5 15SD6‎ ‎【考查内容】不等式组表示的区域 ‎【答案】C ‎【解析】可以用特殊点（0,0）进行验证：，，非严格不等式的边界用虚线表示，∴该不等式组表示的区域如C选项中所示.‎ ‎17.甲、乙、丙三位同学计划利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，则甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【考查内容】古典概率 ‎【答案】D ‎【解析】甲、乙两位同学选取景点的不同种数为，其中甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的种数为2，故所求概率为.‎ ‎18.已知向量则的值等于（ ）‎ A. B. C.1 D.0‎ ‎【考查内容】余弦函数的两角差公式，向量的内积的坐标运算 ‎【答案】A ‎【解析】.‎ ‎19.已知表示平面，m，n表示直线，下列命题中正确的是（ ）‎ A.若，，则 B.若，，，则 C.若，，则 D.若，，，，则 ‎【考查内容】空间直线、平面的位置关系 ‎【答案】C ‎【解析】A. 若，，则或n在内；B. 若，，，则或m与n异面；D. 若，，，，且m、n相交才能判定；根据两平面平行的性质可知C正确.‎ ‎20.已知是双曲线的左焦点，点P在双曲线上，直线与x轴垂直，且，则双曲线的离心率是（ ）‎ A. B. C.2 D.3‎ ‎【考查内容】双曲线的简单几何性质 ‎【答案】A ‎【解析】的坐标为，设P点坐标为，，解得，由可得，则，该双曲线为等轴双曲线，离心率为.‎ 卷二（非选择题，共60分）‎ 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上）‎ ‎21.直棱柱的底面是边长为a的菱形，侧棱长为h，则直棱柱的侧面积是 .‎ ‎【考查内容】直棱柱的侧面积 ‎【答案】4ah ‎22.在△ABC中，,,,则BC= .‎ ‎【考查内容】正弦定理 ‎【答案】‎ ‎【解析】由正弦定理可知，,.‎ ‎23.计划从500名学生中抽取50名进行问卷调查，拟采用系统抽样方法，为此将他们逐一编号为1-500，并对编号进行分段，若从第一个号码段中随机抽出的号码是2‎ ‎ ，则从第五个号码段中抽取的号码应是 .‎ ‎【考查内容】系统抽样 ‎【答案】42‎ ‎【解析】从500名学生中抽取50名，则每两相邻号码之间的间隔是10，第一个号码是2，则第五个号码段中抽取的号码应是.‎ ‎24.已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆的圆心重合，长轴长等于圆的直径，则短轴长等于 .‎ ‎【考查内容】椭圆的简单几何性质 ‎【答案】‎ ‎【解析】圆的圆心为（3,0），半径为4，则椭圆的长轴长为8，即，，则短轴长为.‎ ‎25.集合都是非空集合，现规定如下运算：‎ ‎.且.‎ 若集合，，其中实数a，b，c，d，e，f，满足：①；②；③.则 .‎ ‎【考查内容】不等式的基本性质，集合的交集和并集 ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，∴；∵，∴；∴，；同理可得，∴.由①③可得.则，，..‎ 三、解答题（本大题共5小题，共40分.请在答题卡相应的题号处写出解答过程）‎ ‎26.（本小题6分）某学校合唱团参加演出，需要把120名演员排成5排，并且从第二排起，每排比前一排多3名，求第一排应安排多少名演员.‎ ‎【考查内容】等差数列的实际应用 ‎【解】由题意知各排人数构成等差数列，设第一排人数是，则公差，前5项和,因为，所以，解得.‎ 答：第一排应安排18名演员.‎ ‎27.（本小题8分）已知函数，.函数的部分图象如图所示.求：‎ ‎（1）函数的最小正周期T及的值；‎ ‎（2）函数的单调递增区间.‎ ‎15SD7 第27题图 ‎【考查内容】正弦型函数的图象和性质 ‎【解】（1）函数的最小正周期,因为函数的图象过点（0,1），所以，即，又因为，所以.‎ ‎ (2)因为函数的单调递增区间是.‎ 所以，解得，‎ 所以函数的单调递增区间是.‎ ‎28.(本小题8分)已知函数（且）在区间上的最大值是16.‎ ‎(1)求实数a的值;‎ ‎(2)若函数的定义域是R,求满足不等式的实数t的取值范围.‎ ‎【考查内容】指数函数的单调性 ‎【解】（1）当时，函数在区间上是减函数，‎ 所以当时，函数取得最大值16，即，所以.‎ 当时，函数在区间上是增函数，‎ 所以当时，函数取得最大值16，即，所以.‎ ‎（2）因为的定义域是R,即恒成立.所以方程的判别式，即，解得，又因为或，所以.代入不等式得，即，解得，所以实数t的取值范围是.‎ ‎29.(本小题9分)如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面平面ABCD，.‎ ‎(1)求SA与BC所成角的余弦值；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎15SD8 第29题图 ‎【考查内容】异面直线所成的角，直线与平面垂直的判定和性质 ‎【解】（1）因为,所以即为SA与BC所成的角，在△SAD中，，‎ 又在正方形ABCD中,所以,所以SA与BC所成角的余弦值是.‎ ‎(2)因为平面平面ABCD，平面平面ABCD,在正方形ABCD中，,‎ 所以平面SAD,又因为平面SAD,所以.‎ ‎30.(本小题9分)已知抛物线的顶点是坐标原点O,焦点F在x轴的正半轴上，Q是抛物线上的点，点Q到焦点F的距离是1，且到y轴的距离是.‎ ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）若直线l经过点M(3，1),与抛物线相交于A，B两点，且,求直线l的方程.‎ ‎15SD10 第30题图 ‎【考查内容】抛物线的定义、标准方程和性质，直线与抛物线的位置关系 ‎【解】（1）由已知条件，可设抛物线的方程为，因为点Q到焦点F的距离是1，‎ 所以点Q到准线的距离是1，又因为点Q到y轴的距离是，所以，解得，‎ 所以抛物线方程是.‎ ‎（2）假设直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，与联立，可解得交点A、B的坐标分别为，易得，可知直线OA与直线OB不垂直，不满足题意，故假设不成立，从而，直线l的斜率存在.‎ 设直线l的斜率为k，‎ 则方程为，整理得，‎ 设联立直线l与抛物线的方程得 ,‎ 消去y，并整理得，‎ 于是.‎ 由①式变形得，代入②式并整理得，‎ 于是，又因为，所以，即，‎ ‎，解得或.‎ 当时，直线l的方程是，不满足，舍去.‎ 当时，直线l的方程是，即，所以直线l的方程是.‎