宁夏银川市宁大附中2020届高三上学期第四次月考数学（文）试题

宁夏银川市宁大附中2020届高三上学期第四次月考数学（文）试题

数学（文）试卷 一.选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知集合或，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎ 故A错； 故B正确； ；；故选B.‎ ‎2.若复数满足（是虚数单位），则的虚部为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数,从而可得的虚部.‎ ‎【详解】因为,‎ 所以,‎ 所以复数的虚部为.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算.‎ ‎3.命题：“，使”，这个命题的否定是　　‎ A. ，使 B. ，使 C. ，使 D. ，使 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由已知，命题的否定为，，故选B.‎ 考点：逻辑问题中的特称命题的否定 ‎【方法点睛】（1）对全称（存在性）命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.（2）判定全称命题“∀x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p（x）成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M中的一个特殊值x0，使p（x0）不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p（x0）成立即可，否则就是假命题.‎ ‎4.已知向量，，.若，则k的值为（ ）‎ A. B. ‎2 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出的坐标，根据平行向量的坐标关系，即可求解 ‎【详解】，‎ ‎. 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查向量的坐标运算，熟记公式是解题的关键，属于基础题.‎ ‎5.等比数列不具有单调性，且是和的等差中项，则数列的公比（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知结合等差中项的定义，建立关于的方程，即可求解.‎ ‎【详解】等比数列不具有单调性，或，‎ 是和的等差中项，所以，‎ 或（舍去）.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查等差中项、等比数列通项基本量的计算，属于基础题.‎ ‎6.一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的侧面积为（ ）‎ A. B. 24‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据几何体的三视图可知，该几何体表示底面为边长为2的等边三角形，侧棱长为4的正三棱柱，利用侧面积公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，根据几何体的三视图可知，该几何体表示底面为边长为2的等边三角形，侧棱长为4的正三棱柱，所以该正三棱柱的侧面积为，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.‎ ‎7.甲、乙、丙、丁四位同学参加奥赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.”已知四位同学的话只有一句是对的，则获奖的同学是（ ）‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次假设甲、乙、丙、丁四人获奖，并根据题意只有一句是对的，可判断谁获奖，即可得出结论.‎ ‎【详解】若甲获奖，则这四个说的四句话都是错的，不合题意；‎ 若乙获奖，则甲、乙、丁三人说的话是对的，不合题意；‎ 若丙获奖，则甲、丙两人说的话是对的，不合题意；‎ 若丁获奖，则只有乙说的是对的，符合题意，‎ 所以获奖同学是丁.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查合情推理，考查逻辑推理能力，属于基础题.‎ ‎8.图象可能是（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断函数的奇偶性，利用导数判断函数在上的单调性即可得出结论．‎ ‎【详解】显然是偶函数，图象关于轴对称，‎ 当时，，‎ 显然当时，，‎ 当时，，而，‎ 所以，‎ ‎∴在上恒成立，‎ ‎∴在上单调递减．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了函数图象的识别，一般从奇偶性，单调性，特殊值等方面判断，属于基础题．‎ ‎9.在直三棱柱中，己知，，，则异面直线与所成的角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件可看出，则为异面直线与所成的角，可证得三角形中，，解得从而得出异面直线与所成的角．‎ ‎【详解】连接，，如图：‎ 又，则为异面直线与所成的角.‎ 因为且三棱柱为直三棱柱，∴∴面，‎ ‎∴，‎ 又，，∴，‎ ‎∴，解得.‎ 故选C ‎【点睛】考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．‎ ‎10.若函数在区间上单调递减，则a的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由 在区间上恒成立，结合二次函数性质即可求解．‎ ‎【详解】解： 在区间 上单调递减，‎ 在区间 上恒成立，‎ 即 在区间 上恒成立，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查导数法研究函数的单调性，是基础题.‎ ‎11.已知，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）‎ A. 9 B. ‎12 ‎C. 16 D. 20‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可左右同乘，再结合基本不等式求解即可 ‎【详解】，，‎ ‎ ，当且仅当时，等号成立，故 故选C ‎【点睛】本题考查基本不等式求最值，属于基础题 ‎12.定义域为的可导函数的导函数，满足，且，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，利用导数可判断出函数为上的增函数，并将所求不等式化为，利用单调性可解出该不等式.‎ ‎【详解】构造函数，，‎ 所以，函数为上的增函数，‎ 由，则，，可得，即，‎ ‎，因此，不等式的解集为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查函数不等式的求解，通过导数不等式的结构构造新函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ 二.填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知数列{}为等差数列，其前项和为，，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎，.