【数学】黑龙江省大庆市第四中学2020届高三4月月考试题（文）

【数学】黑龙江省大庆市第四中学2020届高三4月月考试题（文）

黑龙江省大庆市第四中学2020届高三4月月考 数学试题（文）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知复数在复平面内对应点是,为虚数单位,则 (   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.是两条不同的直线，是平面，，则是的（ ） ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.已知,,,则的大小关系为(   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.已知向量，且，则实数（ ）‎ A. 1 B.-1 C. D. ‎ ‎6.在等差数列中，，则数列的前11项和 ( )‎ A. 8 B. 16 C. 22 D. 44 ‎ ‎7..函数的部分图象大致是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割。如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿。”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形)。例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.‎ 根据这些信息，可得（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎9若直线经过椭圆的一个焦点，且椭圆的长轴长与短轴长的比值为，则该椭圆的方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.函数(其中)的图象如图所示,其中 的面积为,为了得到函数的图象,需将函数的图象( )‎ A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 ‎11.如图，平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知分别是双曲线的左,右焦点,过点作的一条切线,切点为P,且交双曲线C的右支点Q,若,则双曲线C的离心率为( )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.‎ ‎13.在某班举行的成人典礼上，甲、乙、丙三名同学中的一人获得了礼物．‎ 甲说：“礼物不在我这”；乙说：“礼物在我这”；丙说：“礼物不在乙处”．‎ 如果三人中只有一人说的是真的，那么________（填“甲”“乙”或“丙”）获得了礼物．‎ ‎14.若实数满足约束条件，则的最小值等于 .‎ ‎15.已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程为 .‎ ‎16.已知数列的前n项和为，，且 (为常数)，若数列满足，且，则满足条件的n的取值集合为 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.‎ ‎17．（本小题12分）‎ ‎2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”。北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣。‎ ‎(1)完成列联表，并回答能否有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？‎ 有兴趣 没兴趣 合计 男 ‎55‎ 女 合计 ‎(2)已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至少有2人对冰球有兴趣的概率。‎ 附表:‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎18.已知点P为内一点，满足，，.‎ ‎(1)求的面积.‎ ‎(2)若P关于的对称点为Q，且，，求的值.‎ ‎19.如图，在四面体ABCD中，AC＝6，BA＝BC＝5，AD＝CD＝3.‎ ‎(1)求证：AC⊥BD；‎ ‎(2)当四面体ABCD的体积最大时，求点A到平面BCD的距离．‎ ‎ ‎ ‎20.已知点F是抛物线 的焦点，若点 在抛物线C上，且 求抛物线C的方程；‎ 动直线与抛物线C相交于两点，‎ 问：在x轴上是否存在定点（其中），使得x轴平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎21.已知函数是自然对数的底数），是函数的一个极值点．‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）设，若，不等式恒成立，求的最大值．‎ ‎22.在直角坐标系中，直线的参数方程为(t为参数)．曲线C的方程为．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求直线的普通方程与曲线C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线与直线交于点A，点B是曲线C上一点，求面积的最大值．‎ ‎23.已知函数 ‎(1)解关于的不等式;‎ ‎(2)若的解集非空,求实数的取值范围.‎ 参考答案 一、选择题：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B D A A B C B C D B D C ‎ ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.‎ ‎13．甲 14． 15． 16． ‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.‎ ‎17.解：（1）根据已知数据得到如下列联表 有兴趣 没有兴趣 合计 男 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 女 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ 根据列联表中的数据，得到,‎ 因为,所以有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”．‎ ‎（2）记5人中对冰球有兴趣的3人为，对冰球没有兴趣的2人为，‎ 则从这5人中随机抽取3人，共有10种情况，‎ 其中3人都对冰球有兴趣的情况有1种，2人对冰球有兴趣的情况有6种， ‎ 所以至少2人对冰球有兴趣的情况有7种，‎ 所以，所求事件的概率. ‎ ‎18. 解：(1)在中，由余弦定理，得，‎ 得，即，‎ 解得或 (舍去)，从而 ‎(2)设，由对称性知 在中，由正弦定理，得，得,‎ 则，从而，，‎ ‎.‎ ‎19.(1)证明：取AC的中点O，连接OB与OD，∵BA＝BC，‎ ‎∴AC⊥OB ∵AD＝CD，∴AC⊥OD，又OD∩OB＝O，‎ ‎∴AC⊥平面OBD，又BD⊂平面OBD，∴AC⊥BD.‎ ‎(2)由题可知，当四面体ABCD的体积最大时，平面DAC⊥平面ABC，∵DO⊥AC，‎ ‎∴DO⊥平面ABC，又OB⊂平面ABC，∴DO⊥OB，‎ ‎∵DA＝DC＝3，AC＝6，AB＝BC＝5，∴OD＝＝＝3，‎ OB＝＝＝4，∴DB＝＝＝5，‎ 又BC＝5，‎ ‎∴在△BCD中，CD边上的高h＝＝＝，‎ ‎∴S△BCD＝×CD×h＝×3×＝，S△ABC＝×AC×OB＝×6×4＝12.‎ 设点A到平面BCD的距离为d，∴VABCD＝VDABC，即S△BCD×d＝S△ABC×OD，‎ ‎∴d＝＝＝，∴点A到平面BCD的距离为.‎ ‎20.解：抛物线的焦点为，准线方程为，‎ 即有，即，则，解得，则；‎ 在x轴上假设存在定点（其中），因为x轴平分，‎ 设，，联立和，得，‎ 恒成立． ，‎ 设直线DA、DB的斜率分别为，，则由得，‎ ‎，‎ ‎∴， 联立，得，‎ 故存在满足题意，综上，在x轴上存在一点，使得x轴平分，‎ ‎21.（1），‎ ‎∵是函数的一个极值点，∴，解得 则．令，解得或，‎ 故函数的单调递增区间为和．‎ ‎（2）不等式，可化为，记，‎ 当时，恒成立，则在R上递增，没有最小值，故不成立；‎ 当时，令，解得，当时，；当时，，‎ 当时，函数取得最小值，‎ 即，则 令，‎ 则，当时，；当时，，‎ 故当时，取得最大值，所以，即的最大值为．‎ ‎22.解：(1)由得代入整理得：‎ 直线的普通方程为,又 曲线C的极坐标方程为 ‎(2).由得,设，则 的面积 ‎,‎ ‎23.解：(1)原不等式可化为: ‎ 即: 或由得或 由得或综上原不等式的解为或 (2)原不等式等价于的解集非空,‎ 令,即,由,‎ 所以,所以.‎