【数学】江苏省盐城市2020届高三年级第四次模拟考试试题

【数学】江苏省盐城市2020届高三年级第四次模拟考试试题

江苏省盐城市2020届高三年级第四次模拟考试试题 第I卷（必做题，共160分）‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）‎ ‎1．若集合A＝，B＝，且AB＝{m}，则实数m的值为 ．‎ ‎2．已知i为虚数单位，复数z满足z(3＋i)＝10，则的值为 ．‎ ‎3．从数字0，1，2中任取两个不同的数字构成一个两位数，则所得的两位数大于10的概率为 ．‎ ‎4．如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，图中小矩形从左向右所对应的区间依次为[0，50)，[50，100)，[100，150)，[150，200)，[200，250] ．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内这种面包的日销售量少于100个的天数为 天．‎ ‎5．执行如图所示的流程图，输出k的值为 ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 第4题 ‎ ‎ ‎ 第5题 ‎6．若双曲线(a＞0，b＞0)的渐近线为，则其离心率的值为 ．‎ ‎7．若三棱柱ABC—A1B1C1的体积为12，点P为棱AA1上一点，则四棱锥P—BCC1B1的体积为 ．‎ ‎8．“＝2”是“函数的图象关于点(，0)对称”的 条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）．‎ ‎9．在△ABC中，C＝B＋，AB＝AC，则tanB的值为 ．‎ ‎10．若数列的前n项和为，，则的值为 ．‎ ‎11．若集合P＝，Q＝，则PQ表示的曲线的长度为 ．‎ ‎12．若函数的图象上存在关于原点对称的相异两点，则实数m的最大值是 ．‎ ‎13．在△ABC中，AB＝10，AC＝15，∠A的平分线与边BC的交点为D，点E为边BC的中点，若＝90，则的值是 ．‎ ‎14．若实数x，y满足4x2＋4xy＋7y2＝l，则7x2﹣4xy＋4y2的最小值是 ．‎ 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 若函数(M＞0，＞0，0＜＜)的最小值是﹣2，最小正周期是2，且图象经过点N(，1)．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）在△ABC中，若，，求cosC的值．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，PC⊥BC，点E是PC的中点，且平面 PBC⊥平面ABCD．求证：‎ ‎（1）求证：PA∥平面BDE；‎ ‎（2）求证：平面PAC⊥平面BDE．‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 如图，在一旅游区内原有两条互相垂直且相交于点O的道路l1，l2，一自然景观的边界近似为圆形，其半径约为1千米，景观的中心C到l1，l2的距离相等，点C到点O的距离约为 10千米．现拟新建四条游览道路方便游客参观，具体方案：在线段OC上取一点P，新建一条道路OP，并过点P新建两条与圆C相切的道路PM，PN（M，N为切点），同时过点P新建一条与OP垂直的道路AB（A，B分别在l1，l2上）．为促进沿途旅游经济，新建道路长度之和越大越好，求新建道路长度之和的最大值．（所有道路宽度忽略不计）‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆C：(a＞b＞0)的短轴长为2，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，过点F2的动直线与椭圆交于点P，Q，过点F2与PQ垂直的直线与椭圆C交于A、B两点．当直线AB过原点时，PF1＝3PF2．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若点H(3，0)，记直线PH，QH，AH，BH的斜率依次为，，，．①若，求直线PQ的斜率；②求的最小值．‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 如果存在常数k使得无穷数列满足恒成立，则称为P(k)数列．‎ ‎（1）若数列是P(1)数列，，，求；‎ ‎（2）若等差数列是P(2)数列，求数列的通项公式；‎ ‎（3）是否存在P(k)数列，使得，，，…是等比数列？若存在，请求出所有满足条件的数列；若不存在，请说明理由．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 设函数．‎ ‎（1）若a＝0时，求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）若函数在x＝1时取极大值，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）设函数的零点个数为m，试求m的最大值．‎ 第II卷（附加题，共40分）‎ ‎21．【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ A．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵A＝，若矩阵A属于特征值3的一个特征向量为，求该矩阵属于另一个特征值的特征向量．‎ B．选修4—4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知直线l：（m为实数），曲线C：，当直线l被曲线C截得的弦长取得最大值时，求实数m的值．‎ C．选修4—5：不等式选讲 已知实数x，y，z满足，求的最小值．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 如图，抛物线C：(p＞0)的焦点为F，过点P(2，0)作直线l与抛物线交于A，B两点，当直线l与x轴垂直时AB的长为．