‎ ‎14.设函数，则曲线在点处的切线方程是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求函数的导函数，再由导数的几何意义，求，则曲线在点处的切线的斜率为7，再由直线的点斜式方程求解即可.‎ ‎【详解】解：因为，‎ 所以，‎ 则，‎ 即曲线在点处的切线方程是，即，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义、直线的点斜式方程，重点考查了导数的应用及运算能力，属基础题.‎ ‎15.设变量，满足约束条件，则的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 做出满足不等式组的可行域，根据图形求出目标函数的最小值.‎ ‎【详解】做出可行域如下图所示，当过点时，取得最小值，‎ 联立，解得，即，‎ 所以的最小值为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.‎ ‎16.四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在一个球面上，底面ABCD是矩形，其中AB=3，BC=4，又PA⊥平面ABCD，PA=5，则该球的表面积为 ．‎ ‎【答案】50π ‎【解析】‎ 解：把四棱锥补成长方体，则四棱锥的外接球是长方体的外接球，‎ ‎∵长方体的对角线长等于球的直径，‎ ‎∴2R==5，‎ ‎∴R=，‎ 外接球的表面积S=4πR2=50π．‎ 故答案为50π．‎ ‎【点评】本题考查了棱锥的外接球的表面积的求法，利用长方体的对角线长等于球的直径求得外接球的半径是解答此题的关键．‎ 三.解答题 ‎17.已知数列中，且．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求的前n项和．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题设基本信息结合通项公式即可求解；‎ ‎（2），分别求解等差数列与等比数列的前n项和即可 ‎【详解】解：（1），等差数列的公差为，‎ ‎，解得，‎ 因此，；‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎，‎ 因此，．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，数列分项求和，属于基础题 ‎18.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知.‎ ‎（1）求角C的值；‎ ‎（2）若，，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）用正弦定理边化角，利用两角差正弦，求出角的三角函数值，结合的范围，即可求解；‎ ‎（2）利用余弦定理，建立的方程，再由面积公式，即可求解.‎ ‎【详解】（1），‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎（2）由余弦定理可得 ‎，‎ 解得或（舍去），‎ ‎，‎ 的面积为.‎ ‎【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式、正弦定理与余弦定理的应用、三角函数的面积公式，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于基础题.‎ ‎19.如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点.求证：‎ ‎（1）直线平面；‎ ‎（2）平面平面.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）结合几何体，因为分别是的中点，所以.，再利用线面平行的判定定理证明.‎ ‎（2）由分别是的中点，得.由线面平行的判定定理平面.，再由（1）知，再利用面面平行的判定定理证明.‎ ‎【详解】证明：‎ ‎（1）如图，‎ 连接，分别是的中点，‎ ‎. ‎ 又平面平面，‎ 所以直线平面.‎ ‎（2）连接分别是的中点，‎ ‎.‎ 又∵平面平面 平面.‎ 又平面平面，‎ ‎∴平面平面.‎ ‎【点睛】本题主要考查了线面平行，面面平行判断定定理，还考查了转化化归的能力，属于中档题.‎ ‎20.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，点、分别为和的中点.‎ ‎ ‎ ‎（1）求证：直线平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【试题分析】(1) 取的中点，连结、，通过证明四边形为平行四边形,得到,由此证得平面.(2)利用等体积法,通过建立方程,由此求得点到面的距离.‎ ‎【详解】（1）取的中点，连结、，‎ 由题意，且，且，‎ 故且，所以，四边形为平行四边形，‎ 所以，，又平面，平面，‎ 所以，平面.‎ ‎（2）设点到平面的距离为.‎ 由题意知在中，‎ ‎ ，‎ 中，‎ 在中，‎ 故，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以由得：，‎ 解得.‎ ‎21.已知函数（为自然对数的底数）.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）已知函数在处取得极小值，在上有解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出，解不等式，即可求出结论；‎ ‎（2）由已知求出，通过函数有解，分离参数，构造函数，利用新函数的最值转化求解即可.‎ ‎【详解】（1），‎ 当时，，‎ 单调递增区间是，单调递减区间是， ‎ 当时，单调递增区间是，递减区间是；‎ ‎（2）当时，在单调递增，‎ 无极值不合题意，‎ 当时，由（1）可得取得极小值，‎ 函数在处取得极小值，‎ 有解，‎ ‎，设 不等式在上有解，，‎ ‎，‎ 当，‎ 在单调递减，在单调递增，‎ 取得极小值，也是最小值为，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性、不等式能成立问题，应用导数求函数的单调性、极值最值，属于中档题.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）．以坐标原点O为极，z轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)求曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎(Ⅱ)设点．若直线与曲线C相交于A，B两点，求的值．‎ ‎【答案】(Ⅰ) 曲线C的普通方程，直线的直角坐标方程；(Ⅱ) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）利用消去参数，求得曲线C的普通方程.利用，求得直线的直角坐标方程.‎ ‎（II）写出直线参数方程，根据参数的几何意义，求得.‎ ‎【详解】（I）曲线C的参数方程为（为参数），‎ 消去参数可得曲线C的普通方程为，‎ 直线极坐标方程为，即，所以直线的直角坐标方程.‎ ‎（II）直线过点，倾斜角为，所以直线的参数方程为(t为参数)，‎ 代入，化简得，则，，‎ 设，，所以 ‎【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线参数方程的运用，属于中档题.‎