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）若△APF与△BPO的面积相等，求直线l的方程．‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 若有穷数列共有k项(k≥2)，且，，当1≤r≤k﹣1时恒成立．设．‎ ‎（1）求，；‎ ‎（2）求．‎ 参考答案 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．‎ ‎1． 2． 3． 4． 5． 6． 7．‎ ‎8．充分不必要 9． 10． 11． 12． 13． 14．‎ 二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．‎ ‎15．解析：（1）因为的最小值是－2，所以M＝2． ………2分 因为的最小正周期是，所以， ………4分 又由的图象经过点，可得， ，‎ 所以或，k∈Z，‎ 又，所以，故，即．……………6分 （2） 由（1）知，又，，‎ 故，即，‎ 又因为△中，，‎ 所以，，……10分 所以 ‎． ………14分 ‎16．证明：(1)设，连结， 因为底面是菱形，故为中点，‎ 又因为点是的中点，所以． ……2分 又因为平面BDE，平面BDE， 所以平面BDE．………………6分 A B P C D E O (2) 因为平面平面，，平面平面，平面，‎ 所以平面． ………………9分 又平面，所以．‎ ‎∵是菱形，∴，‎ 又，，平面，平面，‎ 所以平面． ……………12分 又平面，所以平面平面． ………14分 ‎17．解析：连接CM，设，则，，‎ ‎，，‎ 设新建的道路长度之和为，‎ 则，……6分 由得，设，，‎ 则，，，‎ 令得，…10分 设，，‎ 的情况如下表：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎↗‎ 极大 ‎↘‎ 由表可知时有最大值，‎ 此时，，，． ……………13分 答：新建道路长度之和的最大值为千米． ………14分 注：定义域扩展为，求出最值后验证也可.‎ ‎18．解析：(1)因为椭圆的短轴长为2，所以，‎ 当直线过原点时，轴，所以为直角三角形，‎ 由定义知，而，故，‎ 由得，化简得，‎ 故椭圆的方程为． ……………4分 ‎（2）①设直线，代入到椭圆方程得：，‎ 设，则，………6分 所以，‎ 化简可得， ………10分 解得：或，即为直线PQ的斜率． ……………12分 ‎②当这两条直线中有一条与坐标轴垂直时，，‎ 当两条直线与坐标轴都不垂直时，‎ 由①知，同理可得， ………14分 故当且仅当即时取等号．‎ 综上，的最小值为． ……16分 ‎19．解析：(1)由数列是数列得，可得．………2分 ‎(2)由是数列知恒成立，取得恒成立，‎ 当时满足题意，此时，‎ 当时，由可得，取得，‎ 设公差为，则解得或者，‎ 综上，或或，经检验均合题意．………………………………8分 ‎(3)方法一:假设存在满足条件的数列，不妨设该等比数列的公比为，‎ 则有，可得，①‎ ‎，可得，②‎ 综上①②可得， ………………………………10分 故，代入得，则当时，…………12分 又，‎ 当时，不妨设，且为奇数，‎ 由，‎ 而，所以，，，‎ 综上，满足条件的数列有无穷多个，其通项公式为．………………………………16分 方法二:同方法一得，当时，‎ 当时，，而，，故，以下同方法一．‎ 方法三:假设存在满足条件的数列，显然的所有项及k均不为零，，‎ 不妨设该等比数列的公比为，‎ 当时，，，两式相除可得，‎ 故当时也为等比数列， ……………10分 故，则，，由得，且当时，……………………12分 则，，∴，∴，‎ 故当时，‎ 综上，满足条件的数列有无穷多个，其通项公式为．…………16分 ‎20．解析：（1）当时，，所以，…1分 由得，当时，；当时，，‎ 所以函数的单调增区间为． ……3分 ‎（2）由题意得，‎ 令，则，‎ 当即时，恒成立，得在上递减，在上递增，所以是函数的极小值点；‎ 当即时，此时恒成立，在上递减，在上递增，所以是函数的极小值点；‎ 当即或时，易得在上递减，在上递增，所以是函数的极小值点； ……6分 当时，解得或（舍），‎ 当时，设的两个零点为，所以，不妨设，‎ 又，所以，故，‎ 当时，；当时，；当时，；‎ 当时，；∴在上递减，在上递增，在上递减，在上递增；所以是函数极大值点.‎ 综上所述． ……10分 ‎（3）①由（2）知当时，函数在上单调递减，在上单调递增，故函数 至多有两个零点，欲使有两个零点，需，得，‎ 此时，，‎ 当时，，此时函数在上恰有1个零点；…12分 又当时，，‎ 由（1）知在上单调递增，‎ 所以，故此时函数在恰有1个零点；‎ 由此可知当时，函数有两个零点． ……14分 ‎②当时，由（2）知在上递减，在上递增，在上递减，在上递增；‎ 而，所以，‎ 此时函数也至多有两个零点.‎ 综上①②所述，函数的零点个数的最大值为2． …16分 附加题答案 ‎21A．解：由题意知，所以，即，…………4分 所以矩阵的特征多项式，‎ 由，解得或， …………8分 当时，，令，则，‎ 所以矩阵的另一个特征值为，对应的一个特征向量为． …………10分 ‎21B．解：由题意知直线的直角坐标方程为， …………2分 又曲线的极坐标方程，即，‎ 所以曲线的直角坐标方程为，‎ 所以曲线是圆心为的圆， …………8分 当直线被曲线截得的弦长最大时，得，解得．………10分 ‎21C．解：由柯西不等式有， …6分 所以(当且仅当即，‎ 时取等号)， …………8分 所以的最小值是． ………10分 ‎22．解：（1）当直线与轴垂直时的长为，又，取，…………1分 所以，解得，所以抛物线的方程为． ……2分 ‎（2）由题意知，，‎ 因，所以， ………4分 当时，直线与抛物线不存在两个交点，所以，‎ 故设直线的方程为，代入抛物线方程得， ‎ 所以，， ………6分 当时，，，所以，，‎ 所以，直线的方程为，…………8分 当时，同理可得直线的方程为， ‎ 综上所述，直线的方程为． ………10分 ‎23．解：（1）当时，，由，得，，…1分 当时，或，由，得，‎ 由，得，． ………3分 ‎（2）因，由累乘法得，‎ 所以，……5分 所以， ………6分 当时，也适合，‎ 所以， ……8分 即，‎ 所以． ………